7

moeder

2 Pretpark aan de hemel

In deze paragraaf onderzoeken en leren we over de beweging van de aarde om de zon, de

draaiing van de aarde om haar as, de beweging van de maan rond de aarde, en hoe die

bewegingen met elkaar verband houden. Je gaat dit doen aan de hand van een aantal

kermisattracties.

Draaien I

Hierin bestuderen we de beweging van de aarde om de zon.

We beginnen met een eenvoudig voorbeeld: de draaimolen.

Je weet dit vast nog wel uit je jonge jaren: ieder rondje zwaaien naar je moeder, een oude man

in overall die je kaartje uit je hand griste.

Opgave 1

Je stapt op het paard in de draaimolen. Je

moeder slaat je van een afstand gade. Tijdens

een rit van precies acht hele rondjes zie je je

moeder acht keer langskomen.

Tijdens dezelfde rit zag je je vader negen keer

langskomen.

a. Hoe kan dit?

Je vriendje naast je beweert dat hij z'n vader

maar zes keer zag, en dat hij zeker weet dat hij

hem niet een keer over het hoofd heeft gezien.

b. Hoe vaak komen de vaders elkaar tegen?

Nog steeds dezelfde situatie. Je moeder ziet de

oude man in overall zeven keer langskomen.

c. In welke richting loopt deze man zijn rondje

over de draaimolen om de kaartjes op te halen:

met de draairichting mee of tegen de

draairichting in?

8

De draaimolen staat model voor de beweging van de aarde om de zon. Jij bent de aarde, het

middelpunt van de draaimolen is de zon en je moeder is een verre ster.

Even tussendoor: we nemen hier aan dat de aarde in een cirkel rond de zon draait. Dat is wel

niet helemaal zo (*), maar voor onze tellingen hoe vaak je iemand ziet langskomen maakt dat

niet uit.

Stel dat je je telescoop gericht hebt op een zekere verre ster, op een zeker tijdstip van de dag.

Bijvoorbeeld op de ster Aldabaran, de helderste ster in het sterrenbeeld Stier, om

middernacht op 12 december. Hieronder staat een plaatje van die situatie.

Na een zekere tijdsduur zie je dezelfde ster op hetzelfde tijdstip van de dag weer in je

telescoop. Die tijdsduur is een sterrenjaar. Dat is 365d 6u9m 10s lang, en daarmee 20m 24s

langer dan een (gemiddeld) kalenderjaar, dat uitgaat van de seizoenen. (Over de dag zullen we

het later nog hebben.)

(*) De baan is enigszins ellipsvormig.

�

Aldebaran

aardbaan

telescoop

9

Opgave 2

Eén van de vaders uit opgave 1 staat

model voor de beweging van Jupiter,

een planeet die verder van de zon

staat dan de aarde. Jupiter draait in

dezelfde richting om de zon, maar

doet daar langer over.

Welke vader is dat?

Opgave 3 (*)

Vanaf de aarde zien we Jupiter één keer per 1,092 sterrenjaar langskomen. Officieel gezegd:

de tijd tussen twee opeenvolgende opposities van Jupiter is 1,092 sterrenjaar. Hierbij is een

oppositie een situatie waarin Zon, Aarde en Jupiter in die volgorde op een rechte lijn liggen.

In onderstaand plaatje zijn twee opeenvolgende opposities getekend. De beweging van Jupiter

is met een pijl aangegeven.

a. Geef ook de beweging van Aarde tussen de twee opposities aan met een pijl.

b. Hoe kun je uit die 1,092 afleiden dat de omlooprichting van Jupiter hetzelfde als die van de

aarde?

Op het Internet vind je dat een sterrenjaar op Jupiter 11,86 aardse sterrenjaren duurt.

c. Reken na of dit klopt.

(*) Deze opgave is niet essentieel in de opbouw van het verhaal.

J Z A

10

Draaien II

Hierin bestudeer je de draaiing van de aarde om haar as, en in relatie daarmee de beweging

van de aarde om de zon.

Dit doen we aan de hand van de attractie Kop en Schotel in familiepretpark Koningin Juliana

Toren te Apeldoorn.

Zie bijvoorbeeld: http://www.youtube.com/watch?v=8d7KTThUpzM

De koppen draaien rond het centrale middelpunt (de theepot), en kunnen zelf ook ronddraaien,

elk om hun eigen as.

Je stapt in zo’n kopje; je moeder staat langs de kant. Terwijl de hele attractie nog stilstaat, kun

je je kopje al om zijn as ronddraaien. Je draait het twee keer rond; je kunt je moeder dus twee

keer aankijken.

Dan gaat de attractie draaien. Dan laat je je kopje niet meer om zijn as ronddraaien.

Als de attractie één ronde heeft gemaakt, kan je je moeder dus één keer aankijken.

Opgave 4

Tijdens de volgende ronde van het geheel draai je je kopje twee keer om zijn as, in dezelfde

draairichting als de hele attractie.

a. Hoeveel keer zie je je moeder dan passeren?

In het bovenaanzicht dat hiernaast staat is de

beginsituatie gegeven. De pijl geeft je kijkrichting

aan.

11

�

De draaiing waarbij het geheel één keer rond gaat,

verdelen we in acht stukken.

b. Geef met een pijl de kijkrichting aan in elk van

de zeven tussenposities.

Zodoende is een volledig rondje van de grote schijf

opgesplitst in acht stukken.

c. In welke van de acht stukken kun je je moeder

aankijken? Klopt dat met je antwoord op a?

Wat er aan de hand is in het

voorgaande geldt algemener.

Stelling

Een voorwerp draait om een punt A; dat punt A draait om zijn beurt om een

tweede punt B.

Neem een vast tijdsinterval. Als daarin het voorwerp p rondjes om A maakt en

punt A q rondjes om B maakt in dezelfde richting,

dan draait het voorwerp in die periode p+q keer rond.

Opgave 5

Neem een tijdsinterval waarbij het geheel twee keer ronddraait en een kopje vijf keer om zijn

as draait (ten opzichte van de schijf).

a. Hoe vaak kun je je moeder aankijken, als de draairichtingen hetzelfde zijn?

b. En als de draairichtingen tegengesteld zijn?

Neem een tijdsinterval waarbij het geheel één keer ronddraait en een kopje 365 keer om zijn

eigen as (t.o.v. de schijf) draait, met dezelfde draairichting.

c. Hoe vaak kun je je moeder dan aankijken in dat tijdsinterval?

Het draaien van de kopjes staat model voor de draaiing van de aarde om haar as, en het

draaien van de kopjes op de schijf om de theepot voor de beweging van de aarde om de zon.

Je moeder is weer een verre ster.

We nemen hierbij aan dat de draaias

van de aarde loodrecht staat op het vlak

waarin de aarde om de zon draait. Bij

Kop en Schotel is dat het geval: daar

zijn beide draaiassen verticaal.

In werkelijkheid zijn de draaias van de

baan van de aarde om de zon en de

draaias van de aarde zelf niet

evenwijdig. Maar dat is voor ons

verhaal niet van belang.

12

ster

zon

Opgave 6

In het plaatje hieronder is de positie van de aarde op twee momenten getekend.

a. Iemand ziet de zon opkomen.

Geef voor beide posities van de aarde een plek aan waar hij zich kan bevinden.

b. Een ander ziet de zon op hetzelfde moment op het hoogste punt.

Geef voor beide posities van de aarde een plek aan waar hij zich kan bevinden.

Een zonnedag is de tijdsduur waarin de aarde één keer ronddraait ten opzichte van de zon.

Preciezer: de tijdsduur die verstrijkt tussen twee momenten waarop de zon op dezelfde plaats

staat; bijvoorbeeld twee zonsopkomsten twee tijdstippen waarop de zon op het hoogste punt

is.

Dit is wat we normaal gesproken onder een dag verstaan. Een zonnedag heeft een lengte van

precies 24 uur = 86400 seconden. Vroeger was dit zelfs de definitie van de seconde!(1). De

dagen die op bladzijde 8 gebruikt zijn om te vertellen hoe lang een jaar is, te weten 365d

6u9m 10s, zijn zonnedagen.

Iemand kijkt elke avond naar een ster.

Een sterrendag is de tijdsduur waarin de aarde één keer ronddraait ten opzichte van de

sterren. Preciezer: de tijdsduur die verstrijkt tussen twee opvolgende momenten waarop een

ster op dezelfde positie aan de hemel is.

( 1 ) Tegenwoordig is de seconde gedefinieerd als “de tijdsduur van 9.192.631.770 perioden van de straling

die overeenkomt met de overgang tussen de twee hyperfijnenergieniveaus van de grondtoestand van het 133-

cesiumatoom.”

13

zon

1

2

3

verre

ster

Merk op dat daarbij wordt aangenomen dat de sterren oneindig ver weg staan. Welke ster je

neemt, doet er niet toe. Alleen de Poolster is niet geschikt. Waarom niet?

Opgave 7

Een zonnedag en een sterrendag duren niet even lang!.

a. Leg dat uit aan de hand van het volgende plaatje.

� is de positie van de aarde op een zeker tijdstip

� is de positie van de aarde een sterrendag later,

� is de positie van de aarde een zonnedag later.

b. Wat duurt het langst, een sterrendag of een zonnedag?

Het plaatje is niet op schaal. Vanuit � en � is er een lijn getekend naar de zon.

c. Hoe groot zou de hoek tussen die lijnen ongeveer geweest zijn als het plaatje wel op schaal

was geweest?

d. Hoeveel keer zo lang is de zonnedag dus als de sterrendag?

e. Hoe lang duurt dus een sterrendag?

Wat blijkt? De lengte van de sterrendag komt daar volgens de observaties heel nauwkeurig

mee overeen: 23u 56m 4s.

Opgave 8

1 sterrenjaar = 365,25 zonnedagen. Hieruit volgt dat 1 sterrenjaar = 366,25 sterrendagen.

a. Leg dat uit aan de hand van Kop en Schotel.

b. Laat zien dat hieruit het resultaat van opgave 7e volgt.

14

Opgave 9*

De vijfde en grootste planeet in ons zonnestelsel is Jupiter. Net als bij de aarde is bij Jupiter

de draairichting om zijn as hetzelfde als de draairichting om de zon.

Jupiter loopt in 11,86 (aardse) sterrenjaren om de zon. Dat betekent dat een sterrenjaar op

Jupiter 11,86 (aardse sterren)jaren bedraagt.

Jupiter roteert in 9,8 uur om zijn as. Dat betekent dat een sterrendag op Jupiter 9,8 uur

bedraagt.

Net als bij de aarde kunnen we bij Jupiter over een zonnedag spreken.

Ga met een berekening na dat een zonnedag en een sterrendag op Jupiter nauwelijks

verschillen.

Opgave 10*

De vierde planeet in ons zonnestelsel is Mars. Net

als bij de aarde is bij Mars de draairichting om zijn

as hetzelfde als de draairichting om de zon.

Mars loopt in 1,88 (aardse) sterrenjaren om de zon.

Dat betekent dat een sterrenjaar op Mars 1,88

(aardse sterren)jaren bedraagt.

Mars roteert in 24,6 uur om zijn as. Dat betekent

dat een sterrendag op Mars 24,6 uur bedraagt.

Ook bij Mars kunnen we over een zonnedag

spreken.

Bereken hoeveel minuten een zonnedag op

Mars langer duurt dan een sterrendag.

15

Draaien III

Hierin bestudeer je de draaiing van de maan om de aarde, en de relatie daarvan met de

beweging van de aarde om de zon.

We bekijken de attractie Calypso.

Die zit als volgt in elkaar: de wagentjes zitten met stangen vast aan een draaipunt, waar ze dus

omheen draaien, en die draaipunten zitten weer met stangen vast aan het middelpunt, waar ze

op hun beurt omheen draaien. We gaan er weer vanuit dat de draairichtingen hetzelfde zijn.

Opgave 11

Je maakt een rit in de Calypso. Tijdens de rit kan je je vriend, die misselijk wordt van

dit soort attracties en daarom aan de kant blijft staan, dertien keer aankijken. Verder ben

je totaal zes keer langs de kassa gekomen, preciezer gezegd, ben je in de draairichting

tussen het middelpunt en de kassa doorbewogen.

Hoeveel rondjes heeft je wagentje rond z'n eigen draaipunt gemaakt?

Opgave 12

Volgende rit. Je wagentje maakt elf rondjes rond z'n eigen draaipunt en je komt vijf keer

langs de kassa.

Ben je nu misselijker dan de vorige keer, gemeten in het totaal aantal rotaties dat je

hebt gemaakt?

Het draaien van een wagentje staat model voor de beweging van de maan om de aarde (het

draaipunt is dus de aarde), en het draaien om het middelpunt staat natuurlijk voor de

beweging van aarde-maan om de zon. De rol van de verre ster wordt nu gespeeld door je

vriend.

We nemen hierbij aan dat de maan in hetzelfde vlak om de aarde draait als dat de aarde om de

zon draait. Dat is weer niet zo, maar dat is niet erg voor onze berekeningen. Als deze

aanname waar zou zijn, zou er iedere maand een maans- en zonsverduistering zijn. Waarom is

dat eigenlijk zo?

16

zon

zon

verre

ster

Opgave 13

In het plaatje hieronder is de positie van de aarde op twee momenten getekend. De baan van

de maan is gestippeld.

Teken voor beide momenten de plaats van de maan,

op het moment dat het Volle Maan is.

Definitie

Een zonnemaand is de tijd die verstrijkt tussen twee opvolgende keren dat het Volle Maan is.

Opgave 14

Nog eens de positie van de aarde op twee momenten.

Met een pijl is de richting aangegeven van een zekere

verre ster.

Geef voor beide momenten de plaats van de maan aan, wanneer hij voor de verre ster staat.

Definitie

Een sterrenmaand is de tijd die verstrijkt tussen twee opvolgende keren dat de maan op een-

zelfde positie staat ten opzichte van de verre sterren.

17

De zonnemaand is niet wat we normaal gesproken bedoelen als we het over een maand

hebben. De lengte van de zonnemaand is 29,53 zonnedagen (29d 12u 44m 2.9s), terwijl de

lengte van de kalendermaand meestal 30 of 31, soms 28 of 29 dagen is.

Opgave 15

Bereken hoeveel zonnemaanden er in één sterrenjaar zijn. ( 2 )

Opgave 16

a. Wat duurt het langst, de zonnemaand of de sterrenmaand?

b. Leg uit dat in een periode van één sterrenjaar geldt: het aantal sterrenmaanden = 1 + het aantal zonnemaanden.

Opgave 17

Leid uit het verband in opgave 16b en het resultaat van opgave 15 de lengte van de

sterrenmaand af, gemeten zowel in zonnedagen als in sterrendagen.

In feite zijn de draaiingen II en III wiskundig hetzelfde. In beide gevallen draait een plek om

een as, terwijl die as op zijn beurt om een centrale as draait.

( 2

) 12 van deze maanden vormen een islamitisch jaar. Dit verklaart waarom de ramadan, de negende maand van dat jaar,

door het westerse jaar heenloopt

18

Draaien IV

Nu gaan we alle draaiingen combineren! Er is hiervoor geen attractie die dat mooi doet.

We hebben te maken met drie draaiingen:

1. de aarde draait om de zon,

2. de aarde draait om haar as,

3. de maan draait om de aarde.

Merk op dat de maan altijd dezelfde kant naar de

aarde toegekeerd heeft. De achterkant van de

maan kunnen we dus vanuit de aarde nooit

rechtstreeks waarnemen.

Opgave 18

Een van de 63 manen van Jupiter is Ganymedes. Ganymedes loopt in 7,155 (aardse) zonnedag

om Jupiter. Dat betekent dat een sterrenGanymedesd 7,155 zonnedag duurt (de letters “maan”

in sterrenmaand zijn letterlijk vervangen door "Ganymedes").

De draairichtingen van Ganymedes om Jupiter en van Jupiter om de zon zijn hetzelfde.

Net als van een zonnemaand kunnen we ook van een zonneGanymedesd spreken.

Bekijk een periode van 1 Jupiterjaar, dat is 11,86 (aardse sterren)jaren. Zie opgave 9.

Noem het aantal zonneGanymedesds daarin z en het aantal sterrenGanymededs s.

a. Bereken s.

b. Hoe groot is z dus?

c. Bereken hoe lang een zonneGanymedesd duurt.

Opgave 19*

Een van de twee manen van Mars is Phobos; die raast in hoog tempo rond Mars. Phobos

beweegt sneller aan de Marshemel dan de zon. De maan loopt in 0,3189 (aardse) zonnedag

om Mars. Dat betekent dat een sterrenPhobosd 0,3189 zonnedag duurt.

De draairichtingen van Phobos om Mars en van Mars om de zon zijn hetzelfde.

Bereken hoe lang een zonnePhobosd duurt.

Opgave 20

Als je (voor een maan van een planeet) weet hoeveel zonnedagen er in een zonnemaand zijn,

kun je nog niet berekenen hoeveel sterrendagen er in een sterrenmaand zijn.

Welk gegeven heb je nog meer nodig?

19

Samenvatting

sterrenjaar = de tijdsduur voordat de situatie zon-aarde weer hetzelfde is ten opzichte van

de sterren (blz. 8)

(zonne)dag = de tijdsduur voordat de situatie waarnemer-aarde weer hetzelfde is ten

opzichte van de zon (blz.12)

sterrendag = de tijdsduur voordat de situatie waarnemer-aarde weer hetzelfde ten opzichte

van de sterren (blz.13)

zonnemaand = de tijdsduur tussen twee opvolgende keren Volle Maan.

(blz.15)

sterrenmaand= de tijdsduur tussen twee opvolgende keren dat de maan op eenzelfde positie

staat ten opzichte van de verre sterren. (blz.16)

Op de planeet Aarde is

• sterrenjaar = 365d, 6h, 9m, 10s

• zonnedag = 24h

• sterrendag = 23h, 56m, 4s

• zonnemaand = 29d 12u 44m 2.9s = 29,53 zonnedagen

• sterrenmaand = 27d, 7h, 43m, 11.6s = 27,32 zonnedagen