Dia 1

1 Datastructuren Analyse van Algoritmen en O College 6

Dia 2

2 Dit onderwerp Nog twee voorbeelden van analyse van loopstructuren Analyse van algoritmen met recurrente betrekkingen Oplossen van recurrente betrekkingen Master-theorem

Dia 3

3 Loop-structuur-analyse soms met sommaties Voorbeeld 1: for i=1 to n do for j=1 to i do O(1) werk Voorbeeld 2: i=n while (i>1) do i=i/2 for j=1 to i do O(1) werk Voorbeeld 3: i=n while (i>1) do i=i/2 O(1) werk

Dia 4

4 Analyse van algoritmen met recurrente betrekkingen Merge-sort if n>1 then Recursie op n/2 elementen O(n) werk voor merge Else O(1) werk Schrijf: T(n) is de tijd van merge-sort op n elementen T(1)= (1) Als n>1, dan T(n) = 2T(n/2)+ (n) Hoe los je zon recurrente betrekking op?

Dia 5

5 Methode 1: Substitutie Gok de juiste vorm van de oplossing Bewijs met inductie dat die gok goed is Dus, als we hebben: T(1)= (1) Als n>1, dan T(n) = 2T(n/2)+ (n) Schrijf dan eerst eens: T(1)= Als n>1, dan T(n) = 2T(n/2)+ n Gok dan dat T(n) = cn lg n voor geschikte c Nu

Dia 6

6 Recursief sorteeralgoritme We kijken even naar een simpel recursief sorteeralgoritme Hoe analyseren we zijn looptijd?

Dia 7

7 Selection Sort Selection sort (A, p, q) {Sorteert de rij A[p q]} {Reken eerst uit waar de grootste waarde staat} max = A[p]; for i = p to q do if A[i] > A[max] then max = i; {Zet de grootste waarde achteraan} Verwissel A[q] en A[max] {Sorteer de rest recursief} if (q>p+1) then Selection sort (A, p, q 1)

Dia 8

8 Selection sort: de recurrente betrekking T(1)=(1) T(2)=(1) Als n>2 dan T(n) = T(n-1) + (n) Of, equivalent, maar iets simpeler: T(1)=(1) Als n>1 dan T(n) = T(n-1) + (n)

Dia 9

9 Twee voorbeelden voor substitutie Selection sort: T(1)= O(1) T(n)= T(n-1)+O(n) Binary search: T(1) = O(1) T(n) = T(n/2)+O(1)

Dia 10

10 Methode 2: De recursie-boom Analyseer de recursie-boom Hoeveel niveaus heeft de boom? Hoeveel werk doen we per level? Sommeer het werk over de levels

Dia 11

11 Voorbeelden Merge-sort: T(1)= (1) Als n>1, dan T(n) = 2T(n/2)+ (n) Selection sort: T(1)= O(1) T(n)= T(n-1)+O(n) Binary search: T(1) = O(1) T(n) = T(n/2)+O(1)

Dia 12

12 De master theorem Stel a1 en b>1 zijn constantes, f(n) is een functie en T(n) is een functie van de niet-negatieve (of positieve) integers), gedefineerd met: T(n) = a T(n/b)+f(n) Waarbij n/b zowel omhoog als omlaag kan afgerond worden Voor kleine n Dan geldt dat: 1. Als f(n) = O(n log b a- ) (n tot de macht log b a- ), voor constante >0, dan T(n) = (n log b a ) 2. Als f(n) = (n log b a ), dan T(n) = (n log b a lg n) 3. Als f(n) = (n log b a+ ) (n tot de macht log b a+ ), voor constante >0, en a f(n/b) c f(n) voor een constante c

13 Toepassen van de master theorem voorbeeld type 1 1. Als f(n) = O(n log b a- ) voor constante >0, dan T(n) = (n log b a ) 2. Als f(n) = (n log b a ), dan T(n) = (n log b a lg n) 3. Als f(n) = (n log b a+ ) voor constante >0, en a f(n/b) c f(n) voor een constante c

Dia 14

14 Toepassen van de master theorem voorbeeld type 2 1. Als f(n) = O(n log b a- ) voor constante >0, dan T(n) = (n log b a ) 2. Als f(n) = (n log b a ), dan T(n) = (n log b a lg n) 3. Als f(n) = (n log b a+ ) voor constante >0, en a f(n/b) c f(n) voor een constante c

Dia 15

15 Toepassen van de master theorem voorbeeld type 2 (nog eentje) 1. Als f(n) = O(n log b a- ) voor constante >0, dan T(n) = (n log b a ) 2. Als f(n) = (n log b a ), dan T(n) = (n log b a lg n) 3. Als f(n) = (n log b a+ ) voor constante >0, en a f(n/b) c f(n) voor een constante c

Dia 16

16 Toepassen van de master theorem voorbeeld 3 1. Als f(n) = O(n log b a- ) voor constante >0, dan T(n) = (n log b a ) 2. Als f(n) = (n log b a ), dan T(n) = (n log b a lg n) 3. Als f(n) = (n log b a+ ) voor constante >0, en a f(n/b) c f(n) voor een constante c

Dia 17

17 Toepassing op algoritme int Voorbeeld (int[] A, int begin, int eind) formaat = eind begin + 1; derdef = formaat / 3 ; if (formaat < 3) then return A[begin] else int hulp = Voorbeeld(A, begin, begin + derdef) hulp += Voorbeeld(A, begin+derdef+1, eind- derdef); Return (hulp + Voorbeeld(A,eind-derdef,eind) Schrijf n = eind begin+1 T(n) = ?

Dia 18

18 Toepassing op algoritme int Voorbeeld (int[] A, int begin, int eind) formaat = eind begin + 1; derdef = formaat / 3 ; if (formaat < 3) then return A[begin] else int hulp = Voorbeeld(A, begin, begin + derdef) hulp += Voorbeeld(A, begin+derdef+1, eind- derdef); Return (hulp + Voorbeeld(A,eind-derdef,eind) Schrijf n = eind begin+1 T(n) = 3 T(n/3) + O(1) Afrondingen kunnen we negeren

Dia 19

19 Toepassing op algoritme int Voorbeeld (int[] A, int begin, int eind) formaat = eind begin + 1; derdef = formaat / 3 ; if (formaat < 3) then return A[begin] else int hulp = Voorbeeld(A, begin, begin + derdef) hulp += Voorbeeld(A, begin+derdef+1, eind-derdef); Return (hulp + Voorbeeld(A,eind-derdef,eind) Schrijf n = eind begin+1 T(n) = 3 T(n/3) + O(1) Afrondingen kunnen we negeren log 3 3= 1 O(1) = (n 1-1 ) dus mastertheorem geeft: T(n) = (n)

Dia 20

20 Over de mastertheorem Bewijs in boek Vaak handig en makkelijk te gebruiken als je m eenmaal kent Soms gevallen waar t niet gaat Bijvoorbeeld als T(n) = a T(n-1) + f(n) Wat als je T(n) aT(n/b)+f(n) hebt? En wat als T(n) aT(n/b)+f(n) ? Net zo, maar je krijgt alleen een O of grens

Dia 21

21 Een exponentieel algoritme Duur(n) If n=1 dan O(1) werk Ga in recursie met Duur(n-1) Doe O(n) werk Sommige problemen kosten veel tijd om op te lossen Maar liever niet! Sommige problemen kosten veel tijd om op te lossen Maar liever niet!

Dia 22

22 Conclusies Wat technieken voor analyse van algoritmen Recurrente betrekkingen oplossen Gokken en controleren Analyse van de recursieboom Master-theorem Inspectie loopstructuur Analyse doen van binnen naar buiten Soms: opschrijven van sommaties; ken en gebruik standaard sommaties