1 %BEP FM TFHNFOUP AB FO NBHOJUVE Z 2 %BEPT MPT … · $bmjgjdbdj¦o /pncsf lÁmina nº:003 u...

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Nombre:

2 Bachillerato

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001LÁMINA Nº:

OPERACIONES CON SEGMENTOS

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

B

ab x

c

c'b'

b

c

b

a'

a

c

a

A x

c

b

b

c

a

a

Dados los segmentos a, b y c ,determina geom tricamente el segmentocuarto proporcional de dichos segmentos.Expresa la ecuaci n matem tica llamandox al segmento resultado.

bx

ab

x

b

b

b

a

a

Dados los segmentos a y b determinageom tricamente el segmento terceraproporcional de dichos segmentos. Expresala ecuaci n matem tica llamando x alsegmento resultado.

Determina geom tricamente elsegmento media proporcional de los dadosa y b mediante la aplicaci n del teorema dela altura y del cateto en un tri ngulorect ngulo. Expresa la ecuaci n matem ticallamando x al segmento resultado.

aa' b'

bc'c

Dado el segmento AB en magnitud yposici n div delo en partes proporcionales alos segmentos dados a, b y c. Expresa laecuaci n matem tica del teorema de Thalesllamando a', b' y c' a los segmentosproporcionales de a, b y c respectivamente.

a

a

ba

bxxa

Teorema de la altura

Teorema del cateto

b

b

x

x bxxa

1Ejercicio

3Ejercicio

2Ejercicio

4Ejercicio

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Nombre: 002LÁMINA Nº:

OPERACIONES CON SEGMENTOS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dados los segmentos a y b enmagnitud, calcula geom tricamente a/b.Expresa la ecuaci n matem tica llamando xal segmento resultado.

b

ab 1

x

a

Dados los segmentos a y b enmagnitud, determina geom tricamente elproducto de dichos segmentos. Expresa laecuaci n matem tica llamando x alsegmento resultado.

b

ab1x

ba

x

a . b = x . 1

Determina geom tricamente la ra zcuadrada del segmento a dado por sumagnitud. Expresa las ecuacionesmatem ticas necesarias para realizar suconstrucci n geom trica designando con laletra x al segmento soluci n.

a =x a = x ² 1. a = x ²de donde:ax 1

x Expresi n de la mediaproporcional

x

Dado el segmento a en magnitud,determina geom tricamente a ². Expresa lasecuaciones matem ticas necesarias pararealizar su construcci n geom tricadesignando con la letra x al segmentosoluci n.

a1 cm

a1 a

x

a

x

a² = xa .a = x. 1 de donde:

Expresi n de la terceraproporcional

a 1 cm

b 1 cm

a

x

1 cm

a

ab

x

Expresi n de la cuartaproporcional

a . b = x

Expresi n de la cuartaproporcional

5Ejercicio 6Ejercicio


aa

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

ha 2

h=a 3

a 2

Dado el segmento a, representagr ficamente sobre la semirrecta dada a 3 .Expresa las ecuaciones matem ticasnecesarias y designa con la letra h alsegmento soluci n.

h² = (a 2 ) ²+ a ²

h²= a ² . 2 + a ²

h²= a ² (2+1)

h = a ². 3 = a 3a

Construir dos segmentos a y bsabiendo que, su suma viene dada por elsegmento m y la ra z cuadrada de suproducto por el segmento n.

n

nm

m = a +b

n = a.b a.b = n ²

an b

n

m

n

Dados los segmentos m y n por susmagnitudes, hallar geom tricamente otrosegmento x tal que se cumpla: x = m² + n²

x

m

n

La ecuaci n del enunciado es elteorema de Pit goras.

nm

Dados los segmentos m , n , p y qhallar geom tricamente otro segmento x talque se cumpla: x = m¨ + n¨- p¨ - q¨ .Expresa las ecuaciones anal ticasnecesarias.

nmqp

Llamando a¨=m¨+n¨ se obtiene: x = a¨- p¨- q¨

Llamando b¨=a¨-p¨ se obtiene: x = b¨- q¨que corresponde al teorema de pit gorasde un tri ngulo rect ngulo de hipotenusab y cateto q

m

n

a

pa b

x

b

q

a b

a

O

a



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Suponiendo que el punto P divide alsegmento c (dado en magnitud y posici n)seg n la secci n urea a/b, expresaanal ticamente la secci n urea como mediaproporcional e indica su valor num rico.

BA

a bc

ab a

c siendo c= a + b

P

En esta proporci n, a es mediaproporcional entre el segmento totaly la parte menor.

Dado el segmento AB en posici n ymagnitud, determina geom tricamente unpunto P en l tal que lo divida seg n laproporci n urea.

O

BP

C

A

Dado el segmento a en posici n ymagnitud, se pide:1. Obtener geom tricamente el segmento btal que, sumado al est en proporci nurea.

2. Dibuja un rect ngulo ureo que tenga poruno de sus lados la magnitud del segmentoa.

Obtener un segmento dado susegmento ureo AB en posici n y magnitud.

A B

D

C

M

AM = AB

= 1,618=

O

ac

b

O

M

N



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EQUIVALENCIAS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

E

N

D

A

C

B

Dibuja un pol gono equivalente alrepresentado ABCDE tal que tenga un ladomenos.

N

B

h

C

M

A

AREA (tri ngulo) = AREA (rect ngulo)

AREA (rect ngulo) = AB . AM = AB. 1/2 hAREA (tri ngulo) = 1/2 AB . h

Dibuja un cuadrado de lado xequivalente al hex gono regular ABCDEFdado. Expresa anal ticamente la soluci nadoptada.

Dibuja el rect ngulo equivalente altri ngulo representado ABC siendo uno desus lados AB. Expresa anal ticamente lasoluci n adoptada.

3b=

p= 6b

x

x

Ca

B

D

A

E

F

AREA(hex gono) =

3b. a = x. x6b. a/2 = x. x

p.a/2 = x. x

AREA(cuadrado) =

ax

b

a3b

C

B

A

Dado el tri ngulo ABC div delo en trestri ngulos cuyas reas sean equivalentes.

p. a/2x. x

siendo:p=per metro y a=potema

17Ejercicio

19Ejercicio

18Ejercicio

20Ejercicio

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EQUIVALENCIAS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

a

x

n

a

Lxn . x = a. a

xr/2

Dibuja un rect ngulo sabiendo que unode sus lados mide la magnitud del segmenton y su rea es equivalente a un cuadradode lado el segmento a. Expresaanal ticamente la soluci n adoptada.

Se sabe que el tri ngulo MNC tieneque tener por rea la mitad deABC, luego:

Por otro lado, los tri ngulos MNCy ABC son semejantes. Se cumplepor tanto:

De donde:

Sustituyendo este valor de b' enla ecuaci n (1), se tiene:

Esta igualdad se puede expresarcomo media proporcional:

NM

C

BA

Dado el tri ngulo ABC div delo en dos partes trazando la paralela MN a la baseAB, de tal forma que sus reas sean equivalentes. Expresa anal ticamente la soluci nadoptada sin realizar c lculos matem ticos. Designa la base del tri ngulo MNC por b' y,su altura tomando MN como base por h'.

h 1/2h

Dibuja un cuadrado de lado xequivalente a un c rculo de di metro elsegmento dado d. Expresa anal ticamente lasoluci n adoptada.

Area c rculo = π.r¨ = π.r.r= 2.π.r.r/2 = L r/2siendo L la longitud de la circunferencia y rsu radio.Area cuadrado = x.x

an

xa

Igualando las reas se tiene: L. r/2 = x. xes decir:

Calculamos geom tricamente el valor de LL = 3d +1/7d

x

Lr/2

d

an

Llamando x al otro lado del rect ngulo, setiene:

b

b'

bb'=

hh'

b' = b.h'h

(1)

b.h'h

h'= b.h2

h'h

h'= h2

;

h'h h'= h/2

12 =b'.h' 1

212 b.h( )

b'.h' = 12 b.h

h'h

h'

21Ejercicio

23Ejercicio

22Ejercicio

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ESCALAS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

50403020

Construye la escala gr fica 8/5 sobrela semirrecta representada con apreciaci nde 5 mm, y acota el rect ngulo representadoque ha sido dibujado a dicha escala. Unidad= mm. Deja indicado los c lculos matem ticos.

A

10

Eintermedia =

14

415

5=Eint =

D = E x R

A'

EfinalEinicial

Escala1:5

0mm

Dado el segmento AB en magnitud yposici n, se pide:1. Determina la escala a la que est dibujadosabiendo que su magnitud real es de 6 m.2. Se ala sobre dicho segmento un punto Psituado a 4,2 m. de A.Deja indicado los c lculos matem ticos.

A B

E = siendo D =dibujo y R =realidad

El segmento mide 80 mm., es decir D = 80 mm.Realidad = 6 metros = 6000 mm.E = 80

6000 =8

600Dividiendo ambos t rminos por 8 la escalapuede expresarse por:E =

Construye la escala gr fica 1/50 sobrela semirrecta dada con apreciaci n de 0,5 m,y acota las dimensiones que se indican en eldibujo representado suponiendo que ha sidodibujado a dicha escala. Unidad =metro.

D = E. R = 1/75 . 4200 = 56 mmluego, la distancia AP = 56 mm

P

0m 1 2 3 4

1

3

0,5

Para R = 1 m. = 1000 mm.D = E. R =1/50 . 1000 = 20 mm. , es decir,cada 20 mm. del dibujo representa en larealidad 1 m.

0.5

Dada la figura a escala 1/5, se pide:1. Realiza su dibujo a escala 1/4 haciendocoincidir el punto A con A'.2. Indica los c lculos para determinar laescala intermedia.3. Acota sobre el dibujo realizado lamagnitud MN. Unidad = mm.

DR

175

APARTADO 1.

APARTADO 2.

75

M

N

Escala 1:4 18,7514

=R = DE

= 75

E=D/R ; D=E. R ; Para R = 10 mmD= 8/5 . 10 = 16 mm(Cada 16 mm. del dibujo equivalen a 10 mm.de la realidad)

40

25

24Ejercicio


25Ejercicio

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ÁNGULOS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dibuja el cuadril tero inscriptiblesiendo AB y BC dos de sus ladosrepresentados en posici n y magnitud. Elngulo en A es de 92 y en B vale 112 .

14

415

5=Eint =

D = E x REfinalEinicial

Dado el cuadril tero ABCD inscrito enla circunferencia representada, se pide:1. Mide con el transportador los ngulos enD y C y acota su valor.2. Suma sus ngulos opuestos dos a dos ydemuestra por qu son suplementarios(suman 180 ).

A

B

CD

C =180 - 92 = 88D =180 - 112 =68

La suma de los ngulos A+C es 180 porqueentre los dos abarcan la circunferenciacompleta. Siguiendo el mismo razonamiento losngulos B+D suman tambi n 180 .

Dada la circunferencia de centro O,dibuja un ngulo inscrito que abarque 180sabiendo que, su v rtice es A y uno de suslados contiene al punto B. Acota sobre eldibujo el valor de dicho ngulo.

A

90

117

63

86

94

A

B

C

Dado el tri ngulo is sceles ABCdemuestra que los ngulos α y β soniguales.

β = δ por ser ABC un tri ngulo is scelesα = δ por ser opuestos por el v rticeluego:� = �

112

68

88

92

A

B

C

O

D

B

C

18,7514

= = 75

α β

δ



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ÁNGULOS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

Dado el cuadril tero inscriptible ABCDdemuestra que α' =α

α + β = 180α'+ β = 180Restando ambas igualdades:α - α' = 0 , luego : α = α'

α'

α

β

A

B

D

C

M

B

A

N

Los ngulos � y α' son iguales porque soninscritos en la circunferencia que abarcan unmismo arco MN.

Dados los ngulos α y α' inscritos enla circunferencia representada, se pide:1. Razona el por qu los ngulos α y α' soniguales.2. Dibuja otro ngulo (sin usar eltransportador de ngulos) inscrito igual a losdados que tenga por v rtice el punto C, unode sus lados pase por N y est situado lom s a la derecha posible.

Demuestra que la medida de un nguloinscrito en la circunferencia es la mitad delngulo central comprendido entre sus lados,

es decir, α = δ

α

β

δ

A

B

CPor construcci n el tri ngulo AOB es is sceles,luego α = βEl ngulo en O vale: ω = 180 -2 αluego:δ = 180 - ω = 180 -180 + 2α , es decir:δ = 2α y por lo tanto: α = δ

ω

α

α'

O

P

C

12

12

Dada la recta r y los puntos A y Btraza el camino m s corto para ir de A haciaB tocando la recta R . Razona la soluci nobtenida. A

B

M

A'

r

Para demostrarlo supongamos que el punto Afuera el A' situado sim tricamente respecto de R.Es decir: AP = PA' . En estas condiciones ladistancia m nima ser a A'B siendo M el punto deintersecci n con R.

P

32Ejercicio

34Ejercicio

33Ejercicio

35Ejercicio

LUGARES GEOMÉTRICOS Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

Los puntos A y B representan dospoblaciones y la recta r la l nea divisoria deambas, se pide:Sit a una tercera poblaci n C tal que,estando situada sobre la l nea divisoria requidiste de A y B.

r

A

B

C

4O

B O2

O 3

1O

P

A

Dados dos segmentos consecutivos ABy BC, determina un punto exterior a ellosdesde el cual se vean ambos segmentos bajoun mismo ngulo de 60 . Indica todas lassoluciones posibles.

60

C

60°

Q

Determina el lugar geom trico de lospuntos medios de los lados de todos lostri ngulos inscritos en la circunferencia dadaque tienen por base la cuerda fija MN.

MN

Dada la circunferencia de centro determina el lugar geom trico de los puntosdel plano para los que se cumple, que latangente trazada desde dichos puntos a lacircunferencia sea de longitud el segmentodado AB.

A B

A

B

O

36Ejercicio

38Ejercicio

37Ejercicio

39Ejercicio

LUGARES GEOMÉTRICOS

Calificaci n:


TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

Dibuja un tri ngulo is sceles ABCconociendo las magnitudes del semiper metro(segmento MN) y la altura (segmento MC)tomada AB como base. El lado ABcorrespondiente al lado que es desigual estsituado sobre la recta r. Determina despu sel baricentro y el ortocentro del tri ngulo.

N

r

B

M

N

C

CM

Por construcci n BC = BNMN = MB + BNMN = MB + BC = semiper metro

M

= 65

C

2360 - 230

B

A

D

NGULO AGUDO =

Dibuja el rombo ACBD siendo AB ladiagonal menor y sabiendo que la suma desus ngulos obtusos es igual a 230 .

Dibuja un trapecio rect ngulo le do en sentido horario que cumpla lassiguientes condiciones:1. Uno de sus lados es el segmento AB dadoen magnitud y posici n.2. El ngulo en B es de 60 .3. El ngulo en A es obtuso.4. El lado BC mide 4/3 de AB

AB

C

D

65

115

65

NM

Dado el segmento MN =8 cm enposici n y magnitud, dibuja un tri ngulorect ngulo de 8 cm ² de superficie que tengapor hipotenusa dicho segmento. Representatodas las soluciones posibles.A =(b.h)/22A = b. hh = (2A)/b =(2. 8)/8 = 2 cm

Ba

O

A = reab= base MNh = altura

1/2AB

BC



A

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POLÍGONOS2 Bachillerato

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ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

C

JUSTIFICACI N DE LOSPOL GONOS ESTRELLADOSDIBUJADOS

2

1

3

O

B-7A6-

4

5

Dado el segmento AB en magnitud y posici n, se pide:1. Dibuja un hept gono regular de lado el segmento dado.2. Dibuja todos los hept gonos regulares estrellados posibles. Justifica la soluci nadoptada.

r

BA

Dibuja un pent gono regular sabiendo que su apotema tiene como magnitud elsegmento dado AB y uno de sus lados se encuentra sobre r.

Un pol gono regularconvexo tiene tantospol gonos estrellados comon meros enteros primostiene con l menores de sumitad.En este caso la mitad de 7es 3.5.Los n meros 2 y 3 sonprimos con el 7 que a suvez son menores de 3.5.Por lo tanto, es posibledibujar dos pol gonosestrellados (uniendo susv rtices de 2 en 2 y de 3en 3).

N

M N

M' N'

O

44Ejercicio

45Ejercicio

Calificaci n:


POTENCIA2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

PA

P

LAS CIRCUNFERENCIAS SONTANGENTES EXTERIORES

A

P

A'

P

A

A'

PA . PA' =k = d ² - r ²

Dibuja el eje radical de cada una de las parejas de circunferencias representadasseg n que stas se corten, sean exteriores entre s o sean tangentes exteriores.

LAS CIRCUNFERENCIAS SONEXTERIORES ENTRE S

A'

LAS CIRCUNFERENCIASSE CORTAN

Potencia de P respecto ala circunferencia

Considerando las rectas secantes s y t , determina la potencia del punto P respecto ala circunferencia en cada uno de los casos representados. Expresa tambi n su valor enfunci n de r y d, siendo r el radio de la circunferencia y d la distancia del punto P al centrode la circunferencia.




P es exterior a lacircunferencia

d>r

P es interior a lacircunferencia

d<r

P coincide con el centrode la circunferencia

d=0

P est sobre lacircunferencia

d=r

A

A'

PA . PA'=k = d ² - r ² PA . PA' =k = d¨ - r¨=0PA . PA' =k= d¨ - r¨=-r ²

d

r

s t s t

t

t

s

(NEGATIVA)

46Ejercicio

47Ejercicio

Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

LAS CIRCUNFERENCIAS SONINTERIORES ENTRE S

LAS CIRCUNFERENCIAS SONTANGENTES INTERIORES

C

Localiza el centro radical C de lastres circunferencias dadas.

Dibuja el eje radical de las circunferencias dadas en cada uno de los casos indicados.

La recta r es el eje radical de lacircunferencia de centro O1 y otra decentro O2 no dibujada . Determina el radiode esta circunferencia y dib jala.

O1

O2

P

T1

r

T2

48Ejercicio


Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dadas las circunferencias de centrosO1, O2 y O3, un punto T en la circunferenciaO1 y el punto C que es el centro radical delas tres circunferencias, se pide:1. Traza la recta tangente a lacircunferencia O1 desde C sabiendo que T essu punto de tangencia.2. Localiza por potencia los puntos detangencia de todas las rectas que partiendode C son tangentes a las circunferenciasdadas. Traza despu s dichas rectas.

Dadas las circunferencias de centrosO1 y O2, el punto P perteneciente al ejeradical de ellas y el punto T situado sobrela circunferencia de centro O1, se pide:1. Dibuja el eje radical de las circunferenciasO1 y O2.2. Traza la recta tangente a lacircunferencia O1 desde P sabiendo que Tes su punto de tangencia.3. Localiza por potencia los puntos detangencia sobre las circunferencias de todaslas rectas que pasando por P son tangentesa ellas. Despu s dibuja las rectastangentes.

T

O1

P

O2

TC

Dada la circunferencia de centro O yun punto P exterior a ella, traza desde P larecta tangente a la circunferencialocalizando el punto de tangencia en lacircunferencia por potencia. Razona elproceso seguido.

P

O

T

Dadas dos circunferencias conc ntricasde centros el punto O determina el ejeradical.

O

O1

O2

O3

La potencia de P respecto a la circunferenciaaplicada a una recta tangente a ella trazadadesde P es: PT¨ = d¨- r¨Por otro lado, esta expresi n seg nPit goras, en el tri ngulo rect ngulo OPT secorresponde con el valor del cateto PT, luegoel ngulo en T tiene que ser necesariamenterecto. Para obtener T construimos el arcocapaz de 90 bajo el segmento PO.

d

r

No existe

T1T2

T3

T1

T2

T3

T4

T5

CT¨ = CT 1¨ = CT 2¨ = CT 3¨ = CT 4¨ =CT 5¨=k

PT¨ = PT 1¨ = PT 2¨ = PT 3¨ =k



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dadas las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta T1-T2 tangente exteriora las circunferencias, dibuja su eje radical empleando dos m todos.

O2

El eje radical ha de pasar por el punto medio delsegmento T1-T2 porque este punto tiene igualpotencia respecto de ambas circunferencias. Es decir,PT1² = PT2²

T2T1 P

Localiza el centro radical de lassiguientes circunferencias:- Circunferencia de centro O1.- Dos circunferencias que pasen por lospuntos A y B debiendo cortar una de ellasa la dada.

A

B

C

O1

O1

Dada la circunferencia de centro O sepide:1. Dibuja dos circunferencias ortogonales.2. Determina su eje radical.3. Dibuja un haz ortogonal al obtenido en elapartado 1.

O O1

O2

T

r s

O2

T2T1

M TODO 1

O1

M TODO 2

P

P

Q

55Ejercicio

57Ejercicio56Ejercicio

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POTENCIA. APLICACIONES2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

O5

T

O3

C

T2

T1

O4

Dibuja todas las circunferencias tangentes a otras dos de centros O1 y O2conociendo el punto T de tangencia en una de ellas.

O2

O1N

O5

T3

58Ejercicio

Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

C

T2 T1

O1

T

O2

O3

r

Traza las circunferenciastangentes a otra de centro O1 y a unarecta r conocido el punto T detangencia en la recta.

r

T2

O3

C

O1

T1

T

O2

Traza las circunferencias tangentes a otra de centro O1 y a una recta r conocido elpunto T de tangencia en la circunferencia.

59Ejercicio

60Ejercicio

Calificaci n:



© ED

TCN

ICAS

I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

O2

t

T2

A

r

P

B

O1

T1

Traza las circunferencias tangentes a una recta r y que pasen por los puntos A y Bexteriores a la recta.

Traza las circunferencias tangentes a otra dada de centro O1 y que pasen por lospuntos A y B exteriores a la circunferencia.

61Ejercicio

62Ejercicio

T1

O2O1

t

A

T2

C

O3

B

Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Traza las circunferencias tangentes a otra dada de centro O1 , que pasen por unpunto dado A exterior a la circunferencia y sus centros se encuentren sobre la recta rdada.

O3

r O1

T1

tT2

O2

A' AC

OT

Dada la circunferencia de centro O y la recta r, traza las circunferencias que siendotangentes a r pasen por el punto T de la circunferencia.

rP T1T2

63Ejercicio

64Ejercicio

Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dibuja las circunferencias que pasen por el punto P y sean tangentes a las rectas r ys.

P

s

r

P'

T1 T2

O1

O2

P

s

r1

P'

T1 T2

O3

O4

Dibuja las circunferencias que sean tangentes a la circunferencia de centro P y a lasrectas r y s.

C

T3

T4

C

s1

s2

r2

t

r

M

T

O1

O2


66Ejercicio

Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Traza todas las circunferencias posibles de igual radio tangentes entre s y tangentesinteriores a la circunferencia dada.

O1

O2

O3

Traza las circunferencias tangentes entre s dados los centros O1 , O2 y O3 de lasmismas.

Y

C

T

T1

Z

X

C

T'

67Ejercicio

68Ejercicio

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INVERSIÓN2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dado el centro de inversi n O y lasparejas de puntos inversos A-A' , B-B',expresa en ambos casos el valor de lapotencia de inversi n K indicando su signo.

O

A

B

A'

B'

B

B'

O

A

A'

OA. OA' = OB. OB' = +K

OA. OA' = OB. OB' = -K

En una inversi n de potencia positivaes conocido el centro de inversi n O y lapareja de puntos inversos A-A'. Determina elinverso de un punto B teniendo en cuentaque en toda inversi n las parejas de puntosinversos son conc clicos .

A'

A

B

B'

O

α

α

O

A

B

A'

B'rs

En una inversi n es conocido el centrode inversi n O y la pareja de puntosinversos A-A'. Determina el inverso de unpunto B.

1 Caso:er

2 Caso:

m

n

Dada dos inversiones, una de potenciapositiva y la otra de potencia negativa,definidas por su centro de inversi n O y lospuntos inversos A-A' y B-B' dibuja lasrectas r y s antiparalelas a m y nrespectivamente y acota una pareja dengulos iguales.

OA

B

A'

B'

r

s

m

n

A'AOB

N

N'

B'

k>0

k<0

α

α



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

En una inversi n de potencia positivase conoce el centro de inversi n O, unapareja de puntos inversos A-A' y un puntoB. Se pide:Determina el punto B' (inverso de B)mediante la aplicaci n de las rectasantiparalelas.

O A A'

B

B'

s

r

En una inversi n de potencia positivase conoce el centro de inversi n O, unapareja de puntos inversos A-A' y un puntoB'. Se pide:Determina el punto B (inverso de ')mediante la aplicaci n de las rectasantiparalelas.

O

A

A'

B

B'

s

r

90

75

75

75

90


A'AOB

N

N'

B'

α

α

En una inversi n de potencia positivaes conocido el centro de inversi n O y lapareja de puntos inversos A-A'. Determina lacircunferencia de autoinversi n y el inversode un punto B mediante el uso de lasrectas antiparalelas.

OA

A'

B

B'

k

En una inversi n es conocido elcentro de inversi n O y la pareja depuntos inversos A-A'. Determina el inversode un punto B. Resuelve el ejercicioutilizando las rectas antiparalelas.

α


Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

En una inversi n de potenciapositiva, determina el inverso A' de unpunto A conociendo la circunferencia deautoinversi n.

A'

A

B-B'

O

k

s

r

Determina la inversa de una recta rque no pasa por el centro de inversi n Osiendo conocida la circunferencia deautoinversi n .

O

k

B-B'

r

C-C'

A'

A

B-B'

k

s

rA 1

En una inversi n de potencia positivase conoce el centro de inversi n O y unapareja de puntos inversos A-A' . Se pide:1. Dibuja la circunferencia de autoinversi n.2. Hallar la figura inversa de la recta rdada.

r

O

A

A'

B'

En una inversi n de potencianegativa, determina el inverso A' de unpunto A conociendo la circunferencia deautoinversi n.

O

k

T-T'

r'

B

r'


79Ejercicio 40Ejercicio80Ejercicio

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Determina la inversa de la recta rsabiendo que O es el centro de inversi n yla potencia de inversi n K =1296 .

r

O

K = 36

A

A'

Determina la inversa de unacircunferencia de centro M que pasa por elcentro de inversi n O, siendo conocida lacircunferencia de autoinversi n.

O

K

B-B'

r'

A-A'

Determina la figura inversa de unacircunferencia de centro M que no pasa porel centro de inversi n O , siendo conocidala circunferencia de autoinversi n.

O

K

En una inversi n de potencia positivase conoce el centro de inversi n O y unapareja de puntos inversos A-A' . Se pide:Hallar la figura inversa de la circunferenciade centro M.

M

O

A

A'r'

B-B'

A-A'

M

C'

r'

C

M

81Ejercicio

83Ejercicio

82Ejercicio

84Ejercicio

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INVERSIÓN. APLICACIONES2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dada la circunferencia de centro A, la recta r y el punto P, se pide:1. Traza una circunferencia que pasando por P sea tangente a r y a la circunferencia.2. Cu ntas soluciones tiene este problema?Realiza el ejercicio por inversi n.

x

A

T

P

r'

r

El problema tiene 4 soluciones

K

x'

85Ejercicio

86Ejercicio

s P

r

Dadas las rectas r y s y el punto P, se pide:1. Traza una circunferencia que pasando por P sea tangente a r y s .2. Cu ntas soluciones tiene este problema?Realiza el ejercicio por inversi n.


X

T

K

X'

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INVERSIÓN. APLICACIONES2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

B

PA

Hallar la figura inversa del tri ngulo equil tero representadoABC, siendo O el centro de inversi n y la magnitud del segmento MNla potencia de inversi n.El c lculo del radio de la circunferencia de autoinversi n sedeterminar geom tricamente sobre la semirrecta dada.

O

B

AC

K

M N

MN 1cm

ax 1

x

x =

Llamando a al segmento MN, se tiene: a = x ( a ) ²=x ² ; a = x ² ; 1. a = x ² de donde:

Dadas las circunferencias de centros A y B y el punto P, se pide:1. Traza una circunferencia que pasando por P sea tangente a dichas circunferencias.2. Cu ntas soluciones tiene este problema?Realiza el ejercicio por inversi n.


T

X

C'B'

A'

K

X'

K

K

87Ejercicio

88Ejercicio

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TANGENCIAS. APLICACIONES2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

A'

AR17,5

21

Dibuja la figura representada a escala 2:1 haciendo coincidir el punto A con A'.Deja indicado el proceso seguido para obtener los centros de los arcos y puntos detangencia.

15

R13,5

R28

R14

R2

R35

17,5

89Ejercicio

Calificaci n:


TANGENCIAS. APLICACIONES2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Completa la figura representada dejando constanciadel proceso seguido para obtener los centros delos arcos y puntos de tangencia. Escala 1:1

2,5

2,5

∅45

A

B

Completa el dibujo que se ha iniciado del objetorepresentado dejando indicado el proceso seguido paradeterminar los centros y puntos de tangencia. Calcula laescala del dibujo a partir de los datos e ind cala en laparte inferior de la l mina.La curva que va de A hasta B es una escocia de doscentros.

15

R80

R45

5055

R40

10

44

5

r

r

Escala 1:1

3651 45

Escala: 2:1

O1

O2

M

N

35

20

CD

A

B

90Ejercicio

91Ejercicio

Calificaci n:


CURVAS TÉCNICAS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

A

C

B

A partir del tri ngulo ABCrepresentado construir la voluta (espiral detres centros).Traza el primer arco con centro en el puntoA e inicia la curva en C.

A partir de la circunferencia representada dibuja la voluta j nica.

51 92

3

4

6

8

7

12

3 4

A partir de la circunferenciarepresentada construir la voluta.Traza el primer arco con centro en el punto1 e inicia la curva en A.

A

A

40Ejercicio92Ejercicio 40Ejercicio93Ejercicio


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

4

2

3

4'

5

5'

3'

1'

2'

24 3

7'

678

7

5

1

1

6

T 1

T0

6'

A partir de la circunferencia representada dibuja la evolvente normal.

A partir de la circunferencia representada dibuja la espiral de Arqu medes.

90 +90

1

23

4

5

6



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

⇒

3'

5

62'

43

r2

A partir de la circunferencia (ruleta) dada, dibuja la curva epicicloide que describeun punto que rueda exteriormente sin resbalar sobre otra circunferencia.

α=(360 . 22) / 90 = 88

C LCULO DEL NGULO α

360 ....... 2 πR � ........... 2 πr

α = 360.r/R

5'

O8

6'

4'

O6

6

O5

O3

5

4

O4

7

3

O2

2

7

181

1'

X

R

O7

7'

� = 88º

O1O

8-8'


40Ejercicio98EjercicioDado el di metro del cilindro y el paso de la h lice, traza la h lice.

paso

hlice

dime

tro cilindro

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CURVAS CÓNICAS2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

B

C3

21

2

D

A1 3

Dibuja una elipse conociendo sus ejesconjugados AB y CD en posici n y magnitudutilizando el m todo de los hacesproyectivos.

O

1'2'

3'



Eje

c

b

d18

a

c'

b'

d'

a'

De una hip rbola se conoce el ejereal, los v rtices A y B y los focos F1 - F2.Se pide:1. Dibuja la hip rbola.2. Traza la recta tangente a la hip rbolaen un punto P de la rama de la izquierdasituado a 11 mm. del foco F1.

Dado el eje, el foco F y la directriz dde una par bola, se pide:1. Dibuja la par bola.2. Traza la recta tangente a la par bola enun punto P de ella situado por encima deleje y a 18 mm. de la directriz.

P

F O F'

P

A B

C

D

A BPF PF'

20

2 3

P

Eje real

21F A B F 1

a

a'

2 31FO v

d

De una elipse se conoce su centro O,un foco F y un punto P de la curva. Se pide:1. Determinar los ejes de la c nica.2. Dibujar la elipse.3. Traza la tangenta a la elipse en un puntode ella que diste 20 mm. del eje menorsituado lo m s a la derecha posible y porencima de AB.

CF+CF'=ABCF=CF'2CF=ABCF=AB/2

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

t

T1

I1

C

B

C

F'

F' 1

D

I2

T2

A

r

F

Dado el eje mayor AB en posici n y magnitud de una elipse y los focos F y F'determina los puntos de intersecci n de la recta r con la elipse sin dibujarla.40Ejercicio103Ejercicio

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

I2

t

F' 1

T2

F'B

C

AF

I1

T1

r

Eje real

De una hip rbola se conoce el eje real, los v rtices A y B y los focos F - F'.Determinar los puntos de intersecci n de la recta r con la hip rbola sin dibujarla.

Eje

F1

I2

t

F

r

d

T2

I1T1

Dado el eje, el foco F y la directriz d de una par bola, determina los puntos deintersecci n de la recta r con la par bola sin dibujarla.40Ejercicio104Ejercicio


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HOMOLOGÍA EN EL PLANO2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Obtener la figura hom loga deltri ngulo dado ABC siendo conocido el centrode homolog a O, el eje de homolog a e y unpar de puntos hom logos A-A'.

BB'

C

A'A

O

E'E

D'

D

e

C'

Obtener la figura hom loga delpent gono dado ABCDE siendo conocido elcentro de homolog a O, el eje de homolog ae y un par de puntos hom logos C-C'.

C'

B'

e

C

B

A'

O

A

e

O

A

B

C

A'

B'

C'

Obtener la figura hom loga a la dadasabiendo que O es el centro de homolog a, esu eje y P' el hom logo del punto deintersecci n de las diagonales del trapecio.

e

O

A

B

CD

P'

A'

B'C'

D'

MN

N'M'

Obtener la figura hom loga deltri ngulo dado ABC siendo conocido elcentro de homolog a O, el eje de homolog ae y un par de puntos hom logos A-A'. Todoel proceso ha de quedar reflejado dentrode los l mites del dibujo.

N-N' P

r'

r

M

M'

N

N'

N-N'

P-P'


40Ejercicio108Ejercicio 40Ejercicio102Ejercicio40Ejercicio109Ejercicio

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

e

RL

RL'

**

O

**

RL'

RL

O

O

e

RL'

RL

**

Datos O, RL', e .Obtener RL. Datos O, RL, RL' . Obtener e.

Datos O, RL, e . Obtener RL'.O

r'

r

N-N'

M-M'

B'

A'

B

A

s'

s

B'

B

A'

r'

r

A

Or

r'B'

B

A'

A

e

O

e

Datos A, A', B, B', M, M'. Obtener e yO.

Datos O, e, rectas r, r' y el punto A.Obtener A'.

Datos O, e, puntos A, A' y B. ObtenerB'.

O centro de homolog ae eje de homolog a

e


e

O centro de homolog ae eje de homolog aRL - RL' rectas l mite







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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

r'

s'

s'

A'

QN'

B-B'

N

sA

O

RL

QN'

s

A'

B-B'

r A

N RL

O

A-A'QN'

N

r'

r

O

e

RL

Datos O, RL, e, recta r .Obtener larecta r'.

Datos O, RL, e, punto A . Obtener A'.

Datos O, RL, e, recta r . Obtener larecta r'.

N

C-C'

B'

A'

d

BA

O

e

RL

M

A'

A

s'r'

O

s

r

r'

r

N

B'

A'

BA

O

RL

e

RL

e

Datos RL, e, r, s, y el ngulo α' = 60formado por r' y s'. Obtener r', s' y O. Elpunto O dista de RL el segmento d y quedalo m s a la derecha posible.

Datos O, RL, segmento AB, distanciaA'B'=d . Obtener A ', B' y el Eje e.

Datos RL, e y puntos A, A', B. ObtenerB' y O.

e

e

QN'

N 60

d

d

d

C-C'






O centro de homolog ae eje de homolog aRL - RL' rectas l mite60




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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

O

RL'

e

e

RL'

C'D'

N'

N Q

A'A

O

B'

N'

C'D'

A'

A

D C

B'B

B

C

D

QN

Dada la figura ABCD, la recta l miteRL' de la forma plana ABCD, el centro dehomolog a O y el eje de homolog a e,determina la figura hom loga A'B'C'D'.Comprueba que se obtiene el mismo resultadoutilizando la recta RL.

Dada la figura ABCD, la recta l miteRL' de la forma plana ABCD, el centro dehomolog a O y el eje de homolog a e,determina la figura hom loga A'B'C'D'.

Obtener la figura hom loga delcuadril tero dado sabiendo que O es elcentro de homolog a, d es la direcci n deuna de sus rectas l mites y r-r' rectashom logas.

A

B

DC

D'

C'

O

r

r'

e

B'

A'e

RLA

O-B

C

C'

A'∞

N'∞

Obtener la figura hom loga deltri ngulo rect ngulo representado sabiendoque O es el centro de homolog a, RL una desus rectas l mites y e el eje de homolog a.

N

A'∞

d

N Q

QN

N'∞M-M'

RLP

P'Q

QQ'Q

-B'



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

QN'

N'Q

C'

M' Q

B'

C

N

M

B

OA

A'

eRL

QM'

QN'

Dibuja la figura hom loga del tri ngulo ABC siendo conocido el eje dehomolog a e, el centro de homolog a O y la recta l mite RL de la forma plana A'B'C'.

Hallar la figura hom loga del cuadradorepresentado ABCD, siendo e el eje dehomolog a, O el centro de homolog a y RL larecta l mite de la forma plana A'B'C'D'.Resuelve tambi n el ejercicio considerando larecta l mite RL' y comprueba que el resultadoes id ntico.

QM'

A

B

C

D

A'D'

B'

C'

RL'

e

O

N'

N Q

M'

M Q

RL P

P'Q

Q

Q'Q

d

d

Calificaci n:





Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

O

RL

e

NM

Dado el centro de homolog a O,su eje e y la recta l mite RL obtenerla transformaci n homol gica de lacircunferencia representada.

B

A

C

D

A'

B'C'

D'

Hallar la figura hom loga del cuadril terorepresentado ABCD que se transforma en uncuadrado de lado el segmento PQ.

A'

B'

C'

D'

AD

B

C

RL

e

O

NM

45

P Q

P

Q

QM'Q

N'Q

M'Q

N'Q

M'Q

F



N'

Calificaci n:



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

1f

f

1'

2'

1

2

as ntota

as ntota

Eje real

e

RL

A'

Q-Q'P-P'G

NM

O

A

OV'

f

V

Dado el centro de homolog a O, su eje e y la recta l mite RL obtener la transformaci nhomol gica de la circunferencia representada.

RL e

T

T'Q

Dado el centro de homolog a O, su eje e y la recta l mite RL obtener la transformaci nhomol gica de la circunferencia representada de centro el punto G.

M'Q

T'Q

N'QN

M

N'Q

M'Q



Calificaci n:



© ED

TCN

ICAS

I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

e

QP

Q

Q

M'

O

RLS

Dado el trapecio ABCD, transformarlo en un trapecio rect ngulo sabiendo que:1. El ngulo en B '= ngulo en A' = 90 .2. El lado A'B' tiene por direcci n M' .3. Lado B'C' = segmento PQ.4. La recta l mite de la forma A'B'C'D' pasa por el punto S.

CD

A

B

C'

B'

D'

A'

97

J K


Calificaci n:


AFINIDAD EN EL PLANO2 Bachillerato

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I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dados el tri ngulo ABC, el punto O' y el eje de afinidad e, se pide:1. Determinar la direcci n de afinidad sabiendo que el circuncentro del tri ngulo, puntoO, se transforma en el punto O'.2. Dibujar la figura hom loga, en la afinidad definida de la circunferencia circunscrita altri ngulo ABC.

O'

O

eA

B

C

D

E

F

D'

E'

F'A'

B'

C'

Hallar la figura af n del rect ngulorepresentado, siendo e su eje de afinidad,la direcci n de afinidad es perpendicular aleje y su raz n vale - 1

2.

A B

CD

A' B'

C'D'

e

AN=

A'N 21

N

A'N = - 2 AN

Hallar la figura af n del rect ngulorepresentado, siendo e su eje de afinidad,la direcci n de afinidad es perpendicular aleje y su raz n vale 1

2.

A B

CD

A' B'

C'D'

e

AN=

A'N 21

N

A'N = 2 AN



Calificaci n:


AFINIDAD EN EL PLANO2 Bachillerato

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I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

C

e

D

E

D'

E'

B

A

A'

B'

C'

d

P'

s' P

s

C'

2

B

2T

T'

C

O

D

1T'

T 1r

A

r'

e

Desde el punto P traza las rectas tangentes a la elipse dada por sus ejes AB y CD.No dibujar la elipse.

Dada una afinidad por su eje e y lospuntos afines A y A' determina el af n delpunto B.

e

A

B

A'B'

s

r'

r

s'

Dada una afinidad por su eje e y unpar de puntos afines A y A' , hallar lafigura af n del pol gono estrelladorepresentado. Los trazados auxiliares debende estar situados dentro de los l mites delespacio reservado al ejercicio.



N-N'

Calificaci n:


HOMOTECIA EN EL PLANO2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

2

23

OE

3OE'

OE'

OE

Dibujar la figura homot tica al pol gono ABCDE conociendo el centro de homotecia Oy la raz n de homotecia: k=3/2

A

BC

D

EE'

A'

B'C'

D'

O



Determina en cada uno de los casos el centro de homotecia O y la raz n K. Anotael valor de K en el cuadro indicado y expr salo en funci n de los radios de lascircunferencias.

O

A

A'

C'

Cr'

r

K =

K =

1 CASO: K>0er

2 CASO: K<0

r'r

r'r

O

A

A'

C'

Cr'r

Calificaci n:


HOMOTECIA EN EL PLANO2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dado el tri ngulo ABC dibuja uncuadrado inscrito en l tal que un ladoest sobre AB y dos de sus v rtices sobrelos otros dos lados.

A B

C

Dada la circunferencia de centro C yel punto A, dibuja en ella la cuerda(representada por el segmento MN) tal quepase por el punto A y AM=2AN.Dibuja todas las soluciones posibles y dejaindicado el proceso geom trico utilizado.

V A'A

O

B

r

O'

B'

Dada la circunferencia de centro O,la recta r y el punto V, se pide:1. Dibujar la circunferencia homot tica de ladada que pase por el punto A', sabiendoque la circunferencia de centro O estangente a la recta r en el punto A, y queel punto V es el centro de homotecia.2. Determinar la posici n del puntohomot tico del B dado utilizando lahomotecia definida en el apartado anterior.

A

C

C'

M

NB

B'

Dadas las rectas r y s dibuja otrarecta t que pase por el punto A y por elpunto de corte de r y s.El ejercicio ha de ser resuelto dentro delos l mites del papel.

A

s

r

t

A'

C

B

B'C'



Calificaci n:


SEMEJANZA Y SIMETRÍA2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Dibuja la figura semejante a la dadasabiendo que la raz n de semejanza es 8/5y siendo O el centro de semejanza.

O



Dada la circunferencia, se pide:1. Dibuja el pent gono regular inscrito en ellacon uno de sus lados paralelo a la cuerda MN.2. Dibuja el pol gono semejante a ste quecumpla la raz n 3/4 siendo el centro desemejanza el v rtice m s a la izquierda delpent gono.

O

A

E

C'

e

A'

CO'

B

E'

F'D

Dado el pol gono irregular ABCDEF,dibuja su figura sim trica respecto a un eje eque pasa por los puntos B y D.

Hallar la figura sim trica de la dadarespecto del punto O.

C'

D'

B'

E'

F'

A

F

O

E

D

B

A'

C

D'

B'

M

NO

Calificaci n:


GIRO Y TRASLACIÓN2 Bachillerato

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4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

BA

Mediante traslaci n sit a el segmentodado AB seg n la direcci n d, de tal formaque tenga un extremo en cada uno de lostri ngulos representados. Dibuja todas lassoluciones posibles.

d

AB



C

A'

B'

C'

A

O

r

B

s'

A

B

C

s

60

Dibuja un tri ngulo ABC equil tero quetenga uno de sus v rtices en el punto A ylos otros dos sobre las rectas r y s.Resuelve el ejercicio por giros.

Dado el tri ngulo ABC y sutransformada por giros A'B'C', determina elcentro de giro y el ngulo de giro medido ensentido contrario a las agujas del reloj.

s

Dibuja el pent gono dado tal que,manteniendo su misma orientaci n tenga unv rtice sobre la recta r y otro sobre s.

120

r

Calificaci n:

Nombre:

2 Bachillerato

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051LÁMINA Nº:

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

El puntoSISTEMA DIÉDRICO:

f'

g

g'

c

d'

e'

c'ed

f

a'

b-b'

j-j'

Representa las proyecciones de lossiguientes puntos a partir de un mismoorigen O en la LT: A(10,20,50); B(20,0,0);C(30,-40,-30); D(40,22,22); E(50,25,0);F(60,0,40); G(65,-20,30); J(-8,20,-20).

Dado el punto A, determina lasproyecciones de un punto B sim trico del Arespecto del PH.

O

a

Dados los puntos A y B, localiza lospuntos del plano horizontal que disten 52mm. de A y 49 mm. de B.

a

a'

b

b'

c

c'

d'

d

a-a'

b'

b


40Ejercicio155Ejercicio Ejercicio156Ejercicio

Determina la tercera proyecci n sobreel plano auxiliar de perfil de los siguientespuntos:1. Punto A de cota 40 mm.2. Punto B.

a

a' a''

b''

b

b'

Plano auxiliar de perfil

Nota .- La primera coordenada representa el desplazamiento sobrela LT respecto de un origen (positivo hacia la derecha y negativohacia la izquierda); la segunda el alejamiento y la tercera la cota.Unidad = mm.

Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

La rectaSISTEMA DIÉDRICO:

Dada la recta R por los puntos A(a-a')y B(b-b'), se pide:1. Proyecciones de la recta.2. Partes vistas y ocultas.3. Limitaci n de los cuadrantes por dondepasa.4. Intersecci n de R con los planosbisectores.

Dada la recta R por los puntos A(a-a')y B(b-b'), dibuja:1. Proyecciones.2. Trazas.3. Partes vistas y ocultas.4. ngulo (menor) que forma la recta R conel PV.

b' b''

a''

v'

ha'a

b

v-h'

v''

h''

r-r' r''

2 C er1 C3 C

b'

b

a'

a

r'

r

v'

v

er

h'

h

m-m'

a'

a

Dibuja las proyecciones de dos rectasR y S que se cortan en A sabiendo que:a) Ambas rectas son horizontales.b) La recta R es paralela al PV.c) La recta S forma 45 con la R quedandosu traza a la derecha de A.

r'-s'

r

s

35

n'

n



r''

s''

Los puntos r'' y s'' son lasproyecciones de las rectas R y Srespectivamente sobre el plano auxiliar deperfil representado. Dibuja las proyeccionesde ambas rectas con indicaci n de partesvistas y ocultas.


r'

r

s'

s

45

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2 Bachillerato

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4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

El planoSISTEMA DIÉDRICO:

Determina las trazas del plano quedefinen las rectas R y S dadas por susproyecciones.

Averigua si las rectas R y S secortan o se cruzan, es decir, si definen o noun plano.

r

r'

s

s'a'

a

α

α'

v'R

vR

v '-v S S

S Sh '-h

Determina las trazas del plano quedefinen las rectas paralelas R y S.

r'

r

s

s'a'

a

α α'

r-r'

s

s'

Las rectas R y S se cruzan. No definen unplano

Plano auxiliarde perfil

a'

a

b'

b

r''

b''

a''





r

r'

Dada la recta R, dibuja un tri ngulo de v rticesABC le do en el sentido de las agujas del reloj quecumpla las siguientes condiciones:a) El v rtice A est sobre R y pertenece al primerbisector.b) El lado AB es coincidente con R.c) El v rtice B tiene de cota 15 mm.d) El lado BC es horizontal.e) El v rtice C est en el PV lo m s a la izquierdaposible.f) La proyecci n vertical del tri ngulo tiene dos ladosiguales y otro desigual.

a'

a

b'

b

c'

c15

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

El planoSISTEMA DIÉDRICO:

t

t'

s

s'h

h'

v'

v

c'

c

b'

1111v'-v -h'-h

a-a'

b

Dado el tri ngulo A(a-a' ) B(b-b')C(c-c'), determina las trazas del plano quelo define.

r

r'

Determina el plano α−α ' definido porla recta R de m xima inclinaci n.

v'

s'

s

v

m

r

Determina las trazas del plano α−α ' definido por las rectas R y S que se cortan en M.

r'

s'

sh

h'

a b

b'

a'

t'

t

h'

h

R

R

T

T

v'

v

s

s

m'

m

α'

α

α−α '

α

α'

m'



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2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

PertenenciasSISTEMA DIÉDRICO:

El plano α−α ' contiene a los puntos A,B y C y el plano β−β ' contiene a las rectasR y S, se pide:1. Dibuja las trazas de ambos planos.2. Sit a en el plano α−α ' un punto D decota 18 mm. del PV. a'

n'

n

a

t'

t

b'

b

Dado el plano α−α ' determina lasproyecciones de una recta T que estsituada en dicho plano y pase por lospuntos A y B del plano.

Dado el plano por sus trazas α−α ', sepide:1. Dibuja la proyecci n de dicho plano sobreel plano auxiliar de perfil.2. Sit a el punto A en el plano.3. Determina el lugar geom trico de lospuntos del plano α−α ' que tienen doble cotaque alejamiento.

α−α '

a'

a

a''

α''

a'

b

c-c'a-b'

r'

r

α'

β'

α

d'

d

s'

s

r'

rPlano auxiliar de perfil

r''

β''

45

18

r'

r

α'

α



Una bola de billar se encuentrainmovilizada sobre el plano dado siendo A elpunto de contacto. Determina el caminorecorrido por la bola cuando sta esliberada, desde el punto de contacto hastallegar al PH en el supuesto de no considerarel rozamiento ni fuerzas externas.

α'

α

a'

a

r

r'

s'

s

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2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

PertenenciasSISTEMA DIÉDRICO:

a'

a

Dadas las recta R y S que se cortanen A, se pide:Dibuja una recta T que se apoye en un puntoB de R situado a 43 metros de A, y en otroC de S situado a 80 metros de A.Ambos puntos estar n situados dentro delos l mites del papel. Escala 1:1000

r'-s'

r

s

b

b' c'

c

t

t'

Dadas las rectas R y S por sus proyecciones, demostrar si estas rectas se cortan o secruzan.Todas las construcciones se han de realizar dentro de los l mites del papel.

r'

s

s'

r

m' n'

m n

a'

a

Dado el tri ngulo ABC y la recta Rdemostrar si la recta es coplanaria con eltri ngulo.

a'

b'

c'

c

a

b

r'

rd

El tri ngulo y la recta son coplanarios porquelos puntos D y E de la recta est n en el planodel tri ngulo.

Las rectas se cortan.

d'

e'

e

t'

s'

t

s



Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Intersección de planosSISTEMA DIÉDRICO:

α−α '

v'-h

v-h'

r-r'β−β '

Dados los planos α−α ' y β−β ' , sepide:1. Intersecci n de los planos dados (recta R).2. Intersecci n del plano β−β ' con el primerbisector (recta T).3. Intersecci n del plano β−β ' con el segundobisector (recta S).

Dados los planos α−α ' , β−β ' y γ−γ ',se pide :1. Determina la intersecci n de los tresplanos.2. Determina la intersecci n del plano α−α 'con el 2 bisector.

Rh'

2'

Rh

m'-n'

i'

r's'

i r

s

vR

Sv'

vS

α'

a'1'

β'

2

m

r'

r

a

n

h'

α'

1

h

Determina la recta R de intersecci nde los planos representados por sus trazasα−α ' y β−β '.

γ'

Rv'

a'

a

α'

β'

a''

r'

r

a''

Determina la recta R de intersecci nde los planos representados por sus trazasα−α ' y β−β '.

α

γ'

γ

b''

r''

β'

t-t'

u'

u

t-t'

s-s'==

a'

a

g'b-b'

a-a'

αβ

β

α

β



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2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

SISTEMA DIÉDRICO:Intersección de planos

β'

α'

Dados los puntos A, B, C, M, N y P se pide:1. Proyecciones de los tri ngulos ABC y MNP.2. Intersecci n de los tri ngulos representados. Designa a esta recta con la letra X.3. Suponiendo que los tri ngulos sean opacos dibuja partes vistas y ocultas.

c

n

a

s 3

1

7

x

j

r

65

k

2

u

t

1'3'r'-s'

m'

m

t'-u' 7'

a'

2'j'

k'6' 5'

n'x'

b

4

p

b'

c'

4'

p'

e

f

e'

f'


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Intersección de recta con planoSISTEMA DIÉDRICO:

h'

s'

'b

i'

b

h

i

s

r'

v'

v

r

Determina el punto I de intersecci nde la recta R(r-r') con el plano dado por sustrazas α−α '.

r

2'

c'

i'

b'

1'r's'-

r

2

c

s i

b

1

r''

a''

i''

α''

α'

a'

a

α

r' -i'

α

a'

α'

i

a

Determina el punto I de intersecci nde la recta R(r-r' ) con el tri ngulo A(a-a' )B(b-b') C(c-c').

Determina el punto I de intersecci nde la recta R(r-r') con el plano dado porsus trazas α-α'.

Determina el punto I de intersecci nde la recta R(r-r') situada en el 2 -4bisector con el plano dado por sus trazasα−α '.

α−α '

r-r'

β'

β

t t'

v'

v h'

h

i'-i

α'

α





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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

ParalelismoSISTEMA DIÉDRICO:

h''

t''

b''

a''

v''

r''

t-t'

v'

h'v

h

r'-r

a'

a

b'

b

a'

a

r'

v

v'

r

a''a'

a

Traza por el punto A(a-a' ) un planoparalelo al plano dado por sus trazas α−α '.

Dado el punto A y el plano α−α ' , sepide:1. Traza por A un plano paralelo al α−α '.2. Traza por A un plano paralelo al 1 -3bisector.

Dado el punto M y las rectas R, S y Tse pide:1. Traza por M una recta U paralela a la S.2. Demuestra si existe paralelismo entre lasrectas de perfil R y T.

m'

m

s'

s

u'

u

Las rectas R y T son paralelas

γ−γ '

γ''a''

er er

1 -3 bisecto

r

erer

α'

β α

β'

β

β'

α

α'

β''

α''



40Ejercicio186Ejercicio 40Ejercicio187EjercicioDado el punto A(a-a') y el plano α−α ',

se pide:1. Traza por A una recta R del tipo entretrazas del primer cuadrante paralela alplano dado .2. Traza por el punto A una recta S del tipocorta a la LT del primer cuadrante paralelaal plano dado.

α'

α

a'

s'

r'

ar

s

s' 1

s1

r'1

r1

b'

b

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

ParalelismoSISTEMA DIÉDRICO:

A partir de los datos representados,se pide:1. Determina la proyecci n horizontal de larecta R para que pasando por A seaparalela al 1 - 3 bisector.2. Determina la proyecci n horizontal de larecta S contenida en el 1 - 3 bisector.3. Determina la proyecci n vertical de larecta T contenida en el 1 - 3 bisector.

r'

r

a'

a

s'

a'n-n'

as

Dados los puntos A y B, y laproyecci n vertical de una recta S, se pide:1. Determina la proyecci n horizontal de Spara que sea paralela al 2 -4 bisector ypase por A.2. Traza por A una recta T paralela al 2 -4bisector del tipo paralela a la LT.3. Traza por B las siguientes rectascontenidas en el 2 -4 bisector: recta Nparalela a la LT; recta M que corta a la LT;recta U que corta a la LT y es de perfil.

b-b'

t'

t

m-m'

Dadas las rectas R y S traza por R unplano paralelo a la recta S.

r'

s'

r

s

a'

a

v'

v

h

h'

h

h'

1

1

α

α'

s'

st

t'

er er

er er

er er

d

d'

b

b'

c

c'α'

α

a'

a

r'

r

s'

s

Sv'

Sv

v'R

vR

h r

h'r

Los puntos B, C y D corresponden alos v rtices de una placa que es uncuadril tero paralelogramo de v rtices ABCD(nombrada en este orden). Se pide:1. Dibuja las proyecciones de la placa.2. Determina las trazas del plano quecontiene a la placa suponiendo que sta notiene espesor.



u-u'

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

PerpendicularidadSISTEMA DIÉDRICO:

n'

n

m'

m

direcc

i n de

fronta

les

r'

r

s'

r'

p

p'

s

a

direcci n de horizontales

α'

r

α

a'

v'a' s'

s

a

v

Traza por el punto A(a-a') una recta R perpendicular al plano α-α' y una recta Sperpendicular al tri ngulo MNP.

Traza por el punto A(a-a' ) un planoperpendicular a la recta dada R(r-r' ).

Rh'

α'

r' -u'

i't'

β

Rh

u

ti

α

v'R

β'

a'

vR

s'

v

v'S

S

a

r

s

Por un punto A(a-a' ) traza una rectaT perpendicular a otra R(r-r' ) y que la corte.

α'

α



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


v'M

i'

t'

r'

Wv'

M

M

s -m

W

i

Mv

r

v

h

h'

m's'

a' w'

w

a

Traza por un punto A(a-a' ) unarecta R perpendicular a otra T(t-t' ) yque corte a otra dada S(s-s' ).

t

Traza la recta R que pase por un punto A(a-a' ) y sea perpendicular a dos rectasdadas S(s-s' ) y T(t-t' ).

s'

st

t'a'

a

r'

r

m-n

m'

n'

α'

α

β'

β

β'

β

α

α'



Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


γ−γ 'a'

r'

t'

α'

h'

h

a

r

vR

t

v'R

Tv'

Tv

α

Dados el plano α−α ' , la recta T(t-t' ) y el punto A(a-a' ) situado en T, se pide:1. Traza por T un plano perpendicular a α−α ' .2. Traza por A un plano perpendicular a α−α ' que sea del tipo de trazas en prolongaci n.

Por el punto A traza un planoperpendicular al 1 bisector que contenga alpunto B.

er

a'

ab-b'

a''r''

r-r'

1 bisector

er

Por el punto A traza un planoperpendicular al 2 bisector que contenga alpunto B.

a'

a

b-b'

v''

h''

v'

v

h

h'

α−α '

a''

2 bisector

v'

h

v h'

v''

h''

r''

r-r'

Plano auxiliar de perfilPlano auxiliar de perfil

β'

β

α'

α



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AbatimientosSISTEMA DIÉDRICO:

v'

v

(V)

Abate el plano dado sobre el PH deproyecci n utilizando el m todo general.Comprueba el resultado abati ndolo por elm todo simplificado.

Los puntos ( A),(B),(C) y ( D) son losv rtices de un trapecio rect ngulo ensituaci n abatido sobre el horizontal deproyecci n que est contenido en el planoα-α'. Sabiendo que a es la proyecci nhorizontal de y � la traza horizontal delplano, se pide:1. Por afinidad determina la proyecci nhorizontal del trapecio con indicaci n dearistas vistas y ocultas.2. Situaci n de la traza vertical del planoabatida.

El punto O es el centro de la circunferencia circunscrita a un tri ngulo rect nguloABC del 1 cuadrante situado en el plano paralelo a la LT α−α ', siendo α'' la traza sobreel plano auxiliar de perfil y a la proyecci n horizontal del v rtice A del tri ngulo. Determinalas proyecciones del tri ngulo de rea m xima sabiendo que el v rtice B se halla en el PH.

o'

a

(A)

(B) (C)

(O)

a'

c'

b'

b

c

a''

o''

c''

o

b''

(A)

(B)(C)

(D)

a

d

c

b

α

α

α'

(� ')

er

(�)-ch

m

(M)

(α')

α'

α

(α')

α''




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ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico


Dibuja el mayor segmento de una rectaR de m xima pendiente de α−α ' del primercuadrante que mida 49 mm.

r

r'

(R)

(V)

v'

vh'

h

El punto O es el centro de unacircunferencia situada en el plano dado. Dibujasus proyecciones con indicaci n de partesvistas y ocultas sabiendo que el radio de lacircunferencia se corresponde con la magnituddel segmento dado MN.

M N

49

α

α'

o'

o

(O) α

α'

(α')

(α')

Los puntos A y C son los extremos de la diagonal de un cuadrado situado en un planoα−α ' que pasa por la LT. Dibuja sus proyecciones.

a''

α''

a'

a

(A)

c

c'

(C)

(D)

(B)

d'

d

b'

b

d''c''

b''




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cnico

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cnico


ch

a'

α'

a

c'

(C)-c

b'

b

α

24(A)

(� ')

(B)

R60

De un plano se conoce su traza horizontal α y su traza vertical abatida (α') . Se pide:1. Determina la traza vertical α'.2. Dibuja las proyecciones de un tri ngulo equil tero ABC del 1 cuadrante situado en dichoplano que cumpla las siguientes condiciones:-El v rtice A se encuentra a 60 mm del v rtice del plano y equidista de la traza vertical24mm.-El v rtice B tiene el menor alejamiento posible.-El v rtice C est situado en el PH .

Conocida la proyecci n horizontal de un tri ngulo ABC y la proyecci n vertical de unpunto de l, determina su proyecci n vertical sabiendo que r-r' es la recta de intersecci ndel 2 bisector con el plano del tri ngulo.

a'

ab

c

r-r'

b'

c'

(V)

v'

v

er



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ibujo T

cnico


El punto medio del segmentoMN del plano α−α ' es el centro deun cuadrado ABCD situado en dichoplano, del que se sabe quepertenece al primer cuadrante, queuna de sus diagonales est sobre larecta R que contiene a MN y que susuperficie es m xima. A partir deestos datos dibuja las proyeccionesdel cuadrado.

Dibuja el segmento AB del plano α−α 'que cumpla las siguientes condiciones:1. El punto O es el centro del segmento.2. Los extremos A y B del segmento est nsituados en el plano horizontal y planovertical de proyecci n respectivamente.

o'

o

(A)-a

(O)

(B)

(E)(F)

(M)

(N)

b

b'

a'

(B)

(C)

(R)

(A)

(D)

(M)

(N)

m

m'n

n'

(O)

a

a'

c

d

d'

c'

b

b'

r

r'

Dados los puntos A, B y C por susproyecciones, determina un punto O queequidiste de los puntos dados.

a'

c'

b'

ac

b

(O)(A)

(C)

(B)

o'

o

α'

α

(α')

α'

α

(α')

α'

α

(α')



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Dada la recta R y el punto O de ella, se pide:Dibuja un cuadrado de centro O que tiene una diagonal sobre la recta R y sus otros dosv rtices est n situados sobre los planos de proyecci n horizontal y verticalrespectivamente.

R

A

BC

D

O

r'

r

o'

o

S

s'

s

c'

c d'

d-(D)

(C)(B)

(A)

(O)

b

a

a'

b'β'

β

(O')

(β')

(C)

a

β

(R)

α'

(α')

α


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GirosSISTEMA DIÉDRICO:

e'

1a'

m'

1a

o'

e

a'

a

e'-o'

a'

90

2a

m-k

a1

e

oa

1a' k' 2a'

Gira el punto A(a-a' ) un ngulo de90 en el sentido contrario a las agujas delreloj siendo la recta E el eje de giro.

Gira el punto A(a-a' ) hasta introducirlo en el PH con alejamiento de 48 mm.

-o

Gira el punto A(a-a' ) en el sentido delas agujas del reloj tal que en su nuevaposici n tenga de cota el mismo valorabsoluto que el alejamiento de A. Como ejede giro utiliza la recta E.

a'

ae

e'

1a

a'1

48

o'

o β

α




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cnico


Dado el punto A(a-a' ) y el plano α-α', mediante un solo giro introduce el punto A en elplano con la menor cota posible.

1a'

a1

e'

e

a'

α

ab

α'

r'

Gira la recta R(r-r' ) hasta convertirlaen horizontal.

r'1

1r

1e'-1' - 1'

e

2'

12'

2

11-1

12r

a

2'

e'

e

r2

r'1'2'1

1

1'1

r'1

r121

1 1

Gira la recta R(r-r') un ngulo de 45en el sentido contrario a las agujas del relojutilizando como eje de giro la recta E(e-e').

45



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r'112'α' 1' -1'-2'-r'1

Por giros transforma la recta R(r-r')en recta de punta.

1

r

α'e'

11'

11

i'

e-i

α

1α

e'

r2

2

α'1

1'

r'

r

1

d

1

e-1-1

1

Por giros transforma el planorepresentado en proyectante vertical.

e

e'

α'

Por giros transforma el planorepresentado en frontal.

α'

i' t'

ti e

e'

α

11

α

α1

α'1

Por giros transforma el planorepresentado en paralelo a la LT.

1

i''

1

α 1

α''1



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cnico

Cambios de planoSISTEMA DIÉDRICO:

HV{

1a'

a'

cota

cota

a

Por cambios de plano sit a el puntoA(a-a') en el plano vertical de proyecci n.

Por cambios de plano transforma larecta R oblicua en horizontal.

1H{V

1

b'r'

1r

a'

a

1

b

r

a b

b'

V 1H{

H{V1

r'

r

b

1

a'

cota

11a

cota

a' - b' - r'

a'

a

1

1a'

α

α'

Por cambios de plano transforma larecta R horizontal en una recta de punta.

Por cambios de plano transforma elplano oblicuo dado en proyectante vertical.

α'

1



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cnico

Cambios de planoSISTEMA DIÉDRICO:

Dibuja las nuevas trazas del planocomo consecuencia del cambio de planoindicado.

V1

H{

a

a'

α

Por cambios de plano transforma elplano oblicuo dado en proyectante horizontal.

a 1

α'α'

α

V1H

{

Por cambios de plano transforma elplano proyectante horizontal en frontal.



Por cambios de plano transforma elplano de perfil dado en un plano horizontal.

α

α'

α

α'V1

H{

V1H

{α'1

α1

α'

V1H

{

α1

α'-α

V1H

{

α'1

α 1




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cnico

DistanciasSISTEMA DIÉDRICO:

a

d'

b'

b

d

(A)

(D)

α'

a'

Determina la distancia que hay entrelos puntos A(a-a' ) y B(b-b').

t'

v'

i'

v

d'

r'

-t-r

i

ds

(D)

(A)

a's'

*a

*

Determina la distancia que haydesde el punto A(a-a' ) a la recta R(r-r' ).

α'

β'

α

β

s

i'

s'

r'

d'

a'

*

i

*d

(D)a

r

Determina la distancia que hay entrelas rectas paralelas R(r-r' ) y S(s-s' ).

α'

α

β

β'α' b'

*

b

m

m'

a'

a

r'

r

*

Representar un segmento AB ( delprimer cuadrante) que partiendo del punto Adel plano α-α' sea perpendicular a ste ymida 30 mm.

30

*

*

α



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DistanciasSISTEMA DIÉDRICO:

r'

d'

i'

i

(D)

*

a'

*

t'v'

a

t

r

v

d

Dados dos planos paralelos y un punto A situado en α−α ' , determina el segmento AIm nima distancia entre los planos.

c'2'

Direcc

i n de

front

ales

c

2

r'-t'-

b'

i'

d'1'

m'

i

m

d

1

b

t

a'

(D)

a

D.de ho

rizonta

les

(*)

Determina la distanciaque hay desde el punto M(m-m')al tri ngulo dado por lospuntos A(a-a' ), B(b-b' ) y C(c-c').La LT no es conocida.

r

α'

α

β'

β

β

δ'

γ'

α'

δ'

(*)

−δ



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ÁngulosSISTEMA DIÉDRICO:

s'2'

s

ch

(R)

r'

1'

r

(S)

(A)

Direcci n de horizontales

Determina el valor del ngulo � que forman las rectas R y S.

a'

a'

b'

c'

a

b

c

(C)

(B)

-(A)

Conocidas las proyecciones di dricas del tri ngulo ABC, por abatimientos determina elvalor de los ngulos interiores. La LT no es conocida.

60111

2

1

φ

a

60

γ'



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cnico


v'

r'

(V)

v

(R)

r

(R)

(H)

h'

h

43

Dada la recta R, por abatimientosdetermina el ngulo que forma la recta conlos planos de proyecci n.

a'

Por giros, traza por el punto A(a-a' )una recta que forme un ngulo de 60 con elPH de proyecci n sabiendo que su trazahorizontal tiene de alejamiento 23 mm y estsituada lo m s a la izquierda posible. Utilizacomo eje de giro la recta E.

-v'

t'

t

e'r'

ar

e

h

h'-v

Utilizando como m todo laspropiedades de un cono recto, traza por elpunto A(a-a' ) una recta que forme 45 conel PV sabiendo que su traza vertical tienede cota 54 mm y est situada lo m s a laizquierda posible.

a'

a

60 45

r'

r

ngulo de R con el PV = 24ngulo de R con el PH = 43

24

α'

α

(β')

β (α')

β'



h' -h1 1

1

v'

r'

-ve1r

r

e'

r'

h

h' 40

Tomando como eje de giro la recta E,determina el ngulo que forma dicha rectacon el PH.

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ch

(R)

(A)

2'

s'

r'

1' (S)

a'

*

75

r

21

a*

direcc

i n de

front

ales

s

Calcula el valor delngulo que forman los planosrepresentados. Elige comopunto exterior para trazar lasrectas perpendiculares a losplanos el punto dado A.

α'

a'

Dados los puntos A(a-a' ) y B(b-b'), se pide:Traza por A los planos de v rtice B que forman un ngulo de 60 con el PH de proyecci n.

v

t'

t a

α

β

α'

α β

β'

NGULO QUE FORMAN LOS PLANOSα−α ' y β−β ' = 180 -75 =105

b-b'

v'

β'

60

γ



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Traza por la recta R(r-r' ) los planosque formen 75 con el PH de proyecci n.

α'

α

β

β'r'

r

v

v'

h'

h

75



Determina el ngulo que forma elplano �� ' con el PV de proyecci n.

α'

α

60°

r's'

r

s

dh

60

Dadas las proyecciones de las rectas R y S (sin conocer la LT), determina el nguloque forma el plano que definen dichas rectas con el PV de proyecci n.

α'

df

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Cuerpos geométricos. PoliedrosSISTEMA DIÉDRICO:

d'

b'

(D)

b

o'

a

a' c'

d o

c

El punto O(o-o') es el centro de untri ngulo equil tero situado en el PH delado la magnitud del segmento MN. Dichotri ngulo es la base de un tetraedro quetiene uno de sus v rtices (el m s a laizquierda) con alejamiento 15 mm. Dibujasus proyecciones.

(H)

15

M N

a hchc

a

a

d

m

n

Determina las proyecciones del tetraedro sabiendo que una de sus aristas es elsegmento MN horizontal y otra de sus aristas est situada en el PH de proyecci n. Indicaaristas vistas y ocultas.

a = aristahc = altura de carad = distancia entre aristasopuestas.

p

q

p' q'

m' n'

dhc



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cnico


El segmento MN pertenece a la arista de un tetraedro del 1 cuadrante cuya secci nmedia principal es horizontal. Dibuja las proyecciones del tetraedro que tiene un v rtice enel PH de proyecci n. De las soluciones posibles dibuja aquella que presente vista laproyecci n vertical de la arista MN.

El segmento AB es la arista de uncuadrado situado en el PH de proyecci n.Dibuja las proyecciones del cubo situado lom s pr ximo posible al PV que tiene comobase dicho cuadrado. Indica aristas vistas yocultas.

m

n

ahc

a

a e-f

e'

f'

n'm'

a=aristahc = altura de cara

hc

a

b

El tri ngulo equil tero ABC es lasecci n de un cubo cuya diagonal es elsegmento MN. Determina sus proyeccionessabiendo que los puntos A, B y C sonv rtices del cubo. Indica aristas vistas yocultas.

b

c

a

m'

n'

m-n

a' b'c'

er

a/2

a/2

hc



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ibujo T

cnico

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cnico


m'

α'f'

k'

r'

d'

d

a'

c'a

(D)

r

m

α

c-(C)

k

f

arista

*

e'

g'

b-(B)

b'

e

h'

g

(D)

(A)

h

(M)

*

La recta R de m xima inclinaci n define un plano α-α' sobre el que se encuentra lacara de un cubo que tiene dos de sus v rtices sobre la recta horizontal del plano de cota36 mm y, los otros dos sobre la horizontal de cota 0 mm. Se pide:1. Proyecciones del cubo situado por encima del plano α−α ' y m s pr ximo al PV.2. Indicaci n de partes vistas y ocultas del cubo.

(� ')

36


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ibujo T

cnico


aristaarista

arista

arista

c'

f'

d'

c

e'

e-f

d SECCI N MEDIA PRINCIPAL

b'a'

b

a

El segmento BC pertenece a la arista horizontal de un octaedro que tiene la diagonalmayor de su secci n media principal perpendicular al PH y con un v rtice en dicho plano.Determina las proyecciones del octaedro teniendo en cuenta que todo l se encuentrasituado en el primer cuadrante. Indica aristas vistas y ocultas.

El tri ngulo ABC es una de lascaras de un octaedro que tiene otra carasituada en el PH de proyecci n. Determinasus proyecciones con indicaci n de aristasvistas y ocultas.

a

c

b

a'c' b'

El rombo ABCD es la secci n mediaprincipal de un octaedro contenida en unplano horizontal. Determina lasproyecciones del octaedro del primercuadrante que tiene una arista en el PHde proyecci n. Indica aristas vistas yocultas.

a

c

b

d

b'd'a' c'

H

H/2

arista

=

=

H

hc

hchc

hchc



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cnico

Cuerpos geométricos. EsferaSISTEMA DIÉDRICO:

β'

β

a'

a

b

c

d'

e'

d-e

*

*

b'-c'

Dada la esfera por susproyecciones, se pide:1. Completa las proyecciones delos puntos A, B, , D y E de laesfera sabiendo que el punto Ctiene m s alejamiento que el By el punto E tiene menos cotaque el D.2. Dibuja las trazas del planoproyectante horizontal dev rtice a la derecha que forma30 con el PV de proyecci n yes tangente a la esfera.

α'

Dadas las proyecciones del punto A, se pide:1. Determinar las trazas de un plano α−α ', paralelo a la l nea de tierra, que contiene a dichopunto, que forma un ngulo de 45 con el plano horizontal de proyecci n y que pasa por loscuadrantes I, II y IV.2. Representar el centro y las proyecciones de una esfera de 17 mm. de radio, tangente alplano P en el punto A. Elegir aquella soluci n en la que el centro de la esfera presentamayor cota.

a'

a

o' o''

o

a''

α'

α

α''



Calificaci n:


2 Bachillerato

© ED

TCN

ICAS

I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Cuerpos geométricos. PrismaSISTEMA DIÉDRICO:

α'

c'

b'

cb

a'

e'

d'

(D)

α-ch

e

d

(E)

(A)-a*

m'

k'

v

*

(D)

(C)

m

k

(V)

(� ')

(B)

Altura p

risma

v'

Proyecciones de un prisma recto de base pentagonal regular apoyado por su base enel plano oblicuo α−α ' con las siguientes condiciones:Uno de sus v rtices de la base es el punto A que est situado en el PH de proyecci n y a72 mm del v rtice del plano α−α ' ; el lado opuesto a dicho v rtice es horizontal. El prismaest situado todo l en el primer cuadrante. Lado del pent gono = 24 mm. Altura del prisma=84 mm.


Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Secciones en cuerpos geométricosSISTEMA DIÉDRICO:

Dadas las proyecciones deun cono, determina:1. Secci n que produce en l unplano proyectante vertical α-α'.2. Verdadera magnitud de lasecci n.

(1)

2'

(4)

(2)

-chα

2

(3)

1'

3'-4'

α'

4

1

3

(1)

(6)

(3)

(4)

(2)

α'-ch

2'

4'

2

3'

5

3

4

5'

6'

1'

6

α

1

(5)

β'

(� ')

Dadas las proyecciones deun cono, determina:1. Secci n que produce en l unplano proyectante horizontal α-α'.2. Verdadera magnitud de lasecci n.

(� )



Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Dadas las proyecciones de uncono, determina:1. Secci n que produce en l un planoproyectante vertical α-α'.2. Verdadera magnitud de la secci n.

(9)

(4)(6)

7'-8'

3'-4'

2-(2)

1'-2'

64

5'-6'

(7)(5)

(3)

α-ch

1-(1)35

7

8 (8)

α'

9'

9

(� ')

β'

γ'

δ'

Dadas las proyecciones de unprisma, determina:Secci n que produce en l un planoproyectante horizontal que contiene alos v rtices A y B del cuerpo.

a

b

α

3'

1'

2'

-23

1-



Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


α'

α

V 1

H

Dadas las proyecciones de un tetraedro, determina la secci n que produce en l unplano oblicuo α-α'.

1

2

3' 1

4' 1

3

4

4'

3'

1' 2'

α'1


Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


α'-α

Determina la secci n que produce el plano dado en el tetraedro.


c 2

b

2'-3'

a'

1

a

3

1'

c'

4

db'

d'

4'

Dadas las proyecciones de untetraedro, determina la secci n queproduce en l un plano proyectantevertical α-α'.

α'

α

1''

4''

3''

2''1'

2'

3'

4'

1-4

2-3



Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico


2'

α'

3'-4'

4

1'

α2

3

1

Dadas las proyeccionesde una esfera, determina lasecci n que produce en ella unplano proyectante verticalα−α '.

α

α'Dadas las proyecciones de un

octaedro situado con una secci n mediaprincipal paralela al PH de proyecci n,determina la secci n que produce en l unplano proyectante vertical α−α '.

β'

1

2

3

4

5

1'

2'

3'

5'

4'



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ibujo T

cnico


f'1

1

1

k'

α'

1c'

1' 1

c'

b'1

a'

5'

1

1

4'

2'-3'1 1

1

d' 1

V1H

(2)

6'1

c

(5)

(6)

(1)

(3)

f'k'

5'6'

2'

e'

b'

4'

3'

k

1'

α'

a'

5

e'

d

6

1

3

4

e-f

(4)α

a

2b

1

d'

Dadas las proyecciones de un octaedro, determina:1. Secci n que produce en l un plano oblicuo α−α '.2. Verdadera magnitud de la secci n.


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cnico


(3)

V 1

H

b

(4)

d f h

Determina la secci n y verdadera magnitud que produce el plano oblicuo α-α' en elcubo representado.

b'

g'

1 k'h'

(2)

1

1d'

1'1

1a'

2'

1

c'1

a 2

1

1f'

1a'

1e'

3'a'-b'

4'1

1

k'2'

11

1

1(1)

1'-c'-d'

c e

4

3 g

e'-f'

g'-h'-4'

3'

α'

α

α'


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Determina la secci n que produce el plano proyectante vertical α−α ' en elicosaedro.

α'

α

1'2'

3'-4'

5'

6'

7'-8'9'

10'

1

2

3

5

6

7

4

8

9

10


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Intersección de recta con cuerpo geométricoSISTEMA DIÉDRICO:

Determina los puntos de intersecci n de la recta R con el dodecaedro.

α'

α

r

r'

12

1'

2'


Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

SISTEMA DIÉDRICO:Intersección de recta con cuerpo geométrico

m'

4'

n'

r'

3'

rn

4

1

m

2 3

Dadas las proyecciones deun prisma recto, determina:1. Puntos de intersecci n de larecta R(r-r' ) con el cuerpo.2. Partes vistas y ocultas de larecta respecto al cuerpo.

Dadas las proyecciones deun cilindro recto, determina:1. Puntos de intersecci n de larecta R(r-r' ) con el cuerpo.2. Partes vistas y ocultas de larecta respecto al cuerpo.

r

r'

1'

1

2

2'

α'

Los puntos de intersecci n obtenidosson el M y N

Los puntos de intersecci nobtenidos son el 1 y 2

α



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Rh'

s'

v'

2'

n'

r

Rh2

v

n

r'

m'

h' S1'

m

Sh

a

a

1

s

a'

Dadas las proyecciones de un cono, determina:1. Puntos de intersecci n de la recta R(r-r ') con el cuerpo.2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.

Los puntos de intersecci n obtenidos son el M y N


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico


3'

n'm'

1' 2'

2

n

3m

1

r'

r

Dadas las proyecciones de untetraedro, determina:1. Puntos de intersecci n de la rectaR(r-r' ) con el cuerpo.2. Partes vistas y ocultas de larecta respecto al cuerpo.

4'

3'-6'

5'

2'm'1'

r'

3

n

2

1

m

56

r

4

n'

α'

α'

Dadas las proyecciones deun octaedro, determina:1. Puntos de intersecci n de larecta R(r-r' ) con el cuerpo.2. Partes vistas y ocultas de larecta respecto al cuerpo.

Los puntos de intersecci nobtenidos son el M y N


α

α



Calificaci n:


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I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


r

d

c

b

a

Determina la intersecci n de la recta R con elcuerpo representado por sus proyecciones di dricas.Indicar partes vistas y ocultas de R respecto alcuerpo.

c'

d'

b'

a'

r'

24

1

3

1'2'

4'

Determina la intersecci n de larecta R con el cuerpo representado porsus proyecciones di dricas.Indicar partes vistas y ocultas de Rrespecto al cuerpo.

α'r'

r

m

n

m'

n'


3'



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico


2'

2

3'-4'

m'1'

r'

4

nm

1

3

r

Dadas las proyecciones de una esfera, determina los puntos de intersecci n de larecta R(r-r' ) con el cuerpo indicando partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.

n'

α'

β'


Dadas las proyecciones de un tetraedro, determina los puntos de intersecci n de larecta R(r-r' ) con el cuerpo indicando partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.

c''

1'

a'

a

34

c

2

1

d

c'

b

b'

2'-3'4'

d'

4''

d''α'

r'

r

m

n

m'n'


α

α



Calificaci n:

Nombre:

2 Bachillerato

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101LÁMINA Nº:

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

VistasNORMALIZACIÓN:

Dada la pieza acotada, dibujaen el lugar indicado por el m tododel primer diedro a la escala 1:1, lasvistas de alzado, planta, perfilderecho, perfil izquierdo y vistainferior. Indica sus aristas ocultasmediante l neas de trazo. 10

5015

5012

25

5

20

15

Alzado

5


Calificaci n:


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4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Dada la pieza, dibuja en ellugar indicado por el m todo delprimer diedro a la escala 1:1, lasvistas de alzado, planta y perfilizquierdo. Indica sus aristas ocultasmediante l neas de trazo.

Alzado


Calificaci n:


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I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


10

24

20

4,5

5

23

14,5

20

57

15

2238

2912

Dada la pieza representada a escala 1:1, se pide:1. Acota la perspectiva.2. Dibuja en el lugar indicado por el m todo del primer diedro, las vistas de alzado y perfilizquierdo a la escala 1,5:1 con indicaci n de aristas ocultas.

Agujero pasante ∅14vertical

Alzado

1,5:1Escala:


Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Vistas.Cortes. AcotaciónNORMALIZACIÓN:

5020

1010

65

75

10

40

20

1050

15

A

4010

A'

20

60

Dada la pieza acotada, se pide:1. Dibuja por el m todo del primer diedrolas vistas de alzado, planta y perfillateral izquierdo.2. En la planta realiza un corte parcial alagujero sabiendo que tiene de di metro 10mm. y es pasante.3. Acota las vistas solicitadas seg nnormas UNE / ISO.Escala 1:1 . No dibujes aristas ocultas.Haz coincidir A con A' en la vista dealzado.

10

Alzado

10

R15

Escala: 1:1


Calificaci n:


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4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico



1515

30

11

6

∅10

20

49A

13

57

13

49A'

11A partir de la pieza representada a

la escala 1:1, se pide:1. Dibuja por el m todo del primer diedroel alzado y las vistas auxiliares para quela pieza quede definida.2. Realiza un corte parcial al agujero enla vista de alzado.3. Acota seg n normas UNE / ISO.Haz coincidir el punto A con A' en lavista de alzado.

Alzado

10

6

30

150

61

150

20

57

57

61

25

25

Escala: 1:1

Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


22

22

Dado el dibujo isom trico de la figura adjunta a la escala 1:2, se pide:1. Dibuja en el lugar indicado por el m todo del primer diedro las vistas de alzado yplanta a la escala 1:1 .2. Realiza una rotura al agujero que tiene de di metro 22 mm. y es pasante.3. Acota seg n normas UNE / ISO las vistas solicitadas.

51

Alzado

22

5444

2232

12

26

20

70

10

Escala 1:2

Escala: 1:1


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Cortes. AcotaciónNORMALIZACIÓN:

Dada la pieza representada en la perspectivaa escala 1:2, se pide:1. Dibuja a la izquierda del alzado el corte indicadoen la planta.2. Acota seg n normas UNE / ISO teniendo en cuentaque la distancia entre agujeros roscados son cotasfuncionales.Escala 1:1

16

43

19

58

Escala 1:2

34

A

D

A-D

10

19

27

11

36

CB

10M8

488

5

68

16

972

Escala: 1:1


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


16

A-D

23

B

D

C

50

100

2316

16

10

25

21

53

A

Dada la pieza por dos de sus vistas a escala 1:1 representada por el m todo delprimer diedro, se pide:1. Dibuja y designa el corte indicado por su traza.2. Acota la pieza seg n normas UNE / ISO.

3

Escala: 1:1


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Definida una pieza por dos de sus vistas, seg n el m todo del primer diedro, a escala2/3, se pide:1. Dibujar el corte A-B a escala 2/3.2. Acotar seg n normas.

82

8

60

34

1911

52371560

22

49

BA

A-B

4

120

45

Escala: 2:3




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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


R12

∅

428

28∅

46∅

M 8

M 8

1255

46

28

50

42

Dibuja por el m todo del primerdiedro las vistas y cortes necesariospara que la pieza quede perfectamentedefinida en cuanto a formas ydimensiones.Acota la pieza seg n normas UNE/ISO.Escala 1:1

63

6355

Escala: 1:1


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


200

160

Dada una pieza por dos de sus vistas a escala 1:20, se pide:1. Dibujar el corte A-B.2. Acotar la pieza seg n normas UNE/ISO teniendo en cuenta que la distancia entre agujerosson cotas funcionales.

A-B

400

B

Escala 1:20

200

400

A

600

800

660300800

1300


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Ejes y escalas axonométricasSISTEMA AXONOMÉTRICO:

Dados los n meros 8,6,7 proporcionalesa las escalas axonom tricas Ex, Ey, Ezrespectivamente, dibuja los ejesaxonom tricos.

Construye sobre el segmento dadouna escala isom trica.

(1)

(2)

(3)

(4)

1

(5)

(6)

(7)

2

3

4

5

6

7X

Z

Y

Dado el tri ngulo fundamental ABC,se pide:1. Determina los ejes axonom tricos.2. Hallar gr ficamente las escalasaxonom tricas Ex, Ey, Ez en cada eje.

YX

Z

E

E

E

E Z

E X E Y

XY

Z

a

c

b

Seg n el teorema de Schl milch loscuadrados de las escalasaxonom tricas son proporcionales a loslados del tri ngulo rtico.

(Z)BA

C

Hallar gr ficamente las escalasaxonom tricas y natural Ex,Ey,Ez,E sabiendoque los segmentos dados a,b,c secorresponden con los lados del tri ngulortico respectivamente.

EyEx

EzE

Ex Ey Ez68 7= =

Ex Ey Ez3664 49= =

2 2 2

Ex Ey Eza b c= =2 2 2

ab

c

p

b

ca

pa=64b=36c=49


40Ejercicio297Ejercicio40Ejercicio296Ejercicio


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

El punto y la rectaSISTEMA AXONOMÉTRICO:

Z

Dadas las proyecciones R y r'' de unarecta, determina:1. Proyecciones sobre los planos y .2. Trazas.

r'

O

R

X r

r''

Y

Dados los ejes axonom tricos OX, OYy OZ, determina las cuatro proyecciones delos siguientes puntos:Punto A situado en el espacio.Punto B situado en el primer vertical.Punto C situado en el eje X.Punto D situado en el origen del sistema.

B-b'

Z

a'a'' b''

A

Oc'-D-d-d'-d''

ba YC-c-c''

Z

a' r' b'r''

b''

X

A

O

R

br

a

a''B

Y

Dada la recta R por los puntos A yB, determina sus proyecciones y trazas.

Z

Dada la recta R por sus proyeccionesr'' y r, determina sus otras dos proyecciones.

R r'

r

O

r''

YH

X

V 1

V2

X

V 1

H

V 1


40Ejercicio301Ejercicio40Ejercicio300Ejercicio


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Intersección de planosSISTEMA AXONOMÉTRICO:

Z

α'β'

X

H

α'β'

α''

RO

α

β

β''

2V

Z

β''

α

Y

O

R

X

α'

β'

Z

α

O

Y

R

β''

β

α''

Determina la proyecci n directa operspectiva de la intersecci n de losplanos dados por sus trazas.

Determina la proyecci n directa operspectiva de la intersecci n de los planosdados por sus trazas.

YX

H

V 1



X

Z

Y

O

R α'

α

α''

β''β'

β

V 1

HV 1



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Superficies planasSISTEMA AXONOMÉTRICO:

Z

(Z)

E

D

(E)(D)

A-a''

(B)

(A)

(O)

(C)

X

OB-b''C

(X)

Y

El segmento dado AB esel lado de un pent gonoregular situado en el plano ZOXlo m s pr ximo posible alorigen del sistema. Dibuja suproyecci n directa operspectiva.

Dibuja la perspectiva axonom trica de una circunferencia de radio la magnitud delsegmento dado MN sabiendo que est situada en el plano XOY tangente a los ejes X e Y.

B

X

Z

OD

A

(C)C

Y

(B)(X) (A)

(D)

(Y)

(O)

M N



Calificaci n:


2 Bachillerato

© ED

TCN

ICAS

I.S.B.N. 8

4-95581-16-7

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Cuerpos geométricosSISTEMA AXONOMÉTRICO:

De un hexaedro situado en el primer octante, cuya base est contenida en elplano XOY, se conoce el abatimiento de una de las aristas de su base, ( A)(B), y se pide:1. Dibujar la perspectiva isom trica de la base del cubo.2. Dibujar la perspectiva del resto del poliedro, diferenciando aristas vistas y ocultas.

(A)

(B)

Z

YX

(X)

(Y)

O

(O)

(C)

(D)

B

A

C

D


Calificaci n:


2 Bachillerato

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TCN

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Cuerpos geométricosSISTEMA AXONOMÉTRICO:

Z

O

(Z)

R-r''(R)

(O)

(X)

Y

Dado el sistema de ejes isom trico y la recta R del plano ZOX, se pide:1. Dibuja una circunferencia de radio 30 mm. tangente al eje Z sabiendo que su centro seencuentra sobre la recta R.2. Teniendo en cuenta que esta circunferencia es la directriz de un cono recto de altura100 mm. dibuja la proyecci n directa o perspectiva del cono.

X


Calificaci n:


2 Bachillerato

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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Secciones en cuerpos geométricosSISTEMA AXONOMÉTRICO:

Dada la perspectiva isom trica de un prisma recto de base hexagonal regular,apoyado por su base en el plano YOX , determinar la secci n que produce el planorepresentado en el cuerpo.

D

O

F

YE

3B

A

Z

X

1

2

4

5

6

C

Eje de afin

idad

α''

α'

α

β''

β'

β


Calificaci n:


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Z

A

B

R

S

Dada la pieza por su proyecci n isom trica, se pide:1. Determina las trazas del plano que contiene a los puntos A , B y C considerando los ejesrepresentados .2. Secci n que produce en la pieza el plano definido en el apartado anterior.

XSH

RH

a

r

Y

b

c

s

C

α''

α

α'


Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Dadas las vistas del s lido de la figura, se pide:

Dibujar a escala 12 , el dibujo isom trico del cuerpo que queda al cortar el s lido definido

por el plano que pasa por los puntos A, B, y retirar la parte superior.

C

X

B X

150

50

50

150a

Xc

a a

150

b

Z

b

Z

b

c

c

Y

A

Z

Y

Y

α'' α'

α

O75

75

75


Calificaci n:


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cnico

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ibujo T

cnico

Intersección de recta con cuerpo geométricoSISTEMA AXONOMÉTRICO:

2I1I

S

RH

H

s

S

a

A

r

R V

Dada la perspectiva axonom trica de un cono oblicuo, determina los puntos deintersecci n de la recta R con el cuerpo.

X

Z

O

Y

v

α


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ibujo T

cnico

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ibujo T

cnico

Isométrica de piezasSISTEMA AXONOMÉTRICO:

1/1

1/1,5= 1,5

Escala: 1/1.5

X

Z

Efinal

Einicial=Eintermedia = Y

Realiza el dibujo isom trico a escala 1:1 de la piezarepresentada por sus proyecciones di dricas a escala 1/1.5.Elige la posici n que se corresponde con las vistasrepresentadas.Calcula la escala intermedia en el cuadro adjunto.

Dibujo isom trico del volumen representado por sus proyecciones di dricas.

Z

Y X

3248

72

Escala: 1/1



Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Definida una pieza en el sistema del primer diedro por su alzado y perfil a escala1:1, se pide dibujar su perspectiva isom trica a escala 3:2.

Y

X

O

X

O=Y O=X

Z

Z Z

Y

D=E x R

Escala: 1/1

Escala: 3/2


Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


X

1515

18

20

35

45

555

25

ZY

O

30

30

Realiza el dibujo isom trico a escala 1.5/1 de la pieza representada por susproyecciones di dricas.40Ejercicio317Ejercicio

Calificaci n:


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


YX

Dado un s lido por su alzado, planta y perfil izquierdo en el sistema del primer diedrodibujado a escala 1:1, se pide:Dibuja su perspectiva axonom trica isom trica a escala 3:1 considerando los ejes dadossabiendo que el coeficiente de reducci n que hay que aplicar es de 0,816. En la perspectivase han se visualizar las vistas dadas.

Z

O


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


35

1040

Realiza el dibujo isom trico a escala 2:1 de la pieza representada por sus proyeccionesdi dricas.Elige como punto de vista el que mejor defina la pieza.

XZY

O


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cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Z

X

O

Y

Una esfera de ∅ 166 mm.est situada con su centrocoincidente con el origen delsistema isom trico representadopor sus ejes. Se pide:Realiza el dibujo isom trico deuno de los casquetes esf ricosresultante de cortar la esferapor el plano XOY.Escala = 1/2

Z

O

Y

X

Realiza el dibujo isom trico a escala 1:1 de la pieza representada por susproyecciones di dricas. En el dibujo deben visualizarse las vistas representadas.



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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Y

O

Z

X

Representar a escala 1:1 el dibujo isom trico del s lido dado en la figura a escala 3:4

Eintermedia =

Eintermedia = Efinal / Einicial

= 4/33/4

1/1


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Z

36

80

80

50

XY

A partir de la vista en semicorte de una pieza, realiza el dibujo isom trico a escala1:1 con el corte indicado.

O


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


70

X

3040

40

16

Realiza el dibujo isom trico conun corte al cuarto de la piezarepresentada por sus proyeccionesdi dricas.

6440

Z

64

O

Y


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cnico

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ibujo T

cnico

Perspectiva caballera. CuerposSISTEMA AXONOMÉTRICO:

X

B

(B)

C

(C)D

Z

A

O

(A)

(X)

(D)

(P)

Y

Dibuja la perspectiva caballera de un cono recto apoyado por su directriz en elplano horizontal XOY, sabiendo que:El coeficiente de reducci n del eje X = 1/3.La altura del cono es de 80 mm.El di metro de la circunferencia directriz = 80 mm.El centro de la circunferencia directriz es el punto ( P) representado abatido.

P

1

(1)


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


21

49

X

A

Z

O Y

Dado el sistema de ejes enperspectiva caballera con reducci n del ejeX = 1/2, se pide:Dibujar un cilindro (con indicaci n departes vistas y ocultas) conociendo lossiguientes datos:Est apoyado en el plano ZOY por una desus bases, siendo sta tangente al eje Yen un punto equidistante del eje Z 49 mm.Radio de la base = 21 mm.Altura del cilindro = 96 mm.El cuerpo est situado en el 1 triedro.

X

D

Z

B

O

Altura

C

A

(B)

(C)

(M)

(X)

(A)

Y

R = 0.25 = 25/100 = 1/4

M

Conocida la perspectiva caballera de un punto A del plano ZOX en el sistema deejes representado y con un coeficiente de reducci n del eje X de 0,25, se pide:1. Dibujar el tri ngulo equil tero ABC del plano ZOX de 42 mm. de lado, sabiendo que ellado AB es paralelo al eje X y situando B lo m s pr ximo posible al eje Z.2. Dibujar el tetraedro que tiene por base el tri ngulo ABC y est situado por encima delplano ZOX.

er

SECCI N MEDIA PRINCIPAL DELTETRAEDRO



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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


X Y

Z

X

X

Y

O

Z

ZDefinido un s lidopor su alzado, planta yperfil derecho en elsistema de proyecci n delprimer diedro, se pide,dibujar su perspectivacaballera a escala 1,5:1considerando los ejesdados y sabiendo que elcoeficiente que hay queaplicar en la direcci n OXes de 0,75.En la perspectiva se hande visualizar las vistasrepresentadas.

Y


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cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico



X

6ZZ6

6

12

Y

12

X

R6

Z

12

Y

OY

X

Dibuja a escala 7.5/1 la perspectiva caballera normalizada de la pieza representadapor sus proyecciones di dricas.

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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico



X

ZZ

28

60

YX

1616

18

Y

Z

Y

O

O-X

X

20

60

Y

O-Z

4620

Dibuja a escala 1:1 la perspectiva caballera del s lido definido por sus vistas en elsistema de proyecci n del primer diedro, siendo el coeficiente reductor a aplicar en ladirecci n OX de 3/4.En la perspectiva han de quedar visibles las vistas representadas.

Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico



Y

Y

Z

X

Z

X

X

Y

Z

O

Y

Definido un s lido porsu alzado, planta y vistalateral derecha en el sistemade proyecci n del primerdiedro, se pide, dibujar superspectiva caballera aescala 2:1 considerando losejes dados y sabiendo que elcoeficiente que hay queaplicar en la direcci n OX esde 0,75.

Z

Calificaci n:


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150 Lminas de D

ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


Dibuja la perspectiva militar o a rea de la pieza representada por susproyecciones di dricas sabiendo que el coeficiente de reducci n sobre el eje Z es de 1/2y el ngulo de los ejes ZOY es de 120 .Haz coincidir el origen del sistema con el punto O.

X

Z

O

Z70

50X

100

50

Y

Y

120


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cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico

Figuras planasSISTEMA CÓNICO:

LH

b

PC

(V)

P

PG

D

B

C

1

D

A

c

d

a

(V)

45

P

Obtener la perspectiva c nica de la circunferencia situada en el PG detr s del PC,siendo ( V) el punto de vista representado abatido sobre el PC.40Ejercicio333Ejercicio

Calificaci n:


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


(V)

LH

P

PG

(A)(B)

(V)

P

*

D

a

b

*

Perspectiva c nica de una circunferencia situada en un plano perpendicular al PGtangente a los planos geometral y del cuadro, siendo ( A)(B) su di metro y ( V) el punto devista representado abatido sobre el PC.

PC


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ibujo T

cnico

150 Lminas de D

ibujo T

cnico


(V)

P

A

LH

(V)(A)

P

PC

(E)

PG(C)

D

(D)

(B)

b

E

a

B

e

c

d

C

D

Obtener la perspectiva c nica de la figura plana dada situada en el PG, con losv rtices (B) y (C) delante del PC y el resto detr s, siendo ( V) el punto de vistarepresentado abatido sobre el PC.


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ibujo T

cnico

Calificaci n:


2 Bachillerato CuerposSISTEMA CÓNICO:

LH

(V)

E

1F2P

C

M

c

D

B

b

1M

A

e

d

a

2F

Dibuja la perspectiva c nica de una pir mide recta de altura 80 mm. de basecuadrada, apoyada por su base en el PG representado por su planta abatida sobre el PC.El objeto se encuentra situado detr s del PC y el punto de vista es ( V).Utiliza el método de dos puntos de fuga con sus correspondientes puntos métricos .


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ibujo T

cnico

CuerposSISTEMA CÓNICO:

LH

(V)

PD

Dibuja la perspectiva c nica de un cilindro recto de 115 mm. de alto, apoyado por unade sus bases en el PG representado por su planta abatida sobre el PC. El objeto seencuentra situado detr s del PC y el punto de vista es ( V) representado abatido sobre elPC.


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ibujo T

cnico


(V)

Dibuja la perspectiva c nica de un octaedro que tiene un v rtice en el PG estandosituado con la diagonal mayor de su secci n media principal perpendicular al PG, y siendoabcd su proyecci n ortogonal sobre el plano geometral representada abatida sobre el PC.El cuerpo est detr s del PC y el punto de vista es ( V) representado abatido sobre el PC.Utiliza el método de los dos puntos de fuga con sus correspondientes puntos métricos.Indicar líneas ocultas.

LH1F2M

B

b

P

E

1MF 2

C

F

D

Aa

e-f

c

d


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cnico


(V)

F 1LH M 2P1M2F∅62

Dibuja la perspectiva c nica de un cilindro apoyado por una de sus generatrices en elPG y representado por su planta abatida sobre el PC. El objeto se encuentra situadodetr s del PC y el punto de vista es ( V) representado abatido sobre el PC.Utiliza el método de los dos puntos de fuga con sus correspondientes puntos métricos.

EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio339

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cnico


Obtener la perspectiva c nica con indicaci n de sus aristas ocultas de un ortoedrode 54 mm. de altura situado con su base apoyada en el PG y delante del PC, siendo ( V) elpunto de vista representado abatido sobre el PC y a b c d la base del paralelep pedorepresentada abatida sobre el PC.

F1LH

(V)

P

b

a

A

B

V

PC

P

(B)

PG

(A)(D)

(C)

F2

dc

D

C

54


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cnico


LHF1

(V)

P

50

20

4040

2F

Dibuja la perspectiva c nica del cuerpo representado por sus proyecciones di dricassituado sobre el PG y representado por su planta abatida sobre el PC. El objeto seencuentra situado detr s del PC y el punto de vista es ( V) representado abatido sobre elPC. Escala = 1:1


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ibujo T

cnico


d

b

Definido el sistema c nico por la l nea detierra LT, la l nea de horizonte LH, el punto principalP y el abatimiento sobre el plano del cuadro delpunto de vista ( V), se pide:Dibujar la perspectiva c nica del objeto (inclusol neas ocultas) dado por sus dos vistas acotadas .Dicho objeto est situado apoyado sobre el planogeometral, con el v rtice C de su base delante delplano del cuadro, en la posici n indicada por elabatimiento de su planta sobre el plano del cuadro.

36

45

45

c

F254

A

P LH

(V)

1F

a

16

16


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ibujo T

cnico


LH P

(V)

Dibuja la perspectiva c nica del cuerpo representado por susproyecciones di dricas situado sobre el PG y representado por suplanta abatida sobre el PC. El objeto se encuentra situado detr sdel PC y el punto de vista es ( V) representado abatido sobre el PC.Escala = 1:1

1FF2

505030

50

50


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cnico


Definido el sistema c nico por la l nea de tierra LT, la l nea de horizonte LH, el puntoprincipal P y el abatimiento sobre el plano del cuadro del punto de vista ( V), se pide:Dibujar la perspectiva c nica del objeto dado por sus tres vistas. Dicho objeto ha desituarse apoyado sobre el plano geometral, por detr s del plano del cuadro, en la posici nindicada por el abatimiento de su planta sobre el plano del cuadro.

M 1LH

(V)

1FF2 P


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cnico

Planta de distribuciónCONSTRUCCIÓN:

1.68

1.40 1.04

1.40 1.36

1.40

1.29

1.75

1.11

0.31

0.38

1.20

1.52

1.01

1.00

1.43

1.68

2.00

5.65

2,40 m4,06 m

23,21 m11,56 m

55,14 m

2

2

22

2

89

765

1

4

23

8 94 65 7

Aseo

21

Entrada

3

Almac n

Cocina-Comedor

SUPERFICIE CONSTRUIDA =Almac n =Cocina-Comedor =Entrada=Aseo = PLANTA DE DISTRIBUCIÓN

Dada la planta baja de distribuci n deuna vivienda a escala 1:100, se pide:1. Dibuja la planta a escala 1:50 en la posici nmarcada.2. Acota dicha planta.3. Calcula la superficie til de cada una de lasdependencias indicadas as como la superficieconstruida de la planta.

4.66

0.3


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