BASISCURSUS  

GRONDMECHANICA    

 Samendrukbaarheid van grond 

  

Wim Haegeman   

9 november 2016       

georganiseerd door  

 Expertgroep Grondmechanica & Funderingstechniek 

    

Ingenieurshuis, Antwerpen    

                                   

COPYRIGHT © 2016 – ie‐net Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze publicatie mag worden gereproduceerd, opgeslagen in de computer, overgenomen onder gelijk welke vorm (elektronisch, mechanisch, magnetisch) of gefotokopieerd zonder de schriftelijke toelating van ie‐net ingenieursvereniging vzw, 

Desguinlei 214, B‐ 2018 Antwerpen 1. Tel. : 03/260.08.40, E‐mail info@ie‐net.be, Website HTTP ://www.ie‐net.be 

 Elke auteur is verantwoordelijk voor de inhoud van zijn/haar teksten. ie‐net vzw wijst alle aansprakelijkheid af wanneer gebeurlijke foutieve 

gegevens zouden leiden tot discussies of geschillen. 

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 1-

Samendrukbaarheid van grond Basisbegrippen voor de berekening van zettingen.

Prof dr ir Wim Haegeman

Hoofddocent, Laboratorium voor Grondmechanica, Universiteit Gent Hoogleraar, Katholieke Hogeschool Vives, studiegebieddirecteur IW&T

Inleiding Bedoeling van deze korte syllabus is de lezer vertrouwd te maken met enkele elementaire grondmechanische principes ter berekening van verticale zettingen. Dit zal gebeuren aan de hand van de analytische formuleringen van Terzaghi zowel voor de totale zettingen als de zettingen in de tijd. In vele gevallen geven deze formuleringen een betrouwbaar idee over de grootteorde van deze verticale vervormingen. Voor meer doorgedreven 3-D analyses dient een meer accuraat model voor de grond te worden opgesteld welke dan in numerieke programma’s wordt geïmplementeerd. Deze modellering valt buiten het kader van deze cursus. Volgende begrippen zullen stapsgewijs worden geïntroduceerd: korrelspanningen, samendrukbaarheid van grond, totale zettingen, consolidatie, grondparameterbepaling via laboproeven. Tot slot zullen over deze zettingsprincipes enkele oefeningen worden geformuleerd en opgelost. Begrip normaalspanning - schuifspanning (normal stress - shear stress) Elke studie van de mechanica van materialen start met het definiëren van de begrippen normaal- en schuifspanning en de bijhorende rek en verglijding. Deze cursus vormt hierop geen uitzondering. Deze begrippen worden bevattelijk voorgesteld in figuur 1. Begrip totaalspanning - korrelspanning (total stress - effective stress) Samendrukking of zetting van de grond is een gevolg van de wijziging van de korrelspanningen in de grond. Het begrip korrelspanning of effectieve spanning is aldus een uitermate belangrijk begrip in de grondmechanica. De totale spanning σ in een grondmassief is de som van 3 componenten: σ = σ’ + u + σg Met σ’: korrelspanning (kPa) u: waterspanning (kPa) σg: spanning in de gasfase (kPa) Met verwaarlozing van de spanning in de gasfase krijgt men σ = σ’ + u

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 2-

Bij constante totaalspanning zijn de korrelspanning en waterspanning complementair; dit heeft tot gevolg dat wanneer u daalt (bvb: bij een watertafelverlaging) de korrelspanning σ’ stijgt en omgekeerd. De effectieve spanning wordt dus berekend uit de totaalspanning en de waterspanning. De totaalspanning in het grondmassief is de som van alle uitwendige belastingen en het eigengewicht van de grond. Dit eigengewicht wordt gekarakteriseerd door het volumegewicht γ van het grondmateriaal. De waterspanning is op zijn beurt de som van de hydrostatische waterspanning u0 en de eventuele poriënwateroverspanning Δu: u = u0 + Δu Gezien de schuifspanning enkel door de grondstructuur wordt opgenomen en zich niet verder zet in het water, kunnen enkel schuifspanningen in de vaste fase bestaan: τ = τ’ Met τ: totale schuifspanning (kPa) τ’: effectieve schuifspanning (kPa) Toepassingsvoorbeeld Gegeven: een horizontaal maaiveld in alle richtingen oneindig uitgestrekt, belast met een belasting van p = 80 kN/m². Op 1 meter onder het maaiveld komt het freatisch oppervlak voor. Men onderscheidt twee grondlagen; een eerste laag A met volumegewicht γn = 20 kN/m3 en drooggewicht γd = 16 kN/m3 situeert zich vanaf het maaiveld tot een diepte van 5 meter ; een tweede laag B met volumegewicht γn = 25 kN/m3 strekt zich vanaf de genoemde diepte (5m onder maaiveld) tot op grote diepte uit. Gevraagd: bereken de normale totaalspanning σ, de korrelspanning σ’ en de heersende waterdruk u op de dieptes "z" onder het maaiveld gelijk aan 0.5m, 2.5m en 7.0m De oplossing wordt het eenvoudigst verkregen door het maken van een schets met het verloop van de spanningen. Verder dient aan de waterdrukken een hydrostatisch verloop te worden toegekend. De desbetreffende schetsen zijn in de figuur 2 weergegeven. Men kan ook onmiddellijk schrijven: - op z1 = 0,5 m : σ = 80 kN/m2 + (0,5 m .16 kN/m2) = 88 kN/m2 u = 0 σ’ = σ - u = 88 kN/m2

- op z2 = 2,5 m : σ = 80 kN/m2 + (1m . 16 kN/m3)+ (1,5m . 20 kN/m3) = 126 kN/m2 u = 1,5m . 10 kN/m3 = 15 kN/m2 σ’ = 111 kN/m2

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 3-

- op z3 = 7,0 m : σ = 80 kN/m2 + (1m x 16 kN/m3) + (4 m x 20 kN/m3) + (2 m x 25 kN/m3) = 226 kN/m2 u = (6 m x 10 kN/m3) = 60 kN/m2 σ’ = 166 kN/m2 Spannings-vervormingsgedrag van grond Het typisch spannings-vervormingsgedrag van grond onder normaalspanningen wordt voorgesteld in figuur 3. Het betreft een niet-lineair elasto-plastisch gedrag. Aldus dient enige voorzichtigheid aan de dag te worden gelegd wanneer bij benadering dit gedrag wordt gekarakteriseerd door één elastische modulus (Et of Es) en beschreven door de elasticiteitswetten (zoals soms voorkomt). Andere spannings-vervormingsrelaties zijn deze die het verband tussen de aangelegde schuifspanning τ en de verglijding γ van de grond aangeven (figuur 4). Omdat gronden onder aangelegde schuifspanningen ook volumevariaties ondergaan en omdat breukverschijnselen in de grond in hoofdzaak met het overschrijden van de maximale schuifspanning te maken hebben, zijn dergelijke spannings-vervormingsdiagramma's van groot belang. De bijhorende elastische modulus is hier de glijdingsmodulus Gt of Gs De samendrukbaarheid van grond Inleiding Wanneer we een materiaal gaan belasten treden vervormingen op. Bij grond is dat gecompliceerder dan bij de meeste andere materialen, omdat de grond zelf opgebouwd is uit een aantal elementen, nl. korrels, water en lucht. Vervorming van grond is geen vervorming van de korrels, maar een dichtere pakking van de korrels. Daarvoor moeten lucht en/of water ontwijken. Om samenwerking van de elementen waaruit de grond is opgebouwd te bekijken, zullen we het gedrag van de elementen afzonderlijk nagaan. - Lucht is zo makkelijk vervormbaar, en het ontsnapt zó gemakkelijk, dat we de

verschijnselen die samenhangen met de lucht in de grond kunnen verwaarlozen. - Water is naar verhouding veel stijver dan de korrels. Daarom beschouwen we water als

onsamendrukbaar. - Korrels. De vervorming komt tot stand door:

1. Verschuiving van de korrels t.o.v. elkaar, dus een verdichting van het korrelskelet. 2. Indrukking van de korrels zelf, maar dat is slechts van de grootteorde van 2 %

(vergeleken met de verdichting van het korrelskelet) en dat verwaarlozen we.

Wanneer we samendrukbaarheid van gronden bespreken, bedoelen we hiermee de verticale vervormbaarheid onder normaalspanning van een grondmonster bij volledig zijdelingse opsluiting van het monster. Elke horizontale vervorming wordt dus verhinderd. Een belasting van de grond veroorzaakt zettingen, deze zettingen gebeuren echter niet ogenblikkelijk doch vertonen een tijdsafhankelijk gedrag. De volledige belasting wordt namelijk in eerste instantie door het water in de poriën gedragen want t.o.v. het korrelskelet is het water als onsamendrukbaar te beschouwen. De meest weerstandbiedende delen van het geheel grond-water, dat is hier dus het poriënwater, nemen derhalve de belasting op. Elke tijdelijke verhoging van de waterspanning noemt men "overspanning". Deze overspanning leidt tot waterspanningsgradiënten en dus tot het uitdrijven van het water, waardoor een

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 4-

samendrukking van het korrelskelet tot stand komt, gepaard gaande met een gelijktijdige toename van de korrel- en afname van deze wateroverspanningen. Deze zettingen komen tot een einde wanneer de poriënwateroverspanningen ten gevolge van de belasting volledig zijn verdwenen. Dit fenomeen wordt de consolidatie van de grond genoemd beschreven door de hydrodynamische zakkingswet van Terzaghi. De bijhorende zettingen zijn de primaire of hydro-dynamische zettingen. Na deze consolidatieperiode kunnen vooral voor weinig doorlatende materialen (klei, veen) de zettingen zich nog verder manifesteren in de tijd doch zijn veel kleiner dan de primaire zettingen. Aangenomen wordt dat dit tijdsfenomeen wordt veroorzaakt door een uitpersen van het viskeus gebonden water aan de grondmineralen. Deze zettingen worden logischerwijze de secundaire of seculaire zettingen genoemd. Het totale zettingsgedrag van de grond onder een belasting wordt aldus schematisch voorgesteld in figuur 5. Met de zettingen die zich in de seculaire periode voordoen zal bij de meeste praktische toepassingen geen rekening worden gehouden. Totale zetting op het einde van de consolidatie Wet van Terzaghi De uiteindelijke samendrukking van een grondmonster op het einde van de consolidatie onder een opgelegde belasting, wordt door volgende mathematische formulering voorgesteld (wet van Terzaghi):

'''ln1

σσσ Δ+

=Δ

Chh

waarin : Δh = de samendrukking van het monster onder de belastingstoename Δσ’ h = de hoogte van het monster bij de belasting σ’ σ’ = de heersende korrelspanning vóór aanbrengen van de belastingstrap Δσ’ Δσ’ = spanningstoename C = samendrukkingsconstante. De samendrukkingsconstante C is een materiaalkarakteristiek en is een onbenoemd getal. Deze constante kan onder andere uit de samendrukkingsproef worden bepaald. In de tabel 1 worden voor verschillende grondsoorten de grootteorden voor C aangegeven.

Tabel 1 : Grootteorden voor C Grondsoort C Zand 50-400Leem 20-50 Klei 10-20 Veen 3-10

Vereenvoudiging van de samendrukkingswet van Terzaghi Wanneer de spanningstoename Δσ’ voldoende klein is kunnen we schrijven:

( )ln' '

'ln ' ' ln '

σσ

σ σ+

= + −Δσ

Δσ

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 5-

benaderend kunnen we stellen (Δσ’ <<)

ln' '

'ln '

'. '

σσ

σσ

+≈ ≈

ΔσΔ Δσ

1

We kunnen de wet van Terzaghi dan herschrijven als

''1

σσΔ

=Δ

Chh

De wet van Hooke die de elastische verkorting onder normaalspanning beschrijft luidt:

E'σε Δ

=

Bij vergelijking van bovenstaande twee vergelijkingen kunnen we dus stellen dat uit de samendrukkingsproef een elasticiteitsmodulus Es (of Eoed) kan worden afgeleid, geldig voor uniaxiale samendrukking met verhinderde zijdelingse vervorming: Es = C . σ’ We definiëren hier nu ook mv, de samendrukkingscoëfficiënt, uitgedrukt in m2/kN, als:

mv = 1

E s

De vergelijking van Terzaghi kan dus in het geval van voldoende kleine spanningstoename Δσ’ benaderend door een lineaire elastische wet worden vervangen (met Es representatief voor het gekozen belastingsniveau):

'.' σσΔ=

Δ=

Δv

s

mEh

h

Opmerking De "kwaliteit" van de grond als bouwmateriaal neemt toe met de diepte: hoe groter σ’ hoe groter E. Dit komt doordat bij toenemende spanning het aantal contactpunten tussen de korrels steeds groter wordt. Hoe dieper we de grond in gaan, des te groter σ’, en des te minder vervorming. Ontlasten van de grond Wanneer de grond nadat die belast is geweest tot een spanning σ’ + Δσ’, weer ontlast tot de spanning σ’, dan zal de terugvering veel minder zijn dan het eerst was samengedrukt. Het grootste gedeelte van de vervorming is blijvend, dit komt omdat de door samendrukking ontstane dichtere pakking van de korrels door ontlasting nauwelijks verandert. Wordt het monster opnieuw belast tot de spanning σ’ + Δσ’, dan is het zakkingsverloop gelijk aan dat bij

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 6-

ontlasten. Bij groter belasting dan σ’ + Δσ’ wordt de samendrukking weer aanmerkelijk groter. Met dit verschijnsel wordt rekening gehouden door voor belastingsverhogingen een andere samendrukkingscoëfficiënt (C-waarde) te gebruiken dan voor belastingsverlagingen (A-waarde). De A-waarde, ontlastingskonstante genoemd, kan 5 à 10 maal zo groot zijn als de C-waarde. Consolidatietheorie De consolidatietheorie beschrijft het verloop van de korrel- en waterspanningen met de tijd bij het aanbrengen van een belasting, het principe is in vorige paragraaf besproken. De volgende aannamen worden gedaan: 1. De grond is homogeen van samenstelling. 2. De grond is verzadigd met water. 3. De vervorming van de grond wordt alleen veroorzaakt door een verdichting van het

korrelskelet. 4. De grond vervormt alleen in verticale richting. 5. Het water kan alleen in verticale richting afstromen. 6. De wet van Darcy mag toegepast worden, in werkelijkheid is dit niet juist omdat door

verdichting tijdens het consolidatieproces de doorlatendheidscoëfficiënt k zal afnemen. 7. We nemen aan dat de spanningstoename Δσ’voldoende klein is opdat de vergelijking

Δhh

= mvΔσ’ mag worden aangewend.

We definiëren de consolidatiecoëfficiënt cv

cv = k

mv wδ (m²/sec)

hierin is : k = doorlatendheidscoëfficiënt (m/s) mv = samendrukkingscoëfficiënt (m²/kN) δw = volumegewicht van water = 10 kN/m³ cv bepalen we in een samendrukkingsproef; als richtwaarden gelden : - voor klei 10-8 m²/s - voor zand 10-1 m²/s Het blijkt nu dat cv tijdens de proef ongeveer constant blijft omdat zowel k als mv kleiner worden; de aannamen onder punt 6 en 7 blijken hieruit dan ook acceptabel te zijn. Op grond van bovengenoemde aannamen moet de uitgeperste hoeveelheid water gelijk zijn aan de volumeverkleining van het monster. We moeten, om tot een bewegingsvergelijking te komen, de volumevermindering van het monster gedurende een tijd dt berekenen. Dit volume moet gelijk zijn aan de uitgestroomde hoeveelheid water in diezelfde periode dt. Dit principe leidt aldus tot volgende differentiaalvergelijking die de variatie van de wateroverspanning in tijd en ruimte beschrijft:

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 7-

cv . 2

2

u u = tz

∂∂∂ ∂

Oplossen is een kwestie van reeksontwikkeling rekening houdend met de randvoorwaarden (drainagemogelijkheden en initieel lastvlak), wat buiten het kader van deze opleiding valt. Bij het oplossen voeren we ter vereenvoudiging de dimensieloze tijdsfactor Tv in:

Tv = v2

c td

Let er op dat we de hoogte van het monster 2d noemen; het midden is een symmetrievlak, en water ontwijkt over een hoogte d naar boven, en over een hoogte d naar beneden. d wordt de afstroomlengte genoemd. Figuur 6 laat het afnemen van de wateroverspanning zien. Ten tijde t = 0 heerst over de hele hoogte 2d een overspanning p. Er sijpelt water weg naar boven en naar beneden, en op het tijdstip t, is de wateroverspanning afgenomen tot de kromme t1. Dit gaat verder, naar t2, t3 en tenslotte t∞. Links van elke t-kromme staat de resterende wateroverspanning ut, rechts wat de korrelspanning is toegenomen, Δσ’. Op het tijdstip t = ∞ is alle overspannen water weg, het korrelskelet heeft dan zijn dichtere pakking bereikt, en de eindzetting s∞ is bereikt. De zetting voor t = ∞ is s∞ = 2 d mv p

De consolidatiegraad U is de verhouding tussen de samendrukking st en s∞, dus U = tss∞

.

Voor verschillende waarde van U is Tv uitgerekend en verzameld in de volgende tabel 2 en in figuur 7. Deze tabel is geldig voor tweezijdige drainage van het grondmonster.

Tabel 2

Tv = v2

c td

U = t

v

s2dm p

0.008 10 %

0.031 20 %

0.071 30 %

0.126 40 %

0.197 50 %

0.287 60 %

0.403 70 %

0.567 80 %

0.848 90 %

2.000 99.4 %

∞ 100 %

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 8-

waarin : Tv tijdsfactor dimensieloos cv consolidatiecoëfficiënt m²/s t tijd s d afstroomlengte m U consolidatiegraad % mv samendrukkingscoëfficiënt m²/kN p opgebrachte belasting kN/m² Voor het praktisch einde van het consolidatieproces wordt Tv = 2 genomen (U = 99,4 %). De bijbehorende tijd is nu

te = ² ²v v v w

v

d d mT T = kc

δ = ² v w2d mk

δ

Het consolidatieproces duurt langer naarmate: 1e de samendrukkingscoëfficiënt mv groter is 2e de doorlatendheidscoëfficiënt k kleiner is 3e de laagdikte 2d groter is; te neemt kwadratisch toe met de laagdikten, dit wordt het

"laagdikte-effect" genoemd. Voor een aantal gevallen is te hieronder berekend. Tabel IV-2 Grondsoort Laagdikte mv k in δw in te in

m m²/kN m/s kN/m³ s

Zand 0.02 10-4 10-4 10 0.002

Zand 2.00 10-4 10-4 10 20

Klei 0.02 10-3 10-10 10 2x104= 5.5uur

Klei 2.00 10-3 10-10 10 2x108= 6.3jaar Uit de tabel blijkt dat bij goed doorlatende grondsoorten de consolidatietijd praktisch te verwaarlozen is, maar bij slecht doorlatende gronden zeer lang kan zijn. Tevens blijkt de tijdsbesparing door het onderzoek van dunne monsters (2cm). Voorbeeld In het midden van een veenlaag van 6 m dik wordt een wateroverspanning gemeten van 20 kN/m². Dit is veroorzaakt door een ophoging van het terrein met 2 m zand van 16 kN/m³. In het laboratorium wordt voor het veen bepaald: k = 10-8 m/s mv = 2 x 10-3 m²/kN

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 9-

Vraag 1: Hoe lang geleden is die zandlaag aangebracht?

Dit berekenen we volgens t = 2

v

v

dTc

, maar om in dit tussenstadium Tv te bepalen, moeten we

eigenlijk de hele reeksontwikkeling erbij halen. We nemen een benadering, zie figuur 8. De opgebrachte bovenbelasting is 2 m zand van 16 kN/m³, dus 32 kN/m², en dit is de oorspronkelijke wateroverspanning. Links van de parabool is de wateroverspanning er nog wel; rechts niet meer, en daar is de consolidatie dus voltooid. Het oppervlak rechts is dus een maat voor het consolidatiepercentage, en zo kunnen we Tv bepalen. Berekening : - oppervlak rechthoek = 32 x 2d

- oppervlak parabool = 23

x basis x hoogte = 23

x 2d x 20 = 13.3 x 2d

- oppervlak "rechts" = 18.7 x 2d = 58 %, en dat is dus het consolidatiepercentage U In tabel 2 gaan we rechtlijnig interpoleren tussen U = 50 % en 60 %, en dan vinden we Tv = 0.27 (volgens de exacte reeksontwikkeling was dit 0.285 geweest). Verder rekenen:

cv = -8

-3v w

k 10 = 2 x x 10m 10δ

= 0.5x 10-6 m²/s

t = ² 2v

-6v

d 0.27 x (3 )T = 0.5 x c 10

= 4.86 x 106 s = 56 dagen.

Vraag 2: Hoeveel wordt de eindzetting en wanneer wordt die bereikt? Eindzetting = s∞ = 2d mv p = 6 x 2 x 10-3 x 32 = 0.38 m.

Wanneer? te = ²-6

v

2d 2 x 9 = 0.5 x c 10

= 417 dagen.

Internationale notaties De wet van Terzaghi die het verband tussen de vervorming en de spanning na consolidatie uitdrukt wordt internationaal als volgt genoteerd:

c' + 'e = C .log

'σ Δσ⎛ ⎞Δ ⎜ ⎟σ⎝ ⎠

met

h

d

d h0 0 0

d d

VVh V e

V Vh V 1 eV V

ΔΔ Δ Δ

= = =++

kunnen we dit als volgt herbeschrijven:

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 10-

c

0 0 0

Ch e 1 ' '. .lnh 1 e 1 e 2.3 'Δ Δ σ + Δσ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ + σ⎝ ⎠

waaruit het verband met de samendrukkingsconstante C kan worden afgeleid:

c

0

C1C 2.3.(1 e )

=+

De constante Cc wordt de 'compression index' genoemd; analoog als hiervoor beschreven geldt bij ontlasting dezelfde vergelijking waarbij Cc wordt vervangen door Cs, de 'swelling index'. De seculaire vervorming ('secondary consolidation') wordt als volgt geformuleerd:

2

1

te C .logtα

⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

met pp

he .(1 e )hΔ

Δ = + .

Hierin zij hp en ep resp. de hoogte en het poriëngetal bij het einde van de hydrodynamische consolidatiefase ('primary consolidation'). We kunnen nu schrijven:

2

p p 1

Ch t.logh 1 e t

α ⎛ ⎞Δ= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Afleiden van de vervormingsparameters uit laboratoriumproeven Samendrukkingsproef (Oedometer) In de figuur 9a wordt schematisch weergegeven hoe het te beproeven grondmonster (doorgaans ongeroerd) wordt ingebouwd in het samendrukkingapparaat. Het monster is cilindrisch en heeft in de meeste gevallen een hoogte van ± 20 mm en een diameter van ± 65 mm. Er bestaan ook samendrukkingsapparaten met andere dimensies, doch die zijn bij ons minder in gebruik. Het monster is zijdelings gevat in een onvervormbaar veronderstelde stalen ring en is bovenaan en onderaan in contact met een drainerende poreuze steen. Het geheel is opgesteld in een waterreservoir zodat, bij het beproeven van verzadigde monsters, de verzadiging ten alle tijd bewaard blijft. De onderste poreuze steen steunt op een vaste aanslag van het apparaat, boven op de bovenste poreuze plaat bevindt zich een stijve stalen belastingsplaat die de verticale lasten (meestal aangebracht via een juk met hefboomsysteem, figuur 9b) via de poreuze steen op het monster overdraagt. Het monster kan enkel in verticale richting vervormen. In horizontale richting is

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 11-

door de stijve stalen ring elke vervorming verhinderd; de horizontale spanningen worden bij routinematig uitgevoerde proeven niet opgemeten. Het exacte proefverloop kan variëren van proef tot proef. Steeds zal men een aantal belastingstrappen en één of meerdere ontlastingstrappen, al dan niet gevolgd door een herbelasting aanbrengen. Een belastingstrap bestaat uit het aanbrengen van een bijkomende belasting bij de reeds op het monster heersende belasting, wanneer het monster onder de heersende belasting geconsolideerd is (dit is wanneer inwendig in het monster geen poriënwateroverspanningen meer aanwezig zijn). Bij zulke belasting meet men de tijd-zakkingscurve op volgens een logaritmische indeling van de tijdsintervallen. Deze curve (zie fig. 5) heeft doorgaans een typische s-vorm. Bij de proeven zoals courant in België uitgevoerd neemt men aan dat de consolidatie is beëindigd (en dus mag worden bijbelast) indien de zettingstoename Δs over een periode van 24 u ≤ 4 µm. In sommige landen wordt zulk criterium niet gerespecteerd en worden de opeenvolgende belastingstrappen met vaste tijdsintervallen aangebracht (bijvoorbeeld om de 24 u of 48 u). Bij een ‘standaardproef’ zullen volgende belastingstrappen en ontlastingstrappen worden gehanteerd : 30 kPa, 60 kPa, 120kPa, 240kPa en 480kPa. Merk op dat bij de belastingstrappen de lasten steeds worden verdubbeld. Dit is de gangbare werkwijze. Wanneer we nu de lasten van de verschillende belastingstrappen in abscis in logaritmische

schaal uitzetten t.o.v. de rek 0

hhΔ van het monster bekomen we een figuur zoals weergegeven

in de figuur 10. De waarden Δh zijn de uiteindelijk bekomen zettingen per belastingstap, dus na consolidatie, en h0 is de initiële hoogte van het monster onder nullast (of onder een beperkte referentiebelasting). In de figuur 10 kunnen 3 delen worden onderscheiden: - tak A: Dit is een herbelasting gezien het monster in het terrein onder een hogere

belasting σ’p onderhevig was dan bij de aanvang van de proef ; - tak B: Dit is de tak die de samendrukking van het monster bij belastingen > σ’p

aangeeft; men noemt dit de maagdelijke samendrukkingslijn. - tak C: de terugvering van het monster bij ontlasting. In de figuur 11 worden de takken A en B schematisch aangegeven. Het snijpunt van beide assen is benaderend de spanning waaronder het monster reeds werd geconsolideerd: de heersende terreinspanning σ’0 in het geval van normaal geconsolideerde grond of de spanning die in het verleden aanwezig was, doch om geologische of andere redenen is verdwenen in het geval van overgeconsolideerde grond. (σ’p) De samendrukkingsproef laat ons dus toe een goede benadering te vinden van de overconsolidatiegraad van een grond (door A. Casagrande werd een grafische methode opgesteld om bij benadering uit het samendrukkingsdiagram de waarde van de preconsolidatiespanning σ’p te bepalen):

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 12-

0

''pOCR

σσ

=

Deze verhouding wordt bij sommige theoretische of empirische verbanden gebruikt om het cijfer van overconsolidatie op sommige grondparameters in rekening te brengen. Zo stelt men bijvoorbeeld dat de gronddrukcoëfficiënt K0 gelijk aan: K0 = (1 - sin ϕ’) OCR Voor de tak B, die de eigenlijke samendrukking van het monster onder een opgelegde belasting aangeeft, werd dus de mathematische formulering voorgesteld door Terzaghi:

1 ' 'ln'

hh C

σ σσ

Δ + Δ=

en kan de samendrukkingsconstante C van de grond worden berekend uit de helling van de tak B. Analoog kan uit de helling van de ontlastingscurve de ontlastingsconstante A worden afgeleid.

Ter bepaling van de consolidatiecoëfficiënt cv uit een samendrukkingsproef zijn enkele methoden ontwikkeld; de t - methode van Taylor en de log t - methode van Casagrande zullen hier worden besproken. Bij de log t - methode wordt een grafiek gemaakt waarbij op de ene as de zetting s wordt uitgezet en op de andere log t (zie figuur 12). We tekenen log t, en dus kunnen we s niet plotten voor t < 1 s. Het punt A wordt geconstrueerd als snijpunt van de raaklijn in het buigpunt van het middelste deel van de kromme en de asymptoot van het rechterdeel. Er wordt aangenomen dat punt A de eindzetting weergeeft (U = 100%). Uit deze grafiek is de initiële zetting s0 waarschijnlijk veroorzaakt door de aanwezigheid van lucht in het monster, niet zonder meer te bepalen. Vandaar de volgende werkwijze ter bepaling van de start van de consolidatie: We weten dat voor U < 52.6% het verband U - Tv zeer goed kan worden benaderd door een

parabool: U = 2π vT

In het begin verloopt de zetting parabolisch volgens

st = 2 h mv . p 2π

vT = 2 h mv . p . 2π

²

vtcd

De zetting voor t = 0 tot t = 1 sec is gelijk aan de zetting voor t = 1 sec tot t = 4 sec. Dat is een eigenschap van een parabool. Door de zetting tussen t = 1 sec en t = 4 sec naar boven uit te zetten, kan s0 bepaald worden: punt B. De hoogte van B naar A is nu de eindzetting s∞. Omdat A niet zo nauwkeurig bepaald is, rekenen we verder met de eerste helft van s, genaamd st 50%. De bijbehorende tijd is t50%. Tv,50% is gekend (zie tabel 2): Tv,50% = 0.197.

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 13-

cv wordt als volgt berekend : cv = ² ² 50%v v

50%

d d .T T= t t

cv = ²50%

0.197 dt

Verder kunnen mv en k nog berekend worden: s∞ = 2 d mv . p

Dus mv = ∞s2d . p

en uit cv = k

mv wδ

volgt k = cv mv δw. Voorbeeld van toepassing Een kleimonster werd samengedrukt onder een belasting van σ’ = 62 kN/m². Nu wordt de belasting op 124 kN/m² gebracht en de afgelezen samendrukkingen uitgezet in een semi-logaritmisch diagram in funktie van de tijd. Men verkrijgt de kromme ABCD van de fig. 13. Door toepassing van de hoger aangehaalde constructie bepaalt men de referentielijn αα die als nulpunt van de hydrodynamische zettingen wordt aangenomen. Het snijpunt der raaklijn in B met de rechte CD geeft de grens der hydrodynamische zettingen. Het punt β overeenstemmend met 50 % van de totale zetting komt overeen met een tijdspanne t50% = 22 min. Bij de t - methode wordt ook gebruikt gemaakt van het parabolisch verloop van de zettingen voor U < 52.6%. In de figuur 14 wordt de zetting uitgezet t.o.v. de vierkantswortel van de tijd. Behalve een beperkte afwijking bij het begin van de proef kan worden vastgesteld dat het verloop aanvankelijk min of meer lineair is (rechte AB). Verder is geweten dat de parabolische benadering bij een waarde U = 90% een afwijking geeft van de 15% t.o.v. de correcte theoretische waarde. Tekenen we nu een rechte AC waarvoor geldt OC = 1.15 OB, dan geeft het snijpunt met de experimenteel opgemeten curve st,90% en

90%t . Mits de kennis van Tv,90% = 0.848 kan een analoge formule worden opgesteld:

cv = 9

9

² ² 0%v v

0%

d d .T T = t t

Constant rate of strain test: CRS-proef De CRS-proef wordt uitgevoerd om op een snelle wijze de vervormingsparameters van de grond af te leiden:

• Enerzijds de samendrukbaarheid, om de verticale vervormingen (zettingen, zakkingen) te begroten van de grond die verticaal wordt belast

• Anderzijds de consolidatiekarakteristieken, om het tijdsverloop van de vervormingen voor weinig doorlatende gronden te berekenen.

Een grondmonster wordt tussen 2 poreuze stenen ingebouwd in een aangepaste triaxiaalcel. Via een drukpers wordt de belasting met een constante vervormingssnelheid opgevoerd

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 14-

terwijl het monster slechts aan één zijde kan draineren. Tijdens de proef worden verticale vervorming, belasting en poriënwateroverspanning in het monster continu geregistreerd. Na de belasting van het monster kan eveneens geopteerd worden voor een ontlasting-herbelasting van het monster. Omwille van de continu variërende belasting kan de één-dimensionale consolidatietheorie van Terzaghi niet meer worden gehanteerd. Voor interpretatie van de proefresultaten worden de niet-lineaire vervormingstheorieën van Wissa of Lee gebruikt. De resultaten van de proef worden voorgesteld in een s - log σ’ diagram, zoals ook voor de samendrukkingsproef kan gebeuren. Men beschikt in de CRS-proef wel over veel meer datapunten, zodat met een veel grotere nauwkeurigheid de preconsolidatiespanning van het grondmonster kan worden afgeleid. Uit de proef worden ook de consolidatie- en doorlatendheidscoëfficiënt berekend. Bender element proef De bender element test laat toe de maximale vervormingsmoduli Go en Eo op een directe wijze te bepalen. In een klassieke triaxiaalcel worden zowel in top- als bodemplaat twee piëzo-ceramische elementen ingebouwd. Na het inbouwen van het monster in de triaxiaalcel wordt een excitatievoltage naar een piëzo-ceramisch element gestuurd waardoor het gaat trillen en aldus een trillingsgolf door het grondmonster stuurt. Deze trilling wordt door het andere element terug opgevangen en omgezet in een voltage. Door het meten van het tijdsverschil tussen zend- en ontvangstsignaal kan de golfsnelheid van de trilling in het grondmateriaal worden berekend en op die manier ook de maximale glijdingsmodulus Go of elasticiteitsmodulus Eo. Gelet op de spanningsafhankelijkheid van deze moduli moet elke waarde dan ook worden gerelateerd aan een bepaalde spanning.

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 15-

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 16-

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 17-

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 18-

__________________________________________________________________________________________ Ie-net, 09/11/16 - 19-

Oefeningen Opgave 1: Berekening van de spanningen in een grondmassief. Een eerste watervoerend zandpakket heeft een dikte van 4m en de freatisch watertafel bevindt zich op 2m onder het maaiveld. Dit zandpakket wordt gescheiden door een 2m dikke kleilaag van een tweede watervoerende zandpakket. Waterstandspijpen in dit tweede zandpakket tonen een waterniveau nagenoeg gelijk aan het maaiveldniveau. Droog en nat volumegewicht van het zand bedragen respectievelijk 16 kN/m³ en 20 kN/m³. Voor de klei mag worden gerekend met 15 kN/m³ en 18 kN/m³. De doorlatendheidscoëfficiënt van de klei bedraagt 2 x 10-9 m/s. Gevraagd: Teken en bereken het verloop van totaalspanningen, waterspanningen en korrelspanningen over dit lagenpakket. Opgave 2: Zettingen ten gevolge van bemaling in een freatische watertafel In een homogeen leemhoudend zandpakket dient de watertafel van 1m onder het maaiveld met 3m te worden neergeslagen. Droog en nat volumegewicht bedragen respectievelijk 15 kN/m³ en 19kN/m³. De samendrukkings- en ontlastingsconstante van het leemhoudend zand zijn respectievelijk 40 en 250. Gevraagd:

1) Bereken het initiële verloop van de korrelspanningen 2) Bereken de korrelspanningen na neerslaan van de watertafel 3) Bereken de zettingen ten gevolge van deze watertafelverlaging

Opgave 3: Zettingen ten gevolge van bemaling in gespannen water (artesische watertafel) Voor het grondlagenprofiel in opgave 1 dienen de waterdrukken van het tweede watervoerende pakket met 4m waterkolom te worden verlaagd (artesische bemaling). C en A van het zand zijn respectievelijk 70 en 400. C en A van de klei bedragen 15 en 40. Gevraagd:

1) Bereken de korrelspanningen na reductie van de waterdrukken in het tweede zandpakket

2) Bereken de zettingen ten gevolge van deze artesische bemaling Opmerking: Bij freatische bemaling van samenhangende gronden kunnen ten gevolge van het uitdrogen krimpverschijnselen optreden die op hun beurt aanleiding geven tot niet onbelangrijke zettingen. Hier is in deze lezing niet dieper op ingegaan.

1

Samendrukbaarheid van grondBasisbegrippen voor de berekening van zettingen

Prof dr ir Wim HaegemanLabo Grondmechanica, Universiteit Gent

VIVES, studiegebied IW&T

Overzicht van de lezing

Begrip spanningenSamendrukbaarheid van grondTotale zettingenConsolidatieParameterbepaling via laboproevenRekenoefeningen

Soil Mechanics and Foundations, 3rd edition, Muni Budhu

2

Normaalspanning

(Druk = positiefGeen trekspanningen in grond)

Schuifspanning

(τ = 0, σ = hoofdspanning)

3

Effectieve spanning!!!

≠ contactspanning

(pos) (pos of neg)

τ = τ’

σ = σ’ + u σ’ = σ - u

Waterspanning

FO

σ = γsat.z u = γw.z

4

Toepassingsvoorbeeld

88

126

176

226

1540

60

(bij zekere rek!)

Δz = Δz1 + Δz2

(Superpositie)

5

E

E0

(Vloeigrens/ Yield)

Permanente vervorming

Gedrag van grond!

6

Samendrukbaarheid van grond

Korrelskelet: lucht, water, korrels (verschuiving/indrukking)Verticale vervorming bij zijdelingse opsluitingTijdsafhankelijk gedrag

poriënwater is meest weerstandbiedendwateroverspanning zorgt voor gradiënttoename effectieve spanning, afname waterspanningconsolidatiefenomeen (primaire zetting)secundaire zetting (kruip…)

Consolidatietheorie

t = 0u0 = 0

(ogenblikkelijk)

= Δσz

Δu0 = Δσz

ΔV= 0 Δσ’z = 0

7

Consolidatietheorie

t = t1

ΔV = Δz.A

Δu < Δσz

εp = εz = Δz/H0 Δσ’z = Δσz - Δu

σ’ ≠ cte

σ’ = cte, Δu = 0, kruip

(H0, k, Hdr)

(reeds vanaf t = 0)

Samendrukbaarheid van grond

(hydrodynamische zetting)

elastische zetting

8

Totale primaire zetting

Δh = h/C . ln (σz0’+ Δσ’/σz0’)

Δh = samendrukking onder Δσ’ (= ρpc)h = hoogte monsterC = samendrukkingsconstanteΔσ’= spanningstoenameσz0’ = heersende effectieve spanning

Vlaamse formule:

Totale zetting

Wet van Hooke

(tangent/constrained)

= 1/mv ≠ cte

Δh = h.mv.Δσ’ (benaderend)

Kwaliteit neem toe in diepte: hoe groter σ’, hoe groter E, hoe minder vervorming

9

Totale zetting: internationale notatie

Samendrukkingsindex:

( Dus : Cc /(1 + e0) = 2.3 / C )

PreconsolidatiespanningMonstername:σ’ = - ΔuPos Neg

zuigspanningAB = zwellen

σz0’ = (γsat - γw).z = γ’.z

10

Totale primaire zetting

Totale primaire zetting

ρpc = H0/A . ln (σfin’/σz0’)

( Dus : Cr /(1 + e0) = 2.3 / A)A = ontlastingsconstante

Vlaamse formule:

11

Totale primaire zetting

Cc/Cr ≈ 10 voor zand (effect voorbelasten)Cc/Cr ≈ 1 à 3 voor kleiOvergeconsolideerde grond: grote horizontale spanningen (σh’ ≥ σv’)

Zettingen: oefening

Een samendrukkingsproef op een verzadigde klei levert de volgende resultaten:Cc = 0.2 ; Cr = 0.04 ; OCR = 4.5. De verticale effectieve spanning op deontnamediepte is 130 kPa. De fundering van een gebouw verhoogt de spanningop die diepte met 150 kPa. De klei ter plaatse is 2 m dik en heeft eenwatergehalte van 28%. Wat is de zetting van de kleilaag?

12

Zettingen: oefeningDe funderingen van een gebouw rusten op een kleilaag met variërende dikte.De ene fundering veroorzaakt een spanningsverhoging van 100 kPa op een3m dikke laag, de andere fundering een spanningsverhoging van 150 kPa opeen 5 m dikke laag. mv = 3 x 10-4 m²/kN.Wat is de differentiële zetting tussen deze funderingen?

Consolidatietheorie

Homogeen/verzadigdKorrel en water niet samendrukbaar, dus vervorming van korrelskelet1 dimensionale verticale stromingWet van Darcy is toepasbaarVervormingen klein

13

Hydrodynamische zakkingswet van Terzaghi

Verzadigd, isotroop, homogeenDarcy geldigVerticale stromingVervormingen klein: kz en mv = cteΔV = ΔVw = ΔVν = Δz.dx.dyΔσz’ = Δu

Hydrodynamische zakkingswet van Terzaghi

(m²/yr)

Stromingsvgl.cv = cteIn praktijk: cv = f(σz’)

14

Zakkingswet: randvoorwaarden op t = 0

Hydrodynamische zakkingswet vanTerzaghi

t = ∞

t = 0, Tv = 0

t > 0

Fourierreeks (eveneens numeriek mogelijk, eindige differenties)

M = (π/2)(2m+1)

15

Consolidatiegraad versus tijdsfactor

= kz.t/mv.γw.H²dr

Tweezijdige drainage, Δu uniform0 ≤ U ≤ 1

(Totale) consolidatiegraad:

ρt = U.ρpc

Consolidatiegraad versus tijdsfactor

U = 1.128 √Tv

16

Consolidatiegraad versus tijdsfactor

Consolidatiegraad versus tijdsfactor

17

Consolidatiegraad versus tijdsfactor

Consolidatiegraad versus tijdsfactor

Einde consolidatieproces: Tv = 2 (U = 99.4%)

18

Consolidatie: rekenvoorbeeld

• Veenlaag 6 m dik (tweezijdige drainage)• Belasting: 2 m zand 16 kN/m³• midden laag: u = 20 kPa• k = 10-8 m/s• mv = 2 x 10-3 m²/kN• Hoelang geleden is belasting aangebracht?• Hoe groot is eindzetting en wanneer bereikt?

Consolidatie: rekenvoorbeeld

19

consolidatie: oefeningEen samendrukkingsproef op de klei toont dat 90% van de zetting is opgetredenna 40 minuten voor een 20 mm dik grondmonster. Wanneer zal op het terrein50% van de zetting zijn opgetreden?

Secundaire zetting

Coëfficiënt van secundaire compressie

= f(t)!; ρpc ≠ f(t)p

20

Samendrukkingsapparaat (Oedometer)

(ASTM D2435)

Samendrukkingsapparaat (Oedometer)

21

Samendrukkingsapparaat (Oedometer)

Preconsolidatiespanning via Casagrande

(Min. R)

22

Log t methode van Casagrande

(buigpunt)

Cα!! Cα = f(σz’)

U = 1.128√TvDus ρt ~ √tt2 = 4.t1Dan ρt2/ρt1 = 2→ d0%→ d50%→ t50 met Tv = 0.197

cv = f(σz’)kz = cv.mv.γw

(theoretisch)

(theoretisch) = ρt/ρpc (meting)

√t (meting)

U = 0.98 √Tv

U = 1.128 √Tv

90%

√t methode van Taylor

(U = 90%, Tv = 0.848)kz = cv.mv.γw

23

√t methode van Taylor

24

25

CRS (Constant Rate of Strain)

Bender element test

26

Oefening 1: spanningen

ZAND

ZAND

KLEIγd = 15 kN/m³γn = 18 kN/m³k = 2.10-9 m/s

γd = 16 kN/m³γn = 20 kN/m³ 2 m

4 m

2 m

Oefening 1: spanningen

γd = 15 kN/m³γn = 18 kN/m³k = 2.10-9 m/s

γd = 16 kN/m³γn = 20 kN/m³

kPa

ZAND

ZAND

KLEI

32

60

20 72

108

z (m)

σ’

27

Oefening 2: zetting tgv bemaling

1m

3m

Leemhoudend zandγd = 15 kN/m³γn = 19 kN/m³C = 40A = 250

Oefening 2: zetting tgv bemaling

Leemhoudend zandγd = 15 kN/m³γn = 19 kN/m³C = 40A = 250

kPa

z (m)

15

50

30

110

72

6m

σ1

σ2

u1

60

20 98

u2

Tussen 1 en 4m: • lineaire toename Δσ’ van 0 tot 18kPaOnder 4m: • Δσ’ = cte = 18 kPaγn ipv γd : Δσ’ = 30 kPa

28

Oefening 2: zetting bvb tot 6m

kPa

z (m)

15

6m

σ’2

60

78

42

60

σ’1

Δh = 3/40 . ln (28.5+ 9/28.5)= 0.021 m

Δh = 2/40 . ln (51+ 18/51)= 0.015 m

Bij Δσ’ = 30 kPa Δh = 0.055m!Zetting tot Δσ’ < 10% σ’1

Oefening 3: artesische bemaling

σ’ (kPa)

32

52

48

z (m)

σ’1

68 108

88

σ’2

8m

Δh = 2/15 . ln (50+20/50)= 0.045 m

Δh = 2/70 . ln (58+40/58)= 0.015 m