§§5 35 3 电偶极辐射电偶极辐射§§5.3 5.3 电偶极辐射电偶极辐射

Electric Dipole RadiationElectric Dipole Radiation

电磁波是以交变运动的电荷系统辐射出来的，在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。波的辐射。

本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。情形下的辐射问题。

11 计算辐射场的一般公式计算辐射场的一般公式11、、计算辐射场的一般公式计算辐射场的一般公式

当电流分布 给定时，计算辐射场的基础是 的推迟势：

),( txj ′′rr

Ar

础是 的推迟势：A

τμ ′

′′= ∫ dtxjtxA ),(

4),( 0

rrrr

π ∫ rV

4

若电流 是一定频率ω的交变电流，有),( txj ′′rr

tiexjtxj ′−′=′′ ω)(),(rrrr

因此因此

0 ( )( )i tj x eA x t dωμ τ

′−′′= ∫

r rr r

( )

( , )4

rV

i t

A x t dr

ω

τπ

= ∫r ( )

0 ( )4

rci tj x e d

r

ωμ τπ

− −′′= ∫

r r

( )0

4( )

Vi kr t

rj x e d

ω

πμ −′

′

∫

∫r r

0 ( )4 V

j dr

μ τπ

′= ∫式中 为波数ck ω=

如果令− tiexAtxA ω)()(

rrrr且有如果令

∫ ′′

=ikr

dexjA

exAtxA

μ )()(

)(),(

0rr

rr

且有

∫ ′=V

dr

jxA τπμ )(4

)( 0

式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到

场点时有相位滞后kr。场点时有相位滞后kr。

根据Lorentz条件，可求出标势 ：ϕ

Act

r⋅∇−=

∂∂ 2ϕ

由此可见，由矢势 的公式完全确定了电磁场。

t∂

Ar

另外 根据电荷守恒定律 且有0∂∇ j ρr

另外，根据电荷守恒定律 且有

，只要给定电流 ，则电荷分布ρ也

0=∂

+⋅∇t

j ρ

ωρij =⋅∇r

jr

，只要给定电流 ，则电荷分布ρ也自然确定了。从而标势 也就随之而确定了，因而在这种情况下，有

ωρij∇ jϕ

而在这种情况下，有

⎪⎧

′′

= ∫ dexjxAikrrr

rrτμ0 )()(

⎪⎪⎪

∂

= ∫ dr

xAV

rϕ

τπ4

)(

⎪

⎪⎪

⎨⋅∇−=

∂∂ Ac

trr

rϕ 2

⎪⎪⎪⎪

∂∇

×∇=

AE

ABr

r⎪⎩ ∂

∂−−∇=

tAE ϕ

在电荷分布区域外面 所以0jr

在电荷分布区域外面， ，所以0=j

EiEBr

rr ωεμ =

∂=×∇ E

ctB 200εμ −=

∂=×∇

故得icE Bk

= ∇×r r

22、、矢势矢势 的展开式的展开式

k

Ar

对于矢势

′ ikrj )( rr

∫ ′′

=V

ikr

dr

exjxA τπμ )(4

)( 0r

rr

)) 近区近区（（似稳区似稳区）） l但仍满足λa)a) 近区近区（（似稳区似稳区））

且有kr <<1，推迟因子eikr~1，因而场保持稳恒场的主要特点 即电场具有静电场的纵向形式

lrr >><< , 但仍满足λ

恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和稳恒场相似。

b)b) 感应区感应区（（过渡区过渡区）） λ 但满足 >>lb)b) 感应区感应区（（过渡区过渡区）），r ~ λ，但满足r>>l。这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和

辐射区的过渡区域中辐射区的过渡区域中。

c)c) 远区远区（（辐射区辐射区））r>> λ，而且也保证r>>l。11

在此区域中场强 和 均可略去 的

高次项 该区域内的场主要是横向电磁场

Er

Br

||11xR ′

= r

高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。

现在主要讨论电流分布于小区域而激发的远

区场区场。

z

P′r

rr

y

l xrx′

o yjr

.ρ

x

把相因子对 展开 得k ′rr̂把相因子对 展开，得xnk ′⋅

rr

Lrrrrr

+′⋅+−=′⋅− 2ˆ)ˆ(1ˆ1 xniknike xnik

从而得到矢势 的展开式为：

++ )(!2

1 xniknike

Ar

从而得到矢势 的展开式为：A

μ′⎥

⎤⎢⎡ ′′∫ dikikj

eA

ikR rrrrrrrr20 )ˆ(1ˆ1)()( τ

πμ

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅+′⋅−′= ∫ dxnikxnikxj

RxA

V

L20 )(!2

1)(4

)(

展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。

33 偶极辐射偶极辐射33、、偶极辐射偶极辐射

研究展开式的第一项： 推导

ikR

∫ ′′=V

ikR

dxjR

exA τ

πμ

)(4

)( 0)1(

rrrr

由于

V

∫ ∫ ′′⋅∇′=′′= dxjdxP ττρ rrr&&r )(

∫∫

∫ ∫ ⋅∇−== =′V V

t dxjdxP ττρ

rr

)( 常数

∫∫ ′′∇′⋅+′′⋅∇′−=VV

dxjdxj ττ rrrr )()(

∫∫ ∫ ′⋅+′⋅′−=S V

dIjsdxj τtrrr

由于积分区域包含了全部电荷、电流存在的空间，

S V

因而在包围该区域的边界面上不可能有电流出去因而在包围该区域的边界面上不可能有电流出去，即S面 ，从而有0=j

r

∫∫ ′=′⋅=VV

djdIjP ττrtr&r

故得VV

PR

exAikR

&rrr

πμ4

)( 0)1( =

现在讨论计算辐射场的技巧问题：现在讨论计算辐射场的技巧问题：

Rπ4

在计算辐射场时，需要对 作用算符Ar

t∂∂

∇和t∂

由于讨论远区场时 只保留 的最低次项 因而1

由于讨论远区场时，只保留 的最低次项，因而

算符 不需作用到分母上 而仅需作用到相因子

R

∇算符 不需作用到分母上，而仅需作用到相因子

上即可达到要求，作用结果相当于代换：

∇ikRe

∂ . , ˆ ωit

nik −→∂∂

→∇r

由此得到，辐射场为

kiAnikABrrrr

×=×∇= ˆ推导

pneRki ikR &rr

×= ˆ4

0

πμπ

pneci

ikR ˆ0&rr

×=

ωμ

i

pneR1

4×=

ωπ

pnecc

iikR ˆ0

2&rr

×=ε

pnie

pR

ikR ˆ14

&rr×= ω

π

pnieRc

14 0

3 ×= ωεπ

npeRc

ikR ˆ4

1

03

r&&r ×=επ 0

ii BnikkicB

kicE ˆ rrrr

×=×∇=

nBc1

r̂r×=

nnpeRc

ikR ˆ)ˆ(4

12

0

rr&&r ××=πε

如果取球坐标，原点在电荷电流分布区域内，并轴

0

r以 方向为极轴，则由上式得到：

沿纬线上振荡， 沿经线上振荡。

pr

Br

Er

z

θ

故得到故得到：

φθπε

epeRc

B ikR r&&rr

)sin(||4

13

0

=

θθ epeE ikR r&&rr

)sin(||12

0

=

该式表明：

θπεp

Rc)(||

4 20

该式表明：

磁力线是围绕极轴的园周， 总是横向的；

电力线是经面上的闭合曲线 由于在空间中

Br

电力线是经面上的闭合曲线，由于在空间中

， 线必须闭合。因此 不可能完全横Er

0=⋅∇ Er E

r线 须闭合 因此 不可能完 横E0=∇ E E

向 只有当略去 的高次项后 才能近似地为横1

向，只有当略去 的高次项后，才能近似地为横

向 由此得到一个结论：电偶极辐射是空间中的

R

向。由此得到 个结论：电偶极辐射是空间中的横磁波（TMW）。

44、、辐射性能的几个重要参数辐射性能的几个重要参数

衡量一个带电系统辐射性能的几个重要参数，

是它的辐射功率和辐射角分布，这些问题都可以是它的辐射功率和辐射角分布，这些问题都可以通过能流密度求得答案。

a)a) 辐射场的能流密度辐射场的能流密度a)a) 辐射场的能流密度辐射场的能流密度

在波动区域中，电磁场能流密度的平均值为

BERSS )(1 * rrrr

[ ]BERSS e

ˆ1

)(2

*

0rr

μ×==

[ ]BnBcR e )(2

1 *

0

rrr

μ××=

nBc ˆ||2

2

0

rr

μ=

nRc

p ˆsin32

|| 223

02

2 r&&r

θεπ

=

b)b) 辐射场的角分布辐射场的角分布

0

所谓辐射场的角分布，就是讨论辐射的方向

性，在平均能流密度 中， 因子表示电偶极Sr θ2sin性 在平均能流密度 中 因子表示电偶极S

辐射的角分布辐射的角分布。

辐 射 角 分 布 (Angular distribution ofradiation)定义为：在 方向单位立体角内平均辐射能流，即

φθ .

dS vr

Ω⋅

=⋅d

sdSfv

)( ϕθ

当 R一定时， 显然.sin2θ∝Sr

ϕθ2 ˆ

)(d

ndRSfrr

ΩΩ⋅

=⋅

θ232

2

sin32

|| pd&&r

=

Ω

επ 30

232 c

由此可见由此可见

⎪⎧

辐射最强时当πθ

⎪⎩

⎪⎨⎧ =

00

,2

辐射为时或当

辐射最强时当

πθ

θ

⎪⎩ = 0 ,0 辐射为时或当 πθ

zz

θ rSr

这就是我们在日常生活中 经常通过拨动收音机这就是我们在日常生活中，经常通过拨动收音机或电视机天线的方位为获得最佳音响和清晰图象的缘故的缘故。

c)c) 辐射功率辐射功率

单位时间内通过半径为 R的球面向外辐射的单位时间内通过半径为 R的球面向外辐射的平均能量，称为辐射功率（Radiation power）。

把 对球面积分即得总辐射功率 即Sr

把 对球面积分即得总辐射功率，即S

推导

2|||| dRsdssprr

Ω=⋅= ∫∫ ∫∫2||

|||| dRsdsspS S

&&r

Ω=⋅= ∫∫ ∫∫2

30

2

2

sin32

|| dc

p

S

r

Ω= ∫∫ θεπ

2 332

2

sin|| ddpS

&&r

= ∫ ∫ θθϕπ π

2

0 030

2

42||

32

p

c&&r

∫ ∫ϕεπ

2

30

2 342

32||

cp

&&

⋅= πεπ

3

2

0 3||

41

cp&&r

⋅=πε 0 3c

如果偶极子作简谐振动 角频率为 且有如果偶极子作简谐振动，角频率为ω，且有tiexptxp ω−= )(),( 0

rrrr

则exptxp )(),( 0

tiii ω)( rrr&r

ti

ti

expiipip

expipipω

ω

ωωω

ωω−

−

−−=−=

−=−=

)()(

)(0rr&r&&r

rrrr

tiexp

expiipipωω

ωωω−−=

−−=−=

)(

)()(

02

0rr

从而得到

p )(0

420

2|| ωpp =&&r

故故 4201 pp ω

= 30 34 c

pπε

若保持电偶极矩的振幅 不变，则辐)(0 xp rr若保持电偶极矩的振幅 不变，则辐射功率正比于频率ω的四次方，即频率变化时 辐射功率迅速变化

)(0p

化时，辐射功率迅速变化。

§§5.45.4 磁偶极辐射和电四极辐射磁偶极辐射和电四极辐射§§ 磁偶极辐射和电四极辐射磁偶极辐射和电四极辐射

Radiation of Radiation of Magnetic Dipole and Electric QuadrupoleMagnetic Dipole and Electric QuadrupoleMagnetic Dipole and Electric Quadrupole Magnetic Dipole and Electric Quadrupole

11 矢势矢势 的展开式第二项的物理内容的展开式第二项的物理内容r

11、、矢势矢势 的展开式第二项的物理内容的展开式第二项的物理内容Ar

已知矢势 的展开式为：Ar

[ ]ikR [ ]∫ ′+′⋅−′=V

ikR

dxnikxjR

exA τ

πμ

Lrrrrrr ˆ1)(

4)( 0

该式的第一项，属于电偶极辐射，那么第二项到

V

底属于什么的辐射呢？为了弄清这个问题，我们把被积函数写为：

)(ˆˆ)(]ˆ[]ˆ)[( xjxnxjxnxnxj ′′⋅=′′⋅=′⋅′ rrrrrrrrrrrr

标量 数 推导

而 是 个张量 我们把它分解为对称部分)(j ′′ rrr而 是一个张量，我们把它分解为对称部分和反对称部分：

)(xjx ′′ rr

[ ] [ ]xxjxjxxxjxjxxjx ′′−′′+′′+′′=′′ rrrrrrrrrrrrrrr )()(21)()(

21)(

因而 的展开式的第二项为：)(xA rr

ikR [ ] τπ

μ′′⋅′−= ∫ dxnxjik

Re

xAV

ikR rrrrrr ˆ)(4

)( 0)2(

[ ]μ⎩⎨⎧ ′′+′′⋅−= ∫ xxjxjxnik

eikRV

rrrrrrr)()(

21ˆ

40 [ ]

[ ]π

′⎬⎫′′′′

⎩⎨∫

d

jjR

V

rrrrrrr )()(1ˆ

)()(24

[ ] τ ′⎭⎬⎫′′−′′⋅+ dxxjxjxn rrrrr )()(

21

[ ]∫ikRikμ rr ˆˆ10 [ ]∫ ′′′⋅+′′⋅−=V

ikR dxxjnxjxneR

ikτ

πμ rrrrrr

))(()()(21

40

[ ]∫ ′′′⋅−′′⋅− ikR dxxjnxjxneR

ikτ

πμ rrrrrrrr

))(ˆ()()ˆ(21

40

第二项第二项 由于

VRπ 24

第二项：第二项：由于

))((ˆ))(ˆ()()ˆ( xjxnxxjnxjxn ′×′×−=′′⋅−′′⋅rrrrrrrrrrrr

因此第二项积分部分为：

))(())(()()( jjj

1 ˆ)(21ˆ ∫ ×−=′′×′×−

V

mndxjxnrrrrrr

τ

磁偶极矩 V

该项辐射是磁偶极辐射该项辐射是磁偶极辐射。

第一项：第一项：

把它看成对所有带电粒子求和，则得

[ ]1 [ ]dxxjnxjxnV

′′′⋅+′′⋅∫rrrrrrrr

))(ˆ()()ˆ(21 τ

[ ]xxnxxne

V

′′⋅+′′⋅= ∑ rrrrrrrr))(ˆ()()ˆ(

21 υυ

因为 ，所以上式可写为：

[ ]∑2xdx′

=′r

rr )(υ因为 ，所以上式可写为：dt

x =)(υ

dd rrrrrr⎥⎤

⎢⎡ ′′′′ ∑∑ 1ˆ)ˆ(1

d

xxedt

nxxnedt ⎥⎦⎢⎣

′′⋅=′′⋅ ∑∑1

2)(

2

Ddtdn

tr⋅= ˆ

61

Dn &tr⋅= ˆ

61

式中 是点电荷系的电四极矩。∑ ′′= xxeD rrt3

该项辐射是电四极矩的辐射。

至此， 的展开式第二项的物理内容为：

∑

)(xA rr至此， 的展开式第二项的物理内容为：)(xA

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+×−−= Dnmne

RikxA ikR &trrrrr ˆ

61ˆ

4)( 0

)2(μ

⎥⎦⎢⎣R 64)( π

即磁偶极辐射和电四极辐射是在 的展开式)(A rr即磁偶极辐射和电四极辐射是在 的展开式中同一级项中出现。

)(xA r

22、、磁偶极辐射磁偶极辐射为了清楚起见，先计算磁偶极辐射项：

eikAikR

m rrrr ˆ)( 0μ

在辐射区域中

mnReikxAm rrr

×=4

)( 0)2( π

μ

在辐射区域中，)(

0txkiemm ω−⋅=

rrrr

由此可见

0

ikeAikR

m rrrr μ ˆ)( 0 mnikR

xA

ikR

m rrr×=

πμ4

)( 0)2(

mR

e ikR r×∇=

πμ4

0

辐射区的电磁场为：

kAkiAB

2

rrr×=×∇=

nmneRk ikR ˆ)ˆ(

4

20 rrr

××=π

μ

而又因为2i r&&rr&r . , 2mmmim ωω −=−=

还有22k ω还有 2

2

ck ω=

从而得到eB

ikRˆ)ˆ(0 rr&&r

r××

μ

而

nnmRc

B )(4 2

0 ××=πμ

而

ikR

)ˆ(4

ˆ 0 nmRcenBcE

ikR r&&rrrr×−=×=

πμ

讨论：讨论：

将电偶极辐射场和磁偶极辐射场比较，即

⎪⎪⎫

××= ˆ)ˆ(2 nnpeEikR rr&&r

r电偶极

⎪

⎪⎪

⎬ˆ)ˆ(

)(4

0

20

e

pRc

ikR rr&&rr μ

πε电偶极

⎫

⎪⎪

⎭××= )(

4 20 nnmRce

B

ikR

rrr

πμ

磁偶极

⎪⎪⎬

⎫×= )ˆ(

4 30

npRc

eBikR r&&r

r

πε电偶极

⎪⎪⎭

⎪⎬

×−

= )ˆ(4

0

0

nmRe

EikR r&&r

r μ磁偶极 ⎪⎭

)(4 Rcπ磁偶极

通过以上比较 有通过以上比较，有

磁偶极mp

rr

→电偶极

BcEc

prr

→

→

磁偶极电偶极

磁偶极电偶极

EBc

BcErr

−→

→

由此可见，磁偶极辐射的能流密度为：

磁偶极电偶极

* *

0 0

1 1 ˆRe( ) Re ( )2 2

s E B cB n Bμ μ

⎡ ⎤= × = × ×⎣ ⎦r r r rr r

0 0

2

2 2

ˆ| |2

c B n

μ μ

=r r

0

| |2μ

推导

而μ e

BikR rr&&r

r ˆ)ˆ(0而

πμ

nnmRc

B

ikR

)(4 2

0 ××=磁偶极

θθπμ

emRce ikR r&&r sin||

4 20=

故得

πRc4

nRmcs ˆsin

16||

22

422

220 r&&rr

θμ

=

mcR

)||(162

24

4220

&&rωμ

πμ

ncR

m ˆsin32

)||( 2322

0 rθ

πωμ

=

其中 为磁矩的22422 |||||| rr&&rr&&r其中： 为磁矩的振幅， 为极角（以 方向为极轴），其辐射图形如电偶极辐射相同

22422 || .|||| , mmmmm rrrrr ωω =−=θ mr

形如电偶极辐射相同。

磁偶极辐射的总辐射功率：

∫∫ ∫∫∫∫ Ω=⋅=⋅= 2|||| dRsdsssdsprrrr

∫∫ Ω= θωμ 22

240 sin

||dR

mS SSr

∫∫ Ω= θπ

24

322sin

32dR

cRSr

∫∫=ππ

θθϕπ

ωμ0

32

032

240 sin32

||dd

cmr

4 2| | 4r4 20

2 3

| | 4232 3

mc

μ ω ππ

= ⋅ ⋅

4 2 4 20 0

3 3

| | | |12 4 3

m mc c

μ ω μ ωπ π

= = ⋅r r

33、、电四极辐射电四极辐射

这 的 式第 项计算电 极辐射r

这里由 的展开式第二项计算电四极辐射

项：)(xA rr

eik ikR&tr ˆμ Dn

ReikxAe

trrr⋅−= ˆ

24)( 0

)2( πμ

为方便计，定义一个矢量 ：)ˆ(nD rr

tr ˆˆ DnnD rr⋅=)(

则矢势为则矢势为：

De

ci

DeikxAikR

ikRe &r&rrr 0

0)(μω

μ−=−=

ee

DR

DR

xA

ikRikR&&r&&r0

)2( 2424)(

μππ

−=−=

辐射区域的电磁场为

DRc

eDcR

e3

0

0

2424 πεπμ

==

辐射区域的电磁场为

DeAikABikR

ˆˆ r&&&rrrrr×××∇ nD

RcAnikAB

ikR

24 40

×=×=×∇=πε

nnDRc

enBcEikR

ˆ)ˆ(24

ˆ3

0

rr&&&rrrr××=×=

πε 0

相应地辐射平均能流密度为相应地辐射平均能流密度为：

[ ]** )ˆ(1)(1 BBRBERrrrrrr [ ]

ˆ

)(2

)(2c

BnBcRBERs ee ××=×=

2

0

ˆ||2

nBc rr=

μ

225 |ˆ|

2881

41 nD

Rcr&&&r ×=

ππε

44、、举例讨论举例讨论

0 2884 Rcππε

44、、举例讨论举例讨论

例1：一电流线圈半径为a，激发电流振幅为I 角频率为ω 求辐射功率振幅为I0,角频率为ω，求辐射功率。

S l iSolution:电流线圈的磁矩为 ，即

200 aIm π=

0( , ) ( ) i tm x t m x e ω−=r r r r

然而 mim&&&

r&r

2

ω−=

根据磁偶极辐射的辐射功率

mmiimim rrrr 2))(( ωωωω −=−−=−=

根据磁偶极辐射的辐射功率

240 || mωμ r

30

12||

cmp

πωμ

=

得到得到4 2 2 2

0 0 ( )I ap μ ω π= 312

pcπ

=

因为 44

44 )2( , 2 cckc

λπω

λπω ===

因此得到

λλ

20

40

54 Iap ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

μπ0

03p ⎟

⎠⎜⎝ λε

例2：求如图所示的电四极子以频率ω振幅时的辐射功率和角分布。射功率和角分布。

S l tiSolution:该体系的电四极矩张量为：

+Q

xxeDrrt

3 ′′=∑+Q

l

zzzz leeQleeQrrrr 22 ))((303 −−++= -2Q o

lzz eeQlrr26=

+Q

l

2 2ˆ ˆr t2 2

2 2

6 6 cosˆ ˆ6 cos 6 cos sin

z z zD n D Ql n e e Ql eD n Ql e n Ql e

θθ θ θ

= ⋅ = ⋅ =× = × =

r r r r rr r r r r

2 2 4 6 2 2

6 cos 6 cos sinˆ| | 36 cos sin

zD n Ql e n Ql e

D n Q lϕθ θ θ

ω θ θ

× ×

× =r r&&&

由此可见，辐射角分布由因子 确定，θθ 22 sincos如图所示。

辐射功率为：

∫∫∫∫∫∫ Ω==⋅= 2|||| dRsdsssdsprrvr

∫∫=ππ

θθθϕω 3226425 sincos 3611 ddlQ

SSS

∫∫ θθθϕωππε 005

0scos36

2884ddlQ

c

因为 sinsincossincos 2232 =∫∫ππ

θθθθθ dd因为

cos)cos1(cos

sinsincossincos

22

00

=

=

∫∫∫

πθθθ

θθθθθ

d

dd

coscoscoscos

cos)cos1(cos

42

0

+

−−=

∫ ∫∫π π

θθθθ

θθθ

dd

d

4

coscoscoscos0 0

+−= ∫ ∫ θθθθ dd

15=

故5

642642

5 6015436

2881

41

clQlQ

cp

πεωω

ππε=⋅=

00 60152884 cc πεππε