20 Standardnormalverteilung ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Funktionswerte z der Standardnormalverteilung

z \ * 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

0,0* 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586

0,1* 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535

0,2* 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409

0,3* 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173

0,4* 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793

0,5* 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240

0,6* 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490

0,7* 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524

0,8* 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327

0,9* 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891

1,0* 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214

1,1* 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298

1,2* 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147

1,3* 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774

1,4* 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189

1,5* 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408

1,6* 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449

1,7* 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327

1,8* 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062

1,9* 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670

2,0* 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169

2,1* 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574

2,2* 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899

2,3* 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158

2,4* 99180 99202 99224 99245 99266 99286 99305 99324 99343 99361

2,5* 99379 99396 99413 99430 99446 99461 99477 99492 99506 99520

2,6* 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643

2,7* 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99736

2,8* 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807

2,9* 99813 99819 99825 99831 99836 99841 99846 99851 99856 99861

3,0* 99865 99869 99874 99878 99882 99886 99889 99893 99896 99900

3,1* 99903 99906 99910 99913 99916 99918 99921 99924 99926 99929

3,2* 99931 99934 99936 99938 99940 99942 99944 99946 99948 99950

3,3* 99952 99953 99955 99957 99958 99960 99961 99962 99964 99965

3,4* 99966 99968 99969 99970 99971 99972 99973 99974 99975 99976

3,5* 99977 99978 99978 99979 99980 99981 99981 99982 99983 99983

3,6* 99984 99985 99985 99986 99986 99987 99987 99988 99988 99989

3,7* 99989 99990 99990 99990 99991 99991 99992 99992 99992 99992

3,8* 99993 99993 99993 99994 99994 99994 99994 99995 99995 99995

3,9* 99995 99995 99996 99996 99996 99996 99996 99996 99997 99997

4,0* 99997 9999 99997 99997 99997 99997 99998 99998 99998 99998

Formelsammlung

Mathematik

_______________________________________________________________

zusammengestellt von Alfred Schwarz

für den internen Gebrauch an der HLW Linz-Auhof

März 2010

2 Logik, Mengenlehre _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 Mengenlehre und Logik

1.1 Aussagenverknüpfungen

P

Q

Konjunktion

(„P und Q“, „sowohl P als auch Q“)

QP

Disjunktion

(„P oder Q (oder beide)“ – einschließend)

QP

Implikation

(„wenn P, dann Q“)

QP

Äquivalenz („P genau dann, wenn Q“)

QP

w w w w w w

w f f w f f

f w f w w f

f f f f w w

Negation

(„nicht P“) P

P P

w f

f w

1.2 Mengenverknüpfungen

Vereinigungs- menge

Die Vereinigungsmenge BA zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören.

BxAxxBA

Durchschnitts- menge

Die Durchschnittsmenge BA zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

BxAxxBA

Differenz- menge

Die Differenzmenge B\A zweier Mengen A und B ist die Menge

aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.

BxAxxB\A

Produkt- menge

Die Produktmenge BA zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element von A ist und deren zweite Komponente ein Element von B ist.

BxAxy/xBA

Komplementär- menge (Ergänzungs- menge)

Wenn A eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge G ist, dann

ist die Komplementärmenge A die Menge aller Elemente von G, die nicht zu A gehören.

A\GA

Hypergeometrische Verteilung, Normalverteilung 19 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Hypergeometrische Verteilung

Auftreten Aus einer Gesamtheit von N Elementen, unter denen sich M besondere befinden, werden n Elemente ohne Zurücklegen gezogen. Es interessiert die Wahrscheinlichkeit für k gezogene besondere Elemente.

Funktionswert

n

N

kn

MN

k

M

kXP

Erwartungswert

N

MnXE

Varianz

1N

nN

N

M1

N

Mnς2

Normalverteilung

Auftreten Wenn bei einem Experiment mit Binomialverteilung die Anzahl n der durchgeführten Versuche erhöht wird, kann die Binomialverteilung näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden.

Funktionswert

0

2

2x

ς2

μx

0 dxeπ2ς

1xxP

WS, dass das Ereignis E höchstens 0x -mal eintritt.

Erwartungswert pnXEμ

Varianz p1pnς2

Praktische Vorgangsweise zur Berechnung

Transformation in die standardisierte Normalverteilung

Neue Zufallsvariable ς

μxz

(bzw. ςzμx )

mit der Eigenschaft 00 zZPxXP 0zΦ

Rechenregeln zΦ1zZP1zZP

zΦ1zΦzZP

1221 zΦzΦzZzP

1zΦ25,0zΦ2zZzP

18 Verteilungsfunktionen __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12.4 Zufallsgrößen und ihre Verteilung

Zufallsvariable X Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes (= jedem Element der Ergebnismenge) eine reelle Zahl zuordnet.

diskret, kontinuierlich Eine diskrete Zufallsvariable kann nur endlich viele Werte annehmen, eine kontinuierliche beliebig viele.

Wahrscheinlichkeits- verteilung

Funktion f, die jedem Wert x einer Zufallsvariable seine Wahrscheinlichkeit zuordnet:

ii xXP)x(f

Maße

Erwartungswert

n

1iiinn2211 xf.xxf.x...........xf.xxf.xXEμ

Varianz 2

n

1i

n

1ii

2ii

2i

2 μxf.xxf.μxς

Standardabweichung ς

12.5 Spezielle Verteilungen

Binomialverteilung

Auftreten Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, wird n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt. Wir beobachten, wie oft das Ereignis E eintritt.

Funktionswert knk p1p.

k

nkXP

Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E k-mal eintritt.

Erwartungswert pnXEμ

Varianz p1pnς2

Es gilt:

k

n

!kn!k

!n

123........knk.........321

123..........kn1kn...1nn

Rechenregeln, Terme 3 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.3 Zahlenmengen

Natürliche Zahlen ,...4,3,2,1N Zahlen, die beim Zählen entstehen

Ganze Zahlen ,...4,3,2,1,0,1,2,3...,Z Natürl. Zahlen plus negative Zahlen plus Null

Rationale Zahlen

0pZq,pq

pQ Zahlen, die sich auch als

Bruch darstellen lassen

Reelle Zahlen R Alle Zahlen der Zahlengeraden

Komplexe Zahlen 1iRb,abiaC 2

2 Rechenregeln und Rechenverfahren

2.1 Grundrechnungsarten

Addition ba Summand + Summand = Summe

Subtraktion ba Minuend – Subtrahend = Differenz

Multiplikation ba Faktor . Faktor = Produkt

Division b:a Dividend : Divisor = Quotient

2.2 Termumformungen

Kommutativgesetz Vertauschungsgesetz

abba abba

Assoziativgesetz )cb(ac)ba( )cb(ac)ba(

Distributivgesetz Verteilungsgesetz

caba)cb(a

binomische Formeln

222 bab2a)ba( 222 bab2a)ba(

22 ba)ba()ba( 32233bab3ba3aba

bc2ac2ab2cba)cba( 2222

Hornersche Regeln

)ba()ba(ba 22

)baba()ba(ba 2233

)baba()ba(ba 2233

4 Logarithmen _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.3 Potenzen und Wurzeln Definitionen a...aaan 1a0 aa1

n Faktoren a

Gesetze nmnm aa.a nmnm aa:a n.mnm aa

nnnb.ab.a

n

nn

b

a

b

a

n

n

a

1a n

na

a

1

Wurzeln nn

1

aa Nnm,0,a aa n

mn m

3 Logarithmen 3.1 Grundlagen Definition bclog ca ab Rc,1\Ra

Spezielle Basen Basis e: alnaloge natürlicher Logarithmus

Basis 10: algalog10 dekadischer Logarithmus

Rechenregeln für Logarithmen

I: 2a

1a

21a ylogylogy.ylog

II: 2a

1a

2

1a ylogylogy

ylog

III: ylog.ny log ana

IV: ylog.n

1ylog ana

Wichtige Zusammenhänge

1aloga 1eln 01loga

TR-Berechnung beliebiger Logarithmen: aln

xlnxloga

Kombinatorik 17 _____________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12.3 Wahrscheinlichkeitsbaum Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist es meist besser, die Lösung mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes zu berechnen.

Pfadregeln Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die dieses Ereignis darstellen.

( I ) BPBAPBPBAPBAPBAPAP

( II ) BPBAPBPBAPBAPBAPAP

12.4 Kombinatorik - Auswahlprobleme

Auswählen „k aus n“

Reihenfolge

wesentlich („Variationen“)

unwesentlich („Kombinationen“)

Dürfen Elemente mehrmals (mehrfach) ausgewählt werden?

ja (mit Wiederholung, mit Zurücklegen)

kn

k

1kn

nein (ohne Wiederholung, ohne Zurücklegen)

! kn

!n

k

n

! kn!.k

!n

B

B

A

BP

BAP

BAP

BAP

A

A

A

BP

BPBAPBAP

BPBAPBAP

BPBAPBAP

BPBAPBAP

( I )

( II )

BAP

16 Wahrscheinlichkeitsrechnung _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeits- Maß

)E(P Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E

1)E(P sicheres Ereignis 0)E(P unmögliches Ereignis

Klassische Wahrscheinlichkeit

Ergebnisse möglichen der Anzahl

Ergebnisse günstigen E für der Anzahl)E(P

(wenn alle Elementarereignisse die gleiche WS haben)

Statistische Wahrscheinlichkeit

)E(h)E(P n bei einer hinreichend großen Anzahl von

Versuchen

Summenregel für Elementarereignisse

k

1iik21 xP)A(PΩx,...,x,xA

Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

)E(P1)E(P

Verknüpfung von Ereignissen

BABA A oder B (oder beide) treten ein BABA A und B treten ein

Additionsregel BAPBPAPBAP

Unvereinbarkeit A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Es gilt dann: 0BAP und somit BPAPBAP

Bedingte Wahrscheinlichkeit

BP

BAPBAP

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A, wenn B sicher eintritt oder bereits eingetreten ist.

Multiplikationsregel APABPBPBAPBAP

Unabhängigkeit A und B heißen unabhängig (d.h. dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst), wenn gilt:

APBAP

Es gilt dann: BPAPBAP

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

BPBAPBPBAPAP

Satz von Bayes

BPBAPBPBAP

BPBAP

AP

BAPABP

Wachstumgsprozesse, Gleichungen 5 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2 Wachstumsprozesse a … Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0

G … Kapazitätsgrenze

Zuwachs Formel

Lineares Wachstum

immer gleich groß: k

atk)t(f

Exponentielles Wachstum

proportional zum momentanen Bestand:

)t(fk

tkea)t(f

Beschränktes Wachstum

proportional zur Restkapazität: )t(fGk tkeaGGtf

Logistisches Wachstum

proportional zum momentanen Bestand und zur Restkapazität:

)t(fG)t(fk tkGeaGa

Ga)t(f

4 Gleichungen 4.1 Quadratische Gleichungen

allgemeine Form Normalform

Gleichung 0cbxax2 0a 0qpxx2

Lösungen

a2

ac4bbx

2

2,1

q

2

p

2

px

2

2,1

Lösungsfälle in R 0 zwei Lösungen

0ac4b2 eine Lösung

0 keine Lösung

0 zwei Lösungen

0q4

p2

eine Lösung

0 keine Lösung

Vietascher Wurzelsatz

a

bxx 21

a

cxx 21 pxx 21 qxx 21

6 Figuren, Körper ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.1 Algebraische Gleichungen n-ten Grades Begriff 0axaxa...xaxax 01

22

2n2n

1n1n

n

Ra i

Fundamental- satz der Algebra

Die obige Gleichung hat in der Menge der komplexen Zahlen die n Lösungen n21 x,...,x,x (die jedoch untereinander gleich sein

können). Die Gleichung kann dann in folgende Linearfaktoren zerlegt werden:

0)xx(...)xx()xx( n21

Lösungs- verfahren

Kennt man eine Lösung ix der Gleichung, so kann das

Gleichungspolynom ohne Rest durch )xx( i dividiert werden.

Man erhält dann eine Gleichen )1n( -ten Grades.

5 Figuren und Körper 5.1 Planimetrie

Rechtwinkliges Dreieck

Satz des Pythagoras: 222 cba

Kathetensatz (oder Satz des Euklid): qcb und pca 22

Höhensatz: qph2

Gleichseitiges Dreieck a

2

3h a

4

3A 2

Dreieck )cs()bs()as(s

2

hgA

mit

2

cbas

Quadrat 2ad aA 2

Trapez h

2

caA

Kreis πrA πr2u 2

Regression, Wahrscheinlichkeitsrechnung 15 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.3 Lineare Regression

Standardabweichung x-Werte

Standardabweichung y-Werte

Covarianz

n

1i

2ix xx.

n

1s

n

1i

2iy yy.

n

1s yxyx

n

1s

n

1iiixy

Lineare Regression zur Abschätzung der linearen Abhängigkeit:

des Merkmals y vom Merkmal x bxay

2x

xy

s

sa x

s

syb

2x

xy

des Merkmals x vom Merkmal y dycx 2

y

xy

s

sc y

s

sxd

2y

xy

11.4 (Lineare) Korrelation

Definition Beurteilung

(Pearsonscher) Korrelations- koeffizient yx

xy

ss

sc.ar

1 | r | 7,0 starke lineare Korrelation

7,0 |r| 4,0 Korrelation mittlerer Stärke

0,4 |r| 0 schwache Korrelation

12 Wahrscheinlichkeitsrechnung

12.1 Grundlegende Begriffe

Zufallsexperiment Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen n21 x,...,x,x

Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse n21 x,...,x,xΩ

Ereignis E Teilmenge der Ergebnismenge

Gegenereignis E Komplementärmenge von E. (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt)

absolute Häufigkeit

)x(H in , )E(Hn Anzahl des Eintretens von ix bzw. von E bei n Versuchen..

relative Häufigkeit

)x(h in , )E(hn n

)x(H)x(h in

in bzw. n

)E(H)E(h n

n

14 Statistik _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10.4 Anwendungen der Integralrechnung

Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse zwischen zwei Graphen

b

a

dx )x(fA

b

a

dx )x(g)x(fA

Rauminhalt Rotation um x-Achse Rotation um y-Achse

b

a

b

a

22x dxyπdx)]x(f[πV

2

1

2

1

y

y

y

y

22y dyxπdy)]y(f[πV

11 Statistik 11.1 Zentralmaße

Definition Verwendung

Arithmetisches Mittel

n

1ii

n21 x.n

1

n

x.....xxx

für (fast alle) metrisch skalierten Daten

Median (Zentralwert) z := nach Ordnung einer Liste der Größe nach der in der Mitte stehende Wert

für ordinalskalierte Daten

Modus (Modalwert) m := Wert, der mit der höchsten Häufigkeit auftritt

11.2 Streumaße

Spannweite minmax xxsp

Differenz zwischen größtem und kleinstem Messwert

Quartilsabstand nach Ordnung einer Liste der Größe nach: Differenz zwischen dem Median der linken Datenhälfte und dem Median der rechten Datenhälfte

Mittlere absolute Abweichung

n

1ii

n21* Mx.n

1

n

Mx.....MxMxs

Standardabweichung (mittlere quadratische Abweichung)

n

1i

2i

2n

22

21 xx.

n

1

n

xx.....xxxxs

Winkelfunktionen, Trigonometrie 7 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.2 Stereometrie

Volumen V Oberfläche A Mantel- fläche M

Würfel 3aV 2a6A

Quader abcV )bcacab(2A a,b,c Seiten

Prisma hGV G Grundfläche h Höhe

Pyramide

3

hGV

Zylinder hπrhGV 2 hπr2M

Kegel

3

hπr

3

hGV

2

sπrM s Mantellinie

Kugel

3

πr4V

3

πr4A 2

6 Winkelfunktionen – Trigonometrie

6.1 Winkel an Geraden

Nebenwinkel Scheitelwinkel Stufenwinkel Wechselwinkel

180βα βα βα βα

6.2 Definition der Winkelfunktionen

am rechtwinkeligen Dreieck am Einheitskreis

Hypotenuse

teGegenkatheαsin

Hypotenuse

Ankatheteα cos

Ankathete

teGegenkatheαtan

teGegenkathe

Ankatheteαcot

cot

cos

sin tan

8 Dreiecksberechnung, Zahlenfolgen ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.3 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

1αcosαsin22

αcos

αsinαtan α90sinαcos α360cosαcos

α90cosαsin αcos

αsinαtan α180sinαsin α180tanαtan

6.4 Dreiecksberechnung

Winkelsumme 180γβα

Sinussatz

γsin

c

βsin

b

αsin

a

Cosinussatz αcoscb2cba 222 βcosca2cab 222

γcosba2bac 222

Flächeninhalt βsin

2

c aαsin

2

c bγsin

2

b aA

Umkreisradius

γsin

c

βsin

b

αsin

ar2

Inkreisradius

cba

A 2ρ

7 Zahlenfolgen

7.1 Endliche Zahlenfolgen

Bildungsgesetz charakteristische Eigenschaft

Arithmetische Folgen

d1naa 1n ...aaaad 2312 Differenz

zweier benachbarter Folgenglieder ist konstant

Geometrische Folgen

1n1n qbb ...

b

b

b

bq

2

3

1

2 Quotient zweier

benachbarter Folgenglieder ist konstant

Integralrechnung 13 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10 Integralrechnung

10.1 Grundbegriffe

Stammfunktion F heißt Stammfunktion von f , wenn gilt: )x(f)x(F

Mit )x(F ist auch jede

Funktion C)x(F eine

Stammfunktion

unbestimmtes Integral

C)x(Fdx )x(f Menge aller Stammfunktionen

bestimmtes Integral )a(F)b(Fdx )x(f

b

a

10.2 Regeln für das Integrieren Faktorregel

dx )x(uadx )x(ua

Summenregel dx )x(vdx )x(udx v(x)]u(x)[

Substitutions- regel du )u(fdx )x(g)]x(g[f mit )x(gu und dx xgdu

Partielle Integration dx )x(v)x(u)x(v)x(udx )x(v)x(u

kurz: dx vuuvdx vu

a)x(f Caxdx axF xsin)x(f Cxcosdx inxsxF

nx)x(f C

1n

xdx xxF

1nn

1n

xcos)x(f Cxsindx osxcxF

x

1)x(f

Cxlndx x

1xF

0x

xe)x(f Cedx exF xx

2xcos

1)x(f

Cxtandx

cosx

1xF

2 xa)x(f

Caln

adx axF

xx

1a

12 Differentiationsregeln ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Quotienten- regel

)x(v

)x(u)x(f

2))x(v(

)x(v).x(u)x(v).x(u)x(f

2v

v.uv.u

v

u

Ketten- regel

))x(h(g)x(f )x(h)).x(h(g)x(f

nx)x(f 1nxn)x(f x)x(f 1)x(f

c)x(f 0)x(f xe)x(f xe)x(f

xa)x(f , Ra alna)x(f x xln)x(f x

1)x(f

xlog)x(f a elogx

1)x(f a xlg)x(f

x

4343,0elg.

x

1)x(f

xsin)x(f xcos)x(f xtan)x(f 2

2)x(tan1

)x(cos

1)x(f

xcos)x(f xsin)x(f xcot)x(f ))x(cot1()x(sin

1)x(f 2

2

Für die Ableitungen der Winkelfunktionen muss x im Bogenmaß angegeben sein.

9.3 Newtonverfahren

Startwert: 0x Iterationsschritt: )x(f

)x(fxx

n

nn1n

9.4 Kurvendiskussion notwendige Bedingung

Nullstelle 0)x(f

Extremstellen Hochpunkt, lokales Maximum 0)x(f und 0)x(f

Tiefpunkt, lokales Minimum 0)x(f und 0)x(f

Wendepunkt 0)x(f

Folgen, Reihen 9 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Bildungsgesetz Herleitung

Arithmetische Reihen n1n aa

2

ns

d1na22

n1

n321n a...aaas

Summe der Folgenglieder einer arithmetischen Folge

Geometrische Reihen

1q

1qbs

n

1n

n321n b...bbbs

Summe der Folgenglieder einer geometrischen Folge

7.2 Eigenschaften von Folgen Monotonie Eine Folge nz heißt streng monoton steigen (fallend),

wenn 1nn zz:Nn

Beschränktheit Eine Folge nz heißt nach oben (unten) beschränkt mit

der Schranke s, wenn nz:Nn s

7.3 Grenzwerte für konvergente Folgen Grenzwertsätze Falls aalim n

n

und bblim n

n

, dann gilt:

ba)ba(lim nnn

ba)ba(lim nnn

b

a

b

alim

n

n

n

)0b(

spezielle Grenzwerte Geometrische Reihe:

q1

bsslim 1

nn

für 1q1

0n

1lim

kn

)Nk( e

n

11lim

n

n

10 Zinseszinsrechnung _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8 Finanzmathematik

8.1 Zinseszinsrechnung

Begriffe

Zinsfuß p Anzahl der ganzen Zinsperioden

n

Zinssatz

100

pi

Anteil vor Beginn der ganzen Zinsperioden

1γ

Aufzinsungsfaktor

i1r

Anteil nach Ende der ganzen Zinsperioden

2γ Abzinsungsfaktor

r

1

i1

1v

Verzinsung bei ganzen Zinsperioden

n0n i1.KK nK … Kapital nach n Zinsperioden

Verzinsung bei Teilen von Zinsperioden

theoretisch 21 γnγ0E i1KK

0K … Anfangskapital

gemischt 2n

10E γi1i1γi1KK EK … Endkapital

8.2 Unterjährige Verzinsung:

Äquivalente Zinssätze

Zinsperiode Zinssatz Aufzinsungs- faktor

Abzinsungs- faktor

Jahr i i1r r

1

i1

1v

Semester (Halbjahr) 2i i1r2

22

r

1

i1

1v

Quartal (Vierteljahr) 4i 4

4 i1r 4

44

r

1

i1

1v

Monat 12i 1212 i1r

12

1212

r

1

i1

1v

Rentenrechnung, Differentialrechnung 11 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.3 Rentenrechnung Barwert Endwert

vorschüssig (Raten jeweils am Beginn der Zinsperioden) 1v

1vRB

n

V

1r

1rrRE

n

V

nachschüssig (Raten jeweils am Ende der Zinsperioden) 1v

1vvRB

n

N

1r

1rRE

n

N

Ewige Rente vorschüssig nachschüssig

i

rRBN

i

RBV

9 Differentialrechnung

9.1 Grundbegriffe

Differenzenquotient

von )x(fy an der

Stelle 0x )x(f

xΔ

)x(f)xΔx(f

xΔ

yΔ0

00

Anstieg der Sekante; gute Näherung für kleine x

Differentialquotient

von )x(fy an der

Stelle 0x )x(f

xΔ

)x(f)xΔx(flim

dx

dy0

00

0xΔ

Exakter Wert der Tangentensteigung bei 0x

Ableitungsfunktion

xΔ

)x(f)xΔx(flim)x(f

0xΔ

Liefert Anstieg der Tangente für jedes x

9.2 Regeln für das Differenzieren

Faktor- regel

Ra ),x(g.a)x(f )x(g.a)x(f

Summen- regel

)x(v)x(u)x(f )x(v)x(u)x(f

Produkt- regel

)x(v).x(u)x(f )x(v).x(u)x(v).x(u)x(f v.uv.u)v.u(