130926 hoorcollege 2

of 112 /112
Docentencursus relativiteitstheorie Tweede college Marcel Vonk 26 september 2013

Embed Size (px)

description

Presentatie bij het tweede hoorcollege van de docentencursus relativiteitstheorie aan de UvA, 26 september 2013

Transcript of 130926 hoorcollege 2

  • 1. Docentencursus relativiteitstheorie Tweede college Marcel Vonk 26 september 2013

2. 2/112 Inhoud 2e hoorcollege 1. Hoofdpunten eerste hoorcollege 2. Eenheden in de ruimtetijd 3. Tijdsdilatatie 4. Lorentzconractie 5. Lorentztransformaties 6. De ladderparadox 7. De tweelingparadox 3. 1. Hoofdpunten eerste hoorcollege 4. 4/112 Eerste hoorcollege We hebben de eigenschappen van ruimte en tijd bekeken. Klassiek zijn dit twee onafhankelijke begrippen; in de relativiteitstheorie zijn ze nauw met elkaar verbonden. 5. 5/112 Eerste hoorcollege Klassiek: als de waarnemers hun onderlinge snelheid (v) kennen, kunnen ze hun cordinaten in die van de ander omrekenen. tt vtxx ' ' Galile- transformaties 6. 6/112 Eerste hoorcollege Klassiek: als de waarnemers hun onderlinge snelheid (v) kennen, kunnen ze hun cordinaten in die van de ander omrekenen. tt vtxx ' ' Veranderlijk Absoluut 7. 7/112 Eerste hoorcollege In het relativistische beeld van ruimte en tijd staan staan twee postulaten centraal. Het relativiteitsbeginsel (Inertiaalstelsel = eenparig bewegend referentiekader) Elke natuurwet is in elk inertiaalstelsel geldig. 8. 8/112 Eerste hoorcollege en de onveranderlijke lichtsnelheid: Als ik vanuit een slee met snelheid v licht met snelheid c naar iemand straal, komt dat niet met snelheid u=c+v aan maar met snelheid u=c! 9. 9/112 Eerste hoorcollege Einstein gebruikte deze twee postulaten om te laten zien hoe de ruimte- en tijdlijnen lopen. 10. 10/112 Eerste hoorcollege Het eindresultaat: in Einsteins wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit: Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk! 11. 11/112 Eerste hoorcollege De ruimtetijd, bestaande uit alle gebeurtenissen, vormt n geheel. Elke inertile waar- nemer verdeelt dit geheel op zijn eigen manier in ruimte en tijd. 12. 2. Eenheden in de ruimtetijd 13. 13/112 Eenheden in de ruimtetijd In het onderstaande plaatje zijn de lijnen x=1, t=1, enzovoort, al op de juiste afstand van x=0 en t=0 gezet. Maar hoe weten we waar deze lijnen moeten staan? 14. 14/112 Eenheden in de ruimtetijd Een voor de hand liggende keuze lijkt misschien om de lijn x=1 door het punt (x,t)=(1,0) te laten lopen, en idem voor t=1. 15. 15/112 Eenheden in de ruimtetijd Als we de situatie vanuit de groene waarnemer bekijken zien we echter dat dit in strijd is met het relativiteits- beginsel. 16. 16/112 Eenheden in de ruimtetijd Als we de situatie vanuit de groene waarnemer bekijken zien we echter dat dit in strijd is met het relativiteits- beginsel. 17. 17/112 Eenheden in de ruimtetijd De zwarte lijnen in het groene frame staan op afstand 1-2 van de oorsprong. (=v/c) BORD 18. 18/112 Eenheden in de ruimtetijd Als we de groene lijnen links een afstand x uit elkaar zetten, staan de zwarte lijnen rechts een factor 1/x verder uit elkaar. 19. 19/112 Eenheden in de ruimtetijd Als we de groene lijnen links een afstand x uit elkaar zetten, staan de zwarte lijnen rechts een factor 1/x verder uit elkaar. 20. 20/112 Eenheden in de ruimtetijd De zwarte lijnen in het groene referentiekader staan op een afstand1-2 van de oorsprong. Als we de groene lijnen een afstand x uit elkaar zetten, staan de zwarte lijnen een factor 1/x verder uit elkaar. We moeten dus de groene lijnen een afstand (1-2) uit elkaar zetten. 21. 21/112 Eenheden in de ruimtetijd In een animatie zien we dat dit inderdaad werkt: 22. 22/112 Eenheden in de ruimtetijd In een animatie zien we dat dit inderdaad werkt: 23. 23/112 Eenheden in de ruimtetijd De ruimte- en tijdlijnen van een referentiekader dat met snelheid v beweegt, staan een afstand (1-2) uit elkaar. (=v/c) 24. 3. Tijdsdilatatie 25. 25/112 Tijdsdilatatie Bekijk de volgende twee gebeurtenissen in de ruimtetijd: 26. 26/112 Tijdsdilatatie Voor de groene waarnemer gaat het om twee gebeurtenissen die op plaats x=0 op tijden t=0 en t=1 gebeuren. 27. 27/112 Tijdsdilatatie We kunnen de gebeurtenissen dus zien als twee tikken op zijn klok die (voor hem) een seconde na elkaar plaatsvinden. 28. 28/112 Tijdsdilatatie Voor de zwarte waarnemer gebeuren de twee tikken, omdat de groene waarnemer beweegt, zon 0,6 ls uit elkaar. 29. 29/112 Tijdsdilatatie Verrassender: voor de zwarte waarnemer gebeuren de twee tikken met een tijdsinterval van ongeveer 1,2 s. 30. 30/112 Tijdsdilatatie De klok van de groene waarnemer lijkt voor de zwarte waarnemer dus langzamer te lopen! 31. 31/112 Tijdsdilatatie Dit langzamer lopen van bewegende klokken wordt tijdsdilatatie genoemd. Voor de taalpuristen: Nederlands: tijd(s)dilatatie Engels: time dilation NiNa: tijdrek 32. 32/112 Tijdsdilatatie We kunnen aan de hand van het diagram een formule voor de tijdsdilatatie uitrekenen, maar er is een meer inzichtelijke manier. 33. 33/112 Tijdsdilatatie We bekijken de onderstaande lichtklok, die voor een stilstaande waarnemer eenmaal per seconde tikt. 34. 34/112 Tijdsdilatatie Zodra we de klok in beweging brengen, zien we het licht tussen twee tikken een langere, diagonale afstand afleggen. 35. 35/112 Tijdsdilatatie We zien de klok dus (zoals verwacht) langzamer lopen dan een waarnemer die ten opzichte van de klok stilstaat! 36. 36/112 Tijdsdilatatie Met de stelling van Pythagoras rekenen we nu eenvoudig de tijd tussen twee tikken uit. 37. 37/112 Tijdsdilatatie t : Tijdsduur voor de meebe- wegende waarnemer (tijd op de stilstaande klok) t : Tijdsduur voor de niet mee- bewegende waarnemer (tijd op de bewegende klok) BORDtt 2 1 1 ' 38. 38/112 Tijdsdilatatie De Lorentzfactor (met =v/c) komt in de relativiteits- theorie veel voor. De formule wordt dus vaak geschreven als 2 1 1 tt' 39. 39/112 Tijdsdilatatie Opmerking: dit is geen gevolg van de speciale keuze van de gebruikte klok! 1) We zagen de tijdsdilatatie al in het ruimtetijddiagram, voor we een type klok kozen. 40. 40/112 Tijdsdilatatie Opmerking: dit is geen gevolg van de speciale keuze van de gebruikte klok! 2) We kunnen een ander type klok naast de lichtklok houden; de klokken lopen voor beide waarnemers gelijk. 41. 41/112 Tijdsdilatatie Opmerking: dit is geen gevolg van de speciale keuze van de gebruikte klok! 3) Experimentele bevestiging: Hafele en Keating (1971). 42. 42/112 Tijdsdilatatie Een klok die in rust met tijdsintervallen t tikt, tikt als hij met een snelheid v beweegt, met grotere tijdsintervallen t = t. 43. 4. Lorentzcontractie 44. 44/112 Lorentzcontractie Bekijk de volgende twee wereldlijnen in de ruimtetijd: 45. 45/112 Lorentzcontractie Voor de groene waarnemer gaat het om de wereldlijnen van twee objecten die zich in rust op plaatsen x=0 en x=1 bevinden. 46. 46/112 Lorentzcontractie We kunnen de objecten dus zien als twee uiteinden van een meet- lat die (voor hem) een lichtseconde (300.000 km) lang is. 47. 47/112 Lorentzcontractie Voor de zwarte waarnemer bevin- den zich de uiteinden zon 0,8 ls uit elkaar. 48. 48/112 Lorentzcontractie De meetlat van de groene waarnemer lijkt voor de zwarte waarnemer dus korter te zijn! 49. 49/112 Tijdsdilatatie Dit korter zijn van bewegende meetlatten wordt Lorentzcontractie genoemd. (Ook wel Lorentz-Fitzgeraldcontractie of lengtecontractie.) NiNa: ruimtekrimp 50. 50/112 Lorentzcontractie We weten al hoe ver de groene ruimtelijnen in het zwarte referentie- kader uit elkaar staan, dus we kunnen onmiddelijk de formule opschrijven. 51. 51/112 Lorentzcontractie L : Lengte van de meetlat in rust. L : Lengte van de bewegende meetlat. LL 2 1' 52. 52/112 Lorentzcontractie Met behulp van de lorentzfactor wordt dit ook vaak geschreven als L L' 2 1 1 53. 53/112 Lorentzcontractie Een intutieve manier om de Lorentzcontractie af te leiden is aan de hand van muonen die ontstaan als kosmische straling de dampkring binnenkomt. 54. 54/112 Lorentzcontractie Een muon heeft een halfwaardetijd van 2,2 s. Zelfs als het met de lichtsnelheid reist, zou een gemiddeld muon dus na zon 660m vervallen. 55. 55/112 Lorentzcontractie Toch bereiken veel muonen het aardoppervlak, ondanks het feit dat ze op tientallen kilometers hoogte ontstaan! 56. 56/112 Lorentzcontractie We kunnen dit resultaat op twee manieren begrijpen. 1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon zo snel zien bewegen, lijkt zijn klok veel langzamer te lopen. De vervaltijd lijkt voor ons dus maal zo lang. 57. 57/112 Lorentzcontractie We kunnen dit resultaat op twee manieren begrijpen. 2) Lorentzcontractie: voor het muon zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 s. De op hem af komende atmosfeer lijkt echter veel dunner. 58. 58/112 Lorentzcontractie Kortom: om hetzelfde effect te bereiken, moet de atmosfeer een zelfde factor dunner lijken: L L'tt' 59. 59/112 Lorentzcontractie Een meetlat die in rust een lengte L heeft, heeft als hij met een snelheid v beweegt een kortere lengte L = L/. 60. 5. Lorentztransformaties 61. 61/112 Lorentztransformaties We hebben nu ook kwantitatief gezien wat de effecten van de relativiteits- theorie zijn op ruimte en tijd. Lorentzcontractie tijdsdilatatie 62. 62/112 Lorentztransformaties Aangezien we weten hoe de ruimte- en tijdlijnen van de bewegende waarnemer lopen, kunnen we natuur- lijk ook willekeurige cordinaten van gebeurtenissen in elkaar omrekenen. 63. 63/112 Lorentztransformaties Deze Lorentztransformaties behoren niet tot de exameneisen, maar het kan voor de docent nuttig zijn ze toch te kennen: )(' )(' txx xtt 64. 64/112 Lorentztransformaties De transformaties zijn in deze eenvoudige vorm geldig als we als eenheden seconden en licht- seconden gebruiken. )(' )(' txx xtt 65. 65/112 Lorentztransformaties Als we meters en seconden gebruiken verschijnt een aantal extra factoren c. )(' )(' txx xtt 66. 66/112 Lorentztransformaties Als we meters en seconden gebruiken verschijnt een aantal extra factoren c. )(' )/(' 2 tvxx cxvtt 67. 67/112 Lorentztransformaties Een voordeel van deze vorm is dat we voor lage snelheden de Galile- transformaties terug zien. )(' )/(' 2 tvxx cxvtt BORD 68. 68/112 Lorentztransformaties Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie zijn twee speciale gevallen van deze vergelijking. )(' )(' txx xtt BORD 69. 69/112 Lorentztransformaties Een veel voorkomende verwarring: als ruimte en tijd zo symmetrisch voorkomen Hoe kan het dan dat tijd oprekt en ruimte krimpt? )(' )(' txx xtt 70. 70/112 Lorentztransformaties Het antwoord zien we het duidelijkst in een plaatje: AB geeft de lengtecontractie weer, AC de tijdsdilatatie. 71. 71/112 Lorentztransformaties Om AD te meten zouden we een nogal vreemd experiment moeten verzinnen, waarin de bewegende waarnemer als zijn klok tikt ook iets op een andere plaats laat gebeuren. 72. 72/112 Lorentztransformaties Dit experiment zou het tijds- equivalent van het meten van Lorentzcontractie zijn. 73. 73/112 Lorentztransformaties Willekeurige ruimtetijdcordina- ten kunnen we omrekenen met )(' )(' txx xtt 74. 6. De ladderparadox 75. 75/112 De ladderparadox Om tijdsdilatatie en Lorentzcontractie beter te begrijpen zullen we twee bekende paradoxen bekijken. De eerste is de zogenaamde ladder- paradox. 76. 76/112 De ladderparadox Iemand rent met een ladder, die precies in een schuur past, met enorme snelheid de schuur in. Past de ladder nog altijd in de schuur? 77. 77/112 De ladderparadox 78. 78/112 De ladderparadox Vanuit de rennende waarnemer gezien wordt de schuur korter, en past de ladder dus niet. Vanuit de stilstaande waarnemer gezien wordt de ladder korter, en past de ladder dus ruim. Hoe kan dit? 79. 79/112 De ladderparadox Dat er geen tegenspraak is, zien we als we het ruimtetijddiagram bekijken. 80. 80/112 De ladderparadox Om te bepalen of de ladder past, moeten we tegelijkertijd de positie van zijn begin- en eindpunt meten. 81. 81/112 De ladderparadox Maar... Elke waarnemer heeft zijn eigen notie van gelijktijdigheid! 82. 82/112 De ladderparadox Het passen van de ladder is dus niet iets wat waarnemeronaf- hankelijk gedefinieerd kan worden. 83. 83/112 De ladderparadox De bewegende waarnemer meet bijvoorbeeld AC, en ziet dat de ladder inderdaad niet past. 84. 84/112 De ladderparadox De stilstaande waarnemer meet bijvoorbeeld AB, en ziet dat de ladder inderdaad wel past. 85. 85/112 De ladderparadox Toch lijkt er nog iets vreemds aan de hand: wat gebeurt er als de stilstaande waarnemer, zodra de ladder in de schuur is, snel de deuren sluit? 86. 86/112 De ladderparadox Ook deze vraag kunnen we beant- woorden met een ruimtetijddiagram: 87. 87/112 De ladderparadox De stilstaande waarnemer ziet bij gebeurtenis (A) de achterkant van de ladder de schuur in vliegen, en sluit de deuren. 88. 88/112 De ladderparadox Bij (B) botst vervolgens de voorkant van de ladder tegen de dichte voordeur van de schuur. 89. 89/112 De ladderparadox Voor de meebewegende waarne- mer is deze gebeurtenis gelijktijdig met (C) voor hem is de achter- kant van de ladder nog buiten. 90. 90/112 De ladderparadox De meebewegende waarnemer ziet de ladder dus samengeperst worden tot bij (A) ook de achterkant de schuur in vliegt. 91. 91/112 De ladderparadox Kunnen we geen ladder maken die oneindig stijf en dus niet samen te persen is? 92. 92/112 De ladderparadox Nee: de schokgolf van de botsing rechts beweegt met hooguit de lichtsnelheid door de ladder heen het duurt dus even voor de achterkant weet dat de voorkant stilstaat! 93. 93/112 De ladderparadox Uiteindelijk bereikt de schokgolf natuurlijk de voorkant van de ladder wel, en zal de ladder in stukken uit elkaar spatten. 94. 7. De tweelingparadox 95. 95/112 De tweelingparadox Een tweede paradox geeft meer inzicht in de tijdsdilatatie: de tweelingparadox. 96. 96/112 De tweelingparadox Ronald reist met een enorme snelheid naar een ver sterrenstelsel, keert daar om en reist met dezelfde snelheid weer terug. Is Ronald bij terugkomst jonger dan Frank, of andersom? 97. 97/112 De tweelingparadox Frank ziet Ronald steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds klok langzamer lopen, dus Ronald zou jonger moeten zijn. Ronald ziet Frank steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Franks klok langzamer lopen, dus Frank zou jonger moeten zijn. 98. 98/112 De tweelingparadox De situatie lijkt volkomen symme- trisch, maar is dat niet! We hebben het tot nu toe alleen over bewegingen met constante snelheid gehad, maar hier is meer aan de hand: Ronald keert namelijk om, en verandert zijn snelheid. 99. 99/112 De tweelingparadox Hoewel snelheid relatief is (we kunnen niet definiren wie beweegt en wie stilstaat) is verandering van snelheid dat niet! We kunnen zonder problemen ontdekken wie er van snelheid verandert en wie niet. 100. 100/112 De tweelingparadox Frank verandert niet van snelheid, dus zijn waarnemingen zouden juist moeten zijn. Ronald moet bij thuis- komst jonger zijn. Hoe kunnen we dit uit Ronalds perspectief begrijpen? 101. 101/112 De tweelingparadox Wederom helpt een ruimtetijddiagram om de oplossing te begrijpen. 102. 102/112 De tweelingparadox De steile groene lijn is een tijdlijn van Ronald op de heenreis. De vlakke groene lijn is een van zijn ruimtelijnen. 103. 103/112 De tweelingparadox Deze ruimtelijn gaat door de gebeurtenis Ronald keert om. De onderste rode stip (op Franks wereldlijn) is dus voor Ronald hiermee gelijktijdig. 104. 104/112 De tweelingparadox De steile blauwe lijn is een tijdlijn van Ronald op de terugreis. De vlakke blauwe lijn is een van zijn ruimtelijnen. 105. 105/112 De tweelingparadox Deze ruimtelijn gaat ook door de gebeurtenis Ronald keert om. De bovenste rode stip (op Franks wereldlijn) is dus voor Ronald hiermee gelijktijdig. 106. 106/112 De tweelingparadox Kortom: zodra Ronald omkeert slaat hij een stuk van Franks geschiedenis over. Dit is de reden dat Frank voor hem bij terugkomst ouder is. 107. 107/112 De tweelingparadox Opmerking (1). Als Ronald vertraagt en weer versnelt in plaats van abrupt omkeert zal zijn ruimtelijn snel over de missende geschiedenis heen zwiepen. 108. 108/112 De tweelingparadox Opmerking (2a). Ronald krijgt de gemiste geschiedenis van Frank wel te zien: het licht daarvan beweegt immers naar hem toe. 109. 109/112 De tweelingparadox Opmerking (2b). Alleen als Ronald corrigeert voor de lichtsnelheid merkt hij dus dat hij een stuk geschiedenis overslaat. 110. 110/112 De tweelingparadox Opmerking (3). Hoewel de verandering van snelheid hier een centrale rol speelt hoeven we niets te weten over versnelling of de algemene relativiteitstheorie! 111. 111/112 De tweelingparadox Volgende keer: Iets over de algemene relativiteits- theorie. Relativiteit in de praktijk: experi- menten en gevolgen. 112. 112/112 De tweelingparadox Laatste bijeenkomst: E=mc2. Openstaande onderwerpen Verzoeknummers?