MATEMÁTICAS Mayores de 25 añosTema 4. Trigonometría.

Razones y proporciones: Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras.Razones trigonométricas: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.Razones trigonométricas de ángulos notables. Reducción de las razones al primer cuadrante en la circunferencia goniométrica.Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos.Identidades y ecuaciones trigonométricas sencillas.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 4. Trigonometría.Razones y proporciones: Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras.

Razones y Proporcioneshttp://new.aulafacil.com/curso-gratis-de-porcentajes,razones-y-proporciones,629,10495Llamamos razón al cociente indicado de dos números:

son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su

resultado.No hay que confundir razón con fracción.

Si es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón

los

números a y b pueden ser decimales. Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:

Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones;

es otra proporción porque tenemos

la igualdad de dos razones.

La proporción: se lee: a es a b como c es a d

En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de combustible).2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el billete).

En la proporción:

, a y d son los extremos, b y c los medios.

1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son equivalentes)Veamos la siguiente proporción:

1) El producto de los extremos es: 2) El producto de los medios es: El cociente de

son iguales.

Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (muy útil para resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).

Ejercicio 1: ¿Crees que

y

forman una proporción?

Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque se trata de fracciones equivalentes.Ejercicio 2:¿Cuál es la constante de proporcionalidad en

?

Respuesta: PROPORCIONES Y REGLA DE TRES:Los problemas que hicimos utilizando la regla de tres, podemos resolverlos haciendo uso de las proporciones.

Proporcionalidad directa (regla de tres directa):En una proporción en la que nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de un modo muy simple. Veamos en un ejemplo:Ejercicio 3: Un vehículo recorre 300 kilómetros con 25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros podría recorrer con 200 litros?Solución:Por regla de tres escribimos los datos conocidos:

Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los podemos escribir en forma de dos razones:

como ves, en el mismo orden tal como los habíamos escrito en la regla de tres.

Colocamos estas dos razones en forma de proporción:

Sabemos que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios: 300 200 = 25 xPara calcular el valor de x tenemos que pasar el número (25) que lo multiplica al otro lado del signo =, es decir, donde se encuentran 300 200 pero cuando un dato pasa al otro lado del signo igual lo hace con el signo contrario al que tenía: si le sumaba a ‘x’ pasa restando, si estaba restando pasa sumando, si estaba multiplicando, pasa dividiendo y se le estaba dividiendo pasa multiplicando.

En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo:Ejercicio 4: Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?. Resuelve utilizando las proporciones:Respuesta: 15000 vueltas.Solución: Directamente establecemos la proporción:

Ejercicio 5: Con 30 € puedo comprar 2 camisas ¿cuántas podré comprar con 180 €? Resolverlo haciendo uso de las proporciones.Respuesta: 12 camisas

Solución:

Ejercicio 6: Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kilos de cemento. ¿Cuántas casas podremos hacer con 132000 kilos?Respuesta: 30 casasTeorema de ThalesSi dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de Thales en un triánguloDado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo:Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de ThalesEl teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.Ejemplo:Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Semejanza de triángulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Ejercicios1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Teorema de Pitágorashttp://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.htmlHace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados

(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma:32 + 42 = 52

Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)¿Cómo lo uso?Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:

Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor.

Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la

hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así:

Recorta los trozos Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado

grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos

Otra Demostración, Muy SimpleAquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos.

Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos. Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa.El triángulo violeta es el importante.

También tenemos una demostración sumando las áreas.Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!

Razones trigonométricas: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

Razones trigonométricashttp://www.vitutor.com/al/trigo/tri_2.html

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.Se denota por tg B

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.Se denota por cosec B.

SecanteSecante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

CotangenteCotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.

Identidades trigonométricas fundamentalescos² α + sen² α = 1sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:1 Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

3 Si α es un ángulo del primer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si

Si sabemos que aplicando la relación

Como

Razones trigonométricas de ángulos notables. Reducción de las razones al primer cuadrante en la circunferencia goniométrica.

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.El seno es la ordenada.El coseno es la abscisa.-1 ≤ sen α ≤ 1-1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de razones trigonométricas

1 Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

2 Razones trigonométricas del ángulo de 45º

3 Razones trigonométricas de ángulos notables

4 Relaciones trígonométricas fundamentalessen2 α + cos2 α = 1sec2 α = 1 + tg2 α cosec2 α = 1 + cotg2 α 5 Ángulos complementarios

6 Ángulos suplementarios

7 Ángulos que se diferencian en 180°

8 Ángulos opuestos

9 Ángulos negativos

10 Ángulos mayores de 360º

11 Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad

12 Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π radRazones y proporciones: Teorema de Thales. Semejanza de triángulos.

Razones y Proporcioneshttp://new.aulafacil.com/curso-gratis-de-porcentajes,razones-y-proporciones,629,10495

Llamamos razón al cociente indicado de dos números:

son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su

resultado.No hay que confundir razón con fracción.

Si es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la razón

los

números a y b pueden ser decimales.

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:

Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones;

es otra proporción porque tenemos

la igualdad de dos razones.

La proporción: se lee: a es a b como c es a d

En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de combustible).2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el billete).Existen muchos otros ejemplos….

Los componentes de una proporción se llaman: Extremos y medios.Los extremos, como su nombre indican son el primero y último términos de la proporción.Los medios, los que están entre los dos anteriores; segundo y tercero términos.

En la proporción:

, a y d son los extremos, b y c los medios.

1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son equivalentes)Veamos la siguiente proporción:

1) El producto de los extremos es: 2) El producto de los medios es: El cociente de

son iguales.

Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (muy útil para resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).

Ejercicio 1: ¿Crees que

y

forman una proporción?

Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque se trata de fracciones equivalentes.Ejercicio 2: ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en

?

Respuesta:

PROPORCIONES Y REGLA DE TRES:Los problemas que hicimos utilizando la regla de tres, podemos resolverlos haciendo uso de las proporciones.

Proporcionalidad directa (regla de tres directa):En una proporción en la que nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de un modo muy simple. Veamos en un ejemplo:Ejercicio 1: Un vehículo recorre 300 kilómetros con 25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros podría recorrer con 200 litros?Respuesta: Por regla de tres escribimos los datos conocidos:

Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los podemos escribir en forma de dos razones:

como ves, en el mismo orden tal como los habíamos escrito en la regla de tres.

Colocamos estas dos razones en forma de proporción:

Sabemos que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios: 300 200 = 25 x

Para calcular el valor de x tenemos que pasar el número (25) que lo multiplica al otro lado del signo =, es decir, donde se encuentran 300 200 pero cuando un dato pasa al otro lado del signo igual lo hace con el signo contrario al que tenía: si le sumaba a ‘x’ pasa restando, si estaba restando pasa sumando, si estaba multiplicando, pasa dividiendo y se le estaba dividiendo pasa multiplicando.

En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo

Ejercicio 2: Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?. Resuelve utilizando las proporciones:Solución: Directamente establecemos la proporción:

Respuesta: 15000 vueltas.

Ejercicio 3: Con 30 € puedo comprar 2 camisas ¿cuántas podré comprar con 180 €? Resolverlo haciendo uso de las proporciones.

Solución:

Respuesta: 12 camisas

Ejercicio 4: Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kilos de cemento. ¿Cuántas casas podremos hacer con 132000 kilos?Respuesta: 30 casas

Teorema de Thales http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_f.html

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

     Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Ejemplo 2: Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de Thales en un triánguloDado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo: Halla las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de ThalesEl teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.Ejemplo: Divide el segmento AB en 3 partes iguales.1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Semejanza de triángulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Ejercicio 1: Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

Ejercicio 2: Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Criterios de semejanza de triángulos1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales (puesto que entonces sus 3 ángulos son iguales).

     2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

     3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

     

Criterios de semejanza de triángulos rectángulos1 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

     2 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

     

3 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

     

Teorema de Pitágoras.http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.htmlHace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados

(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma:32 + 42 = 52

Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)¿Cómo lo uso?Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

http://www.vitutor.com/geo/eso/as_5.htmlEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.      

Aplicaciones del teorema de Pitágoras:1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

     Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

     Ejemplo 2: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectánguloPara que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Ejemplo 3: Determina si el triángulo es rectángulo.

Luego el triángulo es rectángulo

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_2.html

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.Se denota por tg B

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.Se denota por cosec B.

SecanteSecante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

CotangenteCotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Trigonometria_Razones.htmlLa trigonometría, enfocada  en sus inicios sólo al estudio de los triángulos, se utilizó durante  siglos en topografía, navegación y astronomía.Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos".Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:Los ángulos con vértice en  A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto. Los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente o contiguo al ángulo.Cateto adyacente o contiguo es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia. Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:Si

consideramos el

ángulo α

Si considera

mos el ángulo γ

cateto adyacente

cateto opuesto

cateto adyacente

cateto opuesto

Por convenio, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Funciones (razones) trigonométricas Fundamentales Recíprocas

sen seno cosec (csc) cosecantecos coseno sec secantetan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BACde medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC.Los lados BC y BA son los catetos y AC, la hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:

SenoSeno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Cosenocoseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

Tangentetangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa de otra fundamental.Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:

Cosecantecosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de α se puede expresar como

Secantesecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno de α se puede expresar como

Cotangentecotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la recíproca de la tangente de α se puede expresar como

Utilización de la calculadora en trigonometríaTodas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:

En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.

Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes centesimales (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya

que no es lo mismo que o

.

La conversión entre los sistemas es la siguiente:

Ejercicio 1: Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:1 3 rad

2 2π/5rad.

3 3π/10 rad.

Ejercicio 2: Expresa en radianes los siguientes ángulos:1 316°

2 10°

3 127º

Ejemplo: Dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha). Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:82 + 62 = 102; o sea, es igual a 10 cmentonces podemos calcular las razones trigonométricas:

 

 

Razones trigonométricas de ángulos notables.Seno, coseno y tangente de 30º y 60ºSi dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Si en particular tomamos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es :

Seno, coseno y tangente de 45ºSi dibujamos un cuadrado de lado 1 unidad, cada uno de los ángulos comprendido entre los lados son ángulos rectos. Si dibujamos una diagonal obtenemos.

 

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.http://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_Bachillerato_LOGSE/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulosLas razones trigonométricas sólo dependen del ángulo debido al teorema de Thales.

Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.

Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

Ejemplo Tenemos un triángulo cuyos lados miden a= 60mm b= 80mm c= 100mm que es rectángulo (compruébalo) y queremos saber sus razones trigonométricas así que

Es un triángulo rectángulo, puesto que si elevamos el mayor de los lados y cada uno de los menores al cuadrado y sumamos el resultado de los cuadrados de los menores, da lo mismo que el mayor: 802 + 602 = 1002; luego el triángulo es rectángulo

Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ánguloLas razones trigonométricas, es decir el seno, coseno y tangente son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son:Relaciones trigonométricas fundamentalescos² α + sen² α = 1sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa sino

Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.Ejemplo 1: Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen el seno y la tangente Solución:

Ejemplo 2: Se conoce la tangente de un ángulo vale 1/3 y se quiere calcular cuánto valen

Solución:

Ejercicio 1: Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcula las restantes razones trigonométricas.

Ejercicio 2: Sabiendo que sec α = 2, 0 < α < /2, calcula las restantes razones trigonométricas.Solución:

Ejercicio 3: Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α.Solución:

Ejercicio 4: Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Solución:

Ejercicio 5: Si α es un ángulo del primer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si

Solución: Si sabemos que aplicando la relación

Como

Resolución de triángulos rectángulosCuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.

Triángulos rectángulosSi un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un triángulo rectángulo si conocemos:

Dos lados

o Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras o Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones

trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.Ejemplo 1: Tenemos este triángulo y sabemos que un cateto mide 14 unidades y la hipotenusa mide 23 unidades. ¿Cuánto miden sus ángulos y el otro cateto?Solución:

Un ángulo y un lado o Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del

lado que tenemoso El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres

180º siempre.Ejemplo 2: Tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos que un cateto mide 29 unidades y que forma un ángulo de 63º con la hipotenusa. Calcula el resto de ángulos y lados.

Solución:

Razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica http://www.aritor.com/trigonometria/razones_trigonometricas.html

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj

QOP y TOS son triángulos semejantes.QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.  

El seno es la ordenada.El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1-1 ≤ cos α ≤ 1

 

Signo de las razones trigonométricas

Razones trigonométricas de ángulos notables

Reducción de las razones al primer cuadrante en la circunferencia goniométrica.Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos opuestos

Ángulos negativos

Mayores de 360º

Ángulos que difieren en 90º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

Ejercicio 1: Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encuentra el ángulo de elevación del sol en ese momento.

Solución:

Ejercicio 2: De un triángulo rectángulo ABC (rectángulo en A), se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resuelve el triángulo.

Solución:

Ejercicio 3: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resuelve el triángulo.

Solución:

Ejercicio 4: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resuelve el triángulo.

Solución:

Ejercicio 5: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resuelve el triángulo.

Solución:

Ejercicio 6: Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

Solución:

Ejercicio 7: Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.

Solución:

Ejercicio 8: Calcula el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

Solución:

Ejercicio 9: Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

Solución:

Ejercicio 10: La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

Solución:

Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos.

Identidades y ecuaciones trigonométricas sencillas.http://www.aritor.com/trigonometria/ejercicios_identidades.html

Ejercicios de identidades trigonométricasEjercicio: Comprueba las identidades:

1

Solución:

2Solución:

3

Solución:

4

Solución:

5

Solución:

6

 

7

Simplificar las fracciones:

1

2

3

Ecuaciones trigonométricasEn las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.Ejemplos:Resuelve las ecuaciones trigonométricas:1

2

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4

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6

7