1

Hogere WiskundeComplexe getallen

college week 6

Een inleidingMJRoos

21 mei 2011

2

Complexe getallen

bull De verzameling R van de reele getallen is niet toereikend om iedere kwadratische vergelijking op te lossen

bull Bijvoorbeeld x2 = -4bull Om toch een oplossing te kunnen noteren definieren we

een nieuw getal waarvan het kwadraat -1 is bull Dit denkbeeldige of imaginaire getal wordt de imaginaire

eenheid genoemdbull De imaginaire eenheid wordt aangeduid met de letter ldquoirdquo bull i2 = -1bull Met i rekenen we op de zelfde manier als met de reele

getallen

3

Complexe getallen

Voorbeelden

bull i3 = i i2 = i -1 = -ibull i6 = (i2)3 = (-1)3 = -1bull i7 = i6 i = (i2)3 i = -1 i = -ibull i-1 = 1i = 1i ii = ii2 = i-1 = -ibull x2 = - 4 4 -1 = 4 i2 = -2i of 2ibull radici2 = radic -1 = ibull radic-1 = i

4

Complexe getallen

bull Zuiver Imaginair Getal = reeel getal ibull Bijv 2i -5i frac14 I

bull Complex Getal (z) = reeel getal + i bull z = a + bi

bull Een Complex getal bestaat uit bull Een reeel deel + imaginair deel

bull Het reele deel van z is gelijk aan a (Rez = a)

bull Het imaginaire deel van z is gelijk aan b (Imz = b)bull Bijv 1 + 2i -2 ndash 5i frac14 + I

5

Complexe getallen

bull Optellen

bull z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

bull Aftrekken

bull z1 ndash z2 = (a + bi) ndash (c + di) = (a ndash c) + (b ndash d)i

bull Voorbeeld

z1 = 1 + 2i en z2 = -2 ndash 5i

z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i

z1 ndash z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i

6

Complexe getallen

bull Vermenigvuldigen

bull z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=

ac + adi + cbi + (bd -1) = ac + adi + cbi ndash bd=

(ac ndash bd) + (ad + cb)i

bull Delenbull

2222

2222

22

2

2

1

)()(

)()()1(

)(

dciadbc

dcbdac

dciadbcbdac

dcbdcbiadiac

dicdicdicbdicbiadiac

dicdic

dicbia

dicbia

zz

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

2

Complexe getallen

bull De verzameling R van de reele getallen is niet toereikend om iedere kwadratische vergelijking op te lossen

bull Bijvoorbeeld x2 = -4bull Om toch een oplossing te kunnen noteren definieren we

een nieuw getal waarvan het kwadraat -1 is bull Dit denkbeeldige of imaginaire getal wordt de imaginaire

eenheid genoemdbull De imaginaire eenheid wordt aangeduid met de letter ldquoirdquo bull i2 = -1bull Met i rekenen we op de zelfde manier als met de reele

getallen

3

Complexe getallen

Voorbeelden

bull i3 = i i2 = i -1 = -ibull i6 = (i2)3 = (-1)3 = -1bull i7 = i6 i = (i2)3 i = -1 i = -ibull i-1 = 1i = 1i ii = ii2 = i-1 = -ibull x2 = - 4 4 -1 = 4 i2 = -2i of 2ibull radici2 = radic -1 = ibull radic-1 = i

4

Complexe getallen

bull Zuiver Imaginair Getal = reeel getal ibull Bijv 2i -5i frac14 I

bull Complex Getal (z) = reeel getal + i bull z = a + bi

bull Een Complex getal bestaat uit bull Een reeel deel + imaginair deel

bull Het reele deel van z is gelijk aan a (Rez = a)

bull Het imaginaire deel van z is gelijk aan b (Imz = b)bull Bijv 1 + 2i -2 ndash 5i frac14 + I

5

Complexe getallen

bull Optellen

bull z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

bull Aftrekken

bull z1 ndash z2 = (a + bi) ndash (c + di) = (a ndash c) + (b ndash d)i

bull Voorbeeld

z1 = 1 + 2i en z2 = -2 ndash 5i

z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i

z1 ndash z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i

6

Complexe getallen

bull Vermenigvuldigen

bull z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=

ac + adi + cbi + (bd -1) = ac + adi + cbi ndash bd=

(ac ndash bd) + (ad + cb)i

bull Delenbull

2222

2222

22

2

2

1

)()(

)()()1(

)(

dciadbc

dcbdac

dciadbcbdac

dcbdcbiadiac

dicdicdicbdicbiadiac

dicdic

dicbia

dicbia

zz

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

3

Complexe getallen

Voorbeelden

bull i3 = i i2 = i -1 = -ibull i6 = (i2)3 = (-1)3 = -1bull i7 = i6 i = (i2)3 i = -1 i = -ibull i-1 = 1i = 1i ii = ii2 = i-1 = -ibull x2 = - 4 4 -1 = 4 i2 = -2i of 2ibull radici2 = radic -1 = ibull radic-1 = i

4

Complexe getallen

bull Zuiver Imaginair Getal = reeel getal ibull Bijv 2i -5i frac14 I

bull Complex Getal (z) = reeel getal + i bull z = a + bi

bull Een Complex getal bestaat uit bull Een reeel deel + imaginair deel

bull Het reele deel van z is gelijk aan a (Rez = a)

bull Het imaginaire deel van z is gelijk aan b (Imz = b)bull Bijv 1 + 2i -2 ndash 5i frac14 + I

5

Complexe getallen

bull Optellen

bull z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

bull Aftrekken

bull z1 ndash z2 = (a + bi) ndash (c + di) = (a ndash c) + (b ndash d)i

bull Voorbeeld

z1 = 1 + 2i en z2 = -2 ndash 5i

z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i

z1 ndash z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i

6

Complexe getallen

bull Vermenigvuldigen

bull z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=

ac + adi + cbi + (bd -1) = ac + adi + cbi ndash bd=

(ac ndash bd) + (ad + cb)i

bull Delenbull

2222

2222

22

2

2

1

)()(

)()()1(

)(

dciadbc

dcbdac

dciadbcbdac

dcbdcbiadiac

dicdicdicbdicbiadiac

dicdic

dicbia

dicbia

zz

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

4

Complexe getallen

bull Zuiver Imaginair Getal = reeel getal ibull Bijv 2i -5i frac14 I

bull Complex Getal (z) = reeel getal + i bull z = a + bi

bull Een Complex getal bestaat uit bull Een reeel deel + imaginair deel

bull Het reele deel van z is gelijk aan a (Rez = a)

bull Het imaginaire deel van z is gelijk aan b (Imz = b)bull Bijv 1 + 2i -2 ndash 5i frac14 + I

5

Complexe getallen

bull Optellen

bull z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

bull Aftrekken

bull z1 ndash z2 = (a + bi) ndash (c + di) = (a ndash c) + (b ndash d)i

bull Voorbeeld

z1 = 1 + 2i en z2 = -2 ndash 5i

z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i

z1 ndash z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i

6

Complexe getallen

bull Vermenigvuldigen

bull z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=

ac + adi + cbi + (bd -1) = ac + adi + cbi ndash bd=

(ac ndash bd) + (ad + cb)i

bull Delenbull

2222

2222

22

2

2

1

)()(

)()()1(

)(

dciadbc

dcbdac

dciadbcbdac

dcbdcbiadiac

dicdicdicbdicbiadiac

dicdic

dicbia

dicbia

zz

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

5

Complexe getallen

bull Optellen

bull z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

bull Aftrekken

bull z1 ndash z2 = (a + bi) ndash (c + di) = (a ndash c) + (b ndash d)i

bull Voorbeeld

z1 = 1 + 2i en z2 = -2 ndash 5i

z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i

z1 ndash z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i

6

Complexe getallen

bull Vermenigvuldigen

bull z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=

ac + adi + cbi + (bd -1) = ac + adi + cbi ndash bd=

(ac ndash bd) + (ad + cb)i

bull Delenbull

2222

2222

22

2

2

1

)()(

)()()1(

)(

dciadbc

dcbdac

dciadbcbdac

dcbdcbiadiac

dicdicdicbdicbiadiac

dicdic

dicbia

dicbia

zz

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

6

Complexe getallen

bull Vermenigvuldigen

bull z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=

ac + adi + cbi + (bd -1) = ac + adi + cbi ndash bd=

(ac ndash bd) + (ad + cb)i

bull Delenbull

2222

2222

22

2

2

1

)()(

)()()1(

)(

dciadbc

dcbdac

dciadbcbdac

dcbdcbiadiac

dicdicdicbdicbiadiac

dicdic

dicbia

dicbia

zz

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

7

Complexe getallen

bull Gegeven

bull z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i

bull Voorbeeld 1

bull Voorbeeld 2

iiiiiiizz 742762436)2()23( 221

558

58

2242436

22

223

223

2

2

2

1 iiiiiiii

ii

ii

ii

zz

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

8

Complexe getallen

bull Om complexe getallen zichtbaar te maken moeten we de getallenlijn waarop zich alle beeldpunten van de reele getallen bevinden uitbreiden met een tweede getallenlijn (loodrecht op de eerste) waarop de beeldpunten van de imaginaire getallen komen

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

9

Complexe getallen

Re-as

Im-as

r

φ

Ar∙cosφ

r∙sinφ

a

b

O

Een willekeurig punt A in dit vlak is het beeldpunt van een complex getal z = a + bi

De afstand van O naar A is

r = radic(a2 + b2)

r wordt de absolute waarde of modulus van het complexe getal a + bi genoemd

Notatie |a + bi| = radic(a2 + b2) = r

φ wordt het argument van het complexe getal a + bi genoemd

φ is een hoek in

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

10

Complexe getallen

bull De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens

bull Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft y = arctan x x = tan y

bull Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi is de arctangens strikt genomen geen functie voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken Traditioneel wordt de arctangens tussen -π2 en +π2 gekozen

bull In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reeumlel argument de tangens kan immers elke reele waarde aannemen

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

11

Complexe getallen

Machtreeks

bull De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [-1+1]

bull Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π4+π4]

Complexe notatie

bull Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als

71

51

31

12)1()(arctan 753

12

0

xxxx

nx

xn

n

n

xixi

ix11

ln21

)arctan(

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

12

Complexe getallen

bull Er geldt in het eerste kwadrant

bull Om φ in alle kwadranten te bepalen moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt van a + bi ligt

ab

arctan

Im-as

Re-as

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

ab

arctan

φ

Im-as

Re-as

φ

Im-as

φ

Im-as

Re-as

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

13

Complexe getallen

Voorbeeld 1

bull Gegeven z = -1 + i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + b2)=radic(-12 + 12)=radic2

bull Argument (2e kwadrant)

φ

Im-as

43

41

4

12502

360

45

451

1tan

4

3

4

1

1

1arctanarctan

a

b

tipa

b

Re-as

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

14

Complexe getallen

Voorbeeld 2

bull Gegeven z = -1 - i

bull Oplossing

bull Modulus r =radic(-a2 + -b2)=radic(-12 + -12)=radic2

bull Argument (3e kwadrant)

43

41

41

250236045

4511

tan

43

41

11

arctanarctan

ab

tipab

φ

Im-as

Re-as

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

15

Complexe getallenbull Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken

bull a = rcosφbull b = rsinφ

bull Zodat z =a + bi = rcosφ + irsinφ

Voorbeeldbull Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

16

Complexe getallen

De stelling van Eulerbull Als

bull Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als

Voorbeeld

Gegeven z = 1 ndash i (4e kwadrant)

en volgens Euler

sincos irrz

ierz

4sin2

4cos2

41

11

arctan

2)1(1 22

iz

r

ii erez 42

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

17

Complexe getallen

bull Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren

bull Gegeven z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2

Er geldt bij vermenigvuldiging

z1 z2 = r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1 + φ2)

Er geldt bij delen

)(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

18

Complexe getallen

Voorbeeld

bull Gegeven z1 = 1 ndash i en z2 = 2 + i

ii

i

i

i

eez

z

en

ezz

ez

ez

2

14

1

4

1

2

1

04

1

4

1

21

42

41

2

1

8

2

41682

8

2

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

19

Complexe getallen

bull Schrijf ldquoirdquo in de vorm Reφi

i

iii

eiz

eere

rrr

2

22

2222

22

1

1102

sin12

cos1sincos

φ

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

i

i

i

irrbiaz

102

sin12

cos1

sincos

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

20

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo-1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

1

1

101sin1cos1sincos 222222

φIm-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

21

Complexe getallen

bull Schrijf ldquo1rdquo in de vorm Reφi

i

iii

e

eere

rrr

0

00

222222

1

1

1010sin10cos1sincos

φ=0

Im-as

Re-as

a = rcosφ

b = rsinφ

eenheidscircel

1

01

sin1cos1

sincos

i

i

irrbiaz

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

22

Complexe getallen

bull Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i dan voeren we de volgende bewerking uit

bull Meetkundig betekent dit dat de modulus van zi gelijk is aan de modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een

frac12 π Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het complexe vlak over een hoek van frac12 π tegen de wijzers van de klok in

iii reereiz

22

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

23

Complexe getallen

Het oplossen van vergelijkingenbull az2 + bz + c = 0 (met a b c in R)

bull Voorbeeld

Los op z2 + 2z + 5 = 0

ii

iz

212

422

442

2

162

2

51442 2

21

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

24

Complexe getallen

bull De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd

bull Voorbeeld

Los op z3 = i

Stel z voor als z = reiφ en i als

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als

ikieei

2

22 11

kk

r

eerizik

i

26

22

3

1

13

22333

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

25

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 6

6

96

5

iz

iz

iiezi

2

1

60

2

13

2

12

13

2

1

6sin

6cos1

Eenheidscircel r = 1

1

z0z1

z2

Re-as

Im-as

6

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

26

Complexe getallen

bull Voorbeeld

Los op z3 = -1 + i

Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als

ik

ei

24

3

21

3

2

42

4

33

2232

21

633

24

3333

kk

r

eerizik

i

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

27

Complexe getallen

Vervolg

bull Voor r geldt r = en als we voor k respectievelijk de waarden 0 1 en 2

invullen vinden voor φ respectievelijk en 4

12

1912

11

12

19sin

12

19cos2

12

11sin

12

11cos2

22

12

2

12

4sin

4cos22

62

61

66460

iz

iz

iiezi

Eenheidscircel r = 1

1

z0

z1

z2

Re-as

Im-as

4

6 2

De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal en middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

n

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28

28

Einde

Vervolgcursus

differentiaalrekening

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28