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Ing. Juan Manuel Urteaga García

MatricesIntroducción al Análisis Matricial

¿Que vamos a hacer?

Introducción al Álgebra Matricial.

Matrices, tipos operaciones matriciales y su uso en elAnálisis Est.

Introducción al Análisis Matricial de Estructuras.

Herramientas Básicas para el Análisis de Est.

Redefinición de las relaciones estudiadas.


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Álgebra MatricialBreve Introducción

Se presenta una introducción a las reglas básicas

del Álgebra Matricial.

Con la finalidad de hacer recordar a los alumnos

las herramientas con las que se cuenta para

poder realizar un correcto Análisis Estructural.

DefiniciónSe llama matriz a un arreglo ordenado de números en filasy columnas.

a1,1 a1,2 . . a1,na2,1 a2,2 . . a2,n

{A} = . . . . .. . . . .am,1 am,2 . . am,n

Esta es una matriz de m filas y n columnas El orden de la matriz es m x n Sus elementos de los identifica como ai,j

i = identificador de filas j = identificador de columnas


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Matriz CuadradaSe conoce así a la matriz donde el números de filas esigual al número de columnas, m = n

a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5

{A} = a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 a4,5a5,1 a5,2 a5,3 a5,4 a5,5

• El orden de la matriz es de 5 X 5

Matriz SimétricaSe conoce así a la matriz donde los elementos a i,j = a j,i

1 -8 5 -2 0

-8 45 -6 4 3{A} = 5 -6 7 6 -4

-2 4 6 -1 200 3 -4 20 28


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Matriz IdentidadSe conoce así a la matriz cuadrada donde todos loselementos de la diagonal principal son igual a 1 y losrestantes son iguales a 0 se la denota como { I }

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0{ I } = 0 0 1 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 1

Matriz TranspuestaSi a una matriz se la reordena de manera tal que las columnas de la

original resultan en las filas de la segunda, a esta se la conoce como

matriz transpuesta.A la transpuesta de {A} se la denota como ´{A}T

1 2 5

{A} = -8 4 -69 7 6

1 -8 9

{A}T = 2 4 75 -6 6

• La transpuesta de un vector columna es un vector fila y vs.


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Aritmética Matricial

Suma y Resta de MatricesDos matrices pueden sumarse o restarse únicamente silas dos matrices son del mismo orden y se denotan{A}+{B}={C}

1 2 5 6 6 8

3 4 7 8 10 12+ =

• La ley conmutativa y la ley asociativa cumplen para la resta y suma de matrices• {A}+{B}={B}+{A}• {A}+({B}+{C})=({A}+{B})+{C}


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Multiplicación Escalar de MatricesUna matriz queda multiplicada por un escalar cuandotodos los elementos de esta se multiplican por el escalar.

ea1,1 ea1,2 . . ea1,nea2,1 ea2,2 . . ea2,n

e{A} = . . . . .

. . . . .eam,1 eam,2 . . eam,n

Multiplicación de MatricesDos matrices pueden multiplicarse solamente si son

conformables.

Esto es si queremos multiplicar {A} {B} el número de columnas

de {A} es igual al número de filas de {B}

{A}mxl {B}lxn = {C}mxn

ci,j =S ai,k bk,j


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1 2 5 63 4 7 8 2x25 6 3x2

(1)(5)+(2)(7)

(3)(5)+(4)(7)

(5)(5)+(6)(7)

19

4367

(1)(6)+(2)(8)

(3)(6)+(4)(8)

(5)(6)+(6)(8)

22

5078

Determinante de una MatrizEs un único valor que adquiere toda una matriz Cuadrada

Este valor se encuentra fácilmente para una matriz de orden 2 x 2

5 6

|A| = = (5 x 3) - (6 x 2) = 3

2 3

Para desarrollar determinantes de orden mayor se acude al método

de los menores


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Desarrollo por MenoresUn menor cualquiera de una matriz {A} que corresponde a unelemento ai,j. es el determinante de la matriz reducida que se logra

eliminando la fila(i) y la columna(j).

1 3 2

{A} = 5 4 3

-2 3 1

- 1 x ((4 x 1) - (3 x 3)) + …

…+ 3 x ((5 x 1) - (-2 x 3)) + …

… - 2 x ((5 x 3) - (-2 x 4))

= -8

• Cada elemento tiene un menor, y este por lo tanto llegara a tener un valor

• Si a este valor se le multiplica por (-1)i+jse le llama cofactor

Matriz AdjuntaSi al conjunto de cofactores se la ordena bajo el mismo arreglo de la matriz original y se la

transpone a la matriz resultante se le llama matriz Adjunta

1 2 3

{A} = 2 3 4

1 5 3

A1,1= -11 A1,2= -2 A1,3= 7

A2,1= 9 A2,2= 0 A2,3= -3

A3,1= -1 A3,2= 2 A3,3= -1

-11 -2 7 T -11

9 -1

Adj{A} = 9 0 -3 = -2 0

2

-1 2 -1 7

-3 -1


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Matriz InversaHemos visto que las matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse,

pero no hemos vista que se puedan dividir, lo mas cercano a esto es la

inversade la matriz inversa y se define de la siguiente manera. {A}-1

{A}{A}-1 = {A} -1{A} = {I}

Una manera de encontrar una matriz inversa es la siguiente

{A} -1= Adj {A}

|A|

Aplicación de la Matriz InversaUn sistema de ecuaciones puede ser representado mediante una ecuación matricial de la

siguiente manera.

{A} {X} = {B}

Las incógnitas contenidas en el vector {X} se pueden encontrar premultiplicando ambos lados

de la ecuación matricial por la inversa de {A}

{A}-1{A} {X} = {A}-1{B}

{I}{X} = {A}-1{B}

{X} = {A}-1{B}


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43.5 X1 - 10.0 X2 + 6.7 X3 = 2.3-10.0 X1 + 34.5 X2 - 7.6 X3 = -6.5

6.7 X1 - 7.6 X2 + 43.5 X3 = 21.0

1 -0.2299 0.1540 0.0529

0 -3.2201 0.6060 = 0.5971

0 -0.9044 6.3385 3.0815

1 -0.2299 0.1540 0.0529

0 1 -0.1882 = -0.1854

0 1 -7.0082 -3.4070

1 -0.2299 0.1540 0.0529

0 1 -0.1882 = -0.1854

0 0 -6.8200 -3.2216


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X1 = 0.4714 - (-0.0965*-0.1882) - (-0.0421*0.1540)

X2 = 0.4714 - (-0.0965*-0.1882)

X3 = 0.4714

X1 = -0.0421

X2 = -0.0965

X3 = 0.4724

1 -0.2299 0.1540 0.0529

0 1 -0.1882 = -0.1854

0 0 1 0.4724

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