Sterkteleer

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 1

InhoudEvenwichtsleer……………………………………………………………….. pag. 3Moment …………………………………………………………………………pag. 3Momentenstelling…………………………..………………………………… pag. 5Evenwichtsvoorwaarden…………………………………………………… pag. 5Sterkteleer……………………………………………………………………… pag. 10Spanning…………………………………………………………………….… pag. 10Uitwendige belastingen……………………………………………………… pag. 19Opstellen van D- en M-lijn…………………………………………………. pag. 21Klinkverschijnsel…………………………………………………………….. pag. 30Literatuur……………………………………………………………………… pag. 33

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 2

EvenwichtsleerStatica, evenwichtsleer of weegkunde houdt zich bezig met het evenwicht van lichamen die onderhevig zijn aan krachten. De statica onderzoekt bijvoorbeeld het krachtenspel in een brug, een gebouw, of een hijskraan. Hij houdt zich bezig met voorwerpen in ‘rust’.

Om een star driedimensionaal lichaam (niet vormbaar) in evenwicht te laten zijn, moet aan zes voorwaarden worden voldaan, te weten: som van alle krachten in x-, y- en z-richting is nul en som van momenten om x-, y- en z-richting is nul. Het grootste probleem is dikwijls: alle krachten invoeren, en ook niet te veel. Bijvoorbeeld krachten die op een ander lichaam (of onderdeel) werken. De systeemgrenzen zijn dus belangrijk, en er is een gevaar voor verkeerd gebruik. Wordt aan een van die zes voorwaarden niet voldaan, dan is een lichaam niet in evenwicht. Merk wel op dat “niet bewegen” niet hetzelfde is als “in evenwicht zijn”. Een lichaam dat een rechtlijnige translatie, met constante snelheid, ondergaat is wat betreft die voorwaarden “in evenwicht”.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 3

MomentEen moment is in de mechanica de neiging tot draaien van een lichaam (rotatie). Meestal zal dit plaatsvinden bij een punt dat ‘vast’ is aangebracht (bijvoorbeeld ingeklemd). Het moment van een kracht ten opzichte van een punt wordt uitgedrukt als het product van de grootte van die kracht en de loodrechte afstand van dat punt tot die kracht.Aspecten van het moment:

M=Fxa. Het punt wordt draaipunt (D) genoemd. De kracht (F) wordt uitgeoefend op het lichaam op een bepaalde

afstand van het draaipunt. De arm is de afstand (a) van het draaipunt tot de werklijn van de

kracht. Heeft een lichaam onder werking van een kracht de neiging tegen

de wijzers van de klok in te draaien (linksom), dan wordt het moment van de kracht negatief gerekend. Bij neiging tot draaiing

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 4

met de wijzers van de klok mee (rechtsom) is er sprake van een positief moment.

OpmerkingDe meningen verschillen over welke richting van het moment positief is dan negatief. Het hangt dus helemaal af van de tekenafspraken (richting van plus of min) die er gemaakt worden. Vaak wordt inderdaad aangenomen dat rechtsom negatief is, maar er zijn ook velen die vinden dat het duidelijker is dat rechtsom als positief benoemd wordt: met de klok mee is dan positief.Momentenstelling“De som van de momenten van een aantal krachten te opzichte van een willekeurig punt is gelijk aan het moment van de resultante ten opzichte van hetzelfde punt”.

Kortweg:

ΣM= som van de momenten.MR= moment van de resultante

Σ is de hoofdletter van Griekse letter “sigma” komt overeen met onze letter s van som.

Voorbeeldbepaal de grootte en het aangrijpingspunt van de resultante FR.

Oplossing : F2 en F3 zijn krachten die rechtsom gaan (+).F1 is een kracht die linksom gaat (-).

FR = F2 + F3 – F1FR = 50 + 100 – 20 = 130FR = 130 N. (rechtsom)

Momentstelling ten opzichte van punt A.ΣM = MRMR = M1 + M2 + M3

M1 = -20 x 7.5 = -150 NcmM2 = 50 x 13 = 650 NcmM3 = 100 x 21 = 2100 Ncm

MR = -150 + 650 + 2100 = 2600 NcmIlona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 5

RMM

MR=FR x A2600 Ncm = 130N x AA = 2600Ncm : 130N = 20cm

Evenwichtsvoorwaardenevenwichtvoorwaarden met één steunpuntHiervoor heb ik met de momentstelling uitgelegd hoe je krachten, die evenwijdig aan elkaar, samen stelt.

Op balk AB werken twee krachten F1 en F2. het bepalen van de resultante:FR = F1 + F2FR = 500 + 400 = 900N

De momentstelling ten opzichten van punt A:ΣM = MRMR = M1 + M2M1 = +500 x 0 = 0NmM2 = +400 x 1.8 = 720NmMR = 0 + 720 = 720 Nm

MR = FR x A720 Nm = 900N x AA = 720Nm : 900N = 0.8m

De resultante FR = 900 N en grijpt aan op de afstand van 0.8m rechts van A in het punt S.

Wil je de blak AB in evenwicht is, dan moet erin punt S een even grote, maar tegengestelde kracht FRS = 900 N werken.Stel je de balk AB scharnierend op, zodat de balk draaibaar is, dan moet de balk punt s ondersteund worden om te zorgen dat de balk in evenwicht is.

Op de balk werken nu 3 krachten:F1 = 500NF2 = 400NFRS = 900N

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 6

FRS is de reactiekracht in punt S.

Hieruit volgt:“Bij evenwicht is de algebraïsche som van de verticale krachten gelijk aan nul”.Kortweg:

ΣFv betekent: som van de verticale krachten.

soms komt het ook wel voor, dat er op de balk naast de verticale krachten ook horizontale krachten werken. dan geldt als evenwichtvoorwaarde voor deze horizontale krachten:“Bij evenwicht is de algebraïsche som van de horizontale krachten gelijk aan nul”.kortweg:

ΣFh betekent: som van de horizontale krachten.

Bereken je de momenten van F1 ,FRS en F2 ten opzichten van het punt S, dan zie je:M1 + MRS + M2 =M1 = - 500 x 0.8 = -400 NmMRS = 900 x 0 = 0 NmM2 = 400 x 1 = 400 Nm -400 + 0 + 400 = 0 Nm

Bereken je de momenten van F1 ,FRS en F2 ten opzichten van het punt A, dan zie je:M1 + MRS + M2 =M1 = 500 x 0 = 0 NmMRS = -900 x 0.8 = -720 NmM2 = 400 x 1.8 = 720 Nm 0 + -720 + 720 = 0 Nm

Je ziet dat in beidegevallen de som van de momenten gelijk is aan nul.hieruit volgt de regel:“Bij evenwicht is de algebraïsche som van de momenten ten opzichten van elk willegeurig punt gelijk aan nul”.

Kortweg:

ΣM betekent: Som van de momenten

In deze evenwichtsvoorwaarde stel je, dat de som van de momenten te opzichte van elk willekeurig punt is aan nul.In de meeste gevallen kun je echter het beste het steunpunt S als momentencentrum kiezen. Dit moet je dan doen, omdat in het steunpunt Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 7

oFv

0Fh

0M

meestal een onbekende kracht werkt. Het moment van deze onbekende kracht nul, omdat de arm nul is. Zodoende raak je in de vergelijking die je krijgt een van de twee onbekenden kwijt.

Er blijft nog één onbekende over, die je gemakkelijk kunt uitrekenen.De drie hiervoor genoemde voorwaarden voor evenwicht zijn dus:

Voorbeeld:Op een hendel van een reminrichting wordt een kracht F1 uitgeoefend van 100N, er is evenwicht.Hoe groot is de kracht F2 in de ketting?Hoe groot is de reactiekracht in het draaipunt A?

Antwoord:ΣM ten opzichten van A = 0M1 + M2 = 0M1 = 100 x 4 = 400 Nm M2 = -500 x 0.8 = -400 NmΣM ten opzichten van A = 400 + -400 = 0

(100 x 4) - ( F2 x 0.8)= 0400 - (F2 x 0.8) = 0400 = + F2 x 0.8400 : 0.8 = 500F2 = 500N

Er werken geen verticale krachten, dus:ΣFh = 0, met andere woorden: “de krachten naar rechts zijn even groot als de krachten naar rechts”.

FR + F1 + F2FR + 100 = 500FR = 500 – 100 = 400FR = 400N

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 8

oFv

0Fh

0M

Evenwichtsvoorwaarden met twee steunpuntenEen balk AB met een gewicht van 550N is opgelegd op twee steunpunten. Het steunpunt A is vast gemonteerd. Het steunpunt B heeft een roloplegging, waardoor het punt Bkan verrollen om uitzetting of krimp van de balk op te vangen. Eén meter rechts van het steunpunt A werkt F1 = 120N, loodrecht omlaag. Bereken de reactiekrachten FRA en FRB.

Antwoord:De balk werkende krachten zijn in het figuur hiernaast aangegeven.

De krachten bereken je met de evenwichtsvoorwaarden.

VoorwaardenI. ΣFV= 0

Dat wil zeggen: “de krachten die naar boven werken zijn even groot als de krachten die naar beneden werken”, dus:

FRA + FRB = 120 + 500FRA + FRB = 620 N I

II. ΣM ten opzichten van A = 0

FRA x 0 = 0 +120 x 1 = 120 + 500 x 1.5 = 750 - FRB x 3 = ?

0 + 120 + 750 – (FRB x 3)= 0870 - (FRB x 3)= 0FRB = 870: 3 = 290 N

Deze waarde van FRB substitueer in vergelijking (I).

FRA + FRB = 620 NFRA + 290 = 620 NFRA = 620 – 290 = 330 N

Ander voorbeeldEen werkstuk wordt met behulp van een kikkerplaat op een boortafel geklemd.De trekkracht in de bout bedraagt 4140 N.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 9

Bereken:a) de kracht FRV op het vulstuk.b) De kracht FRW op het

werkstuk.Antwoord:De op de kikkerplaat werkende krachten zijn in nevenstaande figuur aangegeven .

De krachten bereken je met de evenwichtsvoorwaarden.

I. ΣFV= 0FRV + FRW = 4140N.

II. ΣM ten opzichte van punt V= 0

FRV x 0 = 0+ 4140 x 100 = 414000 - FRW x 150 = ?0 + 414000 – (FRW x 150) = 0414000 = (FRW x 150)FRW = 414000 : 150 = 2760 N.

FRV + FRW = 4140NFRV + 2760 = 4140NFRV = 4140 – 2760 = 1380N

Dus de kracht op het vulstuk is 1380 N en het kracht op het werkstuk is 2760N.

SterkteleerKrachten kunnen op verschillende manieren werken, waarbij die krachten een verschillende uitwerking kunnen hebben.Je kunt ook zeggen, bij lichamen kunnen verschillende belasting gevallen optreden. Belasting is wanneer op een lichaam dat in rust is uitwendig krachten werken, zullen deze krachten met elkaar in evenwicht zijn. Deze uitwendige krachten noemt men belasting. Ten gevolge van deze belasting zullen vormveranderingen optreden.

Bijvoorbeeld:Een plank die aan beide einde wordt ondersteund en in het midden wordt een belast door een kracht, zal doorbuigen.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 10

Een draad (of elestiek) waaraan een gewicht hangt, zal langer worden en het oppervlak van de doorsnede kleiner.

SpanningDe spankracht per oppervlakte eenheid noemt men de spanning. De spankracht wordt uitgedrukt in de eenheid van kracht: newton uitgeduid met N of kN.De oppervlakte eenheid die in de werktuigbouwkunde bij spanning wordt gebruikt is mm², zodat de eenheid van spanning uitgedrukt kan worden in N/mm².

Opmerking:Werk een spanning loodrecht op de normaaldoorsnede dan spreekt men van een normaalspanning. Deze spanning wordt dan aangeduid met de Griekse letter σ (sigma).Werkt een spanning in het vlak van de normaaldoorsnede, dan spreekt men van schuifspanning. Deze spanning wordt aangeduid met de Griekse letter τ (tau).

Spanning symbool eenheidtrek σt

Normaalspanning σ (sigma)druk σd

Afschuifspanning schuif τ (tau) τ

N/mm²

N/mm²N/mm²

Belasting op trekTrekJe neemt van een staaf een willekeurige doorsnede A-A, loodrecht op de trekrichting. Wil de samenhang van het materiaal boven en onder de doorsnede A-A gehandhaafd blijven, dan moet in de doorsnede A-A een tegenwerkende kracht Ft werkzaam zijn. Deze tegenwerkende kracht Ft is de cohesie, de bindingskracht tussen de moleculen van het materiaal.

TrekkrachtEen staaf ondervindt trekkracht als een de uiteinden van een staaf krachten werken, waardoor de staaf langer wordt. De trekkracht Ft druk je uit in Newton (N) of in kilonewton (kN).

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 11

In plaats van trekkracht spreek je ook vaak van trekbelasting. MeetlengteDe meetlengte geeft een deel van de proefstaaf aan dat voor meting in aanmerking komt. Deze meetlengte wordt aangegeven door merktetekens.lo = oorspronkelijke meetlengte, dus de lengte voor de proef.lu = meetlengte als de staaf gebroken is.

VerlengingDe verlenging geef je op dezelfde manier aan als bij het onderwerp ‘lengte uitzetting’.

DwarsdoorsnedeDe dwarsdoorsnede is de oppervlakte van de doorsnede loodrecht op de trekrichting gemten en wel binnen de aangegeven merktekens.De dwarsdoorsnede wordt aangegeven door het symbool A en opgegeven in mm².Ao = oorspronkelijke dwarsdoorsnede, dus de doorsnede voor de proef.Au = dwarsnede als de staf gebroken is.

TrekspanningDe gehel doorsnede van de staaf wordt door de trekkracht Ft gelijkmatig belast. Dus elke mm² van de doorsnede neemt evenwijdig deel van de trekkracht op.Deze kracht per doorsnede eenheid wordt trekspanning genoemd.De trekspanning wordt aangegeven door het symbool σ (sigma) en uitgedrukt in N/mm².

Voorbeeld: A= 5x5= 25 mm²Ft = 5000Nσt = Ft :A

σt = 5000 : 25 = 200N/mm²

Toelaatbare trekkracht (trekbelasting)Bij praktische toepassingen op trek (b.v. een construtiedeel) kun je de trekkracht Ft niet onbeperkt laten toenemen. Dit zou breuk tot gevolg kunnen hebben, wat zeker niet de bedoeling is. Daarom spreekt men bij

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 12

ou lll

Aftt

praktische toepassingen over de toelaatbare trekkracht of de toelaatbare trekbelasting t.Bij gebruik van deze toelaatbare trekkracht, krijg je dus ook te maken met de toelaatbare trekspanning.

Toelaatbare trekspanning.Dit is dus de spanning die het materiaal veilig kan opnemen. De toelaatbare trekspanning duid je aan met t dus:

Trekstekte (breekgrens)Wil je van materialen de uiterste grens van de trekspanning bepalen, dus de maximale trekspanning, dan spreekt men van de trekstrekte (breekgrens). Dde trekstrejte (breekgrens) is de maximale trekbelasting gedeeld door de oorsprongelijke dwarsdoorsnede.De treksterkte wordt aan gegevn door tB en uitgedrukt in N/mm2 .

Berekeningen in de praktijkIn de praktijk komen de volgende bereningen voor:

1. Het bereken van het vereiste oppervlak van de normaaldoorsneede.Deze situatie komt het meeste voor. De grootte van de belasting en het materiaal van het onderdeel zijn in dit geva; bekend.Het vereiste oppervlak van de materiaaldoorsnede wordt berekend door:

2. Het bereken van de optredende trekspanning in een bestaande

construdtie.In dit geval zijn de afmetingen van een product of construtie bekend. Met deze berekeningen wordt gecontroleerd of de trekspanning in het materiaal niet te hoog is. De optredende trekspanning wordt bepaald door:

3. Het bereken van de maximale belasting in een onderdeel of constructie.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 13

o

ttB AF (max)

t

FA

AF

t

AtF

t

tB

tB

t

ou lll

o

ttB AF (max)

tB

t

Deze derde doet zich eveneens voor bij bestaande onderdelen of constructies. In dit geval, waarbij het oppervlak van de doorsnede en de toelaatbare trekspanning bekend zijn, wordt de grootte van de maximaal toelaatbare belasting gevonden met:

OpmerkingDeze omzetting van formules kunnen ook bij drukspanning worden toepast alleen σt wordt dan verandert in σd.

Veiligheidsfactor (veiligheidscoëfficiënt)Bij belastingsgevallen spreekt men ook van een veiligheidsfactor of veiligheidscoëfficiënt. De veiligheidsfactor is het getal waarbij je de treksterkte (σtB) deelt door de toelaatbare trekspanning (σt).De veiligheidsfactor wordt aangegeven door de Griekse letter υ (ypsilon).

of

De veiligheidsfactor is afhankelijk van de materiaalsoort en van de soort belasting. Bij liften is de veiligheidsfactor bijvoorbeeld veel groter dan bij een statische belasting.

VoorbeeldBereken van de staaf:

a. De verlenig ∆l.b. De treksterkte σtB.c. De toelaatbare trekspanning σt.

Oplossing:a.

∆l = 248 – 200 = 48∆l= 48

b.

σtB = 125600N : 314N/mm2= 400N/mm2

c.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 14

tAxF

σt = 400N/mm2 : 5 = 80 N/mm2

σt = 80 N/mm2

Voorbeeld:Een staaf van een bepaald materiaal heeft een doorsnede van 1200 mm2.De toelaatbare trekspanning σt = 75 N/mm2.Hoe groot is de toelaatbare trekkracht Ft?

Oplossing:

Ft = 75 N/mm2 X 1200 mm2 = 90000NFt = 90000N of 90 kN

Belasting op drukEvenals bij de trekbelasting moet in elk doorsnede A-A, loodrecht op de drukrichting een tegenwerkende kracht Fd werkzaam zijn. Anders blijft de samenhang van het materiaal niet gehandhaafd.

DrukEr volgt een aantal grootheden bij belasting op druk. Je kunt de omschrijvingen van belasting op druk bekorten met behulp van de omschrijving bij belasting op trek.Drukkracht = Fd

Drukspanning =De drukspanning is de drukkracht gedeeld door de doorsnede.

Druksterkte (breekgrens) = De druksterkte is de maximale drukbelasting gedeeld door de oorspronkelijke dwarsdoorsnede.

Toelaatbare drukspanning = De toelaatbare drukspanning is de toelaatbare drukkracht gedeeld door de dwarsdoorsnede.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 15

xAF tt

AFd

d

AFd

dB(max)

AF d

d

Veiligheidsfactor = of Voorbeeld:Een staaf wordt op een proefbank op druk belast.De maximale drukkracht Fd(max) voordat de staaf het begeeft, is 120KN.Voor de proef was de doorsnede A0 van de staaf 300mm2.De veiligheidsfactor υ is 4.

Berekenen:a. De druksterkte σdB

b. de toelaatbare drukspanning d

Oplossing:

a. de druksterkte σdB = 120000N:300 mm2 = 400N/mm2

σdB = 400N/mm2

b. De toelaatbare drukspanning d = 400N/mm2:4=100N/mm2 d =100N/mm2

Vlakte drukRust een staaf op een een vlak zoals hiernaast is getekend, dan is de vlaktedruk p gelijk aan:

Voor een as in een lagerschaal geldt dat de oppervlakte A die in rekening moet worden gebracht gelijk is aan:

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 16

d

dB

dB

d

o

ttB AF (max)

dB

d

AFP

Belasting op afschuivenWe onderscheiden twee situaties bij belasting op afschuiven.

1. Er mag geen breuk ontstaan.2. Er moet juist een breuk ontstaan.

Er mag geen breuk ontstaanDe krachten die uit geoefend moet worden, mogen niet zo groot zijn, dat het materiaal in de belaste doorsnede (n) wordt afschoven (dus dat de klinknagel bij doorsnede A als het ware wordt doorgeknipt).Denk bijvoorbeeld aan bout- en klinkverbinding.

Er werken twee krachten bij deze situatie, namelijk: De kracht Fs De reactiekracht Fs

AfschuifspanningTen gevolge van deze afschuifkracht Fs op de belaste doorsnede A ontstaat er een afschuifspanning. In het algemeen geven we het symbool van deze afschuifspanning aan met de Griekse letter τ (tau).

Dus de eenheid is N/mm2

Toelaatbare afschuifspanningWe willen het risico van breuk, ook vanwege de veiligheid, voorkomen.

Daarvoor is het begrip toelaatbare afschuifspanning ( ) ingevoerd. Dit is de afschuifspanning die een materiaal veilig kan opnemen. Dus de afschuifspanning die je ten hoogste toelaat bij praktische toepassingen op afschuiven, zoals de al eerder genoemde klinkverbinding.

Er moet juist breuk ontstaan

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 17

lxDA

AF s

2mmN

AFs

De krachten die worden uitgeoefend moeten zo groot zijn dat het materiaal in de belaste doorsnede van elkaar wordt geschoven. Deze situatie kom je tegen bij de bewerking knippen en ponsen. Verder kom je deze situatie ook tegen bij diverse verspannende bewerkingen. Zoals bijvoorbeeld draaien, boren en frezen,Bij deze bewerkingen werken twee krachten, namelijk:

De kracht Fs De reactiekracht Fs

Voorbeeld 1Een klinkverbinding wordt belast door een afschuifkracht Fs van 24 kN.Hoe groot is de optredende schuifspanning?

Oplossing:De belaste doorsnede A= ¼ x πx 162

A= 201 mm2

De optredende schuifspanningτ = 24000N:201mm2

τ= 119.4 N/mm2

Voorbeeld 2Welke kracht is nodig om dit gat te kunnen stampen?de maximale afschuifsterkte van dit materiaal is : 400 N/mm2.

Oplossing:de oppervlakte van het af te schuiven materiaal is gelijk aan de omtrek van het gat vermenigvuldigd met de plaatdikte.A= (6+6+7+7)x3mm

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 18

2

41 xdxA

2mmN

AFs

A= 78 mm2 Fs= τxAFs= 400N/mm2x78mm2 Fs= 31200N.

Uitwendige belastingenHier boven heb ik het al gehad over uitwendige belastingen, maar nu ga ik er iets dieper op in.Een lichaam kan verschillende soorten uitwendige belastingen ondervinden. Al deze belastingen kunnen echter in twee rubrieken worden verdeeld: oppervlaktekrachten en volume krachten.

Oppervlaktekrachten.Zoals de naam al aangeeft, ontstaan oppervlaktekrachten door direct contact van een lichaam met een ander lichaam. In alle gevallen worden deze krachten verdeeld over het contactoppervlak tussen de lichamen. Als deze oppervlakte klein is ten opzichte van de totale oppervlakte van het lichaam, kan de oppervlaktekracht worden geïdealiseerd als één geconcentreerde kracht, die op een punt het lichaam wordt uitgeoefend. Dit kan bijvoorbeeld worden gedaan om het effect van de grond op de wielen van een fiets voor te stellen wanneer de belasting van een fiets wordt bestudeerd. Als de oppervlaktebelasting op een smak oppervlak wordt uitgeoefend, kan de belasting worden geïdealiseerd als een lineair verdeelde belasting. Hier wordt de belasting gemeten per lengte eenheid langs het oppervlak en grafisch weergeven als een reeks pijlen over de lijn. De belasting over de lengte van een balk is een karakteristiek voorbeeld van iets waar deze idealisering vaak wordt toegepast.De resulterende kracht van een belasting is gelijk aan de oppervlakte onder kromme van de verdeelde belasting en deze resultante werkt in het zwaartepunt, het geometrische middelpunt van deze oppervlakte.De belasting onder de lengte van een balk is een typisch voorbeeld van een situatie waarin deze idealisering vaak wordt toegepast.

Volumekracht.Een volumekracht ontstaat wanneer een lichaam een kracht uitoefent op een ander lichaam zonder dat er sprake is van direct fysiek contact tussen lichamen. Voorbeelden hiervan zijn effecten die worden veroorzaakt door zwaartekracht of het elektromagnetische krachtveld van de aarde. Hoewel volumekrachten invloed hebben op alle deeltjes waaruit het lichaam bestaat, worden deze krachten gewoonlijk voorgesteld door één enkele geconsenteerde kracht die op het lichaam werkt. In het geval van een zwaartekracht wordt deze kracht het gewicht van het lichaam genoemd. Deze kracht grijpt aan in het zwaartepunt van het lichaam.

Weerstands- en traagheidsmoment.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 19

Om de sterkte van een balk te kunnen uitrekenen moet worden gecheckt in hoeverre het weerstandsmoment voldoet. Ieder vorm en ieder profiel heeft deze zogeheten W-waarde en is afgeleid van de I-waarde oftewel het traagheidsmoment van de doorsnede. Die waarde wordt gebruikt om de mate van doorbuiging te bepalen terwijl de W-waarde de feitelijke draag capaciteit bepaalt (wordt de doorsnede meer belast dan het aan kan zal de constructie feitelijk kapot gaan).

Wat houdt het traagheidsmoment in?Constructies dienen te worden gecontroleerd op twee belangrijke ontwerpparameters, zijnde sterkte en stijfheid. Sterkte heeft te maken met de uiterste grenstoestand waarop een doorsnede kan worden belast voordat het gaat bezwijken. Stijfheid daarentegen is de eigenschap van het kunnen bewegen van het materiaal zonder dat het structurele consequenties heeft. Het traagheidsmoment is direct gerelateerd aan de mate van stijfheid en is daarbij direct gelinkt aan de mate van elasticiteit.

Wat houdt het in?Voor het bepalen van de doorbuiging wordt gebruik gemaakt van het traagheidsmoment. Dit is een factor afhankelijk van de doorsnede oppervlak en de vorm daarvan bij de beschouwde ligger. Liggers worden namelijk belast op trek, druk, dwarskracht, wringing en momenten welke moet worden opgenomen door de sterkte en stijfheid van de staaf in combinatie met de doorsnede daarvan. Wordt een ligger namelijk belast van bovenaf dan is een ligger stijver indien meer materiaal aan de uiteinden is gelegen. In de praktijk zal dit een profiel betreffen waarbij horizontaal materiaal in de uiterste stand van een verticale is aangebracht. De mate van stijfheid werkt namelijk in drievoud en dat resulteert in een hoog traagheidsmoment bij meer materiaal aan de uiteinden.

Waardoor wordt het bepaald?Het traagheidsmoment heeft een relatie met de sterkte van de doorsnede van een ligger. Sterkte wordt bepaald door het weerstandsmoment van een doorsnede. Stel je voor dat er sprake is van een vierkante ligger met een breedte B en een hoogte H dan wordt het bepaald door:

Weerstandsmoment voor sterkte:

Traagheidsmoment voor stijfheid:

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 20

32

61 mmHB

42

21

61 mmHHB

of ook wel:

Men ziet dat er een vergrotende factor van toepassing is ten gunste van de stijfheid tot het punt dat de kritische sterktegrens nog niet is bereikt. Het nemen van de integraal over het weerstandsmoment resulteert namelijk in het traagheidsmoment.

Praktische profielen voor optimale stijfheidEen stevig profiel wordt zoals gezegd bepaald door de mate van materiaal aan de buitenzijde van de doorsnede. Uiteraard hangt het af van hoe het profiel daarbij wordt belast. Zo kan er onderscheid worden gemaakt tussen:

liggers op buiging belast. De belasting komt daarbij gewoonlijk van boven als een constante belasting op een onderliggende opvangconstructie. Daartoe zijn een aantal profielen ontwikkeld waarbij het materiaal aan de uiterste einden van het profiel zit. Denk daarbij aan het L- profiel oftewel de hoekstaal, de IPE, HEA, HEB en HEM profielen.Zondermeer de hoekstaal en HEA zijn zeer populair in de bouw. Voor de extreem zware bouw worden HEB en HEM profielen toegepast waarbij logischerwijs meer materiaal aan de buitenzijde bevindt.

kokers op druk belast. Staal heeft goede eigenschappen om niet uit te knikken. Denk daarbij aan de ronde of vierkante koker. Nog beter is de toepassing van betonkolommen om druk binnen pilaren op te kunnen nemen.

Wat voor invloed heeft de elasticiteitsmodulus?Aan de stijfheid van een constructie of ligger is de elasticiteitsmodulus gekoppeld. Het vormt de mate van opneembare vervorming ten gevolge van een belasting zonder dat het materiaal schade ondervindt. Wordt de belasting namelijk verwijderd dan komt het materiaal in de oorspronkelijke vorm terug. Deze eigenschap is van toepassing voor ieder type materiaal en komt optimaal naar voren bij staal. Zolang de vloeigrens van het staal niet is bereikt zal de ligger altijd de originele staat krijgen.

Opstellen van D- en M-lijnDwarskrachtenlijn tekenen

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 21

43

121 mmHB

Het opstellen van de dwarskrachtenlijn wordt gedaan om te bepalen waar de maximale dwarskracht optreedt. Nadat dit bepaald is wordt met behulp van die gegevens vaak de maximaal optredende schuifspanning of de momentenlijn berekend.

Voordat je de dwarskrachtenlijn kan tekenen moet je eerst zorgen dat alle reactiekrachten zijn berekend en dat de vrije lichaamsschets in evenwicht is.

De dwarskrachtenlijn laat voor iedere plaats op een balk zien hoe groot daar de inwendige dwarskracht is. Om duidelijk te maken hoe je een dwarskrachtenlijn maak heb ik een aantal voorbeelden gemaakt.

Belangrijkste wetenswaardigheden van de dwarskrachtenlijn. Voordat je de dwarskrachtenlijn tekent moeten eerst alle

reactiekrachten berekend zijn. Aan het einde van de balk moet de inwendige dwarskracht altijd op

nul uitkomen. Momenten die in de vrije lichaamsschets staan hebben geen invloed

op de dwarskrachtenlijn.

Dwarskrachtenlijn voorbeeld 1: Een eenvoudig voorbeeldHieronder een simpele situatie van een balk welke op twee punten is ondersteund en waar de reactiekrachten al bekend zijn.

fig 1: vrije lichaams schets voorbeeld 1.

Bij het tekenen van de dwarskrachtenlijn begin je altijd helemaal links of helemaal recht. De meeste mensen beginnen altijd links en zo zullen de voorbeelden ook worden behandeld. Als we kijken aan het begin van de balk bij scharnierpunt A dan is hier een kracht van 4.25kN te vinden, dit is de start van de dwarskrachtenlijn. Als we vervolgens een meter naar rechts gaan dan is er nog niks veranderd en daarom is daar de inwendige dwarskracht nog steeds 4.25kN.

Als we vervolgens nog een meter naar rechts gaan dan kom je bij punt B en daar staat een kracht van 10kN naar beneden. De huidige inwendige dwarskracht is 4.2kN, de nieuwe inwendige dwarskracht wordt dan: 4.25kN - 10kN = -5.75kN.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 22

Vervolgens gaan we weer verder naar rechts tot punt C en daar vinden we een moment van 3kNm. Hier hoeven we echter helemaal niks mee te doen omdat we hier een dwarskrachten lijn aan het tekenen zijn. We gaan dus gewoon weer verder tot punt D, daar zien we wederom een omhoog gerichte kracht van 5kN. De nieuwe inwendige dwarskracht wordt dus: -5.75kN + 5.75kN = 0kNDit brengt ons gelijk tot een belangrijke regel bij het tekenen van de dwarskrachtenlijn en dat is dat aan het einde van de balk de inwendige dwarskracht altijd nul moet zijn. Als dit niet zo is dan zijn of de reactiekrachten niet goed berekend of je moet je dwarskrachtenlijn nogmaals nakijken.Als we de berekende waardes nu intekenen in een grafiek dan krijgen we de volgende dwarskrachtenlijn:

fig 2: De ingetekende dwarskrachtenlijn

Te zien is dat de maximaal optredende dwarskracht -5.75kN bedraagt, met dat gegeven zou je nu de schuifspanning kunnen bepalen of van met behulp van de dwarskrachtenlijn de momentenlijn kunnen opstellen om de maximale buigspanning te bepalen.

Dwarskrachtenlijn voorbeeld 2: Een verdeelde belasting.Op een balk kan natuurlijk ook een verdeelde belasting worden uitgeoefend. Je heb hier verschillende varianten in, men heeft de gelijkmatig verdeelde belasting en de ongelijkmatig verdeelde belasting. In beide gevallen moet er geïntegreerd worden om de dwarskrachtenlijn op te stellen. Nu hoef je daar niet van te schrikken want het gaat veelal om de meest simpele integralen.

We zullen opnieuw doormiddel van het onderstaande voorbeeld duidelijk maken hoe het in zijn werking gaat, Hier zijn de reactiekrachten ook al berekend.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 23

fig 3: vrije lichaams schets voorbeeld 2

We beginnen weer links bij punt A. Hier vinden we een omhoog gerichte kracht van 16.2kN, ook begint hier de verdeelde belasting maar omdat dit een belasting per meter is stelt deze op punt 0 nog niks voor. Om dat even duidelijk te maken het volgende stukje tekst: 

Stel je heb een verdeelde belasting van 10kN per meter, dan betekend dit dat wanneer deze belasting een meter lang is de totale belasting 10kN bedraagt. Als de belasting 2 meter lang is dan is de totale belasting 10kN x 2 = 20kN. Als de belasting 0.5 meter lang is dan is de totale belasting 10 x 0.5 = 5kN. En dan als laatst bij een lengte van 0 meter is de totale belasting 10kN x 0 = 0kN.

Omdat in punt A van het voorbeeld de verdeelde belasting net begint is de lengte op dat moment ook 0 meter en daarom heeft deze nog geen waarde!We beginnen dus met een omhoog gerichte belasting van 16.2kN. Als we vervolgens wat verder gaan dan zal de totale belasting van de verdeelde belasting langzaam aan al meer worden. Je kan dan natuurlijk voor ieder plekje opnieuw de dwarskracht berekenen of je kan de functie van de dwarskracht ook even integreren en dat is wat we hier zullen doen.De verdeelde belasting is constant en daarom is de functie hiervan; F = 10X, hierbij is F de totale dwarskracht en X de plaats op de balk. Als we deze functie integreren dan krijgen we F = 5X2, Omdat we in punt A al een positieve dwarskracht van 16.2kN hebben moet de functie in dit punt beginnen, daarom wordt de functie; F = 16.2 - 5X2. Let hierbij goed op het minteken want de belasting is naar beneden gericht. De functie wordt net zolang doorgetrokken tot waar de belasting eindigt en dat is twee meter verder in punt B, de inwendige dwarskracht is daar dan: F = 16.2 - 5 x 22 = -3.8kN

De dwarskrachtenlijn is nu al bekend tot vlak na de verdeelde belasting en ziet er als volgt uit:

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 24

fig 4: Ingetekende verdeelde belasting

Omdat er de tussen punt B en C niks gebeurt blijft de lijn ook gewoon constant tot punt C. In punt C zien we een normale dwarskracht die naar beneden is gericht, deze wordt dus direct van de huidige waarde van de lijn afgetrokken, hierdoor wordt de inwendige dwarskracht vanaf dat punt: -3.8 - 5 = -8.8kN. Als we vervolgens verder gaan naar punt D dan zien we een omhoog gerichte kracht van 8.8kN en hierdoor wordt de inwendige dwarskracht aan het einde van de balk 0.

De totale dwarskrachtenlijn ziet er dan als volgt uit:

fig 5: volledig ingetekende dwarskrachtenlijn voorbeeld 2.

Momentenlijn tekenenHet berekenen van de momentenlijn wordt gedaan om te bepalen waar het maximale inwendige moment optreedt. Nadat dit bepaald is wordt met behulp van die gegevens vaak de maximaal optredende buigspanning berekend.

In de regel stel je de momentenlijn op vanuit de dwarskrachtenlijn. Dit wordt gedaan door de lijnen in de dwarskrachtenlijn te integreren. Hieronder staan een aantal voorbeelden waarmee duidelijk wordt gemaakt hoe je de momentenlijn op moet stellen. Er wordt hier verder gewerkt op de resultaten van de voorbeelden van de dwarskrachtenlijn.

Belangrijkste wetenswaardigheden van de momentenlijn. Voordat je de momentenlijn opstelt moet je eerst de

dwarskrachtenlijn tekenen. De momentenlijn is de geïntegreerde van de dwarskrachtenlijn.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 25

Aan de tip van de balk moet het inwendige moment altijd nul bedragen.

Waar de inwendige dwarskracht minimaal is of de x-as snijd is het inwendige moment maximaal.

Momentenlijn voorbeeld 1: Een eenvoudig voorbeeldHieronder nogmaals de situatie die we bij de dwarskrachtenlijn tegenkwamen.

fig 1: vrije lichaamsschets voorbeeld 1.

De dwarskrachtenlijn zag er als volgt uit:

fig 2: De ingetekende dwarskrachtenlijn

Zoals verteld moeten we nu om de momentenlijn op te stellen deze lijn integreren, dit doen we uiteraard per gedeelte. Op de eerste helft van de balk is de inwendige dwarskracht 5kN, dit is een rechte lijn en daarom is de functie hiervan; F = 4.25. Hierbij is F de inwendige dwarskracht. Deze functie moet geïntegreerd worden, in dit geval is dat heel makkelijk en wordt de nieuwe functie M = 4.25X. Waarbij X de afstand over de balk is en M het inwendige moment. Deze functie geldt voor de eerste twee meter en daarom is na twee meter het inwendige moment M = 4.25 x 2 = 8.5kNm. Het eerste gedeelte van de momentenlijn is hierdoor vastgelegd en ziet er als volgt uit;

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 26

fig 3: Het eerste gedeelte van de momentenlijn

Als we vervolgens weer naar de dwarskrachtenlijn kijken dan zien we dat vanaf 2 meter de inwendige dwarskracht -5.75kN bedraagt, de functie hiervan is F = -5.75. Dit is net als hierboven makkelijk te integreren naar een functie van de momentenlijn. Echter dit keer heeft het inwendige moment al een waarde van 8.5kNm zoals te zien in figuur 3, de functie moet vanuit dat punt starten en daarom moet deze meegenomen worden in de functie nadat we deze hebben geïntegreerd. De functie van de momentenlijn wordt; M = -5.75X. Als we hier de startwaarde van 8.5kNm in opnemen wordt dit; M = 8.5 - 5.75X. Als we kijken naar de dwarskrachtenlijn dan lijkt het alsof er de volgende twee meter wederom niks veranderd, maar als we goed kijken naar figuur 1 kijken bij punt C dan zie je dat daar nog een moment in staat. Dit moment is rechtsom en daarom positief, de waarde van het moment wordt bij de waarde van het huidige inwendige moment opgeteld. Tussen punt B en C zit 1 meter afstand, het inwendige moment in punt C is daarom; M = 8.5 - 5.75 x 1 = 2.75kNm. Na het optellen van het moment is dit dus 5.75kNm.Vervolgens is de huidige inwendige dwarskracht nog steeds -5.75kN en daarom wordt deze functie gewoon doorgezet, enkel begint deze nu met een waarde van 5.75kNm. De functie vanaf punt C is dus M = 5.75 - 5.75X. Tussen punt C en D gebeurd verder niks wat ook wel moet omdat wanneer we de functie invullen voor de laatste meter balk dan krijgen we: M = 5.75 - 5.75 x 1 = 0 Hier is wederom te zien dat je aan het einde van de balk altijd een inwendig moment van 0 moet hebben.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 27

De volledig ingetekende momentenlijn ziet er nu als volgt uit:

fig 4: De volledig ingetekende momentenlijn van voorbeeld 1.

Je kan nu in figuur 4 zien dat het maximale inwendige moment zich in punt B bevindt met een waarde van 8.5kNm, met dit gegeven zou je voor dit punt op de balk nu de buigspanning kunnen berekenen.

Momentenlijn voorbeeld 2: Een verdeelde belasting.We gaan hier wederom uit van de situatie die al is uitgewerkt bij de dwarskrachtenlijn, de situatie zag er daar als volgt uit;

fig 5: vrije lichaams schets voorbeeld 2

De dwarskrachtenlijn van deze vrije lichaamsschets zag er als volgt uit;

fig 6: de ingetekende dwarskrachtenlijn van voorbeeld 2.

Vanuit deze dwarskrachtenlijn gaan we nu doormiddel van te integreren de momentenlijn opstellen. Als nieuwtje heeft deze dwarskrachtenlijn een schuine lijn welke dus al een tweedegraads vergelijking is, als we deze nogmaals integreren krijgen we een derdegraads functie en dus een lijn

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 28

met een kromming erin. Dit is verder dus helemaal geen probleem. Hieronder zal ik de momentenlijn stap voor stap opstellen.In punt A of op 0 meter begint de functie F = 16.2 – 5 x X2. Deze functie moet geïntegreerd worden, omdat er een - tussen de twee termen staat kunnen we deze apart integreren en vervolgens weer achter elkaar zetten. Als we dit doen dan krijgen we voor het inwendige moment de volgende functie: M = 16.2X - 2.5X3. Deze functie geld tot punt B of tot 2 meter op de balk en zal daar een waarde hebben van M = 16.22 - 2.5 x 23 = 12.6kNm. De lijn ziet er als volgt uit:

fig 7: Eerste gedeelte van de momentenlijn

Als we vervolgens weer naar de dwarskrachtenlijn kijken dan zien we tussen punt B en C een rechte lijn met een waarde van F = -3.8kN.Geïntegreerd wordt dit dan: M = -3.8X. Omdat het inwendige moment in punt B al 12.6kNm bedraagt moeten we in dat punt beginnen en daarom wordt de functie: M = 12.6 - 3.8 x X. De waarde van het inwendige moment in punt C is dan: M = 12.6 - 3.8 x 1 = 8.8knm.Vanaf punt C tot punt D bedraagt de inwendige dwarskracht -8.8kn, Geïntegreerd en met de begin waarde van 8.8 knm wordt de functie van het inwendig moment: M = 8.8 - 8.8 x X en dat resulteert weer in een eindresultaat van 0.

Volledig ingetekend ziet de momentenlijn er als volgt uit: 

fig 8: Volledige momentenlijn voorbeeld 2

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 29

Je kan nu concluderen dat het maximale moment zicht in punt B bevindt of wel 2 meter op de balk. Hier zou nu wederom de buigspanning berekend kunnen worden.

Nog een voorbeeld van D- en M- lijnen tekenen:Http://www.youtube.com/watch?V=x7216hnhxgs

KlinkverschijnselWanneer een korte staaf door twee tegengestelde krachten F op de lengteas wordt gedrukt ontstaat er een zuivere drukbelasting. Wanneer we een lange dunne staaf op de zelfde wijze op druk belasten, dan zal voldoende grootte van F de staaf echter plotseling zijdelings uitwijken. Het verschijnsel zijdelings buigen noemen we knik.

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 30

De waarde van F op het momenten van het knikken noemen we de kniklast en duiden we aan met KF

Wanneer de gegeven staaf een rechthoekige doorsnede heeft en vrij kan knikken, dan zal dit uitwijken optreden in de richting van de kleinste dikte. (a is de knikrichting)Het knikken van staven is onder andere te wijten aan:

De residuele spanningen, dit zijn spanningen die aanwezig zijn in de staven als gevolg van bijv. Ongelijkmatige afkoeling na het warm walsen.

Het materiaal dat nooit volledig homogeen is. De staven die nooit recht noch regelmatig inzake vorm en

doorsnede zijn. Het onvermijdelijk excentrisch aanbrengen van de belastende

krachten.

De knikformule van EulerDe belasting op het ogenblik dat de staaf knikt aangeduid als zijnde de kniklast KF

. Deze belasting word door Leonhard Euler voor het eerst in

formule gebracht:

Fk = de kniklast in knE = de elasticiteitmodulus in kn/cm2

Lmin = het kleinste traagheidsmoment van de normaaldoorsnede in cm4.ℓ = de staaflengte in cm.

Het ligt voor de hand dat de belasting F die op een staaf wordt aangebracht, nooit de kniklast mag overschrijden.

Opmerking: een centrisch gedrukte staaf zal altijd buigen of knikken rond de centrale minimum hoofdtraagheidas.

De kniklengte bij axiaal belaste stavenHet zijdelings buigen en de grootte van de kniklast KF

op de staaf,

hangen ook af van de wijze van bevestiging van de staaf. Zo zal het knikken van de staaf, voor een zelfde belasting, kleiner zijn bij een volledige inklemming van de uiteinden dan bij een scharnierverbinding.In de formule van Euler zullen we dan ook rekening houden met de bereidingswijzen. Daarom wordt de werkelijke lengte ℓ vermenigvuldig met een coëfficiënt K. Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 31

2min

2

lEFK

Het product K·ℓ is de kniklengte en wordt voorgesteld door ℓfl.

Meest voor komende bevestingswijzen:

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 32

2min

2

)( flK

lEF

Fig. 3.2: aan beide uiteinde volmaakt ingeklemd, K = 0.5 zodat ℓfl = 0.5 ℓ.Fig. 3.3 : aan de uiteinde volmaakt ingeklemd, het andere uiteinde is

Gescharnierd, K = 0.7 zodat ℓfl = 0.7 ℓFig. 3.4: aan beide uiteinde gescharnierd. K = 1 zodat ℓfl = ℓFig. 3.5: aan één uiteinde volmaakt ingeklemd, andere uiteinde is vrij, K=2

Zodat ℓfl = 2 ℓ.

KniksterkteOp het ogenblik dat een staaf knikt, wordt een belasting aangebracht op de staaf die gelijk is aan de kniklast KF

. Als de staaf een doorsnede met

een oppervlakte A heeft, dan treedt er in die doorsnede een gemiddelde normaalspanning op die we de kniksterkte σk noemen.

Euler:

In deze formule is:

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 33

AFK

K

AlE

flK

2

min2

We noemen imin de kleinste traagheidsstraal van de doorsnede.Is lx het traagheidsmoment van de oppervlakte A ten opzichte van de x-as, dan kunnen we een punt b vinden, waarin het volledige oppervlak A is gereduceerd, op een afstand ix van de x-as zodanig dat:

LiteratuurLiteratuur:

Polytechniek 2,SOM.Sterkteleer, R.C. Hibbeler.Gedifferentieerd leerpakket aanvankelijke sterkteleer 2 – leerwerkboek,

Armand De Lepeleire.

Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Klassieke_mechanicahttp://nl.wikipedia.org/wiki/Staticahttp://www.joostdevree.nl/shtmls/statisch_bepaald.shtmlhttp://www.joostdevree.nl/shtmls/moment.shtmlhttp://werktuigbouw.info/Momentenlijn.htmlhttp://werktuigbouw.info/Dwarskrachtenlijn.htmlhttp://wetenschap.infonu.nl/techniek/103954-hoe-reken-je-het-weerstandsmoment-uit.html

Filmpje:http://www.youtube.com/watch?v=X7216HNHXGshttp://www.youtube.com/watch?v=lzrOR6CBeh0

Ilona Duivenvoorde HvA 3e jaar M&T 34

2min

min )(iAl

xx liA 2