(5 ASO H2 zwak leerboek) - Nieuw Netwerk Nederlandspienter.methodesites.be/images/LB5H2.pdf · 2...

1

2VEELTERMFUNCTIES

2.1 INLEIDING

Vorig jaar maakten we al kennis met een‘basispakket’ functies :

a) de constante functies : f (x) = a

b) de eerstegraadsfuncties : g (x) = ax + b

c) de tweedegraadsfuncties : h (x) = ax2+ bx + c

Op dezelfde manier kunnen we spreken overderdegraadsfuncties, vierdegraadsfuncties of n-degraadsfuncties, waarbij n de grootst voorkomendeexponent is van de veranderlijke. De verzamel-naam voor al die functies is veeltermfuncties. Hunvoorschriften zijn opgebouwd uit de bewerkingen+ en . (machtsverheffingen met natuurlijke expo-nenten zijn ook vermenigvuldigingen). Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in éénveranderlijke.

Veeltermfuncties hebben we onder andere nodig voor de beschrijving vanoppervlakten en inhouden, processen in de fysica en chemie ...Om beter inzicht te krijgen in deze problematiek is het belangrijk devoornaamste kenmerken van een veeltermfunctie grondig te bestuderen.

2.2 INLEIDEND VOORBEELD

Een bedrijf produceert fietscomputertjes. De bedrijfsleiding wil weten hoeveelcomputertjes per uur geproduceerd moeten worden om winst te maken in dehuidige situatie. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (=aantal geproduceerde computertjes) per uur is :

Winst kan ook negatieve waarden aan-nemen, we spreken dan van verlies.

3 218 24

2W x x xx

Werkblad fietscomputertjes+Applet: fietscomputertjes

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3h

f

g

5 ASO H2 zwak leerboek 25-08-2004 16:09 Pagina 1

2

2.2 INLEIDEND VOORBEELDVEELTERMFUNCTIES

Om een beter beeld van de functie tekrijgen, hebben we de grafiek vanW (x) hier afgebeeld.

GEVRAAGDa) Bij welke productie zal de winst

0 euro bedragen?b) Bij welke productie wordt er winst

gemaakt?c) Bij welke productie is de winst

gelijk aan 36 euro?

Door de grafiek goed te bestuderen,kunnen we de meeste vragen op-lossen. Toch willen we in de toekomstgelijkaardige problemen kunnen op-lossen zonder gebruik te maken vande grafiek. Verder in dit hoofdstukontdekken we methoden om zulkeproblemen op een correcte en exactewijze op te lossen. We kunnennatuurlijk altijd gebruikmaken van degrafiek om beter te begrijpen hoe dewerkwijzen opgebouwd worden.

OPLOSSING

a) Bij welke productie zal dewinst 0 euro bedragen?

De grafiek leert ons dat desnijpunten van de grafiek met dex-as aangeven hoe groot deproductie moet zijn om 0 eurowinst te maken. Dat is het gevalbij een productie van 0, 4 en 12fietscomputertjes.Die waarden zijn de nulwaardenvan de functie W (x).

x

W

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

W

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Werkbladnulwaarden vanveeltermfuncties


3

2.2 INLEIDEND VOORBEELD VEELTERMFUNCTIES

1) Stel W (x) gelijk aan nul om de nulwaarden tebepalen.

2) Ontbind door de gemeenschappelijke factor afte zonderen.

3) A . B = 0 ⇔ A = 0 of B = 0.

4) Vermenigvuldig de termen van devierkantsvergelijking met factor –2.

5) Los de vierkantsvergelijking op.

6) Geef de nulwaarden van W (x).

7) Formuleer het antwoord.

of

0, 4 en 12

Bij een productie van 0 of 4 of 12 fietscomputertjes isde winst 0 euro.

218 24 0

2x xx1 = 0

3 218 24 0

2x x x

3 2 21 18 24 8 24

2 2x x x x x x.

21 08 242

x x x

16 48 0x x

2 34 en 12x x

x

W

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Werkbladongelijkhedenoplossen

Nulwaarden van veeltermfuncties

ONTHOUDDe nulwaarden van een veeltermfunctie f zijn de x-waarden metfunctiewaarde 0. We berekenen de nulwaarden door de vergelijkingf (x) = 0 op te lossen.

Of :

Als f (a) = 0 dan is a een nulwaarde van de bijbehorende veeltermfunctief (x).Het punt (a, 0) is een snijpunt van de grafiek van f met de x-as.

b) Bij welke productie wordt er winst gemaakt?

Er wordt winst gemaakt bij een productie van xeenheden waarvoor W (x) > 0. Van de grafiek lezenwe af dat we winst maken wanneer het aantal teproduceren computertjes tussen 4 en 12 ligt.Dat deel van de grafiek ligt boven de x-as.Dat bij een negatieve productie de winst ook positief is,heeft in dit voorbeeld geen belang (praktisch domein).


2.2 INLEIDEND VOORBEELDVEELTERMFUNCTIES

ONTHOUDHet tekenonderzoek van een veeltermfunctie f leert ons voor welkex-waarden de functiewaarden positief, negatief of nul zijn.

Ongelijkheden oplossen

1) Noteer de ongelijkheid (linker- of rechterlidmoet nul zijn).

2) Bepaal de nulwaarden van de winstfunctie.

3) Ontbind het functievoorschrift.

4) Maak de tekentabel.

5) Lees de x-waarden af waarvoor W (x) > 0.

6) Noteer de praktische oplossing van ditprobleem.


x = 0 of x = 4 of x = 12

x 0 4 12

+ 0 – – – – –

+ + + 0 – 0 +

W (x) + 0 – 0 + 0 –

x < 0 of 4 < x < 12

4 < x < 12

a) Bij een productie van 5, 6, 7, 8, 9, 10 of 11fietscomputertjes zal het bedrijf winst boeken.

b) Als de productie kleiner is dan 4 of groter is dan12 computertjes is de winst negatief, m.a.w. hetbedrijf zal verlies lijden.

3 218 24 0

2x x x

3 218 24 0

2x x x

14 12

2x x x

12

x

4 12x x

4


1) Stel beide functies aan elkaar gelijk.

2) Herleid die gelijkheid naar 0 en werk denoemer weg.

3) Los de derdegraadsvergelijking op. ???

3 218 24 36

2x x x

3 216 48 72 0x x x

5

1.1 INLEIDING VEELTERMFUNCTIES

c) Bij welke productie is de winst gelijk aan36 euro?

We construeren de grafieken van

W(x) = en y = 36. We kunnen

de snijpunten aflezen of berekenen met behulpvan de rekenmachine. Als de grafiek van W (x)boven de horizontale rechte y = 36 ligt, is de winstgroter dan 36 euro. We lezen af dat dit het geval isvoor een productie die bij benadering tussen 6 en11 fietscomputertjes ligt.

Snijpunten van veeltermfuncties

ONTHOUDUit de grafiek kunnen we afleiden dat die vergelijking drie oplossingenmoet hebben. De grafieken snijden elkaar immers in drie punten. Om diete kunnen berekenen moeten we gebruikmaken van nieuwe technieken.

3 218 24

2x x x

2.2 INLEIDEND VOORBEELD

x

W

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

INTERLUDIUM: ALGEBRAÏSCH REKENEN

1) De Euclidische deling

‘De Euclidische deling’ van getallen is de gewone staartdeling bij gehele getallen.

Dit wil zeggen dat 1025 = 3 . 341 + 2

Dat leidt tot de ‘eeuwenoude’ formule van de Euclidische deling :

Deeltal = deler maal quotiënt plus rest of in symbolen : D = d . q + r met r < d

1025 3

– 9 34112

– 125

– 32

y = 36


1.1 INLEIDINGVEELTERMFUNCTIES 2.2 INLEIDEND VOORBEELD

3x3 – 6x2 + 2x – 1 x2 + x – 1– (3x3 + 3x2 – 3x) 3x – 9

–9x2 + 5x – 1– (–9x2 – 9x + 9)

14x – 10

We kunnen dit ‘systeem’ gebruiken om ons inleidend voorbeeld op te lossen. Hiervoor moeten weeerst uitleggen hoe we een veelterm delen door een veelterm. Omdat we veeltermen bij devermenigvuldiging ‘term per term’ behandelen, proberen we dat bij de deling ook.

Stap 1 :

Stap 2 :

Stap 3 :

Stap 4 :

Stap 5 :

Stap 6 :

Stap 7 :

Zodat :

Opmerkingen

a) De graad van de rest is kleiner dan de graad van de deler.b) Bij een opgaande deling is de rest 0.

Voorbeeld

In dit geval hebben we ontbonden in factoren.

4 3 2 2 22 3 2 3 4 1 2 3 4x x x x x x x

3x3 – 6x2 + 2x – 1 = (x2 + x – 1) (3x – 9) + 14x – 10

2

14 14veelterm

xxx

229 9 9 91 x xx x

2 29 5 1 14 109 9 9x x xx x

3

2

33

xx

x3 223 3 3 31x x x xx x

3 2 23 23 6 2 1 9 5 13 3 3x x x x xx x x2

2

99

x

x

6

2x 4 + 3x 3 + 2x 2 – 3x – 4 x 2 – 1– (2x 4 – 2x 2) 2x 2 + 3x + 4

3x 3 + 4x 2 – 3x – 4– (3x 3 – 3x)

4x 2 – 4– (4x 2 – 4)

0


1.1 INLEIDING VEELTERMFUNCTIES2.2 INLEIDEND VOORBEELD

3x 3 + 2x 2 + x – 10 x – 2– (3x 3 – 6x 2) 3x 2 + 8x + 17

8x 2 + x – 10–(8x 2 – 16x)

17x – 10– (17x – 34)

24

3 2 1 –102

3

3 2 1 –102 6

3 8

7

3 2 1 –102 6 16 34

3 8 17 24

2) De rekenregel van HornerHet algoritme van de Euclidische deling wordt heel wat eenvoudiger als we afspreken alleen delingenuit te voeren waarbij de deler van de vorm x – a (a ∈ ¤) is.Let goed op het ontstaan van de coëfficiëntenrij.

De Engelse wiskundige HORNER vond dit allemaal te ingewikkeld en ontwierp een eenvoudig systeemwaarin alleen de coëfficiëntenrij van het deeltal en het getal a van de deler x – a belangrijk is.

Omdat we delen door een veelterm van de vorm x – a, is de eerste coëfficiënt van het quotiëntdezelfde als die van het deeltal !

In plaats van 3 te vermenigvuldigen met –2 en af tetrekken, verkoos Horner 3 te vermenigvuldigen met+2 en op te tellen.

Zo ontstaat een eenvoudige rekenregel waarbij weop de onderste rij de coëfficiënten van hetquotiënt en de rest van de deling kunnenterugvinden.

We leiden hieruit af dat het quotiënt 3x2 + 8x + 17 is en de rest 24.Die rest kunnen we ook vinden door de getalwaarde f (2) van de veelterm f (x)te berekenen.

f (2) = 3 . 23 + 2 . 22 + 2 – 10 = 24

De reststellingDe rest van de deling van een veelterm f (x) door een tweeterm van de vorm x – a wordt gegevendoor de getalwaarde f (a).

BEWIJSBij een deling van veeltermen zijn er twee mogelijkheden. Ofwel is de rest 0, ofwel is de graad vande rest kleiner dan de graad van de deler.Als de deler x – a is, dan moet de rest een constante r zijn.

3 ³ 2 ² 10x x x


8

1.1 INLEIDINGVEELTERMFUNCTIES 2.2 INLEIDEND VOORBEELD

Als de veelterm q (x) het quotiënt voorstelt, dan kunnen we het deeltal als volgt schrijven :

f (x) = (x – a)q (x) + r

Stel in die gelijkheid x = a.

f (a) = (a – a)q (a) + r

Na vereenvoudiging krijgen we :

f (a) = r

GevolgDe veelterm f (x) is deelbaar door een tweeterm van de vorm x – a als en slechts als degetalwaarde f (a) gelijk is aan 0.

3) Eigenschappen

a) Opdat een veelterm met gehele coëfficiënten deelbaar zou zijn door x – a, met a een geheelgetal, is het nodig dat de constante term van die veelterm deelbaar is door a.

b) Stelling van Gauss : Elke veelterm is te ontbinden in factoren van de eerste en/of tweede graad.

c) Elke veeltermfunctie van de n-de graad heeft hoogstens n verschillende nulwaarden.

4) Toepassingen

a) Ontbind de veelterm in factoren.

1) Bepaal met de reststelling of met derekenmachine een nulwaarde a van debijbehorende veeltermfunctie

f (x) = x3 + 3x2 – 4

2) Voer de regel van Horner uit met als deler x – 1.Let op! Voor de ontbrekende termenschrijven we coëfficiënt 0.

3) We noteren het quotiënt. q (x) =

4) De veelterm kan nu al gedeeltelijk ontbonden x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4)worden.

5) Door te steunen op de ontbinding van eentweedegraadsveelterm verkrijgen we heteindresultaat.

3 23 4x x

a = 1 want f (1) = 0

2 4 4x x

1 3 0 –41 1 4 4

1 4 4 0

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x + 2)2


9

1.1 INLEIDING VEELTERMFUNCTIES2.2 INLEIDEND VOORBEELD

b) Bepaal de nulwaarden van de veeltermfunctie f (x) = x3 + 3x2 – 4

1) Stel het functievoorschrift gelijk aan 0. x3 + 3x2 – 4 = 0

2) Ontbind het linkerlid in factoren. Zie a. (x – 1) (x + 2)2 = 0

3) A . B = 0 als en slechts als A = 0 of B = 0. x – 1 = 0 of (x + 2)2 = 0

4) Schrijf de nulwaarden op. x = 1 of x = –2

OpmerkingUit eigenschap 3 volgt dat een veeltermfunctie van de derde graad hoogstens 3 verschillendenulwaarden heeft ! Zijn er 3 verschillende nulwaarden gevonden, dan eindigt de zoektocht.

Voorbeeld

f (x) = x3 – 3x2 – x + 3

Met onze rekenmachine vinden we de nulwaarden –1, 1 en 3.

Werkblad nulwaardenvanveeltermfuncties


10

1.1 INLEIDINGVEELTERMFUNCTIES

2.3 UITWERKING VAN HET INLEIDEND VOORBEELD

We herhalen even. Een bedrijf produceert fietscomputertjes. De bedrijfsleidingwil weten hoeveel computertjes per uur geproduceerd moeten worden om 36euro winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productiex (= aantal geproduceerde computertjes) per uur is :

W (x) =

We moeten de gelijkheid

oplossen.

Die vergelijking wordt na omvormen:

3 216 48 72 0x x x

3 218 24 36

2x x x

3 218 24

2x x x

Oplossen van vergelijkingen

1) Met de reststelling of de rekenmachine kunnenwe een oplossing van de vergelijking

vinden.

2) Deel door x – 6 metbehulp van de regel van Horner en ontbind deveelterm.

3) Bereken de twee andere oplossingen van de

vergelijking door op telossen.


x = 6

1 –16 48 72↓

6 6 –60 –72

1 –10 –12 0

• De winst zal gelijk zijn aan 36 euro als deproductie gelijk is aan 6.

• De winst zal 36 euro benaderen als de productiegelijk is aan 11.

2 10 12 0x x

3 216 48 72x x x

3 216 48 72 0x x x

3 2 216 48 72 6 10 12x x x x x x

1 25 37 1 en 5 37 11x x

2.3 UITWERKING


11

1.1 INLEIDING VEELTERMFUNCTIES

2.4 TOEPASSING 1

Met een hoekijzer van 3 m moet Tim het geraamte van eenbalkvormig aquarium bouwen. De lengte van het aquariummoet tweemaal zolang zijn als de breedte.

a) Tim wil weten hoe de inhoud verandert als de afmetingen aangepast worden.

b) Voor welke breedte is de inhoud gelijk aan 9 liter ?

2.4 TOEPASSING 1

1) Kies een veranderlijke voor de breedte vanhet aquarium.

2) Druk de lengte en de hoogte uit in functievan die veranderlijke.

3) Schrijf de inhoud I(x) op in functie van deveranderlijke.

4) Geef het praktisch domein van deze functie.

Breedte = x (cm)

Lengte = 2x (cm)

hoogte =

I (x) = x . 2x . (75 – 3x) = –6x3 + 150x2 (cm3)

75 – 3x > 0 ⇔ x < 25pdom f = ]0, 25[

300 4 8 75 3 (cm)4

x x x

1) Kies de juiste inhoudsmaat.

2) Stel de inhoud gelijk aan 9 000.

3) Los de vergelijking op.

4) Formuleer het antwoord, rekening houdendmet het praktisch domein.

9 l = 9 dm3 = 9 000 cm3

–6x3 + 150x2 = 9 000

–6x3 + 150x2 – 9 000 = 0

x = 10 of x ≈ –6,9 of x ≈ 21,9

• De breedte is 10 cm.De hoogte is 40 cm.De lengte is 20 cm.

• De breedte is 21,9 cm.De hoogte is 9,3 cm.De lengte is 43,8 cm.

2x

2x

x x

xx

2x

2x


12

1.1 INLEIDINGVEELTERMFUNCTIES

2.5 TOEPASSING 2

Bepaal het functievoorschrift van de veeltermfunctie f van de 3de graadwaarvan de grafiek hieronder gegeven is.

2.5 TOEPASSING 2

x

y

f

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Oplossing

1) Lees de nulwaarden van f af.

2) Schrijf alle veeltermfuncties van de derde graadop met de gevonden nulwaarden.

3) Bepaal de waarde voor a door een extra puntvan de grafiek te bepalen, bv. (0, –6).

4) Schrijf de veeltermfunctie op.

–2, –1 en 3

f (x) = a (x + 2) (x + 1) (x – 3)

f (0) = –6a (0 + 2) (0 + 1) (0 – 3) = –6

a = 1

f (x) = 1(x + 2) (x + 1) (x – 3)f (x) = x3 – 7x – 6


13

2.5 TOEPASSING 2 VEELTERMFUNCTIES

Euclides werd ongeveer 365 voor Christus geboren in Alexandrië in Egypte, waar hij gedurende zijnleven ook les gaf. Hij werd beroemd door zijn boeken ‘de Elementen’, waarin hij alle meetkunde dietoen bekend was heeft samengevat.

Deze ‘Elementen’ bestaan uit 13 delen. In de eerste zes delen wordt de vlakke meetkundebehandeld, deel 7 to 9 behandelen de getallentheorie, deel 10 bevat een verhandeling overirrationale getallen en de laatste drie boeken gaan over ruimtemeetkunde. In het laatste deel gaatEuclides in op vijf regelmatige veelvlakken (de Archimedische lichamen) : het regelmatig viervlak(tetraëder), de kubus (de hexaëder), het regelmatig achtvlak (octaëder), het regelmatig twaalfvlak(dodecaëder) en het regelmatig twintigvlak (icosaëder). Hij bewijst ook dat er niet meer regelmatigeveelvlakken bestaan dan deze vijf.

De boeken hebben een opbouw die ook in de moderne tijd gebruikelijk is. Euclides begint metaxioma’s en definities en bouwt die op formele wijze uit met stellingen. De formulering van zijnredeneringen is erg helder en goed te begrijpen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat meer dan1 000 edities van zijn Elementen zijn gepubliceerd sinds 1482.

Euclides heeft ook nog andere werken geschreven, maar die zijn voor het grootste deel verlorengegaan. Hij stierf rond het jaar 300 voor Christus.

Horner was een wonderkind en studeerde reeds op zijn veertiende af als onderwijzer. Vier jaar laterwas hij schoolhoofd. In 1809 stichtte hij zijn eigen school in Bath.

In zijn vrije tijd studeerde hij wiskunde. Hij hield zich vooral bezig met het oplossen vanhogeregraadsvergelijkingen.

‘De school van Euclides’ Fragment uit ‘de Elementen’


14

OEFENINGENVEELTERMFUNCTIES

INOEFENEN

Voer de volgende Euclidische delingen uit.

Voer de volgende delingen uit door gebruik te maken van de methode van Horner.

Vergelijk het quotiënt en de rest van de volgende delingen. Wat stellen we vast?

Controleer met behulp van de reststelling of de volgende delingen opgaand zijn. Gebruik ICTter controle.

4

3

2

1

Deeltal Deler

a) 2x + 3

b)

c)

d) 3x + 4

e) x + 23 23 13 7x x x

3 23 7 7 2x x x

2 1x x4 2 2x x

24 3 2x x5 4 3 28 14 18 18 13 8x x x x x

3 26 5 3 5x x x

Deeltal Deler

a) x + 3

b) x – 3

c) x – 1

d) x + 1

e) 32

x3 26 5 4 5x x x

5 1x

3 24 3 2x x x

4 33 2 1x x x

3 28 4 4 5x x x

Deeltal Deler

a) x – 1

b) x + 1

c) x – 2

d) x + 2

e) 2x + 13 2 5x x

4 16x

7 32 28 1x x x

3 24 2 4 2x x x

3 24 2 4 2x x x

Deeltal Deler

a) 2x + 4

b) x + 23 27 5 3x x x

3 27 5 3x x x


OEFENINGEN VEELTERMFUNCTIES

15

Bepaal a zodat de volgende delingen opgaand zijn.

Gebruik het volgende schema om de gegeven veeltermen te ontbinden.

Ontbinden in factoren

Methode :1) Zonder de gemeenschappelijke factor af (buiten de haken brengen).

2) Tel het aantal termen in de veelterm.

2-term

• verschil van even machten :

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

• verschil en som van derde machten :

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

3-term

• ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)

• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

• a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

4-term

• a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

• a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

3) Regel van Horner

4) Samennemen van termen

a) e)

b) f)

c) g)

d) h) 4 2( 4) 16x5 36 27 30x x x

6 5 4 2 1x x x x x38 125x

5 4 3 23 16 88 144 80x x x x x3 26 3 10x x x

6 4 24 4x x x3 216 16 60x x x

6

5

Deeltal Deler

a) x – 2

b)

c) x + 1

d) x – 3

e) 3x4 + (8 – 3a) x3 – (6a + 8a2) x + 24 x – a

2 2 3 5a x ax

5 23 2x ax a

13

x3 23 2x x x a

23 6x ax

Uitgewerktvoorbeeld


16


Bereken de nulwaarden van de volgende functies zonder gebruik te maken van Horner.

a) f (x) = x3 + 4x2 – 5x

b) f (x) = x 4 – 1

c) f (x) = x 4 + 3x3 – x2 – 3x

d) f (x) = (x – 1) (x + 2) (3 – 6x) (x + 7)

e) f (x) = (x2 – 6x + 9)2

f) f (x) = 6x . (x – 1) (x2 – 3x + 5)

g) f (x) = (x3 – 1)2 – (1 + x3)2

h) f (x) = x 4 – 16x2

i) f (x) = –7x

j) f (x) =x x

x3

1 2+ +-

_ _i i

Bepaal de nulwaarden van de volgende veeltermfuncties.

a) f (x) = 2x3 – 4x2 – 10x + 12

b) f (x) = –4x3 + 32x2 – 75x + 54

c) f (x) = x3 – 3x2 + 20

d) f (x) = 2x 4 + 7x3 – 23x2 – 28x + 60

e) f (x) = 2x3 – 8

f) f (x) = 12x 5 + 10x 4 – 76x3 + 10x2 + 12x

g) f (x) = x6 – 16x3 + 64

h) f (x) =72- x3 +

35

x2

i) f (x) = 8x3 + 27

j) f (x) = 6x 4 – 114x3 + 114x – 6

Geef de tekentabel van de volgende veeltermfuncties.

a) f (x) = 2x (x – 1) (x + 1) (2x – 3) g) f (x) = (x + 2) (x – 3) + 4

b) f (x) = x3 – 10x2 + 7x + 2

c) f (x) = (x2 – 1) (x2 + 1) (x2 – 4)h) f (x) =

x x x3

4 6 13 2- + +

d) f (x) = (x2 – 2x + 1) (2x2 + 14x + 24) i) f (x) = x 4 + 2x2 – 3

e) f (x) = x3 – 6x2

f) f (x) = (1 – x)3 (x + 2)2 j) f (x) =32

x 4 – 4x3 + 8x2 –32222

x + 4

9

8

7



17

Los de volgende ongelijkheden op en geef de oplossingenverzameling.

a) x – 3 < 0

b) 2x2 – 32 > 0

c) x2 . (x – 1) (x + 2) (3x – 4) � 0

d) x3 + 2x2 – 5x – 6 < 0

e) x2 + 4 < 0

f) (x + 5) (2x – 6) < 4

g)x

25+

�x3

2 3-

h) (x – 3) (x2 – 5x + 1) � x2 – 9

i) x 4 � x2

j) 5 < 3x2 + 5x + 5

Bereken de snijpunten van de grafieken van de volgende functies.11

10

Eerste functie Tweede functie

a) f (x) = x2 – 4x + 4 g (x) = –x2 + 4x – 2

b) f (x) = x3 – 3x g (x) = 2x2 + 2x – 6

c) f (x) = x 4 – 4x2 + 4 g (x) = –2x3 + 2x + 1

d) f (x) = x3 + 2x2 – 4 g (x) = x2 + 4x

e) f (x) = x3 – x2 + x – 1 g (x) = 3x – 1


18


TOEPASSEN

Plaats bij elke grafiek het juiste voorschrift.

a) f (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 3)

b) f (x) = (x – 2) (x2 + 1)

c) f (x) = (x – 2) (–x2 – 1)

d) f (x) = (x + 2) (x – 1) (x + 1)

12

x

y

−π 0 π

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2

3 4



19

Plaats bij elke grafiek het juiste voorschrift.

a) f (x) = x3 + x

b) f (x) = x3 – x

c) f (x) = x3 – x2 – 2x

d) f (x) = x3 + x2 – 2x

13

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2

3 4


20


In het volgende assenstelsel staan de grafieken van drie functies afgebeeld. Als we weten dat deabsolute waarde van de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm telkens 0,5 is, geef dan hetvoorschrift van elke functie.

14

x

y

7- 6- 5- 4- 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 5 6 70

f

h

g



21

Het gedrag op oneindig kunnen we op verschillende manieren bepalen. Geef dat aan metbehulp van de limietnotatie.a) Gegeven : de grafiek van enkele functies.

b) Gegeven : het voorschrift van enkele veeltermfuncties.

f (x) =21

x3 – 2x2 + 5

g (x) = – 6x 4 + x2 – 5

h (x) = (1 – 3x) (1 + x) (x + 5)

Geef een voorbeeld van een veeltermfunctie die aan de gegeven voorwaarden voldoet. Gebruik ICT ter controle.

a) De graad is 1, de helling is 2 en het snijpunt met de y-as is (0 ; 2,5).

b) De graad is 2, de top is (6,5 ; 2,25) en de grafiek is een dalparabool.

c) De graad is 2 en alle functiewaarden zijn negatief.

d) De graad is 2, de functie heeft één nulwaarde x = 2 en de functiewaarden zijn positief.

e) De graad is 6 en de tekentabel is :

x –2 –1 0 1 2

f (x) + 0 + 0 – 0 – 0 + 0 +

f) De graad is 12 en de functie heeft precies één nulwaarde1.

g) De nulwaarden van de functie zijn 1, 2 en 3. Zij hebben respectievelijk als multipliciteit 1, 2en 3 (dat is het aantal maal dat een nulwaarde als nulwaarde van de functie voorkomt).

16

15

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f

g

h


22


EXTRA

De 6de-jaarsstudenten van het college starten een mini-onderneming in het kader van de projectweek. Wenskaartenbrachten hen op het idee wens-cd’s te ontwerpen ente produceren. Daarvoor hebben ze een grondige kosten-batenanalyse uitgevoerd in samenwerking met de leerkrachteconomie. Die analyse leverde het volgende resultaat opwaarbij de opbrengst O weergegeven wordt in functie van c,het aantal verkochte wens-cd’s.

O (c) = 0,1c 3 – 2c 2 + 0,1c – 2

a) Wat is de graad van de bovenstaande functie?b) Hoeveel nulwaarden heeft die functie maximaal?c) Bepaal met behulp van ICT het werkelijk aantal verschillende nulwaarden van die functie.d) Bereken de nulwaarde(n) van die functie.e) Stel de tabel op van die functie voor c ∈ [–10, 60] in stapjes van 10 en teken de overeen-

komstige grafiek.f) Geef een betekenis aan de gevonden nulwaarde(n) binnen het kader van deze opgave.g) Kleur het praktisch domein op de grafiek van opgave e.h) Hoeveel cd’s moeten de studenten verkopen om de winst boven 300,00 euro te houden?

De volgende functie toont het traject (T ) afgelegd door een auto om van het centrum van hetdorp A tot het centrum van het dorp D te rijden, waarbij x de afstand in km voorstelt.

T (x) =15151

(x 4 – 56x3 + 638x2 + 1400x – 16575)

a) Bepaal de afstand in vogelvlucht tussen de twee dorpen.b) Toon aan dat het dorp C precies in het midden ligt van de afstand in vogelvlucht tussen de

centra van de dorpen A en D.

18

17

x

y

-6 -5 -4 -3 0-1-2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 43 44

A B C D

1 2



23

Bij de firma Klop worden dagelijks een aantal kliefhamersgeproduceerd. De kostenfunctie (= de gezamenlijkeproductiekosten) is f(x) = 3x3 – 15x2 + 36x + 24 ende omzetfunctie (= inkomsten) is g (x) = 30x, waarbijx uitgedrukt is in 100 stuks en g (x) en f (x) in 100 euro.

a) Teken de grafiek van f en g in een zinvol venster.b) Bij welke productie bedragen de kosten 57 000 euro?c) Bij welke productie is de omzet 33 000 euro?d) Wanneer wordt er met winst verkocht (dat wil zeggen omzet groter dan kosten)?

De bevolking van een Limburgse gemeente is sinds 1980 geëvolueerd volgens de functief (x) = 5x3 – 85x2 + 80x + 4 000, waarbij x = 0 overeenkomt met het jaar 1980.

a) Teken de grafiek van f in een zinvol venster.b) Hoeveel inwoners waren er in 1980? Waar vinden we dit punt terug op de grafiek?c) Wanneer zullen er 31000 inwoners zijn?d) In welke periode was het aantal inwoners kleiner dan 14500?

De prijs van een video is afhankelijk van verschillende factoren, zoals nieuwe technologieën,verkoopcijfers, concurrentie ...In 1990 bedroeg de prijs nog 1000 euro. De volgende functie berekent de prijs van de videovanaf 1990.

y = –43

x3 + 10x2 – 59x + 1000

a) Teken de grafiek van de functie in een zinvol venster.b) Wat is de prijs van een video in 2010? Is dat realistisch?c) Wanneer zal de prijs opnieuw 1000 euro bedragen?

Om de wachttijden aan de kassa van een supermarkt te verkorten, wordt besloten degemiddelde wachttijd (in minuten) voor elk uur te meten. De volgende veeltermfunctie geeftdie metingen weer. De supermarkt sluit om 19 uur.

(tijdstip 0 = 9 uur)

a) Teken de grafiek van de functie in een zinvol venster.b) Wanneer is de wachttijd het grootst (met ICT)?c) Wanneer is de wachttijd groter dan 1 minuut?

3 20,02 0,3 1y x x x

22

21

20

19


24


Een projectiel wordt afgeschoten met een beginsnelheid van v0 m/s, onder een hoek a in deoorsprong van een orthonormaal assenkruis. De ballistiek probeert aan te tonen dat de baandie het voorwerp onder die voorwaarden volgt, gegeven wordt door

y =. coscosv a

5

02 2

- x2 + x . tana

Op een mooie dag volgen we het lokaal kampioenschap kleiduifschieten en merken we dat dekleiduif altijd onder een hoek van 45° en met een beginsnelheid van 20 m/s weggeschotenwordt. Een schutter richt zijn geweer onder een hoek van 30° en de kogel verlaat de loop vanzijn geweer met een beginsnelheid van 50 m/s.

a) Volgens welke kromme bewegen de kleiduif en de kogel zich voort?b) Wat is het hoogste punt dat de kleiduif bereikt als de kogel de kleiduif mist ? Hoe ver van het

startpunt (oorsprong) komt de kleiduif dan neer?c) Wat is de grootste hoogte die de kogel onder dezelfde voorwaarde bereikt ? Waar komt de

kogel dan neer?d) Als de schutter op het juiste ogenblik afdrukt, bereken dan de hoogte en de afstand van het

punt waar de kogel de kleiduif zal raken.

Gegeven de veeltermen x 2 + 1, x 3 + 1, x 4 + 1, x 5 + 1, x 6 + 1. Hoeveel van die veeltermenkunnen ontbonden worden als product van veeltermen met reële coëfficiënten?

(bron : Vlaamse Wiskunde-Olympiade)

24

23

A B C D E

0 1 2 3 4



25

A B C D

–2 –1 0 1

A B C D E

8 128 512 65536 25632

Als a en b gehele getallen zijn zodat x 2 – x – 1 een factor is van ax 3 + bx 2 + 1, dan is b gelijk aan


De som van de kwadraten van de reële oplossingen van is


Oefening : voorschrift van veeltermfuncties bepalenOefening : Euclidische delingOefening : deelbaarheid van veeltermenOefening : tekenverloop van veeltermfunctiesOefening : tekenverloop van veeltermfuncties en rationale functiesOefening : snijpunten van veeltermfuncties bepalenOefening : ongelijkheden oplossen

256 32256 0x26

25


26



(5 ASO H2 zwak leerboek) - Nieuw Netwerk Nederlandspienter.methodesites.be/images/LB5H2.pdf · 2...

Documents

Transcript of (5 ASO H2 zwak leerboek) - Nieuw Netwerk Nederlandspienter.methodesites.be/images/LB5H2.pdf · 2...