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正正600600胞体の胞体の投影図投影図,,展開図展開図

Cabri Cabri 研究会研究会 20122012年年1111月月1818日日生越生越 茂樹茂樹

(review) 正24胞体

16 32 , 3 24 , 32 3 96

24 , 24 9

16 24 (24 ) 16 2

( )

24 1 ( 8 )

6.

121 n

12

n

正 胞体は の面を持ち，その各面に対し

辺が 本できるから，正 胞体の

正 胞体の 本の辺の中点 個 が頂点．

このうち，正 胞体の同じ面上にある 点

を結んだ線分が辺となる．　右図

一方，正 胞体の つの胞 正 面体 は，本の辺

があるから，

辺の数は　

　　　 本

正 胞体の辺の

　辺を 個の胞が共有するとすると，

本数は　

× =

× ÷ =

( ) 3

, 24 8 , 3 n

即ち 正 胞体の胞は正 面体で 辺は　　つの胞に共有される．下図

∴ = 正24胞体.cg3

2

§1. 正600胞体の頂点,胞600 20 4

600

20 body( 10 ) cap( 2 )20 body 3 10 ,

body 2 cap 1 10 ( ).

600 Body Cap 2

Body: 24 8

正 胞体は, 3次元の正 面体を 次元に拡張したもので，

個の正四面体の胞からなる．

正 面体の点を， 中央部 点 と 上下 点 に分けると，

正 面体の面は， の 点から作られる 面と

の 点と の 点から作られる 面からなる 右図 　

正 胞体の頂点は と の　種類に分類できる．　

正 胞体の正 面体胞の各辺を黄金 ( ). Cap: Body .

した点 右下図

に含まれてない点

分割1 5

2 ( )

τ +=

黄金比

12 3 91 8 12 24 , 3

8 Body , 24 1 8 20Cap 1 Cap , 24

6 .× ÷ = 個

つの正 面体胞から 個の点ができ，正 胞体の各辺は つの

正 面体胞に共有されるので， の点は

つの正 面体胞から 面の正三角形ができ，その各々に対し

の点が つ対応するので， の点の個数は 個

正8面体と正20面体.cg3

1

1

2

: 8,0,0, ), B(0, ,0, ), C , ,0),

D( ,0, ,0), E( , ,0,0),F(0,0, , ) , (1,

,

,0, ) 4! 2=12

Cap P(1

2 A( (0

,1,1,1

,

) , O .P

x y z uπ ττ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ

τ τ

π

−

+

⊥

+ =

÷

+ 上の正 面体

のとき，

各辺を黄金分割した点は　 を

偶置換した 点となる．この

例えば 超平面 で，

頂

胞に

対する の点は で

点が

　

2

1 1 1 1

: 8 ,0,0, ), B( ,0, ,0), C ,0,0, ),D( ,0, ,0), E( , ,0,0), F( , ,0,0) ,( ,1, ,0), ( ,1, ,0), ( , 1, ,0), ( , 1, ,0)

4 3!/2 12

(

C

A(x

x

π τ τ τ τ τ τ ττ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ

τ

− − − −

−

− −

− − − −

× =

=

=

上の正 面体

のとき，黄金分割してできる点は

の４点

超平面 で，頂点が

の偶置換のうち

を充たす 点．対応する 2ap Q(2,0,0,0) , OQ π⊥の点は で

1 3

4

, (( ( (0

, 1, ,0) ( 2 4! 2 96 ) Body 1, 1, 1, 1), 2,0,0,0), 2,0,, (0,0, (0,0,0,0), 2,0), 2)

( 2 2 4 24 120 ) Cap .

τ τ −± ± ± × ÷ =

± ± ± ± ± ± ± ±

+ × =

の偶置換 個 を に，

の置換

個 を にとることができる．合計で点の数は

一般

個

に

3

§2. 様々なタイプの胞

600 , Body 3 Cap 1 Body 4 , 2

1 , 20 V ) V

Cap 1 OP V) P (

2

24 20 480

0T

2 4

正 胞体の胞は「 の 点 と の 点 から作られる胞」と，

「 のうち 点を選んで作られる胞」の 大きく分けて 種類ある．

前者は 各々の正 面体胞 の各面（正三角形 を底面に， に対応する

の 点 　 を頂点にした超三角錐で，

後者は「隣接 正 面体胞からの　点の選び方」で２つに け

　

．

個

分 られる

×⊥ =

1 2 6

6 3( 3 2 =4 .)

yV

peI: 20 V 3 1 20 .TypeII: 6 20 V ,V , 2

各点は 回ずつダブルカウントされるので，異なる点は 点 点

正 面体胞 から 点を，もう点を別の正 面体胞から取る

隣接する つの正 面体胞 から 点ずつ取る．

× ÷

TypeIの胞

1 3

( Cap .)

( 1, 2, 3)

20 8 8TypeI/II

20 8=12 TypeI

24 , 8 3V ~V XY,XY P, X XY 60 4

, V

:1

2

k k

τ°

=

の点と組になり胞を作る

正 面体の面のうち，正 面体と共有される 面は

の胞を作れない．

それ以外の - 面から, の胞は作られる．

正 胞体は 各辺を正 面体の つの胞

が共有する．共有される辺を

を 分割する点を

を通り と で交わる 辺を黄金分割

した点を から各々

に黄金

点ずつ

とり 1 2

1 2

Q& R,Q&S , R&S . ( )

4 S ( S) , P,Q,R,S TypeI . , 3 8TypeI ,

S

12 24 3 96, .

= ≡

× ÷ =

， とする　右図

このとき，次元空間では で

は　 の胞を作る この胞は

つの正 面体で共有さ

の は

か

胞数

れる

室

ら

TypeIが作れる面.cg3

TypeI&II.cg3

4

TypeIIの胞

1V , XQR Y Y' XY'( ) S T S T XQR .

Q,R,S,T TypeII

の頂点の内 平面 に関し と対称な点を とし，線分 に関して

前頁の と同様に作成した点を とすると，と は平面 に関し対称　

そして は の正四面体胞を作る．

（SとTは平面XQRに関し対称．Tは表示してない）

8TypeII

6 8 TypeI

480+96+24=

26

4 6 6=2

600

4I

00

× ÷

即ち，正 面体の６つの頂点の周りに

の正四面体胞は１つずつできる．

各々の正四面体胞は つの正 面体に

共有されるので， の

　　　　　

　　　　

以上より，正 胞体の胞の個数は

室

胞の個数は

室

TypeI&II.cg3Cap 12 12

600 120 2 1 , 12

[ ] 600 ,

600 1 4 , 2 1 , ,

, 0 12 2 720

600 4 2=12 0 0

× ÷ =

× ÷

の点は 正 面体の頂点から引かれる 本の辺が集まる．

正 胞体は 個の頂点があり，頂点が 辺を共有するので

注 正 胞体の面 辺の数は 次の様になる．

胞は 室，室は 面を持ち 室は 面

辺の数 本

を共有する

は

から

面の数は 面

§3. 正600胞体の中心投影

§1 600 , ( ,) 0.5

, 20 , Cap (0,0,0, 2) 20 , 1 .

, 1 ,

2 .

0

u d

u

du

du

ττ

τ

>

+

= − −

=

= = の時．

時 超平面 上の正 面体と 対する の点 から作られる

個の胞は

の座標で与えられる正 胞

他の胞に比べ

体を 軸方向に 平行移動し

原点から 超平面 の上に中心投影した．下図は

に非常に近い　故に外形は正 面体

に

この

に見える

共

Body (面も表示) Skelton (頂点と辺のみ表示)

projection.nb

5

( , , 2 Cap . )

1.5 , , 1 .

20 . 5 6 .

x y z u

ud

u

τ

ττ

+ + + =

= −

= +

=

なお 右下図の色付けした胞は 上の 型の胞

の時．

時 超平面 上の胞は 他の胞に比べ に特に近い訳ではない

故に外形は正 面体に見えない　半正多面体でも一様多面体でもなく

各頂点には つまたは つの三角形が集まる不思議な多面体

この

Body Skelton

projection.nb

§４. 正600胞体の展開図3 X Y , ,Y X

4 , X Y S , S , Y X

snake

l l次元空間内で，同一平面上にない面 と面 が辺 を共有する時 を軸とする回転で

を と同じ平面上に展開できる．

同様，次元空間内で 同一超平面上にない 胞 と が面 を共有するとき を軸とする

回転で を と同じ超平面上に展開できる．従って，面の共有関係を調べるだけで，

胞を展開する事ができる．ここでは 擬 型の展開図のみ作成した．

snake.cg3 starfish.cg3

develope.nb （Notebookを再評価する毎に，新しい展開図が作られます.)

. 24 snake . 8 chain .) 8 , Cap snake . TypeI/II ,

【注】次の様にプログラムしました

① 正 胞体を の様に展開する（正 面体の ができる

② 各々の正 面体胞から 型の正四面体を作成し の様につなぐ

③ の正四面体を ②の正四面体に「こぶ」の様にくっ付ける．