1 - icicm.com · Web viewUn cambio de (X1 = 0.33 en la variable codificada X1 es equivalente a un...

INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

INTRODUCCIÓN ALDISEÑO DE EXPERIMENTOS

Dr. Primitivo Reyes Aguilar

Abril, 2001

Pág. 1 de 66


CONTENIDO

1. FUNDAMENTOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

2. DISEÑOS FACTORIALES Y OTROS MÉTODOS

DE MEJORA DE PROCESOS

Pág. 2 de 66


1. FUNDAMENTOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

En muchas industrias el uso efectivo del diseño de experimentos es la

clave para obtener altos rendimientos, reducir la variabilidad, reducir los

tiempos de entrega, mejorar los productos, reducir los tiempos de desarrollo de

nuevos productos y tener clientes más satisfechos.

1.1 ¿QUÉ ES EL DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)?

Un diseño de experimentos es una prueba o serie de pruebas en las

cuales se hacen cambios a propósito en las variables de entrada de un

proceso, de tal forma que se puedan observar e identificar cambioos en la

respuesta de salida. Un proceso de manufactura es una combinación de

personas, métodos y máquinas que transforman materias primas en productos

terminados. Los productos resultantes tienen una o más características de

calidad observables o respuestas (Críticas para la calidad si el cliente reclama

por su no cumplimiento – CTQ’s). Algunas de las variables del proceso X1, X2,

X3,……, Xp son controlables o factores de control, mientras que otras Z1, Z2,

Z3, ….., Zq no son controlables (a pesar de que pueden ser controladas

durante el desarrollo de las pruebas), y se denominan factores de ruido. Los

objetivos del diseño de experimentos pueden incluir:

1. Determinar cuáles variables tienen más influencia en la respuesta, y. 2. Determinar en donde ajustar las variables de influencia x’s, de tal forma que

y se acerque al requerimiento nominal.

3. Determinar donde ajustar las variables de influencia x’s de tal forma que la

variabilidad en y sea pequeña.

4. Determinar donde ajustar las variables de influencia x’s de tal forma que los

efectos de las variables z desean minimizados.

Por lo anterior, los métodos de diseño de experimentos pueden utilizarse

ya sea para el desarrollo o la mejora de los procesos, para mejorar el

Pág. 3 de 66


desempeño o para obtener un proceso que sea robusto o insensible a fuentes

externas de variabilidad.

El control estadístico de procesos (CEP) y el diseño de experimentos

están muy relacionados. Si un proceso está en control estadístico pero no tiene

la suficiente capacidad, para reducir su variabilidad será necesario optimizarlo

a través del diseño de experimentos. El CEP es un método estadístico pasivo,

donde se observa el proceso y se espera que ocurra una señal que nos oriente

hacia un cambio útil, sin embargo, si el proceso está en control, la observación

pasiva no producirá mucha información útil. Por otra parte, el diseño de

experimentos es un método estadístico activo, donde, se realizan una serie de

pruebas en el proceso haciendo cambios en las entradas y observando los

cambios correspondientes en las salidas, esto genera información que puede

guiar hacia la mejora del proceso.

Los métodos de diseño de experimentos también pueden ser útiles para

estabilizar un proceso. Asumiendo que la carta de control muestre un proceso

fuera de control, y que el proceso tenga muchas variables de entrada

controlables, a menos que se conozca cuáles variables de entrada son las más

importantes, puede ser difícil llevar el proceso a control. Los métodos de diseño

de experimentos pueden ser usados para identificar las variables de proceso

que tienen más influencia.

El diseño de experimentos es una herramienta de ingeniería importante

para la mejora de un proceso de manufactura. Tiene también una palicación

extensa en el desarrollo de nuevos procesos. La aplicación de estas técnicas

durante el desarrollo de los procesos puede resultar en:

1. Rendimiento mejorado.

2. Variabilidad reducida y comportamineto cercano al valor nominal.

3. Tiempo de desarrollo reducido.

4. Costos totales reducidos.

Pág. 4 de 66


Los métodos de diseño de experimentos pueden también jugar un paple

mayor en las actividades de ingeniería de desarrollo de nuevos productos o

mejora de los productos actuales. Algunas aplicaciones del diseño de

experimentos incluyen:

1. Evaluación y comparación de configuraciones básicas de diseño.

2. Evaluación de alternativas de material.

3. Determinación de parámetros clave de diseño con impacto en el desempeño.

El uso del diseño de experimentos en estas áreas puede resultar en una

fabricación mejorada del producto, mejor desempeño y confiabilidad en el

campo, balos costos del producto, y tiempos de desarrollo del producto más

cortos.

1.2 GUÍAS PARA EL DISEÑO DE EXPERIMENTOSPara tener éxito en el diseño de experimentos, es necesario que todos

los involucrados en el experimento tengan una idea clara del objetivo del

experimento, de los factores a ser estudiados, como se realizará el

experimento y al menos una idea cualitativa de cómo se analizarán los datos.

El procedimiento recomendado por Montgomery tiene los pasos siguientes:

1. Reconocimiento y establecimiento del problema.

2. Selección de factores y niveles.

3. Selección de la variable de respuesta.

4. Selección del diseño experimental.

5. Realización del experimento.

6. Análisis de los datos.

7 Conclusiones y recomendaciones.

1.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

A continuación se presentan varios ejemplos que ilustran la aplicación

del diseño de experimentos para mejorar la calidad de productos y procesos.

Pág. 5 de 66


A. CARACTERIZANDO UN PROCESO

Con la aplicación del control estadístico de proceso, se ha reducido el

número de soldaduras falsas en un panel de circuito impreso hasta un 1% para

retrabajo, esto aún es demasiado, sin embargo el proceso está en control

estadístico.

La máquina de soldar y el flujo de soldadura tienen varias variables que

se pueden controlar, que incluyen:

1. Temperatura de soldado.

2. Temperatura de pre – calentamiento.

3. Velocidad del transportador.

4. Tipo de Fundente.

5. Gravedad específica del fundente.

6. Altura de la ola de soldadura.

7. Ángulo del transportador.

Además de los factores controlables, se tienen otros factores que no son

controlables fácilmente durante la manufactura, a pesar de que pueden

controlarse a nivel de prueba, y son los siguientes:

1. Espesor del circuito impreso.

2. Tipos de componentes usados en los páneles.

3. Distribución de los componentes en los páneles.

4. Operador.

5. Tasa de producción.

Bajo esta situación, caracterizar el proceso significa encontrar los

factores (controlables y no controlables) que generan la ocurrencia de defectos

de soldaduras falsas en los circuitos impresos. Para lo cuál es necesario

realizar un diseño de experimentos que nos permita estimar la magnitud y

dirección de los efectos de los factores. Es decir, cuánto cambia la variable de

respuesta (defectos por unidad) al cambiar cada factor, o cuánto cambia al

Pág. 6 de 66


cambiar todos los factores a la vez, algunas veces estos experimentos se

denominan experimentos de separación de variables.

. La información de los experimentos se usa para identificar los factores

críticos del proceso y determinar la dirección de ajuste de estos factores

críticos para reducir el número de defectos por unidad. El diseño de

experimentos también se usa para obtener información sobre los factores que

deben ser controlados más de cerca con cartas de control (CEP), durante la

fabricación para prevenir un comportamiento errático del proceso. Con el

tiempo si el proceso se mejora lo suficiente, es posible controlar el proceso a

través de sus variables críticas de entrada en vez de usar cartas de control

para controlar las salidas o el producto terminado.

B. OPTIMIZANDO UN PROCESO

Después de caracterizar el proceso, el paso lógico siguiente es optimizar

el proceso, es decir determinar la región a donde han guiado los factores

importantes a la mejor respuesta. Por ejemplo, si la respuesta es rendimineto,

se buscará la zona de máximo rendiemiento, y si la respuesta es vasriabilidad

en una dimensión crítica de producto, se puede buscar la región de varibalidad

mínima.

Suponiendo que se desea mejorar el rendimiento de un proceso

químico. Suponiendo que después de un experimento de caracterización se

identificaron como variables de influencia la Temperatura de operación y el

Tiempo de reacción. El proceso normalmente opera en 155 ºF y 1.7 h de

tiempo de reacción, con un rendimiento del 75%. Asumiendo que el proceso

tenga el comportamiento siguiente.

200ºF

95%

180ºF 90%

Pág. 7 de 66

Temperatura


80% Hacia un mejor rendimiento

160ºF Condiciones de operación actuales

75%

150ºF 69%

56%

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Tiempo (horas)

Fig. 1.1 Gráfica de contornos de rendimiento en función de la temperatura y el tiempo de reacción

Para localizar el punto óptimo es necesario realizar un experimento que

varíe el tiempo y la temperatura al mismo tiempo. Este tipo de experimento se

le denomina un experimento factorial, en este caso se usan dos niveles. La

respuesta observada en las cuatro esquinas del cuadrado indican hacia donde

se deben mover los factores para incrementar el rendimiento. Con unos pocos

movimientos adicionales se puede llegar al punto de máximo rendimiento.

1.4 EXPERIMENTOS CON UN FACTOREste método es el más sencillo, se mostrará con un ejemplo.

Un fabricante de papel de bolsas de mandado está interesado en

mejorar la resistencia a la tensión de las bolsas. Con un 10% de concentración

de viruta de maderas duras en la pulpa el papel tiene una resistencia de

aproximadamente 15 psi. El proceso se encuentra en control estadístico (CEP).

Se sospecha que la resistencia a la tensión de la bolsa debe aumentar

conforme aumenta la concentración de viruta, por razones económicas del

proceso no se debe sobrepasar de entre 5 a 20%. Se deciden investigar cuatro

niveles de viruta, 5, 10, 15 y 20%, con seis muestras de cada nivel de

Pág. 8 de 66


concentración, usando una planta piloto. Las 24 muestras se prueban en el

probador de tensión del laboratorio, en orden aleatorio. Los datos se muestrabn

a continuación:

Tabla 1.1 Resistencia a la tracción del papel (psi)

ObservacionesConcentración (%) 1 2 3 4 5 6 Total Promedio

5 7 8 15 11 9 10 60 10.00

10 12 17 13 18 19 15 94 15.67

15 14 18 19 17 16 18 102 17.00

20 19 25 22 23 18 20 127 21.17

383 21.17

Este es un ejemplo de un experimento completamente aleatorizado de

un solo factor. Cada nivel del factor tiene seis observaciones o réplicas. Al

aleatorizar las 24 pruebas, se balancea el efecto que pueda tener cualquier

variable extraña que pueda impactar la resistencia a la tensión observada. Por

ejemplo, suponiendo que hubiera un efecto de calentamiento en el probador de

resistencia a la tensión conforme pasa el tiempo, si las pruebas se hicieran

primero con la concentración del 5% después con la del 10% y así

sucesivamente, se podría decir que el aumento en resistencia se podría deber

al efecto del calentamiento del equipo.

Comparando las medianas de las cuatro concentraciones (9.5, 16, 16.5,

21) en gráficas de caja, se observa que efectivamente cambiando la

concentración de viruta, produce una resistencia a la tensión más alta con

variabilidad casi simétrica.

25

20

15

10

Pág. 9 de 66


5

5% 10% 15% 20%

Fig. 1.2 Gráficas de caja de los datos de concentración de viruta de maderas duras

Las gráficas de caja muestran la variabilidad de las observaciones

dentro de un nivel específico del factor y la variabilidad entre los niveles del

factor. Se analiza ahora como se puede analizar el experimento completamente

aleatorizado.

ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)

Suponiendo que se tengan a diferentes niveles de un factor que se

desean comparar. La respuesta obervada en cada uno de esos niveles de los

factores es una variable aleatoria.

Tabla 1.2 Datos típicos para un Experimento de un Factor

ObservacionesNivel del factor 1 2 3 4 … n Total Promedio

1 y11 y12 y13 y14 … y1n y1. y12 y21 y22 y23 y24 … y2n y2. y2… … … … … … … … …

a ya1 ya2 ya3 ya4 … yan ya. ya y.. y..

Se puede describir una observación Yij como:

i = 1, 2, …., a; j = 1, 2, …, n (1.1)

Donde, es la media general, i es el efecto del factor i, y ij es un componete

de error aleatorio. Se asume que la distribución de los errores es normal e

independientemente distribuida con media cero y varianza 2 , la cuál se asume

Pág. 10 de 66


que es constante durante todos los niveles del factor. En forma típica los

componentes del error se deben a error de mediciones, variables no incluidas

en el modelo, variación aleatoria del proceso, etc.

Los datos de la fig. 1.2 muestran el arreglo de un análisis de varianza

(ANOVA) de una dirección, para un solo factor sus efectos fijos i se definen

como desviaciones de la media general como sigue:

(1.2)

Se trata de probar la hipótesis siguiente:

Ho: 1 = 2 = ….. = a = 0 (1.3)

H1: i 0 para al menos una i.

El procedimiento de prueba para las hipótesis anteriores se denomina

“Análisis de varianza (ANOVA)”, donde se particionan la variabilidad total en

sus partes componentes.

La suma total de cuadrados es:

(1.4)

(1.5)

En la ecuación anterior, la variación total se ha dividido en dos

variaciones como sigue:

SST = Suma de cuadrados total de las desviaciones de cada punto

respecto a la media general.

SSF = Suma de cuadrados de las desviaciones de cada una de

las medias de los diferentes niveles respecto a la media general.

SSE = Suma de cuadrados de las desviaciones entre cada punto y la

media del nivel correspondiente.

Pág. 11 de 66


Para facilitar los cálculos se tienen las fórmulas siguientes:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Al comparar la magnitud de la suma de cuadrados del factor SSF con la

suma de cuadrados del error, SSe, se puede determinar cuanta variabilidad es

debida a los cambios en el factor y cuanta es debida al error, para facilitar la

comparación, convertimos la escala dividiendo ambos términos entre sus

grados de libertad. Como hay an = N observaciones, SST tiene N-1 grados de

libertad. Hay a niveles del factor, por tanto SSF tiene (a – 1) grados de libertad.

Finalmente, dentro de cualquier nivel hay n réplicas, dando (n-1) grados de

libertad con lo que estimamos el error experimental. Como hay a niveles del

factor, se tiene a(n-1) = an – a = N – a grados de libertad para el error. La

división de las sumas de cuadrados entre los grados de libertad se denominan

cuadrados medios; como sigue:

(1.9)

(1.10)

Puede demostrarse que el cuadrado medio del error MSe estima la

varianza del error experimental 2. Además MSF estima la varianza sólo si

todas las medias de los niveles del factor son iguales, pero si son diferentes,

MSF será mucho mayor que la varianza 2. Para probar lo anterior se usa la

prueba F de varianzas.

Pág. 12 de 66


(1.11)

Si , se puede concluir que las medias de los niveles del factor

son diferentes. Si se hace el análisis en computadora, también se peude

concluir observando el valor de P. A continuación se muestra la tabla de

Análisis de Varianza (ANOVA).

Tabla 1.3 Análisis de varianza (ANOVA) para un experimento

de un factor

Fuente de Suma de Grados de Cuadrado variación cuadrados libertad medio Fo .

Entre SSF a-1 MSF Fo = MSF / MSeniveles del factor

Error SSe a(n-1) MSe(dentro deniveles defactores)

Total SST an –1 .

Ejemplo 1.1 Considerando el experimento de la resistencia a la tensión para las bolsas de papel se tiene: Utilizando la

función de Excel de Análisis de varianza (ANOVA) del menú

de Análisis de Datos se tiene:

Pág. 13 de 66


Anova: Single Factor

SUMMARYGroups Count Sum Average Variance

Row 1 6 60 10 8 Conc. 5%Row 2 6 94 15.67 7.87 Conc.10%Row 3 6 102 17 3.2 Conc. 15%Row 4 6 127 21.17 6.97 Conc. 20%

ANOVASource of Variation

SS df MS Fc P-value F crit

Between GroupsConcentraciones

382.79 3 127.597 19.6052 3.59E-6 3.0983

Within Groups 130.17 20 6.50833

Total 512.99 23 Como Fcalc > Fcrítica (0.05, 3, 20) = 3.09, se concluye que las medias de los niveles de los factores, son diferentes.

Análisis Residual

El análisis de varianza (ANOVA) asume que las observaciones son

normales e independientemente distribuidos con la misma varianza en cada

nivel del factor. Esto puede verificarse por inspección de los residuos. En este

caso el residuo es , o sea la diferencia entre una observación y la

media correspondiente al nivel del factor. Los residuos correspondientes a los

datos del ejemplo se muestran en la tabla 1.4.

La suposición de normalidad se checa al graficar los residuos en papel

de probabilidad normal. Para checar el supuesto de igual varianza en cada

nivel del factor, graficar los residuos contra los niveles del factor y comparar la

dispersión de los residuos. Es útil graficar los residuos contra (valor

ajustado), la variabilidad de los residuos debe ser aleatoria. Si aparece un

patrón en las gráficas de los residuos, indica que es necesaria una

Pág. 14 de 66


transformación de los datos. Por ejemplo si la variabilidad de los residuos se

incrementa con , entonces es necesaria una transformación o .

El supuesto de independencia se puede checar graficando los residuos

contra el orden de realización de los experimentos, si se presenta un patrón, tal

como secuencias positivas o negativas, puede indicar que las observaciones

no son independientes. Indicando que el orden de corrida de los experimentos

es importante.

Tabla 1.4 Resistencia a la tracción del papel (psi)

ResiduosConc. (%) 1 2 3 4 5 6 5 -3.00 -2.00 5.00 1.00 1.00 0.00

10 -3.37 1.33 -2.67 2.33 -3.33 0.67

15 -3.00 1.00 2.00 0.00 -1.00 1.00

20 -2.17 3.83 0.83 1.83 -3.17 -1.17

Las gráficas de los residuos no muestran que el modelo sea inadecuado para

el análisis.

4

Valor residual

0 10 15 20 Resistencia media a la tensión

-4

Fig. 1.3 Gráfica de los residuos versus Yi. promedio

Comparación de las medias individualesObservando las medias en la tabla de ANOVA anterior se puede ver que

la resistencia aumenta conforme aumenta la concentración de pulpa de

maderas duras. Si se conoce el valor de cualquier media de nivel del factor

tendrá una desviación estándar . Si todas medias de los niveles del factor

Pág. 15 de 66


fueran iguales, se comportarían como si se hubieran extraído de la misma

distribución normal con desviación estándar .

Se puede hacer una comparación múltiple utilizando una distribución t

deslizante sobre la figura 1.3 usando el factor de escala

y graficándolo contra el valor de la ordenada de t en ese punto. Se puede

construir a ojo y visualizar que tanto cubre la distribución en relación con la

posición de las medias de los niveles. En este caso el promedio del 20%

definitivamente no puede ser cubierto por la distribución al tratar de cubrir los

otros puntos.

El intervalo de confianza para las medias de los niveles se puede

obtener con la fórmula .

Componentes del modelo de varianzaLa varianza total del proceso tiene como componentes la varianza del error y

la varianza de las medias de los niveles del factor, o sea:

(1.12)

Y la desviación estándar del proceso se determina con:

(1.13)

Teniendo la desviación estándar del proceso y su media se puede estimar la

capacidad del proceso en función de los límites de especificación.

Ejemplo 1.2 Se tiene interés en investigar la variabilidad que existe en la resistencia a la tensión del hilo, entre

varios telares en la empresa. Para el estudio se toman 4

muestras de cada uno de los 4 telares, con las siguientes

resultados:

Pág. 16 de 66


Tabla 1.5 Datos de resistencia del ejemplo

Observaciones

Telar 1 2 3 4 Total Promedio

1 98 97 99 96 390 97.5

2 91 90 93 92 366 91.5

3 96 95 97 95 383 95.8

4 95 96 99 98 388 97.0

1527 95.4

El análisis de varianza arrojó los siguientes resultados:

Tabla 1.6 ANOVA de la resistencia a la tensión

Fuente de Suma de Grados de Cuadradovariación cuadrados libertad medio Fc

Telar 89.19 3 29.73 15.68

Error 22.75 12 1.90

Total 111.94 15 .

Los componentes de la varianza son:

Asumiendo que la resistencia está normalmente distribuida,

tendrá una media de 95.4 psi y una desviación estándar de

2.98 psi. Si el límite inferior de especificación es 90

psi, el proceso no tiene capacidad para producir dentro de

especificaciones, causado por la variabilidad excesiva en

los telares. Para cumplir con el cliente la desviación

estándar debería reducirse a 1.30 psi.

Pág. 17 de 66


Defectivos

LIE= 90 LIE=90

Fig. 1.4 Variación del proceso

1.5 BLOQUEO Y FACTORES EXTRAÑOSEn muchos casos es necesario diseñar el experimento de tal forma que

la variabilidad que surge de variables extrañas pueda ser controlado. El

procedimiento general para el diseño de bloques totalmente aleatorizado

consiste en seleccionar b bloques y correr una réplica completa de

experimentos en cada uno de los bloques. Habrá a observaciones (una por

cada nivel del factor) en cada bloque, y el orden de realización de los

experimentos será aleatoriamente asignada dentro del bloque. Las

observaciones pueden ser representadas por el modelo:

i = 1, 2, …, a; j =1, 2, …., b (1.14)

Donde:

= Media general

i = Efecto del nivel i-ésimo del factor. La suma de sus desviaciones respecto a

la media general es cero.

j = Efecto del bloque j-ésimo. La suma de sus desviaciones respecto a la

media general es cero.

ij = NID(o, 2) Es el término de error.

Se trata de probar la Hipótesis de igualdad de efectos del factor, o sea:

(1.15)

Pág. 18 de 66


La suma de cuadrados total de donde se pueden desglosar las sumas de

cuadrados de los factores, bloques y error es:

(1.16)

Simbólicamente se tiene:

(1.17)

Con los siguientes grados de libertad correspondientes:

(1.18)

La Hipótesis nula de que no hay diferencia entre los niveles del factor se

prueba con la prueba F = MSFactor / MSError.

Ejemplo 1.3 Se trata de determinar el efecto de cuatro

diferentes químicos sobre la resistencia de una fibra. Los

químicos se utilizan como parte del proceso final de

planchado permanente. Se seleccionaron cinco muestras de

fibras, y se corrió un diseño por bloques aleatorizado,

probando cada tipo de químico una vez en orden aleatorio

sobre cada muestra de fibra, obteniéndose los datos

siguientes:

Tabla 1.7 Datos de resistencia de la fibra – Diseño en

bloques

Tipo de Muestras de fibra Total PromedioQuímico 1 2 3 4 5 Yi. Yi. media

1 1.3 1.6 0.5 1.2 1.1 5.7 1.14

2 2.2 2.4 0.4 2.0 1.8 8.8 1.76

3 1.8 1.7 0.6 1.5 1.3 6.9 1.38

4 3.9 4.4 2.0 4.1 3.4 17.8 3.56

Total col. Y.j 9.2 10.1 3.5 8.8 7.6 39.2 1.96Promedio 2.30 2.53 0.88 2.20 1.90 Y.. Y.. media

Pág. 19 de 66


Tabla 1.8 Análisis de varianza (ANOVA) del experimento por bloques aleatorizados.

Anova: Two-Factor Without Replication

SUMMARY Count Sum Average VarianceRow 1 5 5.7 1.14 0.163Row 2 5 8.8 1.76 0.628Row 3 5 6.9 1.38 0.227Row 4 5 17.8 3.56 0.893

Column 1 4 9.2 2.3 1.27333 Fibra 1Column 2 4 10.1 2.525 1.68916 Fibra 2Column 3 4 3.5 0.875 0.56916 Fibra 3Column 4 4 8.8 2.2 1.71333 Fibra 4Column 5 4 7.6 1.9 1.08666 Fibra 5

ANOVASource of Variation

SS df MS F P-value F crit

RowsQuímicos

18.044 3 6.014667 75.8948 4.52E-8 3.4903

ColumnsFibras

6.693 4 1.67325 21.1135 2.32E-5 3.2591

Error 0.951 12 0.07925

Total 25.688 19

Por ser Fc > Fcrítica para los tipos de químicos, sus

medias difieren entre sí. Demás también se observa

diferencias entre las fibras.

Se puede usar el método de la distribución t con escala

. Si se antepone esta a las medias, se

observa que la media del químico 4 difiere mucho de las

otras medias. El 95% de intervalo de confianza para la

media 4 es (3.29, 3.83).

Los residuos se calculan como la diferencia entre el valor

observado y el valor estimado (respuesta media cuando se

aplica el tratamiento i-ésimo en el bloque j-ésimo, sea:

Pág. 20 de 66


(1.19)

La tabla de los residuos se muestra a continuación:

Tabla 1.9 Residuos del Diseño aleatorizado en bloques

Tipo de Muestras de fibraQuímico 1 2 3 4 5 .

1 -0.18 -0.11 0.44 -0.18 0.02

2 0.10 0.07 -0.27 0.00 0.10

3 0.08 -0.24 0.30 -0.12 -0.02

4 0.00 0.27 -0.48 0.30 -0.10

La gráfica en papel normal de los residuos mostró

normalidad. A pesar de que el químico 4 mostr´mayor

variabilidad en resistencia, también indica mayor

variabilidad. Serán necesarios otros experimentos para

afinar la solución.

Pág. 21 de 66


2. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES Y FRACCIONALES

Muchos experimentos para mejoramiento involucran varias variables,

existen diversos diseños para esas situaciones. A continuación se tratarán

algunos.

2.1 EXPERIMENTOS FACTORIALESSe utilizan cuando hay varios factores de interés en un experimento. En

los experimentos factoriales se deben utilizar en cada réplica, todas las

combinaciones de los factores que se est´na investigando. Si se tienen dos

factores A y B con niveles a y b respectivamente, cada réplica contendrá todas

las posibles combinaciones ab.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta como

resultado de un cambio en el nivel del factor. A esto se denomina efecto

principal ya que se refiere a los factores primarios del estudio. Por ejemplo:

B2 20 40

B1 10 30

A1 A2

Fig. 2.1 Un experimento factorial con dos factores A y B

En la figura 2.1 ambos factores A y B tienen dos niveles indicados por “1” o “2”

o por “+” y “-“, denominados “alto” y “bajo” respectivamente. El efecto principal

del factor A es la diferecnia entre la media de la respuesta cuando está en nivel

alto y la media de la respuesta cuando está en nivel bajo. El efecto del factor B

y de la interacción AB se calculan de la misma forma, o sea:

Pág. 22 de 66


Respuesta

B2 B2

B1 B1

A1 A2 A1 A2

a) Sin interacción b) Con interacción

Fig. 2.2 Tipos de experimentos factoriales

En algunos casos el efecto de la interacción puede enmascarar el efecto

de los efectos principales si es muy grande, observándose poco efecto de los

efectos principales.

Una alternativa mal utilizada por los ingenieros es el experimentar

variando un factor a un tiempo, aunque esto puede alejar del óptimo, analizar el

siguiente ejemplo.

Pág. 23 de 66


Rendimiento (%)

80

70

60

ºF

140 155 170

Fig. 2.3 Rendimiento versus temperatura con tiempo de reacción de 1.7 hr.

Temperatura (ºF)180 170 90%

160 80%

150 60% 70% 140

Tiempo (hr.)

0.5 1.0 1.5 2.0

Fig. 2.4 Optimizando al variar un factor a un tiempo

En la figura 2.4 si se fija el tiempo en 1.7 hrs. y se empieza a variar la

temperatura se encontrará un máximo en 155 ºF, sin embargo existen otras

zonas de mayor rendimiento mayores de 70% que nunca podrán ser

alcanzadas.

Para el caso de experimentos con dos factores la suma de cuadrados

ahora se va a formar de la suma de cuadrados del factor A, la suma de

cuadrados del factor B, la suma de cuadrados de la interacción AB y la suma

de cuadrados del error, como sigue:

Pág. 24 de 66


(2.1)

La tabla de Análisis de varianza (ANOVA) queda como sigue:

Tabla 2.1 Tabla de ANOVA


Factor A SSA a-1 MSA Fo = MSA / MSeFactor B SSB b-1 MSB Fo = MSB / MSeInteracción SSAB (a-1)(b-1) MSAB Fo = MSAB / MSeABError SSe ab(n-1) MSeTotal SSt abn –1

Ejemplo 2.1 La pintura de Primer a las superficies de

aluminio de un avión se aplican por dos métodos – imersión

y aspersión, el propósito es mejorar la adhesión de la

pintura. Se tiene interés en probar si tres diferentes

tipos de Primer aplicados por los los dos diferentes

métodos tienen efecto en la adhesión de la pintura. Se

pintaron tres muestras con cada tipo de Primer usando cada

uno de los métodos de aplicación, se aplicó pintura de

acabado y se hizo una prueba para medir la adhesión. Los 18

experimentos se realizaron en un orden aleatorio, con los

resultados siguientes:

Método de aplicación

Tipo Imersión Aspersión .

1 4.0, 4.5, 4.3 5.4, 4.9, 5.6

2 5.6, 4.9, 5.4 5.8, 6.1, 6.3

3 3.8, 3.7, 4.0 5.5, 5.0, 5.0

La tabla de Análisis de varianza (ANOVA) queda como sigue:


Pág. 25 de 66


Factor A 4.58 2 2.29 Fo = 28.63

Factor B 4.91 1 4.91 Fo = 61.38

Interacción 0.24 2 0.12 Fo = 1.5AB

Error 0.99 12 0.08

Total 10.72 17

Como la Fcrítica (0.05, 2, 12) = 3.89 y Fcrítica (0.05, 1,

12) = 4.75, concluimos que el tipo de primer y el método de

aplicación afectan la fuerza de adherencia de la pintura,

además de que no existe interacción entre estos factores.

Los residuos corresponden a las diferencias entre cada

valor observado y su promedio correspondiente en cada

celda, si se grafican en papel normal casi forman una

recta, indicando normalidad.

2.2.1 EL DISEÑO FACTORIAL 2K

Un diseño muy común es el que considera varios factores (K) en dos

niveles (“alto” y “bajo”), el diseño más simple es el diseño 2k .

El diseño 22 Este el diseño más simple, usa dos factores A y B, cada uno en dos

niveles. Requiere la realización de 4 experimentos que pueden replicarse n veces, tomando las sumas de los resultados de las réplicas se tiene:

Pág. 26 de 66


b ab(1) A = -, B = - -+ ++(a) A = +, B = - B(b) A = -, B = +

(ab) A = +, B = + (1) - - +- aA

Figura 2.5 Diseño 22

Los efectos de interés en el diseño son los efectos principales de A y B y

los efectos de la interacción AB, se denominan contrastes calculados como

sigue:

(2.2)

Las cantidades entre paréntesis se denominan contrastes, aquí los

coeficientes siempre son +1 o –1. También se pueden determinar usando una

tabla de signos como sigue:

Tabla 2.2 Signos para los efectos en el diseño 22

Efectos factoriales

Corrida I A B AB

1 (1) + - - + ANOVA

2 a + + - - Fo = SST / SSE

3 b + - + - glSST = 4n - 1

4 ab + + + + gl.SSE = 4(n-1)

Para obtener la suma de cuadrados de A, B, y AB se usa:

(2.3)

Pág. 27 de 66


Por tanto la suma de cuadrados para A, B y AB son:

(2.4)

Ejemplo 2.2 Se trata de reducir la variabilidad en las orillas del corte de placas de circuito impreso. Se

hicieron varios experimentos considerando dos factores A y

B. Se probaron cuatro circuitos impresos en cada una de las

cuatro corridas de experimentos o réplicas, con los valores

siguientes.

Tabla 2.3 Datos del experimento

Efectos factoriales

Corrida A B Vibración Total

1 - - 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4

2 + - 27.2 24.0 22.4 22.5 96.1

3 - + 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7

4 + + 41.0 43.9 36.3 39.9 161.7

Calculando los efectos estimados de cada factor se tiene:

A = (96.1+161.1-59-7-64.4) / 2(4) = 16.64

B = (59.7 + 161.1 – 59.7 –64.4) /2(4) = 7.54

AB = (161.1 + 64.4 – 96.1 – 59.7) / 2(4) = 8.71

Como efecto de los factores, si se cambia A de su nivel

bajo a su nivel alto, aumenta la respuesta en 16.64

Pág. 28 de 66


unidades. Calculando la sumas de cuadrados, se obtiene la

siguiente tabla ANOVA:

Tabla 2.4 Análisis de varianza del experimento

Fuente de Suma de Grados Cuadradode variación cuadrados libertad medio Fo

A 1107.326 1 1107.226 185.25

B 227.256 1 227.256 38.03

AB 303.631 1 303.631 50.80

Error 71.723 12 5.977

Total 1709.836 15 .

Como se puede observar ambos factores son significativos y

también la interacción es significativa.

Análisis ResidualPara obtener los residuos se utiliza la ecuación de regresión siguiente,

donde los factores A y B se representan por X1 y X2 y la interacción AB por

X1X2. Los niveles alto y bajo de cada factor se asignan a los valores +1 y –1

respectivamente, el modelo de ajuste es:

(2.5)

El valor de la intersección 0 se calcula como el promedio de las 16

observaciones y cada coeficiente de regresión es la mitad del efecto estimado

del factor correspondiente, dado que los coeficientes de regresión miden el

efecto de una unidad de cambio en Xi sobre la media de Y, y el estimado del

efecto se basa en dos unidades de cambio de (X1 = -1 a X2 = 1).

Pág. 29 de 66


Dado que la interacción es significativa, para obtener la menor respuesta

de vibración, se analizan las respuestas en todas las combinaciones de A y B

como sigue:

Vibración B+

B-

A- A+

Fig. 2.5 Gráfica de interacción de A y B

Como se puede observar los mejores resultados se obtienen poniendo en

niveles bajos a A y en nivel alto a B.

El modelo de la ecuación 2.5 permite predecir valores del nivel de

vibración en cualquier punto de la región de experimentación, incluyendo los

cuatro puntos del diseño, por ejemplo si (X1 = -1 y X2 = -1), el nivel de

vibración de predicción es 16.1

Los residuos pueden calcularse como la diferencia entre los valores

reales observados y los estimados por la ecuación. En relación con la

respuesta, los primeros cuatro residuos son:

e1 = 18.2 – 16.1 = 2.1 e3 = 12.9 – 16.1 = -3.2

e2 = 18.9 – 16.1 = 2.8 e4 = 14.4 – 16.1 = -1.7

Los residuos restantes para las otras tres corridas pueden calcularse en

forma similar. Posteriormente se grafican para su análisis de normalidad, la

cual mostró ser satisfactoria.

Pág. 30 de 66


2.2.2 DISEÑO 2K PARA MAS DE DOS FACTORESEl diseño de 3 factores es un cubo con ocho combinaciones factoriales,

permite estimar tres efectos principales (A, B, y C), tres interacciones de dos

factores (AB, BC, y AC) y una interacción de tres factores (ABC). Considerando

que las letras minúsculas representan la suma de las n replicas de cada uno de

los ocho experimentos, se tiene:

(2.6)

Las cantidades entre paréntesis se denominan contrastes de las ocho

combinaciones de niveles y factores. También pueden obtenerse de la tabla

siguiente:

Pág. 31 de 66



Combinación del Efectos factorialesTratamiento I A B AB C AC BC ABC 1 + - - + - + + -

2 + + - - - - + +

3 + - + - - + - +

4 + + + + - - - -

5 + - - + + - - +

6 + + - - + + - -

7 + - + - + - + -

8 + + + + + + + +

Propiedades de la tabla:

1. Excepto por la columna identidad I, cada columna tiene

un número igual de signos positivo y negativo.

2. La suma de productos de los signos con cualquier par de

columnas es cero, o sea que se trata de una tabla

ortogonal.

3. Al multiplicar cualquier columna por la columna I se

obtiene la misma columna, entonces I es el elemento

identidad.

4. El producto de cualquier par de columnas resulta en otra

columna en la tabla, AxB = AB, ABxABC = A2B2C = C dado que

una columna multiplicada por si misma da la columna

identidad.

El estimado de cualquier efecto principal o interacción se determina como

sigue:

(2.7)

La suma de cuadrados de cualquier efecto es:

Pág. 32 de 66


(2.8)

Ejemplo 2.3 Se realizó un experimento para investigar el acabado superficial de una parte de metal. El experimento

es un diseño factorial 23 con los factores Velocidad de

ataque (A), profundidad de corte (B) y ángulo de corte (C),

con n = 2 réplicas. En la tabla siguiente se observan los

resultados del acabado superficial.

Tabla 2.6 Datos del experimento

Factores de Diseño Acabado

Experimento A B C Superficial Total

1 (1) -1 -1 -1 9,7 16

2 a +1 -1 -1 10,12 22

3 b -1 +1 -1 9,11 20

4 ab +1 +1 -1 12,15 27

5 c -1 -1 +1 11,10 21

6 ac +1 -1 +1 10,13 23

7 bc -1 +1 +1 10,8 18

8 abc +1 +1 +1 16,14 30

Los efectos principales se calculan como sigue, por ejemplo

para el factor A:

A =(22 + 27 +23 + 30 – 20 – 21 –18 – 16) / 4(2) = 3.375

De la misma forma

B = 1.625

C = 1.375

AB = 1.375

AC = 0.125

BC = -0.625

ABC = 1.125

Pág. 33 de 66


Por observación directa el factor dominante es el A seguido

por el B y la interacción AB.

Calculando la suma de cuadrados como sigue:

SSA = (contraste A)2 / 2 (8) = (27)2 / 16 = 45.5625

gl.SSA = 1

De la misma forma para los demás factores, se tiene:

SSB = 10.5625 todos con gl. = 1

SSC = 3.065

SSAB = 7.5625

SSAC = 0.0625

SSBC = 1.5625

SSABC = 5.5625

SSErr = 19.500 con (16 – 7 ) = 8 gl. MSE = 2.4375

SST = 92.9375 con 15 gl.

Formando la tabla ANOVA y calculando los valores de Fc para

cada factor se tiene (Fcrítica (0.1, 1, 8) = 3.45):

Fuente Fc

A 18.69

B 4.33

C 1.26

AB 3.1

AC 0.03

BC 0.64

ABC 2.08

Por tanto sólo son significativos los factores A y B por

ser Fc > Fcrítica.

Pág. 34 de 66


Para probar normalidad se puede utilizar la ecuación de

regresión anterior para las dos variables A y B, con sus

niveles codificados en (-1, +1), tomando la media general y

los estimados de los efectos de los factores A y B y de su

interacción, se tiene:

Con esta ecuación se pueden evaluar los residuos, que

se calculan para cada combinación de las dos variables A y

B ya que la C no fue relevante. Por ejemplo para el caso de

A = -1 y B = -1 se tiene:

Yest = 9.25

Los valores observados para A = -1, B = -1 y

C = -1, corresponden a las respuestas 7 y 9. Obteniendo los

residuos contra el valor estimado de 9.25 se tiene:

r1 = 9 – 9.25 = - 0.25

r2 = 7 – 9.25 = - 2.25

Graficando estos residuos en papel normal no se observan

anormalidades mayores.

Como el menor valor se obtiene al tener A y B en nivel

bajo, esta es la solución que se recomienda.

SUPERFICIES DE RESPUESTADel modelo anterior de regresión, si no se toma en cuenta el término de

interacción, lo cual no afecta ya que el diseño 2k es ortogonal, se tiene:

Pág. 35 de 66


La ecuación anterior representa una superficie de respuesta de Y que se

obtiene al variar X1 y X2.

Pág. 36 de 66


y Superficie de

Respuesta

1 de primer orden

-1 x2 - Profundidad

-1 x1 1

Velocidad de alimentación

Fig. 2.6 Superficie de respuesta (primer orden)

Respuesta Y

10 11 12 13

+19.5

X1 8.5 Prof.

-1-1 0 +1

X2 – Velocidad de alimentación

Fig. 2.7 Contornos de igual respuesta (primer orden)

Para el caso de que la interacción se incluya en el modelo, “torcerá” al

plano de la superficie de respuesta, es decir le agregará una curvatura, y en el

caso de los contornos de respuesta constante, en lugar de tener rectas, tendrá

curvas, tal como se muestra en las figuras siguientes. En caso de haber

componentes de segundo o tercer orden, la superficie de respuesta mostrará

una curvatura.

Pág. 37 de 66


Superficie de

Respuesta

con interacción

X2

X1

Fig. 2.8 Superficie de respuesta (con interacción)

X1

X2

Fig. 2.9 Contornos de respuesta (con interacción)

La inspección de una superficie de respuesta simplifica la interpretación

de los resultados de un experimento. Por ejemplo, de la figura 2.6, si queremos

minimizar la respuesta, debemos poner a X1 y X2 en sus niveles bajos o cerca

de ellos. La gráfica de contornos permite reducir los costos al poder seleccionar

diferentes combinaciones de valores de X1 y X2 para obtener la misma

respuesta.

Lo anterior reafirma que el objetivo de un experimento es el de contar con un modelo cuantitativo del proceso.

Pág. 38 de 66


2.2.3 UNA SÓLA RÉPLICA DEL DISEÑO 2K

Conforme el número de factores en un diseño factorial se incrementa,

también se incrementa el número de efectos que pueden ser estimados. Por

ejemplo un diseño experimental 24 tiene 4 efectos proncipales, 6 interacciones

de dos factores, 4 interacciones de tres factores y 1 interacción de cuatro

factores. En muchas situaciones se aplica el principio de escasez de efectos donde el sistema es dominado por los efectos principales y las interacciones de

bajo orden, por tanto las interacciones de tercer o mayor, son normalmente

insignificantes. Por lo anterior, cuando el número de factores es

moderadamente grande, k >= 4, es práctica común correr sólo una réplica del

diseño y juntar o combinar las interacciones de alto orden como una estimación

del error.

Ejemplo 2.4 En la fabricación de circuitos integrados, un parámetro importante es la velocidad de grabado en el

material base, se busca maximizar la velocidad. Se

identificaron 4 factores para correr el experimento:

Factores de diseño

Gap Presión Flujo Potencia

Nivel A B C D

Bajo (-) 0.80 450 125 275

Alto (+) 1.20 550 200 325

La tabla siguiente tiene los 16 experimentos del diseño.

tomando los signos positivo y negativo, se pueden estimar

los efectos de los factores. El divisor para cada

estimación de los factores es 8.

Pág. 39 de 66


Tabla 2.7 Diseño de experimentos 24

Experimento A B C D Vel. grabado 1 (1) -1 -1 -1 -1 5502 a +1 -1 -1 -1 6693 b -1 +1 -1 -1 6044 ab +1 +1 -1 -1 6505 c -1 -1 +1 -1 6336 ac +1 -1 +1 -1 6427 bc -1 +1 +1 -1 6018 abc +1 +1 +1 -1 6359 d -1 -1 -1 +1 103710 ad +1 -1 -1 +1 74911 bd -1 +1 -1 +1 105212 abd +1 +1 -1 +1 86813 cd -1 -1 +1 +1 107514 acd +1 -1 +1 +1 86015 bcd -1 +1 +1 +1 106316 abcd +1 +1 +1 +1 729

Por ejemplo, la estimación del efecto del factor A es:

A = (a + ab + ac + abc + ad + abd + acd + abcd – (1) – b- c – d – bd – cd – bcd ) / 8

A = (669+650+642+635+749+868+860+729-550-604-633-601-1037-1052-1075-1063) = - 101.625

Lo anterior indica que cambiando el gap de 0.80 a 1.20 cm,

se reduce la velocidad en 101.625 unidades.

La tabla completa de la estimación de los efectos de los

factores es:

A = -101.625 AD = -153.625B = -1.625 BD = -0.625AB = -7.875 ABD = 4.125C = 7.375 CD = -2.125AC = -24.875 ACD = 5.625BC = -43.875 BCD = -25.375ABC = -15.625 ABCD = -40.125D = 306.125

Se puede hacer una gráfica de probabilidad normal con los

estimados de los efectos, si ninguno de os efectos es

significativo, entonces se comportarán como una muestra

Pág. 40 de 66


normal aleatoria con distribución normal con media cero y

los efectos se agruparán a lo largo de la línea recta. Los

efectos que salen de la línea recta si son significativos.

Si alguna interacción se muestra como significativa, no

debe incluirse en el grupo de términos de error.

En este caso el factor A, D y su interacción AD fueron

significativos. El análisis de varianza (ANOVA) confirma

esta hipótesis.

ProbabilidadNormal *D

* * * * *

*A *AD

EfectosEn la velocidad de grabado

Fig. 2.10 Gráfica en papel normal de los efectos

- D +

601 635 1063 729 633 642 1075 860

C 604 C 1052 B B

550 A 669 1037 A 749

Fig. 2.11 Diseño del experimento, la respuesta en cada caso se muestra en los vértices de cada cubo

A continuación se muestra la tabla de análisis de varianza

para este ejemplo.

Tabla 2.8 ANOVA del Diseño de experimentos

Pág. 41 de 66


Fuente de Suma CuadradoVariación de cuadrados gl. medio Fc

A 41,310.563 1 41,310.563 20.28

B 10.563 1 10.563 <1

C 217.563 1 217.563 <1

D 374,850.063 1 374,850.063 183.99

AB 248.063 1 248.063 <1

AC 2,475.063 1 2,475.063 1.21

AD 94,402.563 1 94,402.563 48.79

BC 7,700.063 1 7,700.063 3.78

BD 1.563 1 1.5632 <1

CD 18.063 1 18.063 <1

Error 10,186.815 5 2,037.363

Total 531,420.938

Para la formación del término de error se agruparon las

sumas de cuadrados de las interacciones de tres y cuatro

factores.

Investigando las respuestas con las diferentes

combinaciones de A y D se tiene:

Punto óptimo (A-, D+)

Velocidad D+ de grabado

D-

A- A+Fig. 2.12 Análisis de los efectos de la interacción A - D

Considerando sólo las variables A, D y su interacción AD,

el modelo del proceso usando la ecuación de regresión es el

siguiente:

Pág. 42 de 66


Por ejemplo para A = -1 y D = -1, el valor de predicción Y

es:

yest = 597

Y los cuatro residuos del experimento en estas condiciones

son:

e1 = 550 – 597 = -47

e2 = 604 – 597 = 7

e3 = 638 – 597 = 36

e4 = 601 – 597 = 4

De al misma forma se pueden calcular los residuos de las

otras tres combinaciones de A y D. Al graficar los resiudos

en una grafica de probabilidad normal, es satisfactoria.

2.2.4 ADICIÓN DE PUNTOS CENTRALES AL DISEÑO 2K

Una preocupación al usar estos modelos, es que se asume que los

efectos de los factores son casi lineales, sin embargo si la curvatura es mucha,

debe complementarse el modelo con términos de segundo orden.

Para el caso de k = 2, un modelo que incluye efectos de segundo orden

es el siguiente:

(2.9)

La ecuación anterior se denomina modelo de superficie de respuesta

de segundo orden, y los coeficientes miden los efectos cuadráticos

puros. Para ajustar el modelo se requieren tres niveles en todos los factores,

siendo importante determinar si los términos cuadráticos puros son requeridos.

Pág. 43 de 66


Existe un método de agregar un punto central al diseño factorial 2K para

determinar si son necesarios los términos cuadráticos. Además si este punto es

replicado, se puede obtener una estimación independiente del error

experimental. Los puntos centrales consisten de nc réplicas de experimentos

realizados en . Al agregar puntos centrales, no se tiene

impacto en la estimación de los efectos de los factores. Se asume que los k

factores son cuantitativos, de otra forma el punto central no existiría.

Para el caso de un diseño de 2 factores en 2 niveles y nc observaciones

en los puntos centrales (0,0), si es el promedio de los cuatro experimentos

en los cuatro puntos factoriales y el promedio de los nc experimentos con los

puntos centrales. Si su diferencia es pequeña, entonces los puntos se

encuentran cerca del plano que pasa por los puntos factoriales y no hay

curvatura. Si la diferencias es grande, entonces se tiene una curvatura. La

suma de cuadrados de la curvatura cuadrática pura con un grado de libertad es

la siguiente:

(2.10)

Donde en general nF es el numero de puntos factoriales del diseño. Esta

cantidad puede ser comparada a la media cuadrática del error para probar la

curvatura.

Ejemplo 2.5 En el experimento de la fabricación de

circuitos integrados anterior, si se agregan nc = 4 puntos

centrales se obtuvieron los resultados siguientes:

Tabla 2.9 Diseño de experimentos 24 con puntos centrales

Experimento A B C D Vel. grabado 1 (1) -1 -1 -1 -1 5502 a +1 -1 -1 -1 6693 b -1 +1 -1 -1 6044 ab +1 +1 -1 -1 6505 c -1 -1 +1 -1 633

Pág. 44 de 66


6 ac +1 -1 +1 -1 6427 bc -1 +1 +1 -1 6018 abc +1 +1 +1 -1 6359 d -1 -1 -1 +1 103710 ad +1 -1 -1 +1 74911 bd -1 +1 -1 +1 105212 abd +1 +1 -1 +1 86813 cd -1 -1 +1 +1 107514 acd +1 -1 +1 +1 86015 bcd -1 +1 +1 +1 106316 abcd +1 +1 +1 +1 72917 0 0 0 0 0 70618 0 0 0 0 0 76419 0 0 0 0 0 78020 0 0 0 0 0 761

La media de los puntos centrales Yc = 752.75 y la media de

los 16 puntos factoriales es Yf = 776.0625. La suma de

cusdrados de curvatura se calcula como sigue:

SSpc = (16x4x(776.0625 – 757.75)^2 / (16 + 4) = 1739.1

Además se puede calcular el error experimental estimado por

medio de la varianza de las muestras de los cuatro puntos

centrales como sigue:

Los grados de libertad del error estimado son nc – 1 = 3

grados de libertad. La tabla de análisis de varianza

obtenida por computadora es la siguiente:

Tabla 2.10 ANOVA del Diseño de experimentos

Fuente de Suma CuadradoVariación de cuadrados gl. medio Fc

Modelo 521,234.1 10 521,234.1 31.330

Curvatura 1,739.1 1 1,739.1 1.045

Residual 13,309.6 8 1,663.7

Pág. 45 de 66


Falta de 10,186.8 5 2,037.4 1.957

ajuste

Error Puro 3,122.7 3 1,040.9

Total 536,282.8 19

La suma de cuadrados de la “Falta de ajuste” es

realmente la suma de cuadrados de los de las

interacciones de tres y cuatro factores, la prueba F de

falta de ajuste se calcual como sigue:

Fc = MSlf / MS pe = 2037.4 / 1040.9 = 1.957

Lo cual no es significativo, indicando que no se

requieren los términos de interacción de alto orden.

Probando la suma de cuadrados de curvatura versus el

error residual se tiene:

Fc = MScurv. / MS residual = 1739.1 / 1663.7 = 1.045

Indica que no hay evidencia de curvatura cuadrática

pura.

La prueba de significancia del modelo se prueba con:

Fc = MS modelo / MS residual = 31.33

Indicando que el modelo es siginificativo, con los

principales efectos de A, D y AD.

2.2.5 BLOQUEO Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO 2K

Es a veces imposible correr una réplica completa de un diseño de

experimentos factorial en condiciones constantes u homogéneas de

experimentación. Por ejemplo, podría no ser posible realizar todas las pruebas

Pág. 46 de 66


en un turno, o usar materiales de un solo lote. Cuando ocurre este problema, el

bloqueo es una técnica excelente para eliminar las variaciones indeseables

que pudieran ser causadas por las condiciones no homogéneas. Si el diseño es

replicado y el bloque es de tamaño suficiente, se puede realizar cada réplica

en un bloque (ya que las condiciones se mantienen homogéneas dentro del

bloque).

Por ejemplo, si cada experimento toma una hora en un diseño 22,

entonces realizando una réplica de 8 experimentos en un día y otra réplica en

otro día, se eliminará cualquier efecto del tiempo, o diferencia en los métodos

de trabajo entre esos días. Los dos días son los dos bloques del diseño. La

diferencia entre los promedios de las respuestas de los dos días es el efecto

del bloque.

En algunas ocasiones no se puede realizar la réplica completa de un

diseño factorial bajo condiciones homogéneas de experimentación, entonces

se puede utilizar la técnica de La confusión para correr experimentos en

bloques, donde el tamaño del bloque (p) es más pequeña que el número

completo de experimentos de la réplica (k). Esta técnica causa que ciertas

interacciones sean indistiguiobles o estén confundidas con los bloques. A

continuación se muestra un ejemplo.

Suponiendo que cada uno de los experimentos de un diseño 22 = 4,

requiere 4 horas de análisis de laboratorio, al final se requerirán dos días para

completar el experimento. Si se consideran a los días como bloques, se

pueden asignar dos de los cuatro experimentos cada día.

b ab Bloque 1 Bloque 2

(1) a

ab b

(1) a

a) Vista geométrica b) Asignación de experimentos

Pág. 47 de 66


Fig. 2.13 Un diseño 22 en bloques

Si al bloque 1 se le asignan los experimentos (1) y ab y al bloque 2 se le

asignan los experimentos a y b. Los contrastes para estimar los efectos de A y

B son:

Contraste A = ab + a – b – (1)

Contraste B = ab + b – a – (1)

Contraste AB = ab + (1) – a - b

Notar que estos contrastes no se afectan por el bloqueo, puesto que en

cada contraste se tienen un experimento con signo positivo y otra con signo

negativo, esto es que cualquier diferencia entre el bloque 1 y el 2 se cancelará.

En el caso de la interacción, como los 2 experimentos en que AB tiene signo

positivo se asignan a un bloque, y 2 que tienen el signo negativo en AB se

asignan al otro bloque, su efecto es idéntico al de los bloques por lo que estará

confundida con estos.

Para el caso de un diseño 23 se puede asignar todos los experimentos

que tengan signo negativo en ABC a un bloque y los que tengan signo positivo

en ABC asignarlos a otro bloque. Este procedimiento en general se puede

generalizar a los diseños 2K.

Bloque 1 Bloque 2

(1) a

ab b ac c

bc abc

Fig. 2.14 Un diseño 23 en bloques

Pág. 48 de 66


2.3 REPLICACIÓN FACTORIAL DEL DISEÑO 2K

Conforme el número de factores se incrementa, el número de

experimentos requeridos también se incrementa rápidamente. Por ejemplo un

diseño 25 requiere 32 experimentos. En este diseño sólo 5 grados de libertad

corresponden a los efectos principales y 10 grados de libertad corresponden a

las interacciones de dos factores. Si se puede asumir que ciertas interacciones

de alto orden son insignificantes, entonces es posible utilizar un diseño factorial

de menor orden que el de 2K para obtener información de los efectos

principales y las interacciones de bajo orden.

2.3.1 LA MITAD FRACCIONARIA DEL DISEÑO 2K

La mitad fraccionaria contiene 2K-1 experimentos. Por ejemplo para el

diseño 23-1, contiene la mitad de experimentos del arreglo 23.


Combinación del Efectos factorialesTratamiento I A B AB C AC BC ABC 1 + - - + - + + -

2 + + - - - - + +

3 + - + - - + - +

4 + + + + - - - -

5 + - - + + - - +

6 + + - - + + - -

7 + - + - + - + -

8 + + + + + + + +

El diseño 23-1 puede formarse al seleccionar aquellos experimentos que

tengan un signo positivo en el efectro ABC. De esta forma ABC se denomina el

generador de esta fracción particular, como el elemento I tiene también los

signos positivos, se puede definir I = ABC como la relación de definición del

diseño.

Pág. 49 de 66


Los experimentos para el diseño tiene tres grados de libertad asociados

con los efectos principales. La estimación de los efectos es:

A = [a – b – c + abc]

B = [- a + b – c + abc]

C = [- a - b + c + abc]

Los estimados de los efectos de las interacciones son:

BC = [a – b – c + abc]

AC = [- a + b – c + abc]

AB = [- a - b + c + abc

De esta forma la combinación lineal de observaciones en la columna A, por

decir lA, estima A + BC. En forma similar lB, estima B + AC y lC estima C + AB.

Dos o más efectos que tienen esta propiedad se llaman alias. De esta forma

son alias A y BC, B y AC, y C y AB. Este fenómeno es resultado directo de la

replicación fraccional. En muchos casos es posible seleccionar la fracción de

tal forma que los efectos principales sean alias de interacciones de orden alto

(cuyo efecto probablemente es insignificante).

La estructura de Alias para este diseño se encuentra al definir la relación

I = ABC, multiplicando cualquier efecto por la relación de definición se obtienen

los alias para el efecto. Por ejemplo A = A* ABC = A*A*BC = BC por ser A*A =

I.

Si se selecciona en el diseño 23 la fracción donde ABC tenga los signos

negativos, la relación de definición en este caso es I = - ABC. Los alias son A =

-BC, B = -AC, C = -AB. De esta forma los efectos A, B, y C realmente estiman

A – BC, B – AC, y C – AB. En la práctica no importa que fracción se seleccione.

La fracción con los signos positivos en la relación de definición se denomina

fracción principal, y las otras fracciones se denominan fracciones alternas.En algunas ocasiones se usan secuencias de diseños fraccionales para

estimar los efectos, por ejemplo primero se usa la fracción principal para

Pág. 50 de 66


estimar los efectos principales si la interacción es insignificante. Sin embargo si

se tiene duda de que las interacciones sean significativas, es posible estimarla

por medio de los experimentos de la fracción alterna.

Ejemplo 2.6 Del ejemplo anterior, suponiendo que se decida usar un diseño 24-1 con I = ABCD para investigar los 4

factores A, B, C y D. Este diseño puede ser construido por

medio de un diseño 23 en los factores A, B, C y haciendo D

= ABC.

EL diseño se muestra a continuación:

Tabla 2.12 Diseño 24-1 con la relación de definicón I = ABCD

Efectos factorialesExperimento I A B C D = ABC Vel. Grabado 1 + - - - - 550

2 + + - - + 749

3 + - + - + 1052

4 + + + - - 650

5 + - - + + 1075

6 + + - + - 642

7 + - + + - 601

8 + + + + + 729

En este diseño los efectos principales son alias de la

interacción de tres factores, como sigue:

A*I = A* ABCD A = ABC

B*I = B* ABCD B = ABC

C*I = C* ABCD C = ABC

D*I = D* ABCD D = ABC

Las interacciones de dos factores son alias entre ellas.

Por ejemplo el alias de AB es CD.

AB*I = AB*ABCD -> AB = CD

AC = BD

AD = BC

Pág. 51 de 66


Los estimados de los efectos principales y sus alias, se

calculan usando las 4 columnas de signos en la tabla. Por

ejemplo para la columna A se tiene:

lA = A + BCD = ¼(-550+749–1052+650–1075+642–601+729) = -127lB = B + ACD = 4lC = C + ABD = 11.5lD = D + ABC = 290.51

Claramente se observa que los efectos de A y D son grandes

y afectan significativamente los resultados de la velocidad

de granado, esto es válido si consideramos que la

interacción ANC es insignificante.

Las interacciones son estimadas al formar las columnas AB,

AC, y CD agregándolas a la tabla. Los signos de la columna

AB son +, -, -, +, +, -, -, +, y esta columna produce el

estimado

lAB = AB + CD = ¼ (550-749-1052+650+1075-942-601+729) = - 10lAC = AC + BD = - 25.50lAD = AD + BD = - 197.50

La última interacción tiene un efecto grande, tal y como se

había observado en otros ejemplos anteriores.

Si se sospecha que dos o tres factores son los importantes, algunas

veces las fracciones experimentales se usan para identificar los factores

significativos de entre un número grande de factores, denominándose

experimentos de selección.

RESOLUCIÓN DEL DISEÑO

Pág. 52 de 66


Los experimentos fraccionales se clasifican de acuerdo a los alias que generan,

entre las categorías más importantes se encuentran:

1. Diseños de resolución III. En estos diseños no hay alias entre efectos

principales, sin embargo si hay alias entre los efectos principales y con los de

las interacciones de dos factores, asimismo puede haber alias entre estas. El

diseño 23-1 con I = ABC es de resolución III. A veces se indica con .

2. Diseños de Resolución IV. En estos diseño, ningun efecto principal tiene

alias con otro bi con las interacciones de dos factores, las cuales si pueden

tener alias entre elaas. Como ejemplo se tiene el diseño 24-1 con I = ABCD,

indicado como .

Estos dos son los más comunes como experimentos de selección de factores

relevantes, el de resolución IV es particularmente útil porque proporciona

buena información sobre los efectos principales y sobre los efectos de las

interacciones de dos factores.

Pág. 53 de 66


3. OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS CON DISEÑO DE EXPERIMENTOS

En la sección anterior se trataron los diseños de experimentos factoriales y fraccionales, muy útiles para hacer una selección de factores

es decir que sirven para identificar cuales son los factores más relevantes que afectan el desempeño del proceso. A veces a este proceso se le denomina caracterización del proceso. Una vez que se ha identificado al subconjunto de variables relevantes del proceso, el paso siguiente es la optimización del proceso, o la búsqueda de las condiciones de operación para las variables del proceso que resulten en el mejor desempeño del proceso.

Las técnicas de optimización del proceso datan de los años 1950’s cuando se aplicaron a la industria química y de proceso continuo. Hoy en día su aplicación se encuentra muy extendida a muchas industrias y son incluidas en la mayoría de los paquetes estadísticos de software para su fácil aplicación.

3.1 MÉTODOS Y DISEÑOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA (RSM)Los RSM son un grupo de métodos útiles para modelar y analizar

aplicaciones donde la respuesta de interés es influenciada por diversas

variables y el objetivo es optimizar esta respuesta. Supóngase que se desea

obtener el máximo rendimiento en un proceso (y) que tiene como variables

relevantes la temperatura de reacción (x1) y el tiempo de reacción (x2). La

función de rendimiento está en función de temperatura y tiempo, o sea:

Donde el término representa el ruido o error observado en la respuesta Y. Si

el valor esperado de la respuesta se denota por E(y) = f(x1, x2), la superficie

representada por esta ecuación se denomina superficie de respuesta. Se

peude representar gráficamente esta función en coordenadas tridimensionales.

Pág. 54 de 66


Región óptima

Rendimiento

esperado (%)

Tiempo de reacción (min.)

Temperatura (ºC)

Fig. 3.1 Superficie de respuesta tridimensional, muestra el rendimiento esperado en función de la temperatura y tiempo

Para ayudar a visualizar la forma de la superficie de respuesta es conveniente

graficar los contornos de igual rendimiento de la superficie de respuesta como

se muestra en la siguiente figura.

Rendimiento (%)

30

25 70 75 80 85 90

Tiempo de

Reacción 20

(min.) Condiciones de operación actuales

15 60 65

100 110 120 130 140

Temperatura (ºC)

Fig. 3.2 Gráfica de contornos del rendimiento de la superficie de respuesta

En muchos problemas de RSM, la forma de la relación entre la superficie

de respuesta y las variables independientes se desconoce. Así, el primer paso

Pág. 55 de 66


es hallar una aproximación adecuada de la superficie, para lo cual se emplea

un polinomio de bajo orden en alguna región de las variables independientes.

Si la respuesta es modelada adecuadamente por una función lineal de las

variables independientes, entonces la función de aproximación es el modelo de primer orden, por ejemplo:

(3.1)

Si hay curvatura en el sistema, entonces se requiere un polinomio de mayor

orden por ejemplo, el modelo de segundo orden,

(3.2)

Muchos problemas de RSM utilizan uno o ambos de estos polinomios de

aproximación muy validos para la región de interés, no necesariamente para

toda la superficie. Los coeficientes beta en las ecuaciones son estimados por

mínimos cuadrados. Después se hace el análisis de la superficie en términos

del modelo de la superficie, si este modelo es adecuado , entonces el análisis

será más real.

El RSM es un proceso secuencial, frecuentemente cuando se esta

lejos del punto óptimo ( tal como en las condiciones de operación actuales),

hay poca curvatura y el modelo de primer orden será apropiado, el primer paso

es acercarse en forma rápida al punto óptimo, una vez cerca se puede emplear

un modelo de segundo orden para localizar el punto óptimo. En la figura de la

superficie de respuesta se trata de llegar a su máximo.

3.1 .1 EL MÉTODO DE ASCENSO RÁPIDOFrecuentemente el estimado inicial de las condiciones óptimas de

operación, se encuentran lejos del verdadero óptimo. En tal circunstancia el

Pág. 56 de 66


objetivo es moverse rápidamente a la vecindad del óptimo verdadero, en forma

económica. En estas condiciones se utiliza un modelo de primer orden.

El método de ascenso rápido es un procedimiento para moverse

secuencialmente por la trayectoria de ascenso rápido, o sea, en la dirección del

máximo incremento de la respuesta. Por supuesto, si lo que se busca es la

minimización, entonces se utiliza el método de descenso rápido. El modelo

ajustadop de primer orden es:

(3.3)

Para este modelo de superficie de respuesta de primer orden, los contornos de

son una serie de líneas rectas paralelas como se muestra en la siguiente

figura:

=50

=40 Trayectoria de

ascenso rápido

Región de la =30

superficie de respuesta =20ajustada de 1º orden

Fig. 3.3 Superficie de respuesta de primer orden y trayectoria de ascenso rápido

La dirección de ascenso rápido es la dirección en la cual se

incrementa más rápido, esta dirección es normal a los contornos de la

superficie de respuesta ajustada. Normalmente se toma como trayectoria de

ascenso rápido, la línea que pasa al centro de la región de interés y normal a

los contornos de la superficie ajustada. De esta forma, los pasos a lo largo de

Pág. 57 de 66


la trayectoria son proporcionales a los coeficientes de regresión { }. El

experimentador determina la cantidad real de movimiento a lo largo de esta

trayectoria en base a su conocimiento del proceso u otras consideraciones

prácticas.

Los experimentos se realizan a lo largo de la trayectoria de ascenso

rápido hasta que ya no se observa incremento en la respuesta o hasta que la

región de la respuesta deseada se alcanza. Entonces se usa un nuevo modelo

de primer orden, se determina la dirección de una nueva trayectoria de ascenso

rápido y de ser necesario, se realizan experimentos adicionales en esa

dirección hasta que el experimentador sienta que está cerca del óptimo.

Ejemplo 3.1 En el problema de la velocidad de grabado, donde se investigaron 4 factores. Se encontró que el gap

(x1) y la potencia (x4) afectaban en forma significativa la

velocidad de granado. El modelo que se utilizó utilizando

los efectos principales fue el siguiente:

A continuación se muestra la gráfica de contornos de este

modelo, en la región original de experimentación: gap entre

0.8 y 1.2 cm y potencia entre 275 y 325 W. Dentro de esta

región con el modelo en (x1 =1 y X4 =1) la máxima velocidad

que puede obtenerse es aproximadamente 980 Angstroms / m,

los ingenieros creen que podría operarse en la zona de 1100

– 1150 A / m. Por tanto es necesario optimizar el proceso.

Pág. 58 de 66


375 * C (1163)

350 B (1074)*

Trayectoria de ascensorápido

+1 A (955)325 920 Región original

de experimentación 850

X4 0 300 780Potencia

710640

-1 275 0.80 1.0 1.2 1.4

-1 0 +1 X1 Gap

Fig. 3.4 Experimento de ascenso rápido del eejmplo

De la figura se observa que si hay movimiento desde el

origen (0,0) donde la respuesta es de 776.0625, a través de

la trayectoria de ascenso rápido (TAR), podríamos movernos

50.8125 unidades en la dirección X1 por cada 153.0625

unidades en la dirección X4.

De esta forma la TAR que pasa por el punto (0,0) tiene

pendiente 153.0625 / 50.8125 = 3. Se decide utilizar 25 W

de potencia como el paso básico de movimiento. Por tanto,

25 W de potencia es equivalente a un paso en la variable

codificada X4 de X4 = 1.

Por tanto, los pasos a lo largo de la trayectoria de

ascenso rápido son X4 =1 y X1=X4/3=0.33. Un cambio de

X1 = 0.33 en la variable codificada X1 es equivalente a un

cambio de 0.067 cm en la variable original de gap.

Pág. 59 de 66


Por lo anterior el ingeniero se moverá en la trayectoria de

ascenso rápido incrementando la potencia en 25 W y el gap

en 0.067 cm. Se hará una observación real al operar el

proceso en cada uno de los puntos.

En la figura se muestran tres puntos a lo largo de la

trayectoria y los resultados de los experimentos obtenidos.

En los puntos A, B y C, las respuestas o velocidades de

grabado se incrementan en forma estable. En el punto C se

obtuvo una respuesta de 1163 A /m cercana al objetivo. Por

tanto la TAR terminará en 375 W de potencia y gap de 1.2

cm. Esta región esta muy cercana a la operación deseada del

proceso.

3.1.2 ANÁLISIS DE UNA SUPERFICIE DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN

Cuando el experimentador está relativamente cerca del óptimo, se utiliza

normalmente un modelo de segundo orden para aproximar la respuesta dada la

curvatura de su superficie. El modelo de ajuste de segundo orden es:

Donde denota el estimador de mínimos cuadrados de . A

continuación se mostrará con un ejemplo como se aplica el modelo.

Continuación del problema. Ya se había encontrado como punto cercano al óptimo, un gap

de 1.2 cm y una potencia de 375 W, las que aparentemente

daban velocidades cercanas al objetivo de 1100 a 1150. El

Pág. 60 de 66


experimentado desea explorar la región más de cerca usando

un modelo de segundo orden.

El modelo propuesto consiste de un diseño factorial 22 con

cuatro puntos centrales y cuatro experimentos a lo largo de

los ejes coordenados denominados experimentos axiales. El

diseño resultante se denomina diseño central compuesto, y es ampliamente utilizado para el ajuste de modelos de

segundo orden.

+2 X4

(0, 1.414)

(-1,1) (1,1) (-, 0) (,0) Exp. Axiales(-1.414,0) (1.414,0)

X1 -2 (0,0) +2

(-1,-1) (1,-1)

(0,-1.414)

-2

Fig. 3.5 Diseño Central Compuesto en las variables codificadas del ejemplo

Se midieron dos variables de respuesta: la velocidad de

grabado y la uniformidad del grabado (variabilidad del

grabado). a continuación se muestra la tabla de los datos.

Tabla 3.1 Datos del Diseño Central Compuesto .

Gap Potencia Var. codificadas Vel grab. UniformObserv. (cm) (W) X1 X2 Y1 Y2

1 1.000 350 -1.000 -1.000 1054 96.9

Pág. 61 de 66


2 1.400 350 1.000 -1.000 936117.8

3 1.000 400 -1.000 1.000 1179114.4

4 1.400 400 1.000 1.000 1417118.3

5 0.917 375 -1.414 0.000 1049102.6

6 1.483 375 1.414 0.000 1287113.9

7 1.200 339.6 0.000 -1.414 927 95.9

8 1.200 410.4 0.000 1.414 1345125.4

9 1.200 375 0.000 0.000 1151102.5

10 1.200 375 0.000 0.000 1150104.5

11 1.200 375 0.000 0.000 1177113.5

12 1.200 375 0.000 0.000 1196 108.4

El experimentador encontró que la velocidad de grabado

puede ser modelada con el modelo de primer orden con

interacción:

La gráfica de contornos de respuesta constante para este

modelo se muestra a continuación, se observa que hay muchas

combinaciones de X1 y X4 que den el nivel de la respuesta

deseada de 1100 a 1150 A / m.

Pág. 62 de 66


410.4

398.6Potencia (W) 386.8

375.0

363.2

351.4

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.39

Gap (cm)

Fig. 3.6 Contornos de velocidad constante pronosticada

Los experimentadores usaron un modelo cuadrático para la

uniformidad de respuesta (variabilidad). Sus gráficas de

superficie de respuesta son tridimensionales y la gráfica

de contornos se muestra a continuación.

La gráfica de contornos y superficie de respuesta se muestran a continuación:

410120

398 115110

386 105Potencia

375 100

363 95

351 90

3390.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.39

a) Gráfica de contornos

Pág. 63 de 66


126

Respuesta 100

1.48 88

Gap 410 382 339

Potencia 0.9

b) Superficie de respuesta tridimensional

Fig. 3.7 Superficie de respuesta para la uniformidad de respuesta

Como en muchos problemas, el experimentador tiene objetivos

conflictivos en relación con las dos respuestas. Un

objetivo fue el mantener la velocidad dentro de 1100 y

1150, pero al mismo tiempo minimizar la uniformidad o

variabilidad, que no debe exceder y2 = 110 para evitar

desperdicio. Cuando hay pocas variables independientes, una

forma fácil de resolver este problema es traslapar las

superficies de respuesta para encontrar el óptimo. A

continuación se muestra el diagrama de contornos de igual

respuesta traslapado.

398 Vel. 1150

386 Uniformidad 110 Potencia (W)

375Vel. 1100

363

351 1.0 1.1 1.2 1.3 1.39

Fig. 3.8 Traslape de superficies de respuesta

Pág. 64 de 66


Las soluciones no factibles se pueden observar para los

valores de gap y potencia que sobrepasen la curva de

uniformidad mayor a 110. Sin embargo existen diversas

combinaciones que nos pueden proporcionar la solución a

ambos compromisos, el de velocidad y el de uniformidad.

DISEÑO CENTRAL COMPUESTO (CCD)Este diseño se utiliza para ajustar el modelo de segundo orden, en forma

práctica y eficiente con respecto al número de experimentos requeridos. En

general un diseño CCD en k factores requiere 2K experimentos factoriales,

además de 2K experimentos axiales y al menos 3 a 5 puntos centrales

replicados.

El diseño CCD puede hacerse rotable seleccionando adecuadamente el

espaciamiento axial en la figura 3.5. Si el diseño es rotable, entonces la

desviación estándar de la respuesta de predicción es constante en todos los

puntos que tienen la misma distancia desde el centro del diseño. Para

rotabilidad, seleccionar = (F)1/4, donde F es el número de puntos en la parte

factorial del diseño (normalmente F = 2K). Para el caso de k = 2 factores, =

(22)1/4 = 1.414, tal como se utilizó en el diseño del ejemplo. .

A continuación se presenta un modelo para la desviación estándar de la

predicción para el modelo cuadrático usado para la uniformidad de respuesta.

Notar que los contornos son círculos concéntricos, implicando que la

uniformidad es pronosticada con igual precisión para todos los puntos que se

encuentran a la misma distancia desde el centro del diseño. También observar

que la precisión de la estimación de la respuesta decrece al incrementar la

distancia desde el centro del diseño.

Pág. 65 de 66


410

398

Potencia 386

(W) 375 2.5

363 2.5

351 3.0

339 3.5

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.39 1.48

Gap (cm)

Fig. 3.9 Gráfica de contornos de desviación estándar

constante para Y est.

Superficie de respuesta

Cóncava para la desv.

est.

Fig. 3.10 Gráfica de superficie de respuesta para la respuesta de la uniformidad pronosticada (y2)

4

Pág. 66 de 66

1 - icicm.com · Web viewUn cambio de (X1 = 0.33 en la variable codificada X1 es equivalente a un...

Documents

Transcript of 1 - icicm.com · Web viewUn cambio de (X1 = 0.33 en la variable codificada X1 es equivalente a un...