1

Kipstabiliteit van stalen liggers met kipsteunen

ir. R.H.J. (Rick) Bruins Ingenieursbureau Wassenaar

prof. ir. H.H. (Bert) Snijder TU Eindhoven, faculteit Bouwkunde

ir. H.M.G.M. (Henri) Steenbergen TNO

dr. ir. J.C.D. (Hans) Hoenderkamp TU Eindhoven, faculteit Bouwkunde

Samenvatting

Kipsteunen worden vaak gebruikt toegepast bij op buiging belaste stalen liggers om de draagkracht te vergroten. Meestal is het mogelijk om ze te plaatsen op posities waar ze veel effect hebben. In het geval van één kipsteun is de optimale positie daar waar de knikvorm de grootste uitbuiging vertoont indien die kipsteun niet aanwezig zou zijn. Maar soms kan een kipsteun niet op de optimale positie worden aangebracht. Bovendien zijn kipsteunen niet volledig stijf maar bezitten ze een zekere mate van flexibiliteit. Het is de vraag of de toetsingsregels voor kipstabiliteit van op buiging belaste liggers de draagkracht correct voorspellen bij niet optimaal geplaatste enigszins flexibele kipsteunen. Door middel van een eindig-elementen-model is onderzocht wat de invloedsfactoren zijn op de draagkracht van een stalen ligger die gesteund wordt door een kipsteun, waarbij is gevarieerd met de positie van de kipsteun over de lengte en hoogte van het profiel. Er is een vergelijking gemaakt tussen de draagkracht berekend met een numeriek model en de draagkracht volgens de kipkrommen van NEN-EN 1993-1-1 (Eurocode3) [1]. NEN-EN 1993-1-1 kent algemeen geldige kipkrommen (art. 6.3.2.2) en kipkrommen die specifiek geldig zijn voor gewalste of equivalente gelaste profielen (art. 6.3.2.3). Uit de vergelijking van draagkrachten van liggers gesteund door kipsteunen volgt dat de algemeen geldige kipkrommen goed resultaten geven. Met de kipkrommen die specifiek geldig zijn voor gewalste of equivalente gelaste profielen wordt vaak een draagkracht gevonden die te hoog is. Er wordt aangeraden om bij de toepassing van kipsteunen te toetsen met de kipkrommen volgens de algemene methode.

Inleiding

Een ongesteunde op buiging belaste ligger kan instabiel worden door kip. In dat geval zal de gedrukte flens zijdelings uitknikken en vervormen, terwijl de getrokken flens in mindere mate deze vervorming volgt. Daardoor roteert de doorsnede. De eventueel op de ligger aanwezige belasting zal mee verplaatsen, wat weer tot extra krachten en vervormingen leidt. Kipsteunen worden vaak toegepast om de draagkracht van stalen liggers die gevoelig zijn voor kipinstabiliteit te verhogen. Kipsteunen verhinderen dan vervormingen uit het vlak van de belasting. Deze kipsteunen worden in het gunstigste geval geplaatst op posities waar ze het effectiefst zijn. Voor starre steunen is de positionering eerder onderzocht in [2]. In de praktijk zijn kipsteunen vaak niet volledig stijf maar enigszins flexibel. De vraag is dan ook of de invloed van het niet optimaal plaatsen van flexibele kipsteunen correct in rekening wordt gebracht door de toetsingsregels van NEN-EN 1993-1-1 (Eurocode 3).

In dit artikel wordt een stalen I-vormige ligger beschouwd die is voorzien van één kipsteun. De ligger wordt op buiging belast om de sterke as, de overspanning van de ligger wordt gevarieerd en er worden verschillen

2

belastingsconfiguraties beschouwd. Kipinstabiliteit is maatgevend. De positie van de kipsteun wordt gevarieerd. In Figuur 1 wordt schematisch de positie van een kipsteun aan het stalen I-profiel weergegeven. De xr-coördinaat bepaalt de positie van de kipsteun in lengterichting van het I-profiel; de zr-coördinaat bepaalt de positie van de kipsteun in de hoogte van het I-profiel.

z

xy

xr

zr

Figuur 1: Positie van een kipsteun

In dit artikel wordt eerst een overzicht gegeven van de toetsingsregels, vervolgens wordt het eindig-elementen-model beschreven. Daarna wordt de parameterstudie toegelicht en wordt de invloed onderzocht van de positie van de kipsteun op het kritieke elastische kipmoment. Tevens wordt nagegaan wat de benodigde veerstijfheid is afhankelijk van de positie van de kipsteun. In een rekenvoorbeeld worden ter illustratie voor één situatie (profiel, belastingsconfiguratie, overspanning, positie van de kipsteun) de draagkrachten berekend met de toetsingsregels en met het eindig-elementen-model. Vervolgens worden de resultaten van de berekeningen van de draagkracht vergeleken met die volgens NEN-EN 1993-1-1 en worden conclusies getrokken.

Toetsingsregels

In NEN-EN 1993-1-1 zijn verschillende methoden gegeven om de rekenwaarde van de kipweerstand (draagkracht) van een op buiging belaste ligger te bepalen. De volgende drie methoden worden hierna behandeld:

- de Algemene Methode (AM), waarbij de algemeen geldige kipkrommen van art 6.3.2.2 worden gebruikt;

- de Specifieke Methode (SM), waarbij de kipkrommen van art. 6.3.2.3 worden gebruikt, die specifiek geldig zijn voor gewalste of equivalente gelaste profielen;

- de Gemodificeerde Specifieke Methode (GSM), waarbij de kipkrommen van art. 6.3.2.3 worden gebruikt, die specifiek geldig zijn voor gewalste of equivalente gelaste profielen en waarbij de reductiefactor wordt gemodificeerd.

Voor alle drie de methoden geldt voor de rekenwaarde van de kipweerstand:

1, MyyLTRdb fWM γχ= (1)

Hierin is:

RdbM , de rekenwaarde van de kipweerstand;

LTχ de reductiefactor (kipfactor);

3

yW het weerstandsmoment:

yply WW ,= voor doorsneden van klasse 1 en 2

yely WW ,= voor doorsneden van klasse 3

yeffy WW ,= voor doorsneden van klasse 4;

yf de vloeigrens;

1Mγ de partiële factor voor de weerstand ( 0,11 =Mγ ).

De reductiefactor (kipfactor) hangt onder andere af van de relatieve slankheid, waarvoor geldt:

cr

yyLT M

fW=λ (2)

Hierin is:

LTλ de relatieve slankheid;

crM het kritieke elastische kipmoment.

Algemene Methode

Bij de Algemene Methode worden de algemeen geldige kipkrommen van art. 6.3.2.2 van NEN-EN 1993-1-1 gebruikt voor de reductiefactor LTχ in formule (1):

1122

≤−Φ+Φ

=LTLTLT

LT

λχ (3)

( ){ }2

2.015.0 LTLTLTLT λλα +−+=Φ (4) Hierin is:

LTΦ een hulpparameter;

LTλ de relatieve slankheid;

LTα de imperfectiefactor.

Indien 4.0≤LTλ of 16,04,0 220, ==≤ LTcrEd MM λ dan geldt 0,1=LTχ ; hierin is EdM de rekenwaarde van het

buigend moment. In de Nationale Bijlage bij NEN-EN 1993-1-1 is de aanbevolen waarde voor 4.00, =LTλ overgenomen.

De eerste conditie vergroot de zogenaamde ‘plateaulengte’ in de kipkrommen en geeft een sprong in de kipkrommen bij 4.0=LTλ . De tweede conditie kan ook anders worden geschreven met behulp van de factor Edcrcr MM=α , waarmee de rekenwaarden van de belastingen moeten worden verhoogd om elastische instabiliteit te veroorzaken:

16,01 ≤crα ofwel 25,6≥crα . Dus als de ligger relatief laag belast is ( EdM is klein ten opzichte van crM ) dan

4

is de factor crα groot en als deze factor groter is dan 6,25 dan is kipinstabiliteit niet aan de orde, vergelijkbaar met 10≥crα voor het mogen verwaarlozen van tweede-orde sway-effecten bij raamwerken.

De imperfectiefactor LTα hangt af van de te gebruiken kipkromme. De aanbevolen kipkrommen die in de Nederlands Nationale Bijlage zijn overgenomen, zijn gegeven in tabel 1 en de bijbehorende imperfectiefactor volgt met tabel 2.

Tabel 1: Kipkrommen – algemeen (Algemene Methode)

Doorsnede Begrenzing Kipkromme

Gewalste I-profielen

h/b ≤ 2 h/b > 2

a b

Gelaste I-profielen

h/b ≤ 2 h/b > 2

c d

Andere doorsneden - d

Tabel 2: Imperfectiefactor LTα

Kipkromme a b c d

Imperfectiefactor αLT 0.21 0.34 0.49 0.76

Specifieke Methode

Bij de Specifieke Methode worden de kipkrommen die specifiek geldig zijn voor gewalste of equivalente gelaste profielen van art. 6.3.2.3 van NEN-EN 1993-1-1 gebruikt voor de reductiefactor LTχ in Formule (1):

222

1en11

LTLTLTLT

LTλλβ

χ ≤≤−Φ+Φ

= (5)

( ){ }2

0,15.0 LTLTLTLTLT λβλλα +−+=Φ (6) Hierin is:

β een parameter waarvoor geldt 75,0≥β met als default waarde 75,0=β , en die waarde is in de Nederlandse Nationale Bijlage overgenomen;

0,LTλ een parameter die een maat is voor de ‘plateaulengte’ van de kipkromme en waarvoor geldt 4,00, ≤LTλ met als default waarde 4,00, =LTλ , en die waarde is in de Nederlandse Nationale Bijlage overgenomen.

5

De imperfectiefactor LTα hangt weer af van de te gebruiken kipkromme. De aanbevolen kipkrommen die in de Nederlands Nationale Bijlage zijn overgenomen, zijn gegeven in tabel 3 en de bijbehorende imperfectiefactor volgt met tabel 2.

Tabel 3: Kipkrommen – gewalste of equivalente gelast profielen (Specifieke Methode)

Doorsnede Begrenzing Kipkromme

Gewalste I-profielen

h/b ≤ 2 h/b > 2

b c

Gelaste I-profielen

h/b ≤ 2 h/b > 2

c d

Gemodificeerde Specifieke Methode

Bij de Gemodificeerde Specifieke Methode wordt de reductiefactor LTχ van formule (5) als volgt gemodificeerd:

fLT

LTχχ =mod, (7)

Hierin is:

mod,LTχ de gemodificeerde reductiefactor (kipfactor);

LTχ de reductiefactor volgens formule (5);

f een factor waarvoor de volgende formule die in de Nederlandse Nationale Bijlage is overgenomen, wordt aanbevolen:

( ) ( ){ } 0,18.02115.012≤−−−−= LTckf λ (8)

Hierin is:

ck een correctiefactor afhankelijk van de momentenverdeling volgens tabel 4.

De waarde ck varieert van 1,0 voor een constant buigend moment tot 0,60 voor twee tegengestelde eindmomenten ( 1−=ψ in tabel 4).

De reductiefactor wordt volgens formule (7) gemodificeerd om de momentenverdeling en het corresponderende gunstige effect van gereduceerde plastische zones in rekening te brengen [3]. Bij de Gemodificeerde Specifieke Methode wordt mod,LTχ gebruikt in formule (1).

6

Tabel 4: Correctiefactoren kc

Vergelijking van kipkrommen Indien in de formules (5) en (6) 0,1=β en 2,00, =LTλ wordt ingevuld reduceren de knikkrommen die specifiek gelden voor gewalste of equivalente gelaste profielen tot de algemeen geldige knikkrommen van de formules (3) en (4). De parameters voor gewalste I-profielen die in de formules (5) en (6) moeten worden ingevuld voor de Algemene Methode en de Specifieke Methode zijn weergegeven in tabel 5.

Tabel 5: Parameters in de Formules (5) en (6) voor gewalste I-profielen

Algemene Methode (AM)

Specifieke Methode (SM)

β 1,0 0,75 , 0LTλ 0,2 0,4

LTα (h/b ≤2) 0,21 0,34

LTα (h/b >2) 0,34 0,49

Door voor de verschillende methoden de reductiefactoren LTχ uit te zetten tegen de relatieve slankheid is het mogelijk om de kipkrommen te vergelijken. In figuur 2 zijn de verschillende kipkrommen uitgezet voor gewalste I-profielen met h/b ≤2, waarbij ook voor de Gemodificeerde Specifieke Methode een aantal kipkrommen is geplot voor verschillende waarden van ck . Omdat de Algemene Methode al jaren in Nederland in gebruik is geweest (NEN6770/6771) wordt deze als benchmark gebruikt. In figuur 3 is voor

7

dezelfde profielen het verschilpercentage in kipfactor uitgezet tegen de relatieve slankheid. Het verschilpercentage is berekend als:

,( ) ,

,

LT G SM LT AM

LT AM

χ χχ

−Δ = (9)

De Specifieke Methode is bij relatieve slankheden 25,1>LTλ meer dan 10% gunstiger dan de Algemene Methode. De Gemodificeerde Specifieke Methode is gunstiger dan de Specifieke Methode in de slankheidrange van 4,0=LTλ tot 5071,1=LTλ . Bij 5071,1=LTλ wordt de term tussen accolades in formule (8) gelijk aan nul. De Gemodificeerde Specifieke Methode geeft een tot ca. 30% gunstigere draagkracht dan de Algemene Methode.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

χ  

λ

kc  0,6

kc  0,7

kc  0,8

kc  0,9

SM

AM

Euler

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

Δ

λ  

kc  0,6

kc  0,7

kc  0,8

kc  0,9

SM

Figuur 2: Kipkrommen voor I-profielen met h/b ≤ 2 Figuur 3: Verschilpercentage tussen kipkrommen van

de (Gemodificeerde) Specifieke Methode en die van de Algemene Methode voor I-profielen met h/b ≤ 2

Kritieke elastische kipmoment

In formule (2) voor de bepaling van de relatieve slankheid is bij alle drie de methoden telkens het kritieke elastische kipmoment crM nodig. Het kritieke elastische kipmoment is gebaseerd op de bruto doorsnede-eigenschappen en houdt rekening met de wijze van belasten, de momentenverdeling en zijdelingse steunen. Het bepalen van het kritieke elastische kipmoment wordt in NEN-EN 1993-1-1 overgelaten aan de ontwerper; voor Nederland is de bepaling hiervan opgenomen in de Nationale Bijlage bij NEN-EN 1993-1-1.

Eindig-elementen-model

De kipweerstand kan behalve met behulp van toetsingsregels ook worden bepaald door middel van een eindig-elementen-model (EEM). Met het eindig-elementen-model kan ook het kritieke elastische kipmoment worden bepaald. Met het EEM worden dus twee typen analyses gemaakt. Ten eerste wordt een Lineaire Knik Analyse (Linear Buckling Analysis, LBA) uitgevoerd, ook wel Eulerse kipberekening genoemd, ter bepaling van het kritieke elastische kipmoment en de Eulerse kipvorm. Het kritieke elastische kipmoment wordt gebruikt om de relatieve slankheid te bepalen (formule 2), die nodig is voor de toetsingsregels van NEN-EN 1993-1-1 (Eurocode 3). Ten tweede wordt een Geometrisch en Materiaal Niet-lineaire Imperfectie Analyse uitgevoerd (Geometrical and Materiaal Non-linear Imperfection Analysis, GMNIA) waarmee de kipweerstand kan worden bepaald. Deze analyses zijn uitgevoerd met het eindige elementen programma ANSYS v10.0.

Model

8

De flenzen en het lijf van het profiel en de verstijvingschotten ter plaatse van krachtsinleidingen worden gemodelleerd met schaalelementen. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van 4-knoops SHELL181 elementen gebaseerd op de Mindlin-Reissner schaaltheorie. Er is gebruik gemaakt van 9 integratiepunten over de dikte van de schaal elementen en een gereduceerd integratieschema. De flenzen en lijven worden elk met 8 elementen gemodelleerd (totaal 24 elementen per sectie) met een lengte van 100 mm.

Het gebruik van schaalelementen om de doorsnede te modelleren introduceert een discretisatiefout, zie figuur 4. Immers de afrondingsstralen worden niet gemodelleerd en een deel van de doorsnede wordt twee keer in rekening gebracht. Uit eerder onderzoek is gebleken dat de torsiestijfheid door deze modellering met ca. 30% wordt onderschat. Deze discretisatiefouten worden gecompenseerd door het gebruik van compensatie-elementen. Deze elementen (elastisch/plastische RHS profiel) worden geplaatst op de flens/lijf-aansluitingen waarbij hun afmeting zo bepaald zijn dat de profieleigenschappen overheen komen met de nominale doorsnede-eigenschappen. Hiervoor zijn BEAM188 elementen gebruikt, dit zijn 2-knoops 3D- balkelementen.

Oppervlak dat twee keer is gemodelleerd

(a) Nominale doorsnede (b) Discretisatiefout door gebruik schaal- elementen

Positie van compensatie- elementen

Figuur 4: Discretisatiefout Figuur 5: Compensatie-elementen

Aan de staafuiteinden zijn gaffelopleggingen aanwezig. De oplegcondities zijn daarom als volgt gemodelleerd. Ter plaatse van de flens/lijf-aansluiting is de verplaatsing in de y-richting verhinderd; ter plaatse van het hart van de doorsnede zijn de verplaatsingen in y- en z-richting verhinderd voor een scharnierende oplegging; voor een rolscharnier is vanzelfsprekend alleen de verplaatsing in de z-richting verhinderd. Bij een inklemming is aanvullend de verplaatsing van het volledige lijf in x-richting verhinderd (zie figuur 6). Om de doorsnede bij de oplegging vormvast te maken zijn ter plaatse van de opleggingen extra balkelementen toegevoegd. Deze balkelementen hebben een grote buigstijfheid maar een geringe axiale en torsiestijfheid, waardoor de oplegkrachten gelijkmatig in het schaalelementenmodel worden ingeleid en het lijf en de flenzen vormvast blijven, zonder dat de welving van de einddoorsnede wordt verhinderd.

Wat geldt voor de krachtsinleidingen bij de opleggingen geldt vanzelfsprekend ook voor de krachtinleidingen bij puntlasten en kipsteunen. Omdat de focus van het onderzoek ligt op de globale krachtswerking wordt ter plaatse van krachtsinleidingen op de ligger gebruik gemaakt van schotten (t = 10mm), zie figuur 7.

9

De kipsteunen in het model worden door middel van translatieveren gemodelleerd, zodat alleen de axiale stijfheid in rekening kan worden gebracht. De translatieveer werkt in y-richting en is aan de ene kant verbonden met een knoop op de verticale symmetrielijn van het I-profiel en aan de andere kant met een oplegknoop waarvan de verplaatsing in y-richting is verhinderd (figuur 8). De verplaatsingen in x- en z-richting van de oplegknoop zijn gekoppeld met die van de knoop op de verticale symmetrielijn zodat er geen onbedoelde krachten in de oplegknoop worden opgewekt bij grote vervormingen.

z

x

y

uy=0 Kipsteun

Koppeling van uz and ux

Figuur 8: Modellering van de kipsteun

Imperfecties

De kipweerstand wordt gevonden door middel van een GMNIA. Hierbij moeten imperfecties in rekening worden gebracht. Er worden twee typen imperfecties aangebracht: een geometrische imperfectie en een restspanningspatroon. De vorm van de geometrische imperfectie is door middel van een LBA bepaald voor de ligger zonder kipsteunen. De vorm van de imperfecties die wordt aangehouden is de Eulerse kipvorm. De amplitude van de imperfectie is 1/1000 L, waarbij voor L de afstand tussen de gaffelopleggingen wordt genomen. Deze imperfectievorm met bijbehorende amplitude is een algemeen geaccepteerde aanname, in het geval dat expliciet ook nog een restspanningspatroon in rekening wordt gebracht. Deze vorm van geometrische imperfectie van de ongesteunde ligger is gekozen, enerzijds omdat de ligger verondersteld wordt een imperfectievorm te hebben al voor de kipsteun wordt aangebracht en anderzijds omdat hierbij ook de kipsteun wordt aangesproken.

NEN-EN1993-1-1 geeft geen handreiking geeft voor restspanningen. De restspanningen worden aangebracht conform het algemeen geaccepteerd patroon volgens figuur 9 met σini = 1/3 fy [4].

(a) Gaffeloplegging (b) Gaffeloplegging bij inklemming

Stijve elementen

Stijve elementen

yz

x

Verstijvings-schot

Figuur 6: Oplegcondities Figuur 7: Verstijvingsschot t.p.v. krachtsinleidingen

10

+

+

-

- -

- -

+

+

σini

σini

σini

σini

σini

σini

Figuur 9: Restspanningspatroon [4]

Materiaal

Voor alle analyses is staalsoort S235 met yf = 235 N/mm² gekozen. Er is daarbij gebruik gemaakt van een

bilineair spannings-rek-diagram, met een E-modulus van 210000 N/mm² met een horizontaal vloeiplateau.

Parameterstudie

Met het beschreven EEM wordt een parameterstudie uitgevoerd. Er wordt gevarieerd in belastingsconfiguratie, overspanning, positie en stijfheid van de kipsteun. In alle analyses is uitgegaan van een IPE240 profiel.

Belastingsconfiguraties

Er worden drie belastingsconfiguraties onderzocht: • belastingsconfiguratie 1: een puntlast in het midden op een vrij opgelegde ligger (figuur 10a); • belastingsconfiguratie 2: een gelijkmatig verdeelde belasting op een vrij opgelegde ligger (figuur 10b); • belastingsconfiguratie 3: een puntlast op een eenzijdig ingeklemde ligger (figuur 10c).

De belasting grijpt telkens aan in het hart van de bovenflens.

L

½ L ½ L

F q F

L L

½ L ½ L

(a) belastingsconfiguratie 1 (b) belastingsconfiguratie 2 (c) belastingsconfiguratie 3

Figuur 10: Belastingsconfiguraties

Overspanningen

11

Voor belastingsconfiguratie 1 worden drie overspanningen onderzocht: 3600 mm (= 15 x de profielhoogte h), 5400 mm (= 22,5 x h) en 7200 mm (= 30 x h). Voor de belastingsconfiguraties 2 en 3 wordt één overspanning beschouwd: 7200 mm (= 30 x h).

Posities van de kipsteun

Er wordt vooral ook gevarieerd met de positie van de kipsteun. Hiervoor worden 5 posities over de hoogte van de ligger en 11 posities over de lengte van het profiel genomen (figuur 1): • xr = 0,083L, 0,167L, 0,250L, 0,333L, 0,417L, 0,500L, 0,583L, 0,667L, 0,750L, 0,833L, 0,916L; • zr = 115,10 mm (hart bovenflens), 57,55 mm, 0 mm (neutrale lijn), -57,55 mm, -115,10 mm (hart

onderflens).

Stijfheden van de kipsteun

Ook de axiale stijfheid van de kipsteunen wordt gevarieerd. De axiale stijfheid van een (oneindig stijve) starre kipsteun wordt aangeduid met K∞. Een starre steun wordt in de praktijk vaak niet gerealiseerd. Kipsteunen hebben altijd een zekere mate van flexibiliteit en dus een eindige axiale stijfheid. Naar mate de axiale stijfheid van een kipsteun afneemt, neemt ook het kritieke elastische kipmoment Mcr af. De axiale stijfheid die nodig is om n% van Mcr te behalen, indien de kipsteun oneindig stijf zou zijn geweest, wordt aangeduid met Kn%. Voor belastingsconfiguratie 1 met een overspanning van 7200 mm worden de volgende axiale stijfheden gebruikt: K95% , K99% en K∞ . Voor belastingsconfiguratie 1 met andere overspanningen en voor de beide andere belastingsconfiguraties wordt de axiale stijfheid K95% gebruikt.

Invloed van de positie van de kipsteun op het kritieke elastische kipmoment

Voor belastingsconfiguratie 1 met een overspanning van 7200 mm is in figuur 11de invloed van de positie van een oneindig stijve kipsteun (K∞) op het kritieke elastische kipmoment Mcr weergegeven. Op de horizontale as is de positie van de kipsteun over de lengte van het profiel weergegeven en op de verticale as het kritieke elastische kipmoment. In totaal zijn 5 lijnen weergegeven, één voor elk van de 5 posities van de kipsteun in de hoogte van het profiel. Tevens is voor een aantal posities van de kipsteun de Eulerse kipvorm getekend: blauw geeft de gedrukte bovenflens weer, zwart de neutrale lijn en rood de getrokken onderflens. Als de kipsteun wordt aangebracht op de getrokken onderflens dan heeft de kipsteun geen significante invloed op het kritieke elastische kipmoment. De kipsteun is dan aangebracht op een positie dat hij niet effectief is. Significant wordt de invloed van de kipsteun op het kritieke elastische kipmoment indien hij aangrijpt ter hoogte van de neutrale lijn of dichter bij de gedrukte bovenflens. Voor de plaatsing over de lengte van de ligger geldt dat een kipsteun in het midden effectiever is dan een kipsteun op een positie uit het midden van de ligger. Immers de ongesteunde ligger heeft bij kipinstabiliteit de grootste verplaatsing in het midden. Naarmate de kipsteun dichter bij de opleggingen wordt geplaatst wordt hij steeds minder effectief. Vanzelfsprekend is de invloed van de kipsteun op het kritieke elastische kipmoment het grootst ter plaatse van het midden van de ligger en indien hij aangrijpt op de gedrukte bovenflens. Dit is de optimale positie: als de kipsteun wordt weggelaten heeft de Eulerse kipvorm hier de grootste uitbuiging. Het is opvallend dat een kipsteun in het midden van de ligger op driekwart hoogte even veel effect heeft als een kipsteun in het midden van de ligger aangebracht aan de gedrukte bovenflens. Dit wordt veroorzaakt doordat de kipvorm verandert van een halve sinus in de gedrukte bovenflens in een hele sinus zodra een oneindig stijve kipsteun in het midden van de ligger aangrijpt op ca. zr = 43 mm van het hart van de gedrukte bovenflens (figuur 12). Het dichter bij de gedrukte bovenflens laten aangrijpen van de

12

kipsteun heeft geen invloed op het kritieke elastische kipmoment. In art. 6.3.2.5(2) van de Nationale Bijlage bij NEN-EN 1993-1-1 [5] staat vermeld dat ‘de zijdelingse (kip)steunen moeten zijn aangebracht op een afstand niet groter dan 1/3 van de profielhoogte van die flens die de grootste zijdelingse verplaatsing zou ondergaan, indien de desbetreffende steunen niet aanwezig zouden zijn’. Bij het hier gekozen profiel IPE240 met een hoogte van 240 mm moet de kipsteun dus binnen een afstand van 1/3 x 240 = 80 mm van de gedrukte bovenflens worden geplaatst. Dat betekent, indien van het hart van de gedrukte bovenflens wordt uitgegaan, op een hoogte zr = 115,1 – 80 = 35,1 mm of hoger. Soortgelijke figuren als figuur 11 worden ook verkregen voor de overige belastingsconfiguraties en overspanningen; zie hiervoor [6].

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 6600 7200

Kriti

ek e

last

sich

kip

mom

ent [

kNm

]

Positie kipsteun over lengte van het systeem (x )

115.1

57.55

0

-57.55

-115.1

F

L1/2 L 1/2 Lx

Positie kipsteun in de hoogte z

Mcr;100%

r

r

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000l

4

2

2

4

u

Upper Flange

Centroid

Lower Flange

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

l

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

u

Upper Flange

Centroid

Lower Flange

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

l

0.5

1

1.5

u

Upper Flange

Centroid

Lower Flange

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

l

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

u

Upper Flange

Centroid

Lower Flange

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

l

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

u

Upper Flange

Centroid

Lower Flange

Figuur 11: Gunstige invloed van een kipsteun op het kritieke elastische kipmoment Mcr voor belastingsconfiguratie 1 en L = 7200mm

-115.1 -86.325 -57.55

-28.775 0

28.775 57.55

86.325 115.1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Kritisch elastisch moment [kNm]

Posi

tie k

ipst

eun

in d

e ho

ogte

(zr)

[mm

] [m

m]

Hart bovenflens

Hart onderflens

Zwaartepuintt

Hele sinus Halve sinus

Figuur 12: Effect van de positie in de hoogte (zr) van een starre kipsteun op xr= 3600mm voor belastingsconfiguratie 1.

13

Benodigde axiale stijfheid afhankelijk van positie kipsteunen

Voor belastingsconfiguratie 1 met een overspanning van 7200 mm zijn in figuur 13 de axiale stijfheden K95% en K99% van de kipsteun weergegeven afhankelijk van de positie van de kipsteun. Eerst wordt het effect van de positie van de kipsteun over de lengte beschouwd. De axiale stijfheid bij de opleggingen loopt behoorlijk op en ter plaatse van het midden van de ligger is een kleine axiale stijfheid van de kipsteun al voldoende. De hoge axiale stijfheid bij de opleggingen komt voort uit het feit dat een kipsteun op deze positie niet erg effectief is en dus is veel axiale stijfheid nodig om toch nog 95% (of 99%) van het kritieke elastische kipmoment te halen. In het midden van de ligger daarentegen is de kipsteun zeer effectief en volstaat een geringe axiale stijfheid. Vervolgens wordt het effect van de positie van de kipsteun in de hoogte met name nabij het midden van de ligger beschouwd: − Een kipsteun geplaatst nabij de gedrukte flens is effectief en geeft een kipvorm van de gedrukte flens in

de vorm van een hele sinus. De benodigde axiale stijfheid is dan laag. − Een kipsteun in de neutrale lijn is minder effectief. De kipvorm is antimetrisch: zowel de gedrukte als de

getrokken flens staan in de vorm van een halve sinus. De benodigde axiale stijfheid is relatief hoog. − − Een kipsteun geplaatst nabij de getrokken flens is nauwelijks effectief. De gedrukte flens kipt in een halve

sinusvorm. Maar omdat het kritiek elastisch kipmoment ook al bij een oneindig stijve kipsteun laag is, is ook maar een geringe axiale stijfheid nodig.

Soortgelijke figuren als figuur 13 worden gevonden voor de overige belastingsconfiguraties en overspanningen; zie hiervoor [6].

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 6600 7200

Axia

le s

tijfh

eid

kips

teun

[N/m

m]

Positie kipsteun over lengte van het systeem (x )

115.157.550-57.55-115.1115.157.550-57.55-115.1

F

L1/2 L 1/2 Lx

Positie  kipsteun  in  de  hoogte  z

KK

r

r

95%

99%

Figuur 13: Axiale stijfheden K95% en K99% van de kipsteun voor belastingsconfiguratie 1 en L=7200 mm

Vergelijking kipweerstand toetsingsregels en EEM

De vergelijking tussen de kipweerstanden bepaald met behulp van de toetsingsregels van NEN-EN 1993-1-1 en met het EEM wordt uitgelegd aan de hand van een rekenvoorbeeld. Beschouwd wordt belastingsconfiguratie 1 met een overspanning van 7200 mm. De kipsteun wordt geplaatst op xr = 3600 mm ter plaatse van het hart van de bovenflens zr = +115.1mm. De veerstijfheid van de kipsteun

14

is 95% 438K = kN/m. Het gekozen profiel (IPE240) heeft een plastische momentweerstand 151,86== yypl fWM

kNm. Met 990,148%95, =crM kNm wordt de slankheid 760,0, =EEMLTλ . Met deze slankheid kunnen met de verschillende methoden reductiefactoren worden bepaald. Voor de Gemodificeerde Specifieke Methode wordt kc = 0,86 gebruikt conform tabel 4. Met het EEM wordt een GMNIA gemaakt waarmee de kipweerstand numeriek wordt bepaald. Uit het kracht-verplaatsingsdiagram van figuur 14 volgt een uiterste draagkracht Fb = 45,317 kN. Daarmee is de kipweerstand als volgt te bepalen: Mb = Fb L/4 = 45,317 * 7,2 /4 = 81,571 kNm. Vervolgens is de bijbehorende reductiefactor te bepalen als χGMNIA = Mb / Mpl = 81,571 / 86,151 = 0,947. De resultaten zijn samengevat in tabel 5. Alle methoden van NEN-EN 1993-1-1 geven een onderschatting van de draagkracht ten opzichte van het EEM.

Tabel 5: Resultaten voor belastingsconfiguratie 1, IPE240, L = 7,2 m, K95% = 438 kN/m op xr = 3600 mm en zr = 115,1 mm

Methode χ Verschil t.o.v. EEM EEM - GMNIA 0.947 - AM 0.808 -14.7% SM 0.839 -11.4% GSM 0.901 -4.85%

0

10 20

30 40

50

0 15 30 45 60 75 90 105 120 Verplaatsing [mm]

Kracht [kN]

In het vlak Uit het vlak

Figuur 14: Kracht-verplaatsingsdiagram, belastingsconfiguratie 1, IPE240, L = 7,2 m, K95% = 438 kN/m op xr = 3600 mm en zr= 115,1 mm

Resultaten

In de figuren 15 t/m 19 zijn voor belastingsconfiguratie 1 de reductiefactoren bepaald met een GMNIA uitgezet tegen de reductiefactoren verkregen met de methoden van NEN-EN 1993-1-1. Voor punten op de lijn onder 45˚ door de oorsprong is de kipweerstand verkregen met een GMNIA gelijk aan die bepaald met de betreffende methode van NEN-EN 1993-1-1. De twee lijnen naast de lijn onder 45˚ door de oorsprong geven de bandbreedte van 5% over- of onderschatting.

In de figuren 15 t/m 17 kan worden afgelezen dat de Algemene Methode goed presteert, waarbij bij kortere overspanningen ( 1≈χ ) een duidelijke onderschatting van de kipweerstand wordt gevonden. In figuur 18 worden resultaten verkregen met de Specifieke Methode weergegeven en in figuur 19 resultaten

15

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

115.1

57.55

0

-57.55

-115.1

Veilig

+5%

-5%

F

L1/2 L 1/2 Lx

L = 7200mm

L = 3600mm

L = 5400mm

Slank

Gedrongen

Posi

tie k

ipst

eun

zr.

GM

NIA

χ

χAM

Figuur 15: AM, Belastingsconfiguratie 1, K95%

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

115.1

57.55

0

-57.55

-115.1

Veilig

+5%

-5%

Slank

Gedrongen

Posi

tie k

ipst

een

xr.

q

Lx

GM

NIA

χ

χAM

Figuur 16: AM, Belastingsconfiguratie 2, K95%

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

115.1

57.55

0

-57.55

-115.1

Veilig

+5%

-5%

Slank

Gedrongen

Posi

tie k

ipst

eun

zr.

F

L1/2 L 1/2Lx

GM

NIA

χ

χAM

Figuur 17: AM, Belastingsconfiguratie 3, K95%

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

115.1

57.55

0

-57.55

-115.1

Veilig

+5%

-5%

F

L1/2 L 1/2 Lx

l = 7200mm

l = 3600mm

l = 5400mm

Slank

Gedrongen

Posi

tie k

ipst

eun

zr.

GM

NIA

χ

χSM

Figuur 18: SM, Belastingsconfiguratie 1, K95%

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

115.1

57.55

0

-57.55

-115.1

Veilig

+5%

-5%

F

L1/2 L 1/2 Lx

l = 7200mm

l = 3600mm

l = 5400mm

Slank

Gedrongen

Posi

tie k

ipst

eun

zr.

GM

NIA

χ

χGSM

Figuur 19: GSM, Belastingsconfiguratie 1, K95%

16

verkregen met de Gemodificeerde Specifieke Methode. De laatste twee methoden overschatten de kipweerstand in veel gevallen meer dan 10%. Voor de overige twee belastingsconfiguraties worden soortgelijke resultaten verkregen, zie [6]. Dit geldt niet alleen voor liggers met kipsteunen maar ook voor ongesteunde op buiging belaste liggers [6, 7].

Conclusies

Dit artikel vergelijkt de kipweerstand van I-vormige op buiging belaste stalen liggers gesteund door een kipsteun berekend met de toetsingsregels van NEN-EN 1993-1-1 (Eurocode 3) met de kipweerstand bepaald met een numeriek model.

De berekeningen gemaakt in de parameterstudie laten zien dat de kipkrommen die specifiek gelden voor gewalste of equivalente gelaste profielen (art. 6.3.2.3 van NEN-EN 1993-1-1) in veel gevallen een hogere kipweerstand opleveren dan die volgens het numerieke model. Overschattingen van de numerieke kipweerstand met meer dan 10% zijn aangetoond. De algemeen geldige kipkrommen (art. 6.3.2.2 van NEN-EN 1993-1-1) geven kipweerstanden die goed overeenkomen met die bepaald met een numeriek model voor liggers voorzien van een kipsteun.

Het wordt aanbevolen om liggers met kipsteunen alleen te toetsen met de Algemene Methode. Met de kipkrommen die specifiek gelden voor gewalste of equivalente gelaste profielen kunnen te hoge draagkrachten worden berekend, die mogelijk onveilig zijn. Een soortgelijke aanbeveling geldt ook voor ongesteunde liggers, zie [7].

De publicaties [7, 8] over de resultaten van dit onderzoek zijn mede aanleiding geweest om op Europees niveau de toetsingsregels voor kipstabiliteit van op buiging belaste stalen liggers opnieuw te bezien. Er wordt nu in Europa gewerkt aan verbeterde toetsingsregels voor kipstabiliteit waarbij bovendien gestreefd wordt naar één methode in plaats van de huidige situatie met meerdere methoden. De nieuwe generatie toetsingsregels voor kipstabiliteit wordt ingevoerd bij de eerstvolgende revisie van NEN-EN 1993-1-1, naar verwachting in 2016.

Literatuur

[1] NEN-EN-1993-1-1: Eurocode 3: Ontwerp en berekening van staalconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, NEN-EN 1993-1-1+C2:2011 nl, NEN, Delft, december 2011.

[2] Bijlaard, F.S.K., Steenbergen, H.M.G.M., Lateral torsional stability of members with lateral restraints at various locations between the supports, Proceedings of the 3rd European Conference on Steel Structures, Coimbra, Portugal 19-20 September 2002, eds. A. Lamas and L.S. da Silva, Eurosteel 2002, pp. 191-200.

[3] Boissonnade, N., Greiner, R., Jaspart, J.P. and Lindner, J., Rules for member stability in EN1993-1-1 – Background documentation and design guidelines, ECCS Technical Committee 8 – Stability, ECCS report No. 119, ISBN 92-9147-000-84, ECCS, Brussels, 2007.

[4] Vogel, U., et al., Ultimate limit state calculation of sway frames with rigid joints, ECCS Technical Committee 8 – Structural Stability – Technical Working Group 8.2- System, ECCS publication No. 33, ECCS, Brussels, 1984.

17

[5] Nationale Bijlage bij Eurocode 3: Ontwerp en berekening van staalconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, NEN-EN 1993-1-1+C2:2011/NB:2011 nl, NEN, Delft, december 2011.

[6] Bruins, R.H.J., Lateral torsional buckling of laterally restrained steel beams, Master thesis, Eindhoven University of Technology, Structural Design, Report O-2007.8, Eindhoven, 2007.

[7] Snijder, H.H., Hoenderkamp, J.C.D., Buckling curves for lateral torsional buckling of unrestrained beams, Hommages à René Maquoi Birthday Anniversary, Editors Vincent de Ville de Goyet, Jean-Pierre Jaspart and Jacques Rondal, Université de Liège, Liège, René Maquoi Birthday Anniversary, Université de Liège, Belgium, December 14, 2007, pp. 239-248.

[8] Snijder, H.H., Hoenderkamp, J.C.D., Bakker, M.C.M., Steenbergen, H.M.G.M., Bruins, R.H.J., LTB of steel beams with restraints between the supports, Eurosteel 2008, 5th European Conference on Steel and Composite Structures, research-practice-new materials, 3rd to 5th September 2008, Graz, Austria, Proceedings edited by Robert Ofner, Darko Beg, Josef Fink, Richard Greiner, Harald Unterweger, ISBN 92-0147-000-90, Published by ECCS, Brussels, Belgium, pp. 1557-1562.