1 Physics of Fluids – 2 e college. 2 Studiemateriaal voorlopig op .

1

Physics of Fluids – 2e college

2

Physics of Fluids – 2e college

Studiemateriaal voorlopig op http://www.srderoode.nl/teaching.htm

€

∂ρ∂t

+∇⋅ρr v = 0

3

Inhoud & Leerdoelen

Notatie: over kromme en grote D

Steady-state

Stromingsvisualisatie: streamlines, streaklines and pathlines

Euleriaanse versus Lagrangiaanse beschrijving van stromingen

Wet van behoud van massa: de continuïteitsvergelijking

€

∂

4

Notatie: I

• We beschrijven een vloeistofstroming aan de hand van

de druk p

de dichtheid ρ

de snelheidsvector , of

€

ru = u,v,w( )

Maar al deze variabelen zijn een functie van de

tijd t en positie

€

rx = x,y, z( )

x

y

z

€

rV = u1 ,u2 ,u3( )

€

rV = vx ,vy ,vz( )

5

Notatie: II

• Dit betekent dus

de druk p = p(x,y,z,t)

de dichtheid ρ ρ(x,y,z,t)

de snelheidsvector

€

ru = u x,y, z,t( )ˆ i + v x, y, z,t( )ˆ j + w x, y, z,t( ) ˆ k

source: Munson et al

ρg

6

Pascal's law

• Som der krachten in y en z

richting


ρg

Forces in the x-direction are not depicted

€

Fy = py∑ δxδz − psδxδssin θ = ρδxδyδz

2ay

€

Fz = pz∑ δxδy − psδxδscosθ - ρgδxδyδz

2 = ρ

δxδyδz2

a z

• Geometrie

€

δy = δscosθ

€

δz = δssin θ

• Substitutie

€

py − ps = ρayδy2

€

pz − ps = ρa z +ρg( )δz2

• Limiet δy en δz 0

€

ps = py = pz

Experiment: Atmosferische druk

8

massabehoud

massa balans

dMin uit

dt

9

Simpele, intuïtieve afleiding van massabehoud

• Mass flow rate: (kg/s)

Q = volume flow rate (m3/s)

A = in/uitstroomoppervlakte (m2)

V = gemiddelde snelheid loodrecht op het in/uitstroomoppervlak (m/s)


€

dMdt

= ρQ = ρAV

• Stroming is incompressibel: ρ1=ρ2

dus

10

Intuïtieve afleiding van massabehoud

• Massabehoud: instroom massa = uitstroom massa

oftewel

€

A1V1 = A2V2 ⇔ Q1 = Q2


€

ρ1A1V1 = ρ 2A2V2 ⇔ ρ1Q1 = ρ 2Q2

• straal a naald ~ 0.2 mm = 2 x 10-4 m,

naaldoppervlak A2 = a2 = 4 x 10-8 m2

11

Voorbeeld massabehoud: injectiespuit

• Inhoud spuitreservoir Volume ~ 3 ml = 3 x 10-

6 m3

• Tijdsduur t injectie ~ 10 s

Dus Q1 = Volume/t = 3 x 10-7 m3/s

• met behulp van A1V1=Q1= A2V2 volgt V2=Q1/A2 = 2.4 ms-1

€

A1V1 = A2V2 ⇔ Q1 = Q2

• Pas massabehoud toe

12

Streaklines, pathlines en streamlines

• Streakline

- Volg stromingspatroon door kleurstof los te laten op vaste plek

- Alle deeltjes op deze lijn hebben dezelfde oorsprong

• Pathline

- Volg de positie van een aantal vaste deeltjes in de stroming

• Streamline

- Plaats deeltjes in de stroming en maak foto's vlak na elkaar.

- De verandering in de positie geeft informatie over de snelheidsvector

- De raaklijn van een stroomlijn heeft dezelfde richting als de

snelheidsvector

13

Streaklines

•- Volg stromingspatroon door kleurstof los te laten op vaste plek

- Alle deeltjes op deze lijn hebben dezelfde oorsprong

CFD simulation of 2 square obstructions by San Le.

14

Pathlines

- Volg de positie van een aantal vaste deeltjes in de stroming

15

Streamlines

- Plaats deeltjes in de stroming en maak foto's vlak na elkaar.

- De verandering in de positie geeft informatie over de snelheidsvector

- De raaklijn van een stroomlijn heeft dezelfde richting als de snelheidsvector

steady state: snelheid u is constant met de tijd

in dat geval zijn pathlines, streamlines and streaklines identiek

16

Materiële afgeleide

A

Doel: bereken de versnelling van het vloeistofelementje A

Gegeven: de snelheidsvector

Wiskunde: kettingregel voor differentiëren

€

rV A =

r V A

r r A ,t( ) =

r V A xA t( ),yA t( ),zA t( ), t[ ]

€

ra A

17


€

ra A =

dr V Adt

= ∂

r V A∂t

+ ∂

r V A∂x

dxAdt

+ ∂

r V A∂y

dyAdt

+ ∂

r V A∂z

dzAdt

€

ra A =

dr V Adt

= ∂

r V A∂t

+ u A∂

r V A∂x

+ vA∂

r V A∂y

+ wA∂

r V A∂z

A

18


Beschouwing geldt voor deeltje A en alle willekeurige andere

vloeistofelementjes

€

ra =

dr V

dt =

∂r

V ∂t

+ u∂

r V

∂x + v

∂r

V ∂y

+ w∂

r V

∂z

A

19

Versnelling in afzonderlijke componenten

€

ax = ∂u∂t

+ u∂u∂x

+ v∂u∂y

+ w∂u∂z

€

ay = ∂v∂t

+ u∂v∂x

+ v∂v∂y

+ w∂v∂z

€

a z = ∂w∂t

+ u∂w∂x

+ v∂w∂y

+ w∂w∂z

€

ra =

Dr V

Dt =

∂r V

∂t + u

∂r

V ∂x

+ v∂

r V

∂y + w

∂r V

∂z

20

Materiële of substantiele afgeleide

€

D( )Dt

≡ ∂( )∂t

+ u∂( )∂x

+ v∂( )∂y

+ w∂( )∂z

€

ra =

Dr V

Dt =

∂r V

∂t + u

∂r

V ∂x

+ v∂

r V

∂y + w

∂r V

∂z

€

D( )Dt

≡ ∂( )∂t

+ r

V • ∇( )

21

Verandering van de temperatuur T(x,y,z,t)

€

DTDt

= ∂T∂t

+ u∂T∂x

+ v∂T∂y

+ w∂T∂z

Andere fysische interpretatie:

DT/Dt is de verandering van T met de tijd als we met de vloeistof

meebewegen

Maar dan is ook

€

DTDt

= ∂T∂t

Vraag: in het algemeen vinden we een bronterm ST ,

Wat betekent dat?

€

DTDt

= ST

22

Beweeg mee met windvector

Stel U = 10 km/uur

€

DTDt

= ∂T∂t

+ u∂T∂x

= 014

16

18

20

22

24

26

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

afstand tot kust parallel aan windvector (km)

t = 1 uur

Geen verandering in temperatuur waargenomen in ballon

14

16

18

20

22

24

26

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60


t = 0 s

advectie van koude lucht

23

Waarneming op vast punt (10 km vd kust)

Stel U = 10 km/uur

€

DTDt

= ∂T∂t

+ u∂T∂x

= 014

16

18

20

22

24

26

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60


t = 1 uur

14

16

18

20

22

24

26

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60


t = 0 s

€

u∂T∂x

= 10 ×1050

= 2 K/uur = -∂T∂t

advectie van koude lucht

24

Stroming langs een bol

Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door

€

u x( ) = V0 1+R3

x3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ , v x( ) = w x( ) = 0

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

x/R

25



€

u x( ) = V0 1+R3

x3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ , v x( ) = w x( ) = 0

Dan geldt voor de versnelling:

€

ax x( ) =∂u∂t

+u∂u∂x

= V0 1+R3

x3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟V0 R3 −3x−4

( )[ ] = −3V0

2

R

1+ R /x( )3

x / R( )4

€

ay = a z = 0

26



,

€

u x( ) = V0 1+R3

x3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

ax x( ) = −3V0

2

R

1+ R /x( )3

x / R( )4

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

x/R

Object V0 (m/s)

R(m)

ax,max (m/s2)

weerballon

0.3 1.2 -0.046

voetbal 7 0.25 -120

honkbal 30 0.04 -1.3x104

golfbal 70 0.023 -1.3x105

27

massabehoud

massa balans

dMin uit

dt

vtρ ρ

0

x

yz

u(x) u(x+x)

v(y+y)

v(y)

w(z+z)

w(z)

yx

z

28

massabehoud

massa instroom linkervlak in tijdsinterval t:

ρ(x,y,z) u(x,y,z) tyz

massa uitstroom rechtervlak

ρ(x+x,y,z) u(x+x,y,z) tyz

29

Massabehoud voor stroming door alle vlakken

€

M t +Δt( ) − M t( ) = instroom − uitstroom∑∑= ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( )ΔtΔyΔz

− ρ x +Δx,y,z( ) ⋅u x+Δx,y,z( )ΔtΔyΔz

+ ρ x,y,z( ) ⋅v x,y,z( )ΔtΔxΔz

− ρ x,y+Δy,z( ) ⋅v x,y+Δy,z( )ΔtΔxΔz

+ ρ x,y,z( ) ⋅w x,y,z( )ΔtΔxΔy

− ρ x,y,z+Δz( ) ⋅w x,y,z+Δz( )ΔtΔxΔy

x-richting

y-richting

z-richting

€

ρ x+Δx,y,z( ) ⋅u x +Δx,y,z( ) = ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( ) + ∂ρu∂x

Δx + Ο Δx2( )

Taylor expansie

€

ρ t +Δt( ) −ρ t( ) = ∂ρ∂t

Δt + Ο Δt 2( )

30

Massabehoud voor stroming door alle vlakken

€

M t +Δt( ) − M t( ) = ρ t +Δt( ) −ρ t( )[ ]ΔxΔyΔz∂ρ∂t

ΔtΔxΔyΔz = ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( )ΔtΔyΔz

− ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( )ΔtΔyΔz −∂ρu∂x

ΔtΔxΔyΔz

+ ρ x,y,z( ) ⋅v x,y,z( )ΔtΔxΔz

− ρ x,y,z( ) ⋅v x,y,z( )ΔtΔxΔz −∂ρv∂y

ΔtΔxΔyΔz

+ ρ x,y,z( ) ⋅w x,y,z( )ΔtΔxΔy

− ρ x,y,z( ) ⋅w x,y,z( )ΔtΔxΔy −∂ρw∂z

ΔtΔxΔyΔz

x-richting

y-richting

z-richting

€

M = ρV

Taylor

31

De continuïteitsvergelijking

€

∂ρ∂t

+∂ρu∂x

+∂ρv∂y

+∂ρw∂z

= 0

€

∂ρ∂t

+∇⋅ρr v = 0

mbv 'del' operator

€

∇= ∂∂x

,∂

∂y,

∂∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

32

De continuïteitsvergelijking voor een incompressibele stroming

€

∇⋅ r

v =∂u∂x

+∂v∂y

+∂w∂z

= 0

incompressibel: dichtheid is constant, ρ(x,y,z,t)=cst

Divergentievrije stroming

33

Samenvatting

Notatie

Steady-state

Stromingsvisualisatie: streamlines, streaklines and pathlines

Euleriaanse versus Lagrangiaanse beschrijving van stromingen

Wet van behoud van massa: de continuïteitsvergelijking

€

∇⋅ r

v =∂u∂x

+∂v∂y

+∂w∂z

= 0

34

Volgende week

Navier-Stokes vergelijking

Bernoulli

1 Physics of Fluids – 2 e college. 2 Studiemateriaal voorlopig op .

Documents

Transcript of 1 Physics of Fluids – 2 e college. 2 Studiemateriaal voorlopig op .