ДДПУ ім. І. Франкаdspu.edu.ua/wp-content/uploads/2014/04/N1-2009.pdf · Фiзика...

Змiст

Фiзика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Бойчук В. I., Бiлинський I. В., Гольський В.Б., Шаклеiна I. О.Властивостi заряду в наногетеросистемах з квантовими ямами та бар’єрами . . . . . . . . . . . 2

Бойчук В. I., Бiлинський I. В., Лешко Р.Я., Шевчук I.С.Вплив матрицi на енергетичний спектр водневоподiбної домiшки . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Пелещак Р.М., Данькiв О.О.Вплив нанорозмiрного масштабного фактора на баричний коефiцiєнт квантових точок . . . . 13

Пелещак Р.М., Кузик О.В., Галь Ю.M.Формування n − n+ переходiв у напружених гетеросистемах iз самоорганiзованими нанокла-стерами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Цюцюра Д. I., Пелещак Р.М., Пiгур-Пастернак О.М., Корбутяк Д.В.∗, Вахняк Н.Д.∗Вплив водню на оптичнi та електричнi властивостi CdTe:Al i CdTe:Cl . . . . . . . . . . . . . . 23

Математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Лазурчак I. I., Кобильник Т.П.Алгоритмiчна реалiзацiя модифiкованого методу LU-факторизацiї при розгортаннi визначни-кiв стрiчкових матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Iваник Є. Г., Сiкора О.В., Остапчук Л.А.Моделювання та аналiз нестацiонарних теплових процесiв унаслiдок дiї рухомих зон локаль-ного нагрiву . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Баранецький В. I., Гадзаман I.В.Використання середовища Mathematica для оптимiзацiї аналiтичного запису рiвнянь регресiїn-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Дорошенко М.В., Лазурчак Л.В., Берегуляк Л.В.Чисельне розв’язування оберненої задачi для рiвняння Лапласа в осесиметричному випадку . 41

Винницький Б.В., Шаповаловський О.В.Про необхiднi умови повноти систем експонент з вагою . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Дiльний В.М.Гiпотеза Рiмана i повнота системи зсувiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Хаць Р.В.Асимптотика логарифмiчної похiдної та логарифму канонiчного добутку нульового роду . . . 54

Крутиголова Є.К.Про залежнiсть мiж ростом цiлої функцiї експоненцiального типу i характером особливихточок її перетворення Бореля-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Шаран В.Л.Про факторизацiю одного класу голоморфних у пiвплощинi функцiй, який визначається ма-жорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Шепарович I. Б.Про iнтерполяцiйнi послiдовностi голоморфних в одиничному крузi функцiй скiнченного η-типу 67

Юркiв М.Про асимптотику голоморфної у пiвплощинi функцiї цiлого порядку без нулiв . . . . . . . . . 70

Iнформатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Дубровiн О.Ф.Розробка комп’ютерної системи тестування на базi XML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Фiзика

УДК 538.958, 538.915

Властивостi заряду в наногетеросистемах з квантовими ямами та бар’єрамиБойчук В. I., Бiлинський I. В., Гольський В.Б., Шаклеiна I. О.

fizyka.drohobych.netДрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка, кафедра теоретичної фiзики,

вул. Стрийська 3, м. Дрогобич, 82100

На основi моделi Кронiга-Пеннi з δ-подiбними потенцiалами дослiджено тришарову наногетероструктуру, вякiй бiля меж подiлу iснує перехiдний шар, вiдстань мiж крайнiми атомами якого є параметром задачi i можезмiнюватися вiд нуля до двох сталих ґраток кристалiв. Отримана точна формула для коефiцiєнта вiдбиван-ня R, з якої можна визначити залежнiсть коефiцiєнта R вiд хвильового вектора, величини перехiдного шарута величини квантової ями (бар’єру) гетероструктури. Конкретнi обчислення, проведенi для моделей гетеро-систем GaAs/AlAs/GaAs та AlAs/GaAs/AlAS. Проведено порiвняння коефiцiєнтiв вiдбивання у наближеннiогинаючих та у методi ефективної маси при малих значеннях хвильового вектора та показано, що близькiрезультати можна отримати, якщо використати граничнi умови Гарiсона при вiдповiдним чином пiдiбранихпараметрах. Для косинусоїдального закону дисперсiї заряду, який виникає в моделi Кронiна-Пеннi, в рамкахметоду S-матрицi розсiяння визначено енергiю зв’язаних станiв для гетероструктури з квантовою ямою (типуAlAs/GaAs/AlAs).

Вступ

Протягом останнього часу iнтенсивно вивча-ються рiзнi наноструктури, в яких як експери-ментально, так i теоретично дослiджуються еле-ктричнi та оптичнi властивостi. Значне число ро-бiт присвячене гетероструктурам GaAs/AlAs, вяких шари AlAs помiщено в кристалiчне середо-вище GaAs або навпаки [1–4]. Електроннi власти-востi таких гетеросистем пов’язанi з електронамиГ-долини зонного спектру. Проблема проходжен-ня цих електронiв через межу рiзних кристалiввиникає в електронiцi гетеропереходiв та при до-слiдженнi транспортних властивостей полiкриста-лiчних матерiалiв [5–13]. Для отримання точногорозв’язку цiєї задачi необхiдно знайти явний ви-гляд блохiвських функцiй складових матерiалiв ташвидкоспадних функцiй бiля iнтерфейсу. У бага-тьох роботах, як правило, блохiвськi функцiї замi-нюються огинаючими функцiями i використовує-ться наближення ефективної маси. Зазвичай вва-жається, що огинаюча функцiя та її похiднi ма-ють бути неперервними на межi подiлу [10–13]. Впринципi, цi умови повиннi випливати з обґрун-тованого виразу для оператора струму в просто-рi огинаючих функцiй. Такий вираз повинен зале-жати вiд правильної форми оператора ефективноїкiнетичної енергiї, що дiє на огинаючi функцiї, табути правильним також бiля меж подiлу, де зон-на структура швидко змiнюється. Обґрунтуваннявигляду для цього оператора обговорювалося в лi-тературi [5, 12, 13], але вiн не був в загальному ви-ведений з перших принципiв. Основнi результати,отриманi теорiєю, яка ґрунтується на k · p моделi

та наближеннi сильного зв’язку [14–16]. Гарiсономв роботi [5] запропоновано умови неперервностi ξΦта (mξ)−1∇Φ, де Φ – огинаюча, m(x) – ефективнамаса, ξ(x) – скалярний параметр, який, за припу-щенням, несильно залежить вiд енергiї бiля краюзони кожного кристала. Для одновимiрних кри-сталiв умови Гарiсона в найбiльш загальнiй фор-мi (βΦ та α(∂Φ/∂x) – неперервнi) можуть бутиоправданi тим, що розв’язки ефективного рiвня-ння Шредiнгера, яке визначає огинаючi функцiї вкожному кристалi, можна представити через двапараметри (α i β). З неперервностi густини потокуймовiрностi можна отримати неперервнiсть добу-тку αβm впоперек межi подiлу. Отже, дана про-блема зводиться до визначення одного невiдомогопараметра (ξ). У бiльшостi робiт, присвячених пи-танню вибору та обґрунтуванню граничних умов,дослiджувалися простi гетероструктури з однiєюмежею подiлу, на якiй всi величини, в тому числiй вiдстань мiж атомами, рiзко змiнюються. Метоюцiєї роботи є розвиток теорiї коефiцiєнта вiдбиван-ня подвiйної гетероструктури з врахуванням пере-хiдного шару бiля меж подiлу середовищ, на осно-вi моделi Кронiга-Пеннi для δ-подiбних потенцiа-лiв, дослiдження залежностi коефiцiєнта вiдбива-ння вiд хвильового вектора, величини перехiдногошару та ширини квантової ями чи бар’єру гетеро-структури, визначення енергiї зв’язаних станiв задопомогою методу S-матрицi розсiяння.

Модель гетероструктури. Загальнi формули

Гетероструктура, модель якої представленона рис.1, складається з трьох кристалiв. Злi-

Властивостi заряду в наногетеросистемах 3

ва (область I) та справа (область III) знаходя-ться однаковi напiвбезмежнi кристали. Внутрiшняобласть (область II) вiдповiдає iншому кристалугетеросистеми. Кристали представленi рядамиδ-функцiй з силою P i та перiодами d i ( i=1, 2).Величина пiкiв δ-функцiї є рiзною для кристалiвв областях I (III) та II. На межах подiлу сере-довищ немає атомiв, що уможливлює вiдокреми-ти ефекти, якi пов’язанi iз зонною структурою,вiд тих, якi визначаються стрибкоподiбною змiноюзначення потенцiалу на межi. Варто вiдмiтити, щоелементарнi комiрки на межах подiлу розмiромb=b1+b2 мiстять атоми обох типiв кристалiв. Цiкомiрки порушують трансляцiйну симетрiю, томукоефiцiєнт вiдбивання та енергiя частинки є фун-кцiєю їх розмiрiв. Не обмежуючись у виборi вели-чини b, будемо, однак,

Рис.1. Модель гетероструктури

вважати, що перехiдний шар мiж кристалами не євеликим: b < d1+ d2. Систему координат вибирає-мо так, щоб лiва межа подiлу знаходилась в точцix=0. Тодi рiвняння Шредiнгера для комiрки з цi-єю межею запишемо в виглядi:

{−�2

2m0

d2

dx2− Piδ(x± bi) + V±

}Ψ

(i)ki

= EΨ(i)ki, (1)

де m0 – маса вiльного електрона. У рiвняннi (1)знак "плюс" та i=1 вiдповiдає областi злiва вiдiнтерфейсу, а знак "мiнус" та i=2 вiдповiдає дру-гому кристалу, тому V+ = 0, V− = − V . Аналогi-чнi рiвняння можна записати для правої комiркиз межею подiлу x=L.

В областi I та III кристали напiвобмеженi, то-му функцiї Ψ(1)

k1та Ψ

(3)k1є блохiвськими функцiям,

для яких виконуються наступнi умови:

Ψ(1)k1

(0) = eik1d1Ψ(1)k1

(−d1),Ψ(3)k1

(L) = (2)

= e−ik1d1Ψ(3)k1

(L+ d1).

Аналогiчнi спiввiдношення можна записатидля похiдних вiд хвильових функцiй. Потрiбно та-кож врахувати, що в точках полюсiв δ-функцiїДiрака похiдна хвильової функцiї стрибкоподiбнозмiнюється [17]. Зокрема,

Ψ(1)′

k1(−b1 + 0)−Ψ

(1)′

k1(−b1−0) = −2m0P1

�2Ψ

(1)k1

(−b1) ,

Ψ(3)′

k1(L+ b1 + 0)−Ψ

(3)′

k1(L+ b1 − 0) =

= −2m0P1

�2Ψ

(3)k1

(L+ b1),(3)

Використовуючи трансляцiйнi властивостiхвильових функцiй, можна одержати дисперсiй-не рiвняння для електрона в областях I та III:

cos(k1d1) = cos(q1d1)− U1sin(q1d1)

q1d1, (4)

де U1 = m0P1d1�2 , q1 =

√2m0E�2 , k1 – хвильовий

вектор електрона.Нормованi хвильовi функцiї крайнiх комiрок I

та III кристалiв можна записати у виглядi:

Ψ(1)k1

(x) = Ak1

[1− e−i (q1+k1)d1

1− e−i (q1−k1)d1eiq1(x+b1)+

+ e−iq1(x+b1) − (1 − e−i (q1+k1)d1)eiq1|x+b1|], (5)

Ψ(3)k1

(x) = Ak1

[1− e−i(q1+k1)d1

1− e−i(q1−k1)d1eiq1(x−L−b1)+

+e−iq1(x−L−b1) − (1− e−i(q1+k1)d1)eiq1|x−L−b1|].

Загальнi хвильовi функцiї в цих кристалах за-писуються так:

Ψ1(x) = Ψ(1)k1

(x) + rΨ(1)−k1(x),

Ψ3(x) = tΨ(3)k1

(x). (6)

У другiй областi гетеросистеми також можназнайти хвильову функцiю для всiєї областiΨ(2)(x),вигляд якої є досить складним i залежить вiд кiль-костi атомiв N.

З умов зшивання функцiй Ψ(1)(x), Ψ(2)(x) таΨ(3)(x) в точках x=0, x=L:

Ψ(1)k1

(0) = Ψ(2)(0), Ψ(2)(L) = Ψ(3)k1

(L),

Ψ(1)′

k1(x)∣∣∣x=0

= Ψ(2)′1

(x)∣∣∣x=0

, (7)

Ψ(2)′1

(x)∣∣∣x=L

= Ψ(3)′

k1(x)∣∣∣x=L

визначаємо амплiтуду коефiцiєнта вiдбивання r.Знаючи r, можна визначити коефiцiєнт вiдбиван-ня (R) та проходження (T ) заряду гетеросистеми:

R = |r|2 , T = 1−R. (8)

Якщо область II гетероструктури мiстить вели-ку кiлькiсть атомiв (N >> 1), то можна знехтува-ти вiдсутнiстю трансляцiйної симетрiї та викори-стати модель Кронiга-Пеннi. Тодi хвильову фун-кцiю першої комiрки цiєї областi можна записатиу виглядi (5), якщо замiнити q1 на q2, а k1 на k2вiдповiдно. Хвильову функцiю останньої комiркиможна знайти на основi трансляцiйної властивостiблохiвської функцiї. Загальний вигляд хвильової

Актуальнi проблеми фiзики, математики та iнформатики. Фiзика, №1, 2009

4 Бойчук В. I., Бiлинський I. В., Гольський В.Б., Шаклеiна I. О.

функцiї для цiєї областi можна вiдобразити фор-мулою:

Ψ2(x) = pΨ(2)k2

(x) + f Ψ(2)−k2(x). (9)

На основi умов зшивання функцiй Ψ1(x) (6) таΨ2(x) (9) можна отримати вираз для коефiцiєнтавiдбивання r :

r =Ψ

(1)k1

(0)[μΨ

(2)′

k2(0) + Ψ

(2)′

−k2(0)]−Ψ

(1)′

k1(0)[μΨ

(2)k2

(0) + Ψ(2)−k2(0)

]Ψ

(1)′−k1(0)

[μΨ

(2)k2

(0) + Ψ(2)−k2(0)

]−Ψ

(1)−k1(0)

[μΨ

(2)′k2

(0) + Ψ(2)′−k2(0)

] , (10)

де введено наступне позначення:

μ =Ψ

(2)′

−k2(0)Ψ(3)k1

(L)−Ψ(2)−k2(0)(d2)Ψ

(3)′

k1(L)

Ψ(2)k2

(0)Ψ(3)′k1

(L)−Ψ(2)′k2

(0)Ψ(3)k1

(L)e−2ik2L.

Коефiцiєнт вiдбивання, знайдений на основiформули (10), можна порiвняти з точним вира-зом та встановити критерiї використання набли-ження безмежного кристала для областi II гетеро-структури. Хвильовi функцiї Блоха кристалiв, щоутворюють реальнi гетероструктури, є невiдоми-ми. Тому, як правило, використовують наближен-ня огинаючих функцiй. У нашому випадку огина-юча матиме вигляд:

Φ(x) =

⎧⎨⎩Φ1(x) = eik1x + r e−ik1x, x < 0Φ2(x) = Aeik2x +B e−ik2x, 0 < x < LΦ3(x) = t eik1(x−L), x > L.

(11)Функцiї Φi(x) (i =1,2,3 ) – лiнiйнi комбiнацiї

плоских хвиль, якi є розв’язками рiвняння Шре-дiнгера для гамiльтонiанiв, що описують стани бi-ля країв зони E(i)

n у наближеннi ефективних мас:

H(i) = E(i)n − �

2

2mi

∂2

∂x2, i = 1, 2, 3. (12)

Граничнi умови для огинаючих часто ґрунту-ються на неперервностi Φ та 1

m∂ Φ∂ x [10-14,19-21].

Бiльш загальнi умови, що накладаються на оги-наючi, запропоновано Гарiсоном [5]:

β1 Φ1(0) = β2 Φ2(0),

β2 Φ2(L) = β1 Φ3(L),

α1∂ Φ1

∂x

∣∣∣∣x=0

= α2∂ Φ1

∂x

∣∣∣∣x=0

, (13)

α2∂ Φ2

∂x

∣∣∣∣x=L

= α1∂ Φ3

∂x

∣∣∣∣x=L

.

З неперервностi потоку ймовiрностi в набли-женнi ефективної маси можна отримати насту-пний зв’язок мiж параметрами:

α1 β1m1 = α2 β2m2. (14)

Використовуючи (13) та (14), можна визначитикоефiцiєнт вiдбивання для гетероструктури:

R =

ξ21ξ22

[m2

2k21ξ

22

m21k

22ξ

21− 1]2

sin2 k2L

4m2

2k21

m21k

22+

ξ21ξ22

[m2

2k21ξ

22

m21k

22ξ

21− 1]2

sin2 k2L

,β21

β22

=ξ1ξ2.

(15)На основi отриманих формул для хвильової

функцiї визначаємо загальнi енергетичнi характе-ристики гетеросистеми. Розглянемо модель гете-роструктури з квантовою ямою в областi II. Вцьому випадку повиннi iснувати зв’язанi стани ча-стинки. Енергiя цих станiв визначалась за допо-могою методу S-матрицi [22]. Використовуючи цейпiдхiд, загальний вигляд хвильової функцiї ча-стинки у першiй областi потрiбно записати у ви-глядi:

Ψ1(x) = A(Ψ(1)−k1(x) − S(E)Ψ

(1)k1

(x)). (16)

З умов зшивання функцiй можна визначитивираз для S(E)

S(E) = −r−1(E). (17)

Для знаходження дискретних значень енергiїчастинки в утворенiй гетероструктурi необхiднознайти полюси S-матрицi.

Конкретнi розрахунки. Аналiз одержаних ре-зультатiвЗ огляду на те, що останнiм часом гетеростру-

ктури типу GaAs/AlAs/GaAs та AlAs/GaAs/AlAsзнайшли широке використання в якостi систем, деекспериментально i теоретично дослiджується ту-нелювання електронiв та дiрок [1–4], використаєморозглядувану модель до дослiдження таких гете-росистем. Для цього необхiдно, знаючи вiдомi па-раметри: ефективнi маси, сталi гратки та розривзон, встановити параметри задачi: P1, P2, ξ1, ξ2.

З дисперсiйного рiвняння (4), можна визначи-ти екстремальнi значення енергiй при ki → 0.Якщо в гетеросистемi на межi подiлу не виникаєдодаткових полiв i потенцiальна енергiя електронане змiнюється (V += 0), то для обох типiв криста-лiв i=1,2) екстремальнi значення енергiї визнача-ються з таких рiвнянь:



tg

√m0d2i2�2

En = − Ui√m0d2i2�2 En

, n = 1, 3 , 5, ... ,

(18)

sin

√m0d2i2�2

En = 0, n = 2, 4 , 6, ... (19)

Рис.2. Коефiцiєнт вiдбивання електронiв для системи з трьох кристалiв GaAs/AlAs/GaAs (рис.2a) та AlAs/GaA/AlAs(рис.2b). U1 = −3.01, U2 = −4.79. Крива 1 – вiдповiдає випадку b = b1 + b2 = d2 (b1 = 0.1d2, b2 = 0.9d2). Крива 2 – для

випадку b = b1 + b2 = 2d2 (b1 = 0.1d2, b2 = 1.7d2)

Можна також визначити ефективнi маси для не-парних та парних енергетичних зон:

mn

m0= − 2�2Ui

m0d2i En

[1− 2Ui

m0d2i2�2 En + U2

i

],

n = 1, 3 , 5, ...,

mn

m0= − Ui

π2n2, n = 2, 4, 6, ....

(20)

З рiвняння (5) отримано закон дисперсiї длякристалiвGaAs таGaAs (d1 = 5.653 A,m = 0.066 –GaAs; d2 = 5.66 A,m = 0.124 – AlAs, V0 = 570meV– розрив мiж третiми зонами). При заданих значе-ннях сталих ґраток та ефективних масах частин-ки, близький до реального розрив зон реалiзуєтьсядля третiх енергетичних зон гетеросистеми, якщо

U1 =�2

m0P1d1= −3.01, U2 =

�2

m0P2d2= − 4.79.

Маючи необхiднi параметри, можна визначитикоефiцiєнт вiдбивання R чи пропускання T длягетеросистеми на основi кристалiв GaAs та AlAs.

Вiдбивання та пропускання електронiв в такихгетеросистемах суттєво залежить вiд ширини пе-рехiдного шару, тобто вiд величини b=b1+b2. Змi-на цiєї величини веде як до змiни локальних ма-ксимумiв функцiї R=R(k1), так i до зсуву цих ма-ксимумiв.

На рис.2 подано залежнiсть коефiцiєнта вiдби-вання електронiв в гетеросистемах GaAs та AlAs,обчисленого за формулами (8) та (11), вiд без-розмiрного хвильового вектора падаючого на яму

(бар’єр) електрона для рiзної ширини перехiдногошару.

Для гетеросистеми GaAs/AlAs/GaAs, на вiдмi-ну вiд системи AlAs/GaAs/AlAs, дана залежнiстьскладається з двох областей – пiдбар’єрного та на-дбар’єрного розсiювання (в областi k1d1/π < 0, 2пропускання електронiв практично не спостерiга-ється). Але загалом залежнiсть коефiцiєнта вiдби-вання R=R(k1) для рiзної ширини перехiдного ша-ру має однаковий характер для обох типiв гетеро-систем. При малих коефiцiєнт вiдбивання близь-кий до одиницi i зменшується при збiльшеннi хви-льового вектора. Для кожної структури чiтко ви-значеними є точки, при яких спостерiгається iде-альне пропускання, тобто R = 0. Отримано, щокiлькiсть максимумiв (а вiдповiдно i точок iдеаль-ного пропускання) є бiльшою для гетеросистемиGaAs/AlAs/GaAs, незважаючи на те, що промi-жок пропускання цiєї системи значно менший, нiждля AlAs/GaAs/AlAs. Величина вiдповiдних ма-ксимумiв є спiвмiрною для обидвох типiв криста-лiв. При k1d1

π = 1 коефiцiєнт вiдбивання досягаєсвого максимального значення (R=1).

Для обох типiв гетеросистем було проведе-но порiвняння результатiв R=R(k1), одержанихза допомогою точного та наближеного розв’язкiв.При великих значеннях розмiру другого криста-ла гетеросистеми L (L � 4 d2), отримано, що якi-сно обидвi формули дають близькi результати, алекраще збiгання результатiв обчислень спостерiга-ється для системи GaAs/AlAs/GaAs.



Рис.3. Коефiцiєнт вiдбивання електронiв для структури GaAs/AlAs/GaAs (рис.3a) та AlAs/GaAs/AlAs (рис.3b).Суцiльна лiнiя – точний розв’язок, штрихова лiнiя – метод ефективної маси, що уточнений умовами Гарiсона. Кривi 1

та 1′ – вiдповiдають L = 8d2 (45.224 A); кривi 2 та 2′ – для L = 2d2 (11.306 A)

Перейдемо до аналiзу коефiцiєнта вiдбивання,отриманого на основi наближення огинаючих таметоду ефективної маси, уточненого використан-ням граничних умов Гарiсона. Розглянемо особли-вий випадок поверхнi, коли комiрка, що мiститьатоми обох кристалiв, має розмiр b = 1/2(d1 + d2)(цей тип поверхнi вiдповiдає гетероструктурам зблизькими сталими ґратки). Для цього випадкуможна встановити точне значення пiдгоночних па-раметрiв ξi ≡ β2

i , i = 1, 2 через параметри кри-сталiв та енергiю електрона на днi зони:

ξ1,2 =U1,2

(qn d1,2)2m0

m1,2, qn =

√2m0En

�2.

З формули (20) видно, що для вищих зон, коли(qn d1,2 >> |U1,2|), величини ξi прямують до оди-ницi, i (15) переходить у формулу для коефi-цiєнта вiдбивання, яку можна отримати в на-ближенi огинаючих функцiй за умови, що Φ та1/m∂Φ

∂x – неперервнi на межах подiлу. Для моделейкристалiв гетеросистем GaAs та AlAs були отри-манi такi точнi значення: ξ1 = 0, 91, ξ2 = 0, 768,що дало можливiсть порiвняти результати, отри-манi за допомогою методу ефективної маси, з то-чним розв’язком.

На рис.3(а) подано коефiцiєнт вiдбиванняR=R(k1) для системи AlAs/GaAs/AlAs, обчисле-ний за допомогою точного розв’язку та за фор-мулою (15) – метод ефективної маси, уточненийграничними умовами Гарiсона, для рiзної ширинибар’єру. Видно, що в областi малих значень хви-льового вектора (k1 → 0), де є застосовним ме-тод ефективної маси, спостерiгається добре якiснезбiгання результатiв. При подальшому збiльшеннiхвильового вектора отримано зсув точок iдеально-

го пропускання електронiв (R = 0) до бiльших k1та незначну невiдповiднiсть величин максимумiв.

Проведенi для гетеросистемиGaAs/AlAs/GaAs(рис.3(б)) обчислення також показали непогануякiсну збiжнiсть результатiв, отриманих за допо-могою методу ефективної маси з граничними умо-вами Гарiсона та точного розв’язку. Для k1 → 0обидва методи дають майже однаковi результати.При подальшому збiльшеннi хвильового векторарозбiжнiсть стає бiльш суттєвою. Це можна по-яснити тим, що метод ефективної маси є засто-совним лише в областi малих значень хвильовоговектора. Зауважимо, що для цiєї гетерострукту-ри, на вiдмiну вiд структури AlAs/GaAs/AlAs, зiзбiльшенням значення хвильового вектора спосте-рiгається зсув точок iдеального пропускання еле-ктронiв (R = 0), отриманих методом ефективноїмаси, в бiк менших k1 та бiльш суттєва невiдпо-вiднiсть величин максимумiв. Однак потрiбно вiд-значити, що ця розбiжнiсть є значно меншою, нiжпри порiвняннi точного розв’язку та результатiв,що отриманi за допомогою методу ефективної ма-си для випадку ξ1,2 = 1.

З наведених графiкiв видно, що зi зменшеннямширини ями (бар’єру) середнє значення коефiцi-єнта пропускання електронiв збiльшується, що єочiкуваним з фiзичних мiркувань. Використовую-чи метод S-матрицi розсiяння, визначено енергiюзв’язаних станiв для гетероструктури з квантовоюямою (типу AlAs/GaAs/AlAs). Згiдно з вказанимметодом, енергiя станiв задається тими значення-ми енергiї, що є полюсами S-матрицi розсiяння.Поставлена задача – непроста з точки зору число-вих обчислень, оскiльки аналiтичний вираз дляS-матрицi (особливо для точного значення хвильо-вої функцiї у другiй областi) є складним, а крiм



того, значення функцiй ki = ki(E) (i=1,2) знахо-дились з трансцендентних рiвнянь для хвильовихвекторiв.

Рис.4. Залежнiсть E(b1) для гетероструктуриAlAs/GaAs/AlA: суцiльнi кривi – точний розв’язок,штриховi кривi – наближений розв’язок (третя зона,

L = 4d2)

Результати обчислень енергiї зв’язаного стануу квантовiй ямi, що утворена третiми зонами дляL = 4d2, подано на рис.4. Видно, що при фiксова-ному значеннi вiдстанi b2 = d2/2 енергiя залежитьвiд b1, а отже, вiд вiдстанi мiж сусiднiми атомамина межах середовищ. Збiльшення b1 веде до змен-шення енергiї стану, що можна пояснити ефектив-ним збiльшенням розмiру квантової ями. Крiм то-го видно, що з точного розв’язку (суцiльна кри-ва) отримуємо дещо меншi значення енергiї, нiж увипадку наближеного розв’язку (штриховi кривi),хоча рiзниця мiж енергiями є невеликою.

Залежнiсть енергiї зв’язаних станiв у другiй iтретiй зонах вiд розмiру квантової точки поданона рис.5. Третi зони характеризуються бiльшимрозривом на межах подiлу, нiж другi. Енергiя зв’я-заних станiв, що вiдрахована вiд дна чи стелi вiд-повiдних зон другої областi, є бiльшою для третьоїзони. Збiльшення розмiру КЯ веде до виникненнянових зв’язаних станiв та монотонного зменшен-ня енергiї частинки, що отримана як методом S-матрицi розсiяння (суцiльнi кривi), так i методомефективної маси (штриховi кривi). Внаслiдок того,що розрив третiх зон є бiльшим, нiж других, енер-гiя зв’язаних станiв частинки третiх зон кванто-вої ями та матрицi бiльша, нiж вiдповiдна енергiядля других зон. У межах квантової ями основнийстан (кривi 1,2,3,4) виникає при менших значен-нях L, нiж збуджений стан (кривi 1′, 2′, 3′, 4′), як

для третьої, так i для другої енергетичної зони.Порiвняння енергiй частинки, отриманих рiзнимиметодами, показує, що енергiї, одержанi методомS-матрицi розсiяння, є бiльшими, нiж вiдповiднiенергiї у рамках методу ефективної маси.

Рис.5. Залежнiсть Е = E(L) для гетероструктуриAlAs/GaAs/AlAs. Кривi 1,1′, 2, 2′ – отриманi методом

S-матрицi розсiяння, кривi 3, 3′, 4, 4′ – методомефективної маси: 1, 1′, 3, 3′ – E = E(L) для третьої зони,

2, 2′, 4, 4′ – E = E(L) для другої зони

Зокрема, для L = 6d3 рiзниця енергiй основно-го стану, отриманих рiзними методами, складає200 меВ для третiх та 90 меВ для других зон.

Таким чином, у роботi на основi моделiКронiга-Пеннi з δ-подiбними потенцiалами дослi-джено тришарову наногетероструктуру, в якiй бi-ля меж подiлу iснує перехiдний шар, вiдстаньмiж крайнiми атомами якого є параметром за-дачi i може змiнюватися вiд нуля до двох ста-лих ґраток кристалiв. Отримана точна форму-ла для коефiцiєнта вiдбивання, з якої можна ви-значити залежнiсть коефiцiєнта R вiд хвильово-го вектора, величини перехiдного шару та шири-ни квантової ями (бар’єру) гетероструктури. Кон-кретнi обчислення, проведенi для гетеросистем ти-пу GaAs/AlAs/GaAs та AlAs/GaAs/AlAs, показа-ли, що наближення огинаючих та методу ефектив-ної маси при малих значеннях хвильового векто-ра дають близькi значення коефiцiєнта вiдбиван-ня, якщо використати граничнi умови Гарiсона звiдповiдним чином пiдiбраними параметрами. Задопомогою методу S-матрицi розсiяння визначе-но енергiю зв’язаних станiв для гетероструктуриз квантовою ямою (типу AlAs/GaAs/AlAs). Отри-мано залежнiсть енергiї частинки вiд ширини пе-рехiдного шару та вiд розмiрiв другого середови-ща (ширини квантової ями).

Бiблiоґрафiя[1] Караваев Ф., Чернышов В.Н. Резонансное тунелирование Х- электронов в структурах (111). Псевдопотен-

циальный расчет и модель // ФТП. – 2001. – 35, № 1. – С. 105–109.



[2] Морозова Е.Н., Макаровский О.Н. и др. Резонансное тунелирование дырок в двобарьерных структурах сквантовыми точками в центре квантовой ямы // ФТП. – 2005. – 39, № 5. – С. 573–576.

[3] Вдовин Е.Е., ХанинЮ.Н. Анизотропия эффективной массы электронов в квантовой яме // ФТП. – 2005. –39, № 4 – С. 445–452.

[4] Вдовин E.Е., Ханин Ю.Н., Дубровский Ю.В. Резонансное тунелирование в однобарьерных гетерострукту-рах // ФТП. – 2004. – 38, № 4. – С. 436–447.

[5] Harrison W.A. Tunneling from an Independent-Particle Point of View // Phys. Rev. – 1961. – 123, № 1. –С. 85–89.

[6] Grinberrg A. and Luryi S. Electron transmission across an interface of different one-dimensional crystals //Phys. Rev. B. – 1989. – 39, № 11. – С. 7466–7475.

[7] Levi A.F.J and Chiu T.H. Quantum reflections and inelastic scattering of electrons in semiconductorheterostructures // Solid-State Electronics. – 1988. – 31, № 3–4. – С. 625–628.

[8] Trzeciakowski W. Effective-mass approximation in semiconductor heterostructures: One-dimensional analysis// Phys. Rev. B. – 1988. – 38, № 17. – С. 12493–12507.

[9] Ben Daniel D.J. and Duke C.B. Space-Charge Effects on Electron Tunneling // Phys. Rev. – 1966. – 152, № 2. –С. 683–692.

[10] Mohan P., Motohisa J., Fukyi T. Fabrication of InP/InAs/InP core-multishell heterostructure nanowires byselective area metalorganic vapor phase epitaxy // Appl.Phys.Lett. – 2006. – 88, № 13. – P. 133105(1)–133105(3).

[11] Noborisaka J., Motohisa J., Hara S., Fukyi T. Fabrication and characterization of freestanding GaAs/ AlGaAscore-shell nanowires and AlGaAs nanotubes by using selective-area metalorganic vapor phase epitaxy //Appl.Phys.Lett. – 2005. - 87, № 9. – P. 093109(1)–093109(3).

[12] Holovatsky V., Gutsul V., Makhanets O. Energy spectrum of electron in superlattice along the elliptic nanowi-re // Romanian journal of physics. – 2007. – 52, № 3–4. – P. 327–335.

[13] Ткач M., Маханець O., Зегря Г. Электроны, дырки и экситоны в сверхрешетке цилиндрических квантовыхточек с предельно слабой связью квазичастиц между слоями квантовых точек // ФТП. – 2002. – 36, № 5. –С. 543–549.

[14] Bastard G. Superlattice band structure in the envelope-function approximation // Phys. Rev. B. – 1981 – 24,№ 10. – P. 5693–5697.

[15] Zhu Q.-G. and Kroemer H. Interface connection rules for effective-mass wave functions at an abrupt heterojuncti-on between two different semiconductors // Phys. Rev. B. – 1983. – 27, № 6. – P. 3519–3527.

[16] Altarelli M. Electronic structure and semiconductor-semimetal transition in InAs-GaSb superlattices // Phys.Rev. B. – 1983. – 28, № 2. – P. 842–845.

[17] Vakarchuk I.О. Квантова механiка. – Львiв: ЛДУ iм. Iвана Франка, 1998. – 616 с.[18] VuKmirovic N., Indjin D., Jovanovic V.D., Ikonic Z. and Harrison P. Symmetry of Hamiltonian in pyramidd

quantum dots: Application to the calculation of electronic structure // arXiv: cond-mat/05.05607, 1, 1.[19] Бойчук В.И., Билынский И.В. Исследование интерфейсных поляронных состояний простой гетеростру-

ктуры полупроводников // ФТТ. – 1995. – 37, № 3. – С. 1016–1021.[20] Бойчук В.И., Кубай Р.Ю. Влияние промежуточного слоя с переменной от координаты диэлектрической

проницаемостью на энергию основного состояния электрона в сферической сложной наногетеросистеме //ФТТ. – 2001. – 43, № 2. – С. 226–232.

[21] Ткач Н.В., Фартушинский Р.Б. Влияние фононов на электронный спектр в полупроводниковых малора-змерных квантовых точках, помещенных в диэлектрическую среду // ФТТ. – 2003. – 45, № 7. – С. 1284–1291.

[22] Baz A.I., Zeldovych Ya.B., Perelomov А.М. Dispersion and Decays in Irrelativistic Mechanics. – Moscow:"Nauka 1971. – 544 p.


Вплив матрицi на енергетичний спектр водневоподiбної домiшки 9

УДК 538.958, 538.915

Вплив матрицi на енергетичний спектр водневоподiбної домiшкиБойчук В. I., Бiлинський I. В., Лешко Р.Я., Шевчук I. С.

[email protected]Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка, кафедра теоретичної фiзики,


У роботi на основi точного розв’язку рiвняння Пуассона для квантової точки iз позитивно зарядженим iономдонора у її центрi визначено потенцiальну енергiю взаємодiї iона домiшки з електроном з врахуванням рiзнихвiдомих значень дiелектричних проникностей InSb та InAs1−xSbx. Використовуючи знайдену потенцiальнуенергiю, точно розв’язано рiвняння Шредiнгера для водневоподiбної домiшки у цiй системi. Дослiджено впливрадiуса КТ та концентрацiї Sb у матрицi на спектр електрона.

Вступ

Останнiм часом проведено багато дослiдженьдомiшкових станiв у рiзних обмежених системах,зокрема у квантових точках (КТ). Значна части-на теоретичних робiт присвячена вивченню сфери-чних КТ у межах континуальної моделi, на основiякої отримують добре узгодження з експеримен-тальними даними. У роботах [1–5] проведено першiтеоретичнi дослiдження домiшкових станiв у КТ,отримано точнi розв’язки рiвняння Шредiнгера зкулонiвською потенцiальною взаємодiєю мiж ча-стинками. Ґрунтуючись на точних розв’язках, ви-значено також енергетичнi стани донора, розташо-ваного не в центрi сферичної КТ. Результати по-казали розщеплення та змiну порядку рiвнiв зале-жно вiд радiуса КТ, розташування донора i висотиквантової ями. Причиною розщеплення та змiнипорядку рiвнiв є порушення симетрiї системи таконкурування кулонiвської взаємодiї i просторово-го обмеження. Однак в цих роботах з метою спро-щення обчислень використовувалося наближення,що дiелектричнi проникностi середовищ однако-вi i дорiвнюють середньому значенню. Такий пiд-хiд має очевиднi недолiки. Особливо для гетеро-систем, в яких iснує велика вiдмiннiсть мiж дiеле-ктричними проникностями. У роботi [5] врахованорiзницю мiж значеннями дiелектричної проникно-стi.

Однак вибрана потенцiальна енергiя взаємодiїiона домiшки з електроном мiстить розрив на по-верхнi гетеросистеми. Врахування дiелектричнихпроникностей КТ i матрицi, а також поляризацiй-них зарядiв, що виникають на межах гетеросисте-ми, можуть значно змiнювати величину ефектив-ної потенцiальної ями [6]. У роботi [7] показано, щоврахування точного розв’язку рiвняння Пуассонаi Шредiнгера для водневоподiбної домiшки значнозмiнює спектр порiвняно з результатами [1–5]. Вi-домо також, що енергетичний спектр електронау КТ залежить вiд параметрiв матрицi. Параме-три кристала InAs1−xSbx можна варiювати, змi-нюючи концентрацiю Sb i As. Для глибшого тео-ретичного розумiння властивостей домiшок у КТважливо знати залежнiсть енергетичних спектрiвКТ вiд параметрiв матрицi.

Зважаючи на все, сказане вище, у запропоно-ванiй роботi на основi точного розв’язку рiвнянняПуассона для КТ з позитивно зарядженим iономдомiшки у її центрi визначено потенцiальну енер-гiю взаємодiї iона домiшки з електроном, врахову-ючи дiелектричнi властивостi КТ i матрицi. Вико-ристовуючи знайдену потенцiальну енергiю, точнорозв’язано рiвняння Шредiнгера для водневоподi-бної домiшки у цiй системi. Визначено вплив ра-дiуса КТ та параметрiв матрицi на енергетичнийспектр електрона.

Потенцiал позитивно зарядженої частинки уцентрi сферичної КТ

Розглядається сферична наногетеросистемарадiусом a, у центрi якої знаходиться позитивнийзаряд q. КТ має дiелектричну проникнiсть ε1 , аматриця – ε2.

Для того, щоб визначити потенцiал створенийзарядом q, необхiдно розв’язати рiвняння Пуассо-на у двох областях, яке внаслiдок сферичної симе-трiї задачi має вигляд:

d2

dr2Φ1 (r) +

2

r

d

drΦ1 (r) = −4πq

ε1δ (r) , r � a,

d2

dr2Φ2 (r) +

2

r

d

drΦ2 (r) = 0, r > a.

(1)

Вiдповiднi розв’язки цих рiвнянь запишуться так:

Φ1 (r) = A1 +A2

r, Φ2 (r) = B1 +

B2

r. (2)

Невiдомi коефiцiєнти визначено з умов рiвно-стi потенцiалу нулю на нескiнченностi, неперерв-ностi потенцiалу та нормальної складової вектораiндукцiї електричного поля на межах середовищ iтеореми Гауса:

A1 =q(ε1 − ε2)

ε1ε2a, A2 =

q

ε1,

B1 = 0, B2 =q

ε2, (3)

Визначивши всi невiдомi коефiцiєнти, знайденопотенцiал, який створює заряд q у центрi КТ.


10 Бойчук В. I., Бiлинський I. В., Лешко Р.Я., Шевчук I. С.

Водневоподiбна домiшка у центрi сферичноїКТНехай у центрi сферичної наногетерострукту-

ри InSb/InAs1−xSbx знаходиться позитивно заря-джений iон водневоподiбної домiшки (q = e). Па-раметри матрицi (дiелектрична проникнiсть, ефе-ктивна маса, робота виходу електрона) залежатьвiд концентрацiї Sb [8]:

ε (x) = 15.15 + 1.65x,

m∗ (x) = 0.023− 0.039x+ 0.03x2,

χ (x) = 4.9− 0.31x eV. (4)

У загальному випадку потенцiальна енергiя,що зумовлена розривом зон, набуде вигляду:

U (r, x) =

{−U0 (x) , r � a,

0, r > a,

U0 (x) = χ (x)− χ (1) � 0. (5)

Ефективнi маси та дiелектричнi проникностiгетероструктури визначаються з рiвностей:

m∗ (r, x) =

{m∗ (1) , r � a,

m (x) , r > a,(6)

ε (r, x) =

{ε (1) , r � a,

ε (x) , r > a.(7)

Потенцiальна енергiя взаємодiї електрона з iо-ном домiшки, що одержана на основi розв’язкурiвняння Пуассона (1), зобразиться формулою:

V (r, x) = −e2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1

ε (1) r+

ε (1)− ε (x)

ε (1) · ε (x) · a , r � a,

1

ε (x) · r , r > a.

(8)Якщо додати вирази (5) i (8), то одержимо пов-

ну потенцiальну енергiю електрона у КТ:

Π(r, x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−e2

ε (1) · r − U∗1 (a, x) , r � a,

−e2ε (x) · r , r > a,

(9)де введено ефективну потенцiальну яму:

U∗1 (a, x) =

e2

a

ε (1)− ε (x)

ε (1) · ε (x) + U0. (10)

З (10) видно, що ефективна потенцiальна ямазалежить вiд радiуса гетеросистеми та концентра-цiї миш’яку у матрицi. Оператор повної енергiї си-стеми запишеться так:

H = −�2

2∇ 1

m∗ (r, x)∇+Π(r, x) , (11)

Рiвняння Шредiнгера з гамiльтонiаном (11)розв’язується точно. Враховуючи сферичну симе-трiю задачi, хвильову функцiю, що є розв’язкомрiвняння Шредiнгера, можна подати у виглядi до-бутку радiальної та кутової складової:

ψ (r, θ, ϕ) = R (r) Y ml (θ, ϕ) , (12)

де Y ml (θ, ϕ) – сферичнi функцiї, l, m – орбiтальнета магнiтне квантовi числа. Тодi можна записатирадiальне рiвняння Шредiнгера для 2-х областей.

Область r � a. Радiальне рiвняння Шредiнге-ра має вигляд:{

− �2

2 ·m∗ (1)

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)+

�2l(l + 1)

2 ·m∗ (1) · r2+

− e2

ε (1) · r − U∗1 (a, x)− E

}R1 (r) = 0.

(13)У цiй областi можуть iснувати стани з енергi-

єю як меншою, так i бiльшою за −U∗1 (a, x). То-

му рiвняння (13) розглядається у цих двох дiапа-зонах енергiй. Нехай E < −U∗

1 (a, x). Якщоввести безрозмiрнi величини за формулами:ξ = α1ar, α2

1a = −8m∗ (1) (E + U∗1 (a, x)) /�2,

λ1 = 2m∗ (1) e2/(ε (1) �2α1a

), R1 (ξ) = ξ−1ρ1 (ξ) ,

то (13) зведеться до такого:

∂2ρ1 (ξ)

∂ξ2+

[−1

4+λ1ξ

− l (l + 1)

ξ2

]ρ1 (ξ) = 0. (14)

Рiвняння Вiттекера (14) має два лiнiйно неза-лежнi розв’язки. Якщо врахувати умову скiнчен-ностi хвильової функцiї у початку координат, торозв’язком рiвняння (14) буде функцiя:

ρ1 (ξ) = C1e− ξ

2 ξl+1M (l + 1− λ1, 2l + 2, ξ) , (15)

де M(a, b, x) – гiпергеометрична функцiя пер-шого роду [9]. Для iншої областi енер-гiй: −U∗

1 (a, x) < E < 0 зручно ввести позначе-ння ξ = α1br, α2

1b = 2m∗ (1) (E + U∗1 (a, x)) /�2,

β1 = −m∗ (1) e2/(ε (1)�2α1b

), R1 (ξ) = ξ−1ρ1 (ξ).

Тодi рiвняння (13) одержиться у виглядi:

∂2ρ1 (ξ)

∂ξ2+

[1− 2β1

ξ− l (l + 1)

ξ2

]ρ1 (ξ) = 0. (16)

Це рiвняння Кулона. Розв’язок такого рiвнян-ня, що задовольняє умови скiнченностi хвильовоїфункцiї, можна зобразити за допомогою гiпергео-метричної функцiї:

ρ1 (ξ) = C12le−

πβ12 |Γ (l + 1 + iβ1)|Γ (2l + 2)

×

×e−iξξl+1M (l + 1− iβ1, 2l+ 2, 2iξ) , (17)

де Γ(z) – гамма-функцiя Ейлера [9].


Вплив матрицi на енергетичний спектр водневоподiбної домiшки 11

Рис.1. Енергiя основного стану водневоподiбної домiшкидля рiзних значень концентрацiї сурми в матрицi

Область r > a. Радiальне рiвняння у цiй обла-стi записано так:{

− �2

2m∗ (x)

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)+

�2l(l+ 1)

2m∗ (x) r2+

− e2

ε (x) r− E

}R3 (r) = 0.

(18)

Визначаючи безрозмiрнi величини ξ = α2r,α22 = −8m∗ (x)E/�2, λ2 = 2m∗ (x) e2/

(ε (x) �2α2

),

R2 (ξ) = ξ−1ρ2 (ξ), рiвняння (18) можна перетво-рити у рiвняння Вiттекера:

∂2ρ2 (ξ)

∂ξ2+

[−1

4+λ2ξ

− l (l + 1)

ξ2

]ρ2 (ξ) = 0. (19)

Тодi розв’язок рiвняння (19) має вигляд [9]:

ρ3 (ξ) = C2e−

ξ2 ξ−l

Γ (−l− λ3)×

×∞∫0

dt e−ξt t−l−λ3−1(1 + t)−l+λ3−1. (20)

У випадку E > 0 енергетичний спектр стає не-перервним.

Хвильова функцiя та потiк густини ймовiрно-стi мають бути неперервними на межах гетеро-структури:

R1 (r)|r=a − R2 (r)|r=a = 0,

1

m∗ (1)d

drR1 (r)

∣∣∣∣r=a

− 1

m∗ (x)d

drR2 (r)

∣∣∣∣r=a

= 0,∫dr |ψ (r, θ, ϕ)|2 = 1.

(21)З цих умов, а також умови нормування, мо-

жна визначити власнi значення та власнi функцiїводневоподiбної домiшки у сферичнiй КТ.

Результати обчислень та їх аналiзРозрахунок дискретного енергетичного спе-

ктру для електрона (Enl) проведено за допомогоюЕОМ.

Рис.2. Залежнiсть енергiя основного стану домiшки вiдконцентрацiї сурми для рiзних радiусiв КТ

На рис.1 подано залежнiсть енергiї основногостану домiшки (E10) вiд радiуса КТ для рiзнихзначень концентрацiї Sb.

Збiльшення концентрацiї сурми в матрицi ве-де до того, що властивостi матрицi i КТ стаютьближчими (4). З рисунка видно, що для заданогорадiуса КТ збiльшення концентрацiї сурми змен-шує енергiю домiшки. Це зумовлено тим, що, яквидно з (5) i (7), зменшується величина розри-ву зон кристалiв i вiдмiннiсть мiж дiелектрични-ми проникностями. Отже, внаслiдок збiльшенняx, зменшується ефективна потенцiальна яма (10).Наведенi мiркування пiдтверджуються також за-лежнiстю енергiї основного стану вiд концентрацiїSb для фiксованого радiуса КТ (рис.2).

В областi малих x одержано лiнiйну залежнiстьE10 = E10 (x). Якщо ж x → 1, то властиво-стi матрицi i КТ збiгаються, а енергетичнi рiвнiдомiшки визначаються водневоподiбними енерге-тичними рiвнями домiшки у масивному кристалiInSb (E = 0.67 meV).

Крiм основного стану, визначено також енергiюзбуджених станiв. На рис.3 зображено залежностiенергетичних рiвнiв E10(крива 1), E11 (крива 2) iE20 (крива 3) вiд радiуса КТ для фiксованих зна-чень x.

З рисунка видно, що для великих радiусiв енер-гiя електрона прямує до вiдповiдних енергiї во-дневоподiбної домiшки, що зменшена на величинуефективної потенцiальної ями, яка для рiзних кон-центрацiї сурми є рiзною. Зменшення радiуса КТведе до того, що стани E11, E20, якi виродженi увiльному атомi водню, розщеплюються внаслiдокпониження симетрiї простору. Зменшення радiусаКТ збiльшує просторове обмеження i веде до зро-стання енергiї частинки у будь-якому станi. Длярадiусiв КТ, що меншi за ефективний борiвськийрадiус електрон з бiльшою ймовiрнiстю перебуваєзовнi КТ, тому подальше зменшення радiуса КТспричинює незначну змiну енергiї, яка прямує доводневоподiбної енергiї у масивному кристалi.


12 Бойчук В. I., Бiлинський I. В., Лешко Р.Я., Шевчук I. С.

Рис.3. Енергiя водневоподiбної домiшки для x = 0.2

(суцiльнi лiнiї), x = 0.6 (пунктирнi лiнiї)

ВисновкиОтже, у роботi, враховуючи залежнiсть пара-

метрiв матрицi гетероструктури вiд концентрацiїSb, одержано точний розв’язок рiвняння Пуассонадля позитивно зарядженого iона домiшки у цен-трi сферичної наногетероструктури, що дозволиловстановити залежнiсть повної потенцiальної енер-гiї електрона, ввiвши ефективну потенцiальну ямудля електрона у гетероструктурi. З визначеноюпотенцiальною енергiєю точно розв’язано рiвнян-ня Шредiнгера для дискретного спектру воднево-подiбної домiшки. Використовуючи ЕОМ визначе-но енергетичний спектр домiшки для рiзних радi-усiв КТ i концентрацiї сурми.

Бiблiоґрафiя[1] Zhu J.L. Exact solution of hydrogenic donor states in a spherically rectangular quantum well // Phys. Rev. B. –

1989. – 39, № 12. – P. 8780–8783.[2] Zhu J.L., Xiong J.J., Gu B.L. Confined electron and hydrogenic donor states in a spherical quantum dot of

GaAs−Ga1−xAlxAs // Phys. Rev. B. – 1990. – 41, № 9. – P. 6001–6007.[3] Zhu J.L., Chen X. Spectrum and binding energy of an off-center donor in a spherical quantum dot // Phys. Rev.

B. – 1994. – 50, № 7. P. 4497–4502.[4] Yang C.C., Liu L.C., and Chang S.H. Eigenstates and fine structure of a hydrogenic impurity in a spherical

quantum dot // Phys. Rev. B. – 1998. – 58, № 4. – P. 1954–1961.[5] Ткач М.В., Головацький В.А., Березовський Я.М. Спектр i хвильовi функцiї водневоподiбної домiшки,

розмiщеної в центрi квантової точки // Фiз. i хiм. тверд. тiла. – 2003. – 4, № 2. – P. 213–220.[6] Бойчук В.I., Кубай Р.Ю., Годованець Г.М., Шевчук I.С. Дослiдження впливу поляризацiї на енер-

гiю електрона, дiрки сферичної наногетеросистеми напiвпровiдникiв (на прикладi структур Si/SiO2,β −HgS/CdS) // ЖФД. – 10, № 3. – P. 220–226.

[7] Boichuk V.I., Bilynskyi I.V., Leshko R.Ya. Ground and exited states of D0 and D− donors in a spherical quantumdot // Ukr. J. Phys. – 2008. – 53, № 10. – P. 991–996.

[8] Новые полупроводниковые материалы: диагностика и свойства. Тематические базы данных. Физико-технический институт имени А.Ф. Иоффе (http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/index.html).

[9] Abramowitz M. and Stegun I.A. Handbook of mathematical function with formulas, graphs, and mathematicaltables. – Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 1964. – 1046 p.


Вплив нанорозмiрного масштабного фактора на баричний коефiцiєнт... 13

УДК 538.958, 538.971

Вплив нанорозмiрного масштабного фактора на баричний коефiцiєнтквантових точок

Пелещак Р.М., Данькiв О.О.

[email protected]Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка, кафедра загальної фiзики,


У рамках моделi деформацiйного потенцiалу розраховано баричний коефiцiєнт квантової точки сферичноїсиметрiї в залежностi вiд її розмiрiв та енергiї переходу в основний стан. Встановлено, що значення баричногокоефiцiєнта матерiалу квантової точки InAs радiусом ∼ 4 нм є меншим за вiдповiдне значення баричногокоефiцiєнта об’ємного матерiалу InAs на 19%.

Вступ

Вирощування, дослiдження наногетеросистемз напруженими квантовими точками (КТ) та ви-готовлення приладiв на їх основi на сьогоднi є про-вiдним напрямом у фiзицi низьковимiрних систем[1, 2]. Це пов’язано з унiкальними властивостямитаких структур, не характерними для масивнихкристалiв, що вiдкриває широкi можливостi їхньо-го практичного застосування (створення лазерiв ублизькiй iнфрачервонiй областi спектру, багатомо-дових лазерiв, квантових комп’ютерiв [2]) та дослi-дження нових фундаментальних фiзичних явищ.

Сучаснi технологiчнi методи дають змогу виро-щувати досконалi впорядкованi масиви квантовихточок складних форм. Однак подальший прогресфiзики квантових нульвимiрних наноструктур по-в’язаний не тiльки з розвитком технологiї отрима-ння, але й з вдосконаленням аналiтичних моделейгетеросистем з квантовими точками.

У бiльшостi теоретичних моделей [3, 4] при-ймається, що основнi фiзичнi характеристики на-нооб’єктiв (баричний коефiцiєнт, модуль Юнга,коефiцiєнт Пуассона, ефективнi маси носiїв за-ряду) збiгаються з вiдповiдними характеристика-ми, отриманими з макроскопiчних експериментiв.Однак коли описанi структури мiстять лише де-кiлька атомних шарiв, їхнi фiзичнi характеристи-ки помiтно вiдрiзняються вiд вiдповiдних характе-ристик об’ємних кристалiв [5]. Зокрема, спосте-рiгається невiдповiднiсть мiж значеннями бари-чного коефiцiєнта квантової точки InAs в гетеро-структурi InAs/GaAs i об’ємного кристалу InAs[6]. Як показують результати експериментальнихдослiджень, залежностi енергетичного зсуву лi-нiй люмiнесценцiї квантових точок InAs вiд ве-личини гiдростатичного тиску при рiзних енер-гiях переходiв в основний стан i залежностi ба-ричного коефiцiєнта матерiалу квантових точоквiд їх розмiрiв, значення баричного коефiцiєнтаквантових точок InAs вiдрiзняється вiд значеннябаричного коефiцiєнта масивного кристала InAs(K∞=12 меВ/кбар) на ∼ 30− 40% [6, 7].

Тому мета даної статтi – встановлення зако-номiрностi змiни баричного коефiцiєнта матерiалунапруженої квантової точки iз змiною її розмiрiв.

Модель гетеросистеми InAs/GaAs з напру-женими квантовими точками InAs сфери-чної симетрiї

Розглядається гетеросистема InAs/GaAs з на-пруженими квантовими точками (КТ) InAs сфе-ричної симетрiї. Модель цiєї гетеросистеми, по-будована iз врахуванням деформацiйних ефектiв,вiдображена на рис.1. Щоб звести задачу з вели-кою кiлькiстю КТ до задачi з однiєю КТ, енер-гiя попарної пружної взаємодiї КТ була замiненаенергiєю взаємодiї кожної КТ з усередненим по-лем пружної деформацiї σ(N − 1) всiх iнших КТу кристалiчнiй матрицi.

Рис.1. Сферична модель КТ

Процес формування КТ вiдповiдно до методумолекулярно-променевої епiтаксiї у гетеросистемiInAs/GaAs здiйснюється у два етапи. На першо-му вiдбувається рiст псевдоморфного напружено-го шару InAs. При досягненнi ним критичної тов-щини (1.5–1.7 моношару (МШ)) наступає другийетап – спонтанний розпад псевдоморфного шаруна систему кристалiчних острiвцiв (КТ) i змочую-чий шар InAs завтовшки ∼ 1 МШ. Такий розпадзумовлений релаксацiєю пружних напружень, щовиникають у гетероепiтаксiйнiй системi за неузго-


14 Пелещак Р.М., Данькiв О.О.

дження параметрiв ґраток, i рiзними коефiцiєнта-ми термiчного розширення пiдкладки GaAs та епi-таксiйного шару InAs та виграшем вiльної енергiїсистеми.

Оскiльки постiйна ґратки матерiалу InAs(a(1) = 0, 608 нм) бiльша, нiж матрицi GaAs(a(2) = 0, 565 нм), то при гетероепiтаксiйному на-рощуваннi у межах псевдоморфного росту InAsна шар GaAs, матерiал InAs зазнає деформацiїстиску, а GaAs – розтягу.

Таким чином, сферичну квантову точку радi-усом R0 можна представити пружним дилатацiй-ним мiкровключенням у виглядi пружної сфери(штрих-пунктирна лiнiя на рис.1), яку вставляютьу сферичну порожнину, що є у матрицi GaAs (пун-ктирна лiнiя на рис.1), об’єм якої менший за об’єммiкровключення на ΔV .

Щоб вставити таке сферичне мiкровключен-ня, необхiдно його стиснути i розтягнути матрицюGaAs в радiальних напрямах. Результат одноча-сної дiї цих деформацiй показаний суцiльною лiнi-єю на рис.1.

Потенцiальна енергiя електрона i дiрки у на-ногетеросистемi з напруженими сферични-ми квантовими точкамиЕлектронна структура квантової точки пред-

ставляє собою набiр дискретних рiвнiв розмiрногоквантування i в цьому змiстi подiбна до електрон-ної структури одиничного атома. Глибина i хара-ктер квантуючого потенцiалу визначаються про-фiлем дна зони провiдностi i вершини валентноїзони гетероструктури. Цей профiль розглядаєтьсяяк потенцiальна енергiя, яка визначає енергети-чний спектр i квантовi стани електрона (дiрки).

У випадку напружених КТ за наявностi в їхоколi полiв пружних неоднорiдних напружень гли-бина i форма квантуючого потенцiалу визначаю-ться не лише вiдмiннiстю у ширинi забороненихзон матерiалiв КТ i матрицi, а також характеромнеоднорiдної деформацiї матрицi i КТ. Зокрема,у гетеросистемi InAs/GaAs (001) з КТ InAs не-узгодження параметрiв кристалiчних граток ста-новить f = 7%. Оскiльки вiдмiннiсть параметрiвграток InAs i GaAs значна, напруження, що вини-кають у гетеросистемi з КТ iстотно впливають наструктуру дозволених зон та на їх розрив. Такимчином, енергетичнi змiщення зони провiдностi тавалентної зони пiд дiєю пружних деформацiй вiд-повiдно становлять:

ΔE(i)

c

(ε(i))= a

(i)

c ε(i)

; ΔE(i)

υ

(ε(i))= a

(i)

υ ε(i)

,

(1)де ε

(i)

= Spε(i)

– сума дiагональних складових тен-зора деформацiї; a(i)c , a

(i)υ – константи гiдростати-

чного деформацiйного потенцiалу зони провiдно-стi та валентної зони, вiдповiдно;

i =

{1 ≡ InAs2 ≡ GaAs

.

Для знаходження компонентiв тензора дефор-мацiї необхiдно знайти явний вигляд змiщень ато-мiв u(1)r , u(2)r у матерiалах InAs та GaAs, вiдповiд-но. З цiєю метою розв’язувалося рiвняння рiвно-ваги [8]

∇divu = 0 (2)

з такими граничними умовами для сферичної КТ:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4πR2

0

(u(2)r |r=R0

− u(1)r |r=R0

)= ΔV, ΔV = 4πR3

0f,

σ(1)rr |r=R0

= σ(2)rr |r=R0

+ PL, PL = 2αR0,

σ(2)rr |r=R1

= −P − σef (N − 1) , P >> σef (N − 1) ,

(3)де: R0 – радiус квантової точки, R1 – радiус ма-трицi, P – всестороннiй тиск, PL – Лапласiвськийтиск, α – поверхнева енергiя КТ [1].

Параметр f представлений сумою:

f = f1 + f2. (4)

Тут f1 =(α

(2)

T − α(1)

T

)· (Tk − T0) – складова пара-

метра невiдповiдностi, викликана рiзними термi-чними коефiцiєнтами матерiалу квантової точкиi матрицi: α

(1)

T = 4.52 · 10−6 1/град, α(2)

T = 5.73 ×10−6 1/град; f2 = (a

(1) − a(2)

)/a(1) ≈ 7% – складо-

ва параметра невiдповiдностi, викликана неузго-дженням постiйних кристалiчних граток a

(1)

i a(2)

матерiалiв квантової точки i матрицi, вiдповiдно.ВеличинаΔV в лiвiй частинi першого рiвняння

системи (3) дорiвнює геометричнiй рiзницi об’ємiвмiкровключення та порожнини в матрицi GaAs,зображених на рис.1.

Унаслiдок симетрiї поле перемiщень, яке ви-значається розв’язком рiвняння (2), мiстить тiль-ки радiальну компоненту як у серединi КТ:

u(1)

r = C1r +C2

r2 , 0 � R � R0, (5)

так i зовнi – в середовищi матрицi GaAs:

u(2)

r = C3r +C4

r2 , R0 � R � R1. (6)

Оскiльки в т. r = 0 змiщення повинно бутискiнченним, то в розв’язку (5) покладемо C2 = 0.

Поле змiщень визначає такi компоненти тензо-ра деформацiї:

ε(1)

rr = C1, ε(1)

ϕϕ= ε

(1)

ΘΘ= C1; (7)

ε(2)

rr = C3 − 2C4

r3 , ε(2)

ϕϕ= ε

(2)

θθ= C3 +

C4

r3 . (8)

Механiчне напруження у матерiалах InAs таGaAs, вiдповiдно:

σ(i)

rr =Ei

(1 + νi) (1− 2νi)

[(1 + νi) ε

(i)

rr + νi

(ε(i)

ϕϕ + ε(i)

θθ

)],

(9)



де νi, Ei – коефiцiєнт Пуассона та модуль Юнгав середовищi КТ та в оточуючiй матрицi, вiдпо-вiдно, якi вiдомим чином [8] виражаються черезпружнi сталi C11 та C12 цих матерiалiв.

Коефiцiєнти C1, C3, C4 знаходимо зрозв’язку системи (3), враховуючи (5)–(9).

Таким чином, маючи компоненти тензора де-формацiї, якi залежать вiд радiуса R0 КТ, її фор-ми i всестороннього тиску P , можна знайти потен-цiальну енергiю електронiв та дiрок у напруженiйгетероструктурi з КТ:

Ue =

{−(|ΔVc (0) | − |a(1)

c · ε(1) | − |a(2)

c · ε(2) |),

0,

0 � r � R0,R0 � r � R1,

(10)

Uh =

{−(|ΔVh (0) | − |a(1)

υ · ε(1) | − |a(2)

υ · ε(2) |),

0,

0 � r � R0,R0 � r � R1.

(11)

Тут ΔVc(0), ΔVh(0) – глибина потенцiальних ямдля електрона i дiрки в ненапруженiй КТ.

Графiчно геометрiя гетеросистеми InAs/GaAsз квантовими точками InAs та координатна за-лежнiсть потенцiальної енергiї електрона i дiркибез врахування (штрихова лiнiя) та з врахуван-ням впливу (суцiльна лiнiя) всебiчної деформацiїпоказанi на рис.2. Пунктиром зображенi енергети-чнi рiвнi E(1)

e,h основного стану електрона i дiрки впотенцiальних ямах Ue i Uh.

Рис.2. Координатна залежнiсть потенцiальної енергiїелектрона i дiрки

в гетеросистемi InAs/GaAs з квантовими точками InAs

Енергiя переходу в основний стан визначаєтьсятаким чином:

E(1)0 = E(1)

e + E(1)h + E(1)

g , (12)

де E(1)g – ширина забороненої зони матерiалу КТ

InAs.

Розрахунок баричного коефiцiєнта кванто-вих точок InAs у гетеросистемi InAs/GaAsБаричний коефiцiєнт K КТ InAs у гетероси-

стемi InAs/GaAs визначається сумою трьох скла-дових:

K =∂E

(1)

0

∂P=∂E

(1)

e

∂P+∂E

(1)

h

∂P+∂E

(1)

g

∂P=

=∂ε

(1)

∂P· 1

∂ε(1)

∂R0

·[∂E

(1)

e

∂R0+∂E

(1)

h

∂R0+∂E

(1)

g

∂R0

]; (13)

– складовою баричного коефiцiєнта, зумовленоюзсувом електронного рiвня пiд дiєю гiдростатично-го тиску;– складовою баричного коефiцiєнта, зумовленоюзсувом дiркового рiвня пiд дiєю гiдростатичноготиску;– баричним коефiцiєнтом ширини забороненої зо-ни.

Для знаходження енергетичного спектру еле-ктрона i дiрки в гетеросистемi InAs/GaAs з кван-товими точками InAs було розв’язане рiвнянняШредiнгера

He,hΨe,h (r) = Ee,hΨe,h (r) (14)з гамiльтонiаном:

He,h = −�2

2∇ 1

m∗e,h (r)

∇+ Ue,h (r, R0, P ) . (15)

Ефективнi маси електрона m∗1,2e (дiрки m

∗1,2h)

в КТ i в оточуючiй матрицi вважалися вiдомими iрiвними тим значенням, якими вони характеризу-ються у вiдповiдних масивних кристалах.

Оскiльки розрахунок енергетичних рiвнiв еле-ктрона i дiрки проводиться у наближеннi ефе-ктивних мас, то геометричнi розмiри квантовоїточки та областi простору мiж двома сусiднiми



КТ повиннi значно перевищувати величину по-стiйних ґраток матерiалiв КТ i матрицi, тобтоR0 > > a(1), a(2).

Розв’язок рiвняння Шредiнгера (14) в сфери-чнiй системi координат шукаємо у виглядi:

Ψnlm (r, θ, ϕ) = Rnl (r) · Ylm (θ, ϕ) . (16)

Тут Ylm (θ, ϕ) – сферичнi функцiї Лежандра.Радiальнi функцiї Rnl(r) виражаються через

сферичнi функцiї Бесселя:

R1nl(r) = A · jl (ke,hr) +B · nl (ke,hr) ,

0 � r � R0,(17)

R2nl(r) = C · h(1)

l (iχe,hr) +D · h(2)

l (iχe,hr) , (18)R0 � r � R1,

де:

k2

e,h =2m∗

1e,h

�2

(|Ue,h| − |Ee,h

nl |), (19)

χ2

e,h =2m∗

2e,h

�2|Ee,h

nl |, (20)

а потенцiальна енергiя електрона i дiрки Ue,h ви-значається формулами (10), (11).

Умови неперервностi хвильових функцiй i гу-стини потоку ймовiрностi на границi КТ–матриця

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩R1(r)|r=R0

= R2(r)|r=R0,

1

m∗1e,h

dR1(r)

dr

∣∣∣∣∣r=R0

=1

m∗2e,h

dR2(r)

dr

∣∣∣∣∣r=R0

(21)спiльно з умовою регулярностi функцiй Rnl(r) приr → 0 i r → R1 та умовою нормування визначаютьспектр Enl i хвильовi функцiї електрона та дiркив гетеросистемi InAs/GaAs з квантовими точкамиInAs.

Таким чином, енергiї основного стану електро-на та дiрки в КТ є коренями вiдповiдних транс-цендентних рiвнянь:

m∗2e,h

m∗1e,h

[1− ke,hR0 · ctg (ke,hR0)] =

=1 + χe,hR0 + e2χe,h(R0−R1) · (χe,hR0 − 1)

1− e2χe,h(R0−R1), (22)

m = 1, 3, 5, ...

Маючи (22), можна розрахувати за формулою(13) баричний коефiцiєнт квантових точок зале-жно вiд їх розмiрiв, враховуючи що:

∂Ee∂R0

= −∂f∂R0

∂f∂Ee

,∂Eh∂R0

= −∂ϕ∂R0

∂ϕ∂Eh

,

де

f = ke·tg(keR0 − n

π

2

)−χe · m

∗1e

m∗2e

· (1 + e2χe(R0−R1))

1− e2χe(R0−R1),

ϕ = kh·tg(khR0 − n

π

2

)−χh · m

∗1h

m∗2h

· (1 + e2χh(R0−R1))

1− e2χh(R0−R1).

Числовi розрахунки та обговорення резуль-татiвЧисловий розрахунок баричного коефiцiєнта

як функцiї розмiрiв КТ був проведений для нано-гетеросистеми InAs/GaAs з КТ InAs, параметриякої наступнi [9, 10]:

a(1) = 0.608 нм, a(2) = 0.565 нм,

C(1)11 = 0.833 Мбар, C(2)

11 = 1.223 Мбар,

C(1)12 = 0.453 Мбар, C(2)

12 = 0.571 Мбар,

a(1)c = −5.08 еВ, a(2)c = −7.17 еВ,

a(1)υ = 1 еВ, a(2)υ = 1.16 еВ,

E(1)g = 0.36 еВ, E(2)

g = 1.452 еВ,

m∗(1)e /m0 = 0.057,m∗(2)

e /m0 = 0.065,

m∗(1)h /m0 = 0.41,m

∗(2)h /m0 = 0.45, α(1) = 0.657Н/м.

За формулами попереднього параграфа буврозрахований енергетичний зсув лiнiй люмiне-сценцiї КТ InAs/GaAs пiд впливом зовнiшньогогiдростатичного тиску P . Результати розрахункiвзображенi графiчно на рис.3 (залежностi 1 та 2).

Рис.3. Залежнiсть енергетичного зсуву лiнiйлюмiнесценцiї КТ InAs

вiд величини гiдростатичного тиску Pпри рiзних значеннях енергiї рекомбiнацiйного переходу E:

1, 1’ – 1,13 еВ (для R0=4.2 нм); 2, 2’ – 1,15 еВ (дляR0=3.9 нм)



Як бачимо з рис.3, збiльшення гiдростатичноготиску в iнтервалi 0÷15 кбар призводить до зроста-ння дослiджуваного зсуву, що зумовлено збiльше-нням енергетичної ширини оптичних переходiв уКТ при пiдвищеннi зовнiшнього тиску. Збiльшен-ня розмiрiв КТ якiсно не змiнює характер отри-маної залежностi, однак змiщує зсув лiнiй люмi-несценцiї КТ InAs в бiк менших енергiй. Зокре-ма, пiд дiєю зовнiшнього гiдростатичного тискуP = 5 кбар збiльшення радiуса R0 КТ вiд 3.9 нмдо 4.2 нм спричинює зменшення величини зсувуна ∼ 1 меВ. Як бачимо з рис.3, отриманi теорети-чнi результати (залежностi 1 та 2) узгоджуються зекспериментальними даними (залежностi 1’ та 2’)[7].

У рамках описаної вище моделi за допомогоюпобудованих на рис.3 залежностей, а також фор-мули (13) попереднього параграфа був розрахова-ний баричний коефiцiєнт КТ InAs в напруженiйгетеросистемi InAs/GaAs з КТ InAs. Величинабаричного коефiцiєнта для сферичної КТ радiусомR0 = 4.5 нм становить 9.45 мeB/кбар (радiус ото-чуючої матрицi R1 = 50 нм). Тобто значення бари-чного коефiцiєнта КТ InAs менше вiд баричногокоефiцiєнта об’ємного кристалу InAs на 21%.

На рис.4 i рис.5 показанi залежностi баричногокоефiцiєнта КТ InAs вiд енергiї переходу в основ-ний стан та вiд її розмiрiв. Як бачимо, збiльшен-ня енергiї основного оптичного переходу призво-дить до лiнiйного зростання величини баричногокоефiцiєнта K матерiалу КТ. Такий характер змi-ни баричного коефiцiєнта можна пояснити рiзни-ми характерами змiни його складових: складова,викликана зсувом електронного i дiркового рiвнiвпiд дiєю гiдростатичного тиску, спадає сильнiшепри збiльшеннi радiуса КТ, нiж зростає баричнийкоефiцiєнт ширини забороненої зони.

Зростання радiуса КТ (рис.5) викликає проти-лежний ефект: баричний коефiцiєнт спадає. Це по-в’язано з тим, що збiльшення радiуса КТ призво-дить до поглиблення потенцiальних ям електронiвi дiрок в КТ та, вiдповiдно, до пониження їхнiхенергетичних рiвнiв. Вiдповiдно, зменшується ши-рина забороненої зони матерiалу КТ та звужує-ться її оптична щiлина.

Проаналiзувавши отриманi результати кiль-кiсно, слiд зазначити, що зi зменшенням енер-гiї переходу в основний стан вiд 1.15 еВ до1.13 еВ, що вiдповiдає збiльшенню розмiру R0 КТ

на 0.3 нм, баричний коефiцiєнт зменшується на0.1 меВ/кбар.

Як бачимо з рис.4, результати експерименталь-них дослiджень [7] якiсно узгоджуються з теоре-тичними. Деяку невiдповiднiсть мiж значеннямибаричного коефiцiєнта матерiалу КТ, отриманимитеоретично й експериментально, можна пояснититим, що теоретично дослiджувалися тiльки сфе-ричнi КТ та не враховувалася дисперсiя розмiрiвi форми КТ.

Рис.4. Залежнiсть баричного коефiцiєнта КТ InAs/GaAsвiд енергiї основного оптичного переходу:

1 – результати теоретичних розрахункiв, 2 –експериментальнi данi [7]

Рис.5. Залежнiсть баричного коефiцiєнта КТ InAs/GaAsвiд її розмiру

Бiблiоґрафiя[1] Moll N., Scheffler M. Influence of surface stress on the equilibrium shape of strained quantum dots // Physical

Review B. – 1998. – 58, № 8. – P.4566-4571.[2] Леденцов Н.Н., Устинов В.М. Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры.

Обзор // ФТП. – 1998. – 32, № 4. – C. 385–410.[3] Евтихиев В.П., Константинов О.В., Матвеенцев А.В., Романов А.Е. Излучение света полупроводниковой

структурой с квантовой ямой и массивом квантовых точек // ФТП. – 2002. – 36, № 1. – C. 79–85.



[4] Andreev A.D., Downes J.R., Faux D.A., and O’Reilly E.P. Distributions in quantum dots of arbitrary shape //J. Appl. Phys. – 1999. – 86, № 1. – P. 297–305.

[5] Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // ФТТ. – 2002. –44, № 12. – С. 2158–2163.

[6] Itskevich I.E., Henini M., Carmona H.A., Eaves L., Main P.C. Photoluminescence spectroscopy of self-assembledInAs quantum dots in strong magnetic field and under high pressure // Appl. Phys. Let. – 1997. – 70, № 4. –P. 505–507.

[7] Gaisin V.A., Thach D.C., Kulinkin B.S., Novikov B.V. Photoluminescence of InAs/GaAs quantum dots underhydrostatic pressure // Proc. 8-th Intern. Simp. "Nanostructures: Physics and technology 2000". – St.Petersburg(Russia). – 2000. – P.406–408.

[8] Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 352 с.[9] Qteish A. and Needs R.J. Improved model-solid-theory calculations for valence-band offsets at semiconductor-

semiconductor interfaces // Phys. Rev. B. – 1992. – 45, № 3. – P. 1317–1326.[10] Chris G. Van de Walle Band lineups and deformation potentials in the model-solid theory // Phys. Rev. B. –

1989. – 39, № 3. – P. 1871–1883.


Формування n− n+ переходiв у напружених гетеросистемах... 19

УДК 539.37, 537.222.22

Формування n− n+ переходiв у напружених гетеросистемах iзсамоорганiзованими нанокластерамиПелещак Р.М., Кузик О.В., Галь Ю.M.



Розвинуто теорiю формування n − n+ переходiв у тришарових гетеросистемах iз самоорганiзованимидефектно-деформацiйними структурами. Дослiджено просторовий перерозподiл електронiв провiдностi в ге-тероструктурi GaAs/InAs/GaAs, що мiстить точковi дефекти (мiжвузловi атоми, вакансiї) з врахуваннямелектрон-деформацiйної взаємодiї.

Вступ

Останнiм часом широке використання у мiкро-електронних приладах знайшли гетероструктуриGaAs/InAs/GaAs, ZnTe/CdTe/ZnTe з напруже-ними квантовими ямами, якi працюють в умо-вах iнтенсивного опромiнення швидкими частин-ками (нейтронами, α-частинками, осколками дiле-ння ядер), γ-квантами, а також лазерного опромi-нення. У результатi, в таких структурах утворю-ється значна кiлькiсть точкових дефектiв. У цихумовах важливу роль у просторовому перерозпо-дiлi точкових дефектiв вiдiграє їхня нелiнiйна вза-ємодiя з пружним середовищем напруженої гете-роструктури. Самоорганiзацiя iндукованих дефе-ктiв, якi взаємодiють один з одним через поле де-формацiї пружного континууму, дослiджуваласяранiше в iзотропних твердих тiлах [1-3] та гетеро-системах [4].

Наявнiсть у гетероструктурi неоднорiдної де-формацiї, створеної як за рахунок неузгодженняпараметрiв ґраток контактуючих матерiалiв, так iсамоорганiзованих точкових дефектiв, призводитьдо просторового перерозподiлу електронiв провiд-ностi та виникнення електростатичного потенцiа-лу в околi деформацiйно-дефектних структур вна-слiдок самоузгодженого електрон-деформацiйногозв’язку. В данiй роботi дослiджено роль електрон-деформацiйної взаємодiї у формуваннi n− n+ пе-реходiв у напружених тришарових гетерострукту-рах GaAs/InAs/GaAs, що мiстять уже сформова-нi самоорганiзованi дефектно-деформацiйнi стру-ктури.

Модель

Розглянемо напруженi тришаровi гетеросисте-ми GaAs/InAs/GaAs, ZnTe/CdTe/ZnTe з вну-трiшнiми шарами InAs, CdTe завтовшки 2a(рис.1).

Механiчна деформацiя, яка виникає за раху-нок неузгодження параметрiв ґраток контакту-ючих матерiалiв гетеросистеми при незначномуградiєнтi деформацiї, моделюється параболiчноюфункцiєю [5] (рис.1), де ε0 – деформацiя на ге-

теромежах за рахунок невiдповiдностi параметрiвґраток контактуючих матерiалiв.

У тришаровiй гетероструктурi iз самоорганiзо-ваними дефектно-деформацiйними (ДД) структу-рами виникає неоднорiдна деформацiя U(x), ство-рена як за рахунок просторового перерозподiлуточкових дефектiв, так i неузгодженням параме-трiв ґраток контактуючих матерiалiв. Це призво-дить до деформацiї зони провiдностi, i, вiдповiдно,до змiни концентрацiї носiїв струму та виникненняелектростатичного потенцiалу.

Рис.1. Модель гетероструктур GaAs/InAs/GaAs,ZnTe/CdTe/ZnTe з напруженими шарами InAs, CdTe

Для знаходження змiни концентрацiї електро-нiв провiдностiΔn(x) та електростатичного потен-цiалу ϕ(x) розв’язувалася самоузгоджена системарiвнянь:

1) рiвняння, яке визначає концентрацiю еле-ктронiв n(x)

n (x) =∑n

Ψ∗n (x)Ψn (x)

exp(β0

(λn − μ

))+ 1

, (1)

де λn = λn − λ0, β0 = 1kT , μ – хiмiчний потенцiал;

2) рiвняння Пуассона, з якого визначаєтьсяелектростатичний потенцiал ϕ(x)

∇2ϕ (x) =e

εε0Δn (x) , (2)

де ε – дiелектрична проникнiсть, ε0 – електричнастала;

3) рiвняння для знаходження хiмiчного потен-цiалу


20 Пелещак Р.М., Кузик О.В., Галь Ю.M.

Ω0

V

∫V

n(x)dV = n, 0 � n � 2, (3)

де n = n0Ω0 – задана середня кiлькiсть електронiвна одному вузлi, n0 – середня концентрацiя еле-ктронiв, Ω0 – об’єм елементарної комiрки;

4) стацiонарне рiвняння Шредiнгера

[∇2

x −W

α∗ +e

α∗ϕ (x)

]Ψn (x) = (4)

= − 1

α∗ (λn − λ0)Ψn (x) ,

де α∗ = �2/(2m∗), λ0 – енергiя дна зони про-вiдностi в недеформованiй кристалiчнiй матри-цi, λn – власнi значення оператора Шредiнгера,потенцiальна енергiя для електронiв провiдностiу тришаровiй гетеросистемi з самоорганiзованимиДД-структурами описується спiввiдношенням:

W (i)(x) =

{S(i)U (i)(x), i = 1, 3,

ΔEc + S(i)U (i)(x), i = 2,(5)

де i = 1, 3 вiдповiдає шарам GaAs (ZnTe),i = 2 – внутрiшнi шари InAs (CdTe); S(i) – кон-станта гiдростатичного деформацiйного потенцiа-лу зони провiдностi i-го матерiалу; ΔEc – розривзон провiдностi контактуючих матерiалiв гетеро-системи.

Вiдлiк енергiї проводиться вiд дна зони про-вiдностi недеформованого матерiалу широкозон-ного напiвпровiдника (GaAs, ZnTe). Потенцiаль-на енергiя електрона в квантовiй ямi складаєтьсяз двох доданкiв: 1) розриву зон провiдностi ΔEcконтактуючих матерiалiв гетеросистеми; 2) зсувудна зони провiдностi пiд дiєю як механiчної дефор-мацiї, спричиненої наявнiстю точкових дефектiв iнеузгодженням параметрiв ґраток, так i електрон-ної складової деформацiї, що виникає за рахунокпросторового перерозподiлу електронiв провiдно-стi Δn(i)(x) внаслiдок самоузгодженого електрон-деформацiйного зв’язку [6].

Змiна концентрацiї електронiв провiдностiΔn(i)(x) визначається у лiнiйному наближеннiспiввiдношенням [6]

Δn(i)(x) = R(i)S(eϕ(i)(x)−W (i)(x)), (6)

де RS – величина, яка залежить вiд ступеня за-повнення електронами зони провiдностi, пружнихсталих та константи деформацiйного потенцiалузони провiдностi.

Iз врахуванням (6) рiвняння Пуассона (2) в ко-жному шарi гетероструктури набуває вигляду:

Δϕ(i)(x)− g(i)2s ϕ(i)(x) = −S(i)g

(i)2s

eU (i)(x), (7)

i = 1, 3,

Δϕ(i)(x)− g(i)2s ϕ(i)(x) = (8)

= −S(i)g

(i)2s

eU (i)(x) − ΔEcg

(i)2s

e, i = 2,

де g(i)2S = e2R(i)S/(ε(i)ε0).

Розв’язки рiвнянь (7), (8) повиннi задовольня-ти наступним граничним умовам:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ϕ(1)(−a) = ϕ(2)(−a);

ε1dϕ(1)(−a)

dx= ε2

dϕ(2)

(−a)dx

;

ϕ(3)(a) = ϕ(2)(a);

ε3dϕ(3)(a)

dx= ε2

dϕ(2)

(a)

dx;

ϕ(1) |x→−∞ =dϕ(1)

dx|x→−∞ = 0;

ϕ(3) |x→∞ =dϕ(3)

dx|x→∞ = 0.

(9)

Розв’язки рiвнянь Пуассона (7), (8) мають ви-гляд:

ϕ(i) (x) = C(i)1eg

(i)

Sx + C

(i)2 e−g

(i)

Sx+

−{

S(i)g(i)s

2e eg(i)

Sx ∫ U (i) (x) · e−g(i)S

xdxS(i)g(i)s

2e eg(i)

Sx ∫ (U (i) (x) + ΔEc

S(i) ) · e−g(i)

Sxdx

+

+

{S(i)g(i)s

2e e−g(i)

Sx ∫ U (i) (x) · eg(i)S

xdx, i = 1, 3,S(i)g(i)s

2e e−g(i)

Sx ∫ (U (i) (x) + ΔEc

S(i) ) · eg(i)

Sxdx, i = 2,

(10)де константи шукаємо з граничних умов (9).

Для знаходження параметра U (i)(x) розв’язу-валося нелiнiйне диференцiйне рiвняння для де-формацiї iз врахуванням електрон-деформацiйноївзаємодiї [4]. Розв’язок системи рiвнянь для еле-ктростатичного потенцiалу та деформацiї криста-лiчної ґратки проводився числовими методами iззаданою точнiстю для потенцiалу 10−6 B та длядеформацiї 10−5. У першому наближеннi параметрдеформацiї U (i)(x) матерiалу гетеросистеми зна-ходився без врахування електрон-деформацiйноївзаємодiї i для середньої концентрацiї дефектiв здiапазонуNdc2<Nd0<Ndc описується формулою [4](симетричний кластер)

U (i) (x) =θ(i)d

K(i)Nd0 + signθ

(i)

d

A(i)

B(i) + ch(√a(i)x)

+

+

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, i = 1, 3,

C1(Nd0)e−√a(2)x+

+C2(Nd0)e√a(2)x +

ε0x2

a2

1− Nd0

N(2)dc

+ b1x+ b0, i = 2,


Формування n− n+ переходiв у напружених гетеросистемах... 21

Рис.2. Просторовий розподiл електронiв угетероструктурi GaAs/InAs/GaAs з точковими

дефектами (θd > 0) при рiзних значеннях їх середньоїконцентрацiї: 1 – n0 = 2 · 1018 см−3; 2 – n0 = 5 · 1018 см−3;

Nd0/Ndc = 0.59; a = 18 нм

де A(i), B(i), a(i) – константи, якi залежатьвiд середньої концентрацiї дефектiв Nd0; Ndc,Ndc2 – деякi критичнi значення концентрацiї дефе-ктiв(Ndc = 1020cm−3, Ndc2 = 1019cm−3

); θ(i)

d– де-

формацiйний потенцiал; K(i) – модуль всесторон-нього стиску.

Пiдставивши (10) в (6), отримаємо формулудля визначення просторового перерозподiлу носiївструму в тришаровiй напруженiй гетеросистемi зточковими дефектами (мiжвузловими атомами тавакансiями).

Таким чином, у гетеросистемах з дефектно-деформацiйними структурами виникають n −n+ переходи за рахунок як рiзних електронниххарактеристик контактуючих напiвпровiдниковихматерiалiв, так i самоузгодженої взаємодiї еле-ктронної пiдсистеми з пружно-деформованим се-редовищем гетероструктури.

Результати розрахункiв та їх обговорення

Числовий розрахунок концентрацiйного профi-лю електронiв вздовж осi гетероструктури прово-дився для кристалiчної системи GaAs/InAs/GaAsдля рiзних значень середньої концентрацiї то-чкових дефектiв при наступних значеннях па-раметрiв: α∗ = 1.646 еВ·нм2, S(1) = −7.17 еВ,S(2) = −5.08 еВ, ε(1) = 12, ε(2) = 12.8, Ω0 =0.18 нм3, K(1) = 490 eB/нм3, K(2) = 540 eB/нм3,ε0 = −0.07, θ(i)

d= 10 eB, Ndc = 1020 см−3, ΔEc =

−0.83 eB, B(i) = 1.4, A(i) = 0.24.На рис.2 показано координатну залежнiсть змi-

ни концентрацiї електронiв Δn(x)/n0 вiдносно їхпросторово однорiдного розподiлу в напруженiйтришаровiй гетероструктурi GaAs/InAs/GaAs зконцентрацiєю дефектiв виду центру розтягу

Рис.3. Просторовий розподiл електронiв вгетероструктурi GaAs/InAs/GaAs з точковими

дефектами (θd < 0) при рiзних значеннях їх середньоїконцентрацiї: 1 – n0 = 2 · 1018 см−3; 2 – n0 = 5 · 1018 см−3;

Nd0/Ndc = 0.59; a = 18 нм

при рiзних значеннях середньої концентрацiїосновних носiїв струму n0.

Як показують результати числових розрахун-кiв (рис.2), електрони локалiзуються в основномув центрi квантової ями гетероструктури, де їх кон-центрацiя вiдповiдно зростає в 7 та 5 разiв приn0 = 2 · 1018 см−3 та n0 = 5 · 1018 см−3 порiвняноз просторово однорiдним значенням. Крiм цього,спостерiгаються ще два концентрацiйнi пiки на ме-жах напруженої квантової ями тришарової стру-ктури, де концентрацiя носiїв струму зростає в се-редньому в 2.5 рази вiдносно середньої концентра-цiї. Таким чином, у тришаровiй гетероструктурi iзсередньою концентрацiєю точкових дефектiв в iн-тервалiNdc2 <Nd0 <Ndc виникає каскад n−n+ пе-реходiв (рис.2). Такий просторовий перерозподiлелектронiв провiдностi пояснюється змiною глиби-ни потенцiальної ями пiд впливом самоузгодженихелектрон-деформацiйно-дифузiйних ефектiв.

В областях гетероструктури, якi зазнають де-формацiї розтягу за рахунок значної концентрацiїдефектiв виду центру розтягу (θd > 0) [4], глибинапотенцiальної ями W (i) зростає

(S(i)U (i)(x) < 0

),

що призводить до збiльшення ступеня просто-рової локалiзацiї носiїв струму. I, навпаки, воколi площин x = ±16 нм, де матерiал ге-тероструктури зазнає деформацiї стиску, глиби-на потенцiальної ями для електронiв зменшує-ться(S(i)U (i)(x) > 0

)i, вiдповiдно, зменшується

концентрацiя електронiв. Причому, вiдносна змi-на концентрацiї носiїв струму Δn(x)/n0 пiд дiєюелектрон-деформацiйних ефектiв є бiльш суттє-вою для меншої середньої концентрацiї електронiвn0 (рис.2). Це пояснюється тим, що зона провiдно-стi з частковим ступенем заповнення електронамиє бiльш чутливою до деформацiї ґратки [6].

На рис.3 вiдображено результати теорети-чних дослiджень вiдносної змiни концентрацiї еле-


22 Пелещак Р.М., Кузик О.В., Галь Ю.M.

ктронiв Δn(x)/n0 в напруженiй гетероструктурiGaAs/InAs/GaAs з концентрацiю дефектiв видуцентру стиску при рiзних значеннях середньої кон-центрацiї основних носiїв струму n0.

У такiй кристалiчнiй системi з дефектно-деформацiйними структурами вiдбувається дело-калiзацiя носiїв струму в центрi квантової ямизавдяки самоузгоджених електрон-деформацiйно-дифузiйних ефектiв. Однак в квантовiй ямi в околiплощин x = ±12 нм спостерiгаються два амплiту-дних пiки концентрацiї електронiв провiдностi, деконцентрацiя основних носiїв струму збiльшуєтьсяприблизно в 3 та 4.8 разiв вiдносно її просторо-во однорiдного значення, яке вiдповiдно становитьn0 = 5 · 1018 см−3 та n0 = 2 · 1018 см−3.

Такий характер поведiнки змiни концентра-цiї електронiв пояснюється змiною потенцiально-го профiлю квантової ями в околi ДД-структур.У центрi внутрiшнього шару InAs в результатiдеформацiйно-дифузiйного перерозподiлу вакан-сiй вiдбувається додатковий стиск матерiалу ге-теросистеми, а в околi площин x = ±12 нм – вiд-носний розтяг. Це призводить до того, що в центрiквантової ями вiдбувається зменшення її глибини,а в околi площин x = ±12 нм – збiльшення на вели-чину S(i)U (i)(x). В результатi цього у напружено-му шарi InAs гетероструктури GaAs/InAs/GaAsформуються двi квантовi ями в околi гетеромежx ∈ (−18; − 6) нм та x ∈ (6; 18) нм, якi роздiленiпотенцiальним бар’єром.

Аналогiчно, як i у випадку присутностi мiж-вузлових атомiв, у кристалiчних системах з ва-кансiйними дефектно-деформацiйними структу-рами в результатi самоузгодженої електрон-деформацiйно-дифузiйної взаємодiї вiдносна змiнаконцентрацiї носiїв струму Δn(x)/n0 є бiльш сут-

тєвою при зменшеннi середньої концентрацiї еле-ктронiв n0.

При зростаннi середньої концентрацiї точковихдефектiв виду центру стиску область локалiзацiїелектронiв провiдностi змiщується до центру вну-трiшнього шару гетероструктури.

Висновки1. Побудовано нелiнiйну модель формування n−

n+ переходiв у напруженiй тришаровiй гете-роструктурi зi самоорганiзованими дефектно-деформацiйними структурами.

2. Показано, що iз зменшенням середньоїконцентрацiї електронiв провiдностi унапруженiй тришаровiй гетероструктурiGaAs/InAs/GaAs з точковими дефектами(мiжвузловi атоми, вакансiї) n − n+ перехiдстає бiльш рiзким, що пояснюється бiльшоючутливiстю до деформацiї кристалiчної ґраткипри частковому заповненнi зони провiдностi.

3. Встановлено, що у тришаровiй гетерострукту-рi GaAs/InAs/GaAs з вакансiями iз середньоюконцентрацiєю в iнтервалi Ndc2<Nd0<Ndc вiд-бувається делокалiзацiя електронiв провiдностiв центрi квантової ями та зростання їх кон-центрацiї в околi площин x=±12 нм в 3.8 ра-зiв порiвняно з просторово-однорiдним значе-нням (n0=2·1018 см−3). Такий характер пове-дiнки локальної змiни концентрацiї електронiвпровiдностi пояснюється змiною потенцiально-го профiлю квантової ями в результатi само-узгодженого деформацiйно-дифузiйного пере-розподiлу вакансiй, який призводить до дода-ткового неоднорiдного стиску матерiалу в око-лi центру внутрiшнього шару гетеросистеми тарозтягу в околi площини x = ±12 нм.

Бiблiоґрафiя[1] Винценц С.В., Зайцева А.В., Плотников Г.С. Самоорганизация лазерноиндуцированных точечных дефектов

на начальных стадиях неупругих фотодеформаций германия // ФТП. – 2003. – 37, № 2. – C. 134–141.[2] Емельянов В.И., Панин И.М. Образование нанометровых упорядоченных дефектно-деформационных стру-

ктур в твердых телах при воздействии на них потоков энергии // ФТТ. – 1997. – 39, № 11. – C. 2029–2035.[3] Емельянов В.И. Экранировка поля деформации в твердом теле точечными дефектами // ФТТ. – 2001. –

43, № 4. – C. 637–638.[4] Пелещак Р.М., Кузик О.В. Самоорганiзований дифузiйно-деформацiйний розподiл точкових дефектiв у

напружених гетеросистемах // УФЖ. – 2007. – 52, № 7. – С. 689–694.[5] Хапачев Ю.П., Чуховский Ф.Н. Методы структурного анализа. – М.: Наука, 1989. – 378 с.[6] Стасюк I.В., Пелещак Р.М. Деформацiйнi i електроннi стани напiвпровiдника поблизу межi подiлу областей

з рiзними механiчними напруженостями // УФЖ. – 1994. – 39, № 7. – С. 856–861.


Вплив водню на оптичнi та електричнi властивостi CdTe:Al i CdTe:Cl 23

УДК 621.315.59, 620.171

Вплив водню на оптичнi та електричнi властивостi CdTe:Al i CdTe:Cl

Цюцюра Д. I., Пелещак Р.М., Пiгур-Пастернак О.М., Корбутяк Д.В.∗, Вахняк Н.Д.∗


вул. Стрийська 3, м. Дрогобич, 82100.∗Iнститут фiзики напiвпровiдникiв iм. В.Є. Лашкарьова НАН України 03028 Київ 28, МСП, просп. Науки, 41

Дослiджено спектри низькотемпературної фотолюмiнесценцiї монокристалiчних зразкiв CdTe:Al i CdTe:Cl,оброблених у газовому розрядi водню при Т = 300 К. Побудовано модель взаємозв’язку атомарного водню зiскладними дефектами (V 2−

Cd D+)− i (V 2−Cd 2D+)0 в кристалах CdTe. Показано, що обробка в газовому розрядi

водню протравлених зразкiв дає змогу частково вiдновити структурну досконалiсть приповерхневої областi.

Телурид кадмiю є вiдомим напiвпровiдниковимматерiалом, що використовується для виготовлен-ня детекторiв iонiзуючого випромiнювання, швид-кодiючих оптичних перемикачiв тощо [1].

Використання CdTe у мiкро- та наноелектронi-цi вимагає отримання структурно досконалих кри-сталiв з питомим опором, бiльшим за 108 Ом·см.На сьогоднiшнiй день жоден iз вiдомих методiв ви-рощування напiвпровiдникiв типу А2В6 не дає мо-жливiсть отримувати зразки CdTe заданих пара-метрiв. У зв’язку з цим, паралельно iз вдоскона-ленням технологiї вирощування кристалiв йде по-шук методiв обробки поверхнi зразкiв, що дозво-лили б iстотно змiнити їх електрофiзичнi характе-ристики.

Як вiдомо [1], для отримання високого пито-мого опору телурид кадмiю легують компенсую-чими домiшками i найчастiше елементами третьоїабо сьомої групи перiодичної системи елементiв(Al, In, Cl). Це, однак, приводить до утворення вCdTe додаткових центрiв захоплення носiїв заря-ду, наслiдком чого може бути деяке зменшеннязначень часу життя i рухливостi носiїв заряду.

Невiд’ємною частиною процесу виготовленнядетекторiв iонiзуючого випромiнювання є отрима-ння структурно досконалої поверхнi. Для знят-тя пошкодженого шару, який утворюється в ре-зультатi вирiзання зразкiв, проводиться обробкаїх поверхнi: механiчне шлiфування, полiрування,хiмiко-механiчне полiрування чи хiмiчне травле-ння, що спричинює порушення властивостей по-верхнi зразкiв [2].

Одним iз новiтнiх технологiчних способiв по-кращення властивостей кристалiв CdTe є водневапасивацiя. Адже обробляючи їх у воднi при вiд-повiдних умовах вдається отримати зразки CdTeвеликого питомого опору, значної фотопровiдностiта iнших властивостей. Пасивацiя воднем є осо-бливо важливою у лiквiдацiї електричної активно-стi дрiбних фонових домiшок i дефектiв, якi частопотрапляють у кристали iз матерiалами складо-вих твердих розчинiв, а також iз кварцових ампул.

Дана робота присвячена дослiдженню змiн еле-ктрооптичних властивостей легованого телуридукадмiю (CdTe:Al, CdTe:Cl) пiсля обробки у воднi

та побудовi моделi взаємодiї атомарного водню iзскладними дефектами в CdTe, легованому алюмi-нiєм та хлором.

Для дослiджень використовувалися напiвiзо-люючi (ρ = 109 Ом·см) монокристалiчнi зраз-ки CdTe:Cl (концентрацiя хлору у вихiднiй на-важцi (NCl = 1019 см−3) та CdTe:Al (NАl =1018 см−3), вирощенi методом сублiмацiї при тем-пературi 980◦С.

Зразки отримувалися шляхом сколювання ви-рощених кристалiв телуриду кадмiю вздовж пло-щини (110). Потiм кристали CdTe:Cl пiддавали-ся вiльному травленню в 2% бром-метаноловомутравнику протягом 30 с при 20◦С. Дифузiя во-дню в зразки проводилась у газовому розря-дi водню при кiмнатнiй температурi та тиску0.25 мм.рт.ст., який в установцi пiдтримувався ста-лим. Час обробки змiнювався вiд 0.5 до 1.5 год.Спектри низькотемпературної (Т = 5 К) фотолю-мiнесценцiї (ФЛ) дослiджували на автоматизова-нiй установцi, яка складається з джерела збудже-ння (аргоновий лазер неперервної дiї ЛГН-503),гелiєвого крiостата, спектрального приладу(МДР-23), фотоприймального пристрою, виготов-леного на основi фотоелектронного помножувачаФЭУ-62, пiдсилювача та персонального комп’юте-ра.

На рис.1 показанi температурнi залежностiелектропровiдностi вихiдного (крива 1), електро-провiдностi (крива 2) i фотопровiдностi (крива 4)протравленого та електропровiдностi (крива 3) iфотопровiдностi (крива 5) гiдрогенiзованого зраз-ка пiсля протравлення. Видно, що травлення при-зводить до появи на температурних залежностяхпитомої електропровiдностi двох дiлянок: в iнтер-валi температур 245-300 К чiтко проявляється дi-лянка з нахилом 0.4 еВ, а низькотемпературна –з нахилом у межах � 0.05 еВ. Крiм того, в ре-зультатi травлення питомий опiр кристалiв змен-шується i в деяких випадках навiть на порядок,що свiдчить про шунтування поверхнею струмучерез зразок. Обробка у водневому розрядi при-водить до часткового вiдновлення вихiдного зна-чення електропровiдностi зразка.


24 Цюцюра Д. I., Пелещак Р.М., Пiгур-Пастернак О.М., Корбутяк Д.В.∗, Вахняк Н.Д.∗

Рис.1. Температурнi залежностi електропровiдностiCdTe:Cl (1019 см−3): 1 – темнової електроповiдностi ви-хiдного зразка; 2 – темнової електроповiдностi протрав-леного зразка; 3 – темнової провiдностi гiдрогенiзованогозразка пiсля травлення; 4 – фотопровiдностi протравленогозразка; 5 – фотопровiдностi гiдрогенiзованого зразка пiслятравлення

Величина й температурна залежнiсть електро-провiдностi протравленого i пiсля цього гiдрогенi-зованого зразка набула майже вихiдного значен-ня. Iз температурної залежностi електропровiдно-стi протравленого i гiдрогенiзованого зразка отри-мано енергiю активацiї домiшково-дефектних цен-трiв рiвною 0.68 еВ. Це дещо перевищує енергiюактивацiї домiшково-дефектних центрiв вихiдногозразка, яка дорiвнювала 0.57 еВ, що, можливо, та-кож зв’язане iз впливом поверхнi.

З рис.1 також видно, що фоточутливiсть до-слiджуваних зразкiв мало залежить вiд темпера-тури. При нагрiваннi вiд 77 К до 300 К спосте-рiгається невелике гасiння фотопровiдностi (рис.1крива 4 i 5), що свiдчить про складний механiзмрекомбiнацiї [3]. Характер ходу температурної за-лежностi фотопровiдностi гiдрогенiзованого зраз-ка (рис.1 крива 4) такий же, як вихiдного, однакпiсля обробки у воднi величина фотопровiдностiсуттєво зростає.

На рис.2 показана спектральна залежнiсть фо-толюмiнесценцiї при 5 К для зразкiв CdTe, ле-гованого Cl: вихiдного (крива 1), протравленого(крива 2), i гiдрогенiзованого пiсля протравлення(крива 3).

Як видно з рис.2, у спектрi екситонної ФЛ про-являються смуги з максимумами при ≈ 1.593 еВ(D0X), 1.590 еВ (G) та 1.586 еВ (W), причому упротравлених зразках вони є дуже розмитими. Згi-дно з лiтературними даними [4], перша з цих лiнiйє наслiдком випромiнювальної рекомбiнацiї екси-тонiв, зв’язаних на дрiбних нейтральних донорах(D0X). У ролi останнiх виступають атоми замiще-ння ClTe. Смуги G i W викликанi рекомбiнацiєюекситонiв, зв’язаних на комплексах акцепторного

Рис.2. Спектри фотолюмiнесценцiї CdTe:Cl при Т=5 К:1 – вихiдного зразка; 2 – протравленого у бром-метаноловому травнику; 3 – гiдрогенiзованого зразка пiслятравлення

типу A1, A2 – (V 2−Cd + 2ClTe) i (V 2−

Cd + ClTe)− вiд-

повiдно. У спектрах фотолюмiнесценцiї вихiдногоi травленого з наступною гiдрогенiзацiєю зразкiв(рис.2, кривi 1 i 3) спостерiгається також слабкалiнiя випромiнювання вiльних екситонiв (FE), що,поряд iз бiльшою чiткiстю смуг екситонної ФЛ вгiдрогенiзованих зразках порiвняно з травленими,свiдчить про часткове вiдновлення якостi поверхнiкристалу внаслiдок його обробки у воднi.

У дiапазонi 1.50 – 1.57 еВ у спектрах ФЛ не-легованого CdTe проявляється серiя лiнiй крайо-вої люмiнесценцiї, яка складається з основної лiнiїта її фононних повторень (рис.2). Вона спричи-нена двома видами переходiв: високоенергетичнаскладова (e − А1) вiдповiдає переходам електро-нiв iз зони провiдностi на мiлкi акцепторнi цен-три, а низькоенергетична – переходам у донорно-акцепторних парах (D−А1). Донорами в (D−А1) єClTe, а акцепторами – комплекси (V 2−

Cd +ClTe)− [4].

Для дослiджуваних зразкiв з високою концентра-цiєю легуючої домiшки цi складовi майже злива-ються в одну смугу випромiнювання. Основноювiдмiннiстю крайової люмiнесценцiї гiдрогенiзова-них зразкiв є її низька вiдносна iнтенсивнiсть, щосвiдчить про зменшення концентрацiї акцептор-них центрiв.

Смуга люмiнесценцiї в областi 1.45 еВ є наслiд-ком накладання двох складових: випромiнюваннядонорно-акцепторних пар (донор – ClTe, акцептор– А-центр (V 2−

Cd + ClTe)− та Y-лiнiї i їх фонон-

них повторень. Y-смуга з безфононним переходомпри ≈ 1.477 еВ викликана випромiнювальною ре-комбiнацiєю екситонiв, захоплених полем протя-жних дефектiв. Її вiдносна iнтенсивнiсть є дещовищою у гiдрогенiзованих зразках. Проте, як ви-дно з рис.2, iнтенсивнiсть випромiнювання смуги1.45 еВ у протравлених (рис.2, крива 2) i гiдроге-



нiзованих (рис.2, крива 3) є значно нижчою, нiжу вихiдному кристалi CdTe:Cl (рис.2, крива 1).

Iз представлених температурних залежностей(рис.1) випливає, що пiсля обробки протравлено-го CdTe:Cl в газовому розрядi водню електричнiвластивостi поверхонь зразкiв вiдновлюються, щоспричинює зростання питомого опору бiльше нiжна порядок порiвняно з вихiдним значенням ско-лотих кристалiв. Це, очевидно, зумовлено паси-вацiєю воднем мiлких акцепторних центрiв, iонi-зацiя яких визначає хiд температурних залежно-стей темнової електропровiдностi в областi низь-ких температур.

Цей висновок пiдтверджується i рiзницею успектрах крайової ФЛ (рис.2, крива 2 i крива 3),вiдносна iнтенсивнiсть випромiнювання якої, в гi-дрогенiзованих зразках, суттєво зменшується у по-рiвняннi з протравленим. Розклад смуг крайовоїФЛ на суму гауссiвських функцiй [4, 5] дає змогувстановити положення максимумiв лiнiй (е−А0) та(D − A). Для гiдрогенiзованого зразка отримано:EHe−A0 = 1.566 еВ i EHD−A = 1, 556 еВ вiдповiдно,що збiгається зi значеннями максимумiв для вихi-дного (свiжосколеного), тодi як для протравлено-го отримано Ee−A0 = 1, 569 еВ, ED−A = 1, 559 еВ.Такий зсув, очевидно, пов’язаний з пiдсиленнямкулонiвської взаємодiї мiж донорами й акцептора-ми за рахунок збiльшення концентрацiї акцептор-них центрiв i зменшення вiдстанi мiж ними. Тео-ретичне обґрунтування цього факту виражаєтьсяформулою [4]:

hν = Eg − (EA + ED) +e2

εR+ J(R), (1)

де R – вiдстань мiж складовими донорно-акцепторної пари, J(R) – поправка до енергiї прикулонiвськiй взаємодiї.

Про збiльшення концентрацiї акцепторних цен-трiв A1 в приповерхневiй областi CdTe в резуль-татi травлення в бром-метаноловому травнику за-свiдчує зростання iнтенсивностi смуги (e-А1) (ко-роткохвильове крило крайової ФЛ) – див. рис.2,крива 2, а також зростання темнової провiдностiпротравленого зразка (рис.1). Вказанi змiни ста-ють зрозумiлими, якщо врахувати, що травленняв бром-метаноловому травнику приводить до збi-днення приповерхневої областi CdTe атомами Cd,тобто до зростання вакансiй кадмiю [2], якi або са-мi вiдiграють роль акцепторiв, або є складовимикомпонентами акцепторних комплексiв. Покраще-ння структурної досконалостi поверхневого шарузразкiв при їх обробцi в атмосферi водню пiдтвер-джується також наявнiстю в екситоннiй областiфотолюмiнесценцiї гiдрогенiзованих зразкiв лiнiївипромiнювання вiльних екситонiв (FE) i шири-ною рекомбiнацiйних смуг випромiнювання зв’я-заних екситонiв.

На рис.3 вiдображенi спектри фотолюмiнесцен-цiї при 5 К для зразкiв CdTe:Al необроблених(крива 1), оброблених у воднi протягом 0.5 год(крива 2), 1 год – (крива 3) та 1.5 год – (крива 4).Як видно з рис.1 спектр ФЛ CdTe:Al змiнився привведенi в кристали водню. Вплив на спектр реком-бiнацiйного випромiнювання спостерiгається в ко-жнiй з його частин: в екситоннiй, крайовiй та домi-шковiй. В екситоннiй частинi спектру в дослiджу-ваних зразках CdTe:Al пiд впливом водню змiнює-ться iнтенсивнiсть лiнiй W i G. Iнтенсивностi лiнiїW i G залежно вiд часу обробки зразка у воднiзменшуються (рис.3).

Рис.3. Фотолюмiнесценцiя CdTe, легованого Al при 5 К: 1 – вихiдного зразка; 2 – зразка, обробленого в розрядi водню0.5 год; 3 – зразка, обробленого в розрядi водню 1.0 год; 4 – зразка, обробленого в розрядi водню 1.5 год


26 Цюцюра Д. I., Пелещак Р.М., Пiгур-Пастернак О.М., Корбутяк Д.В.∗, Вахняк Н.Д.∗

У крайовiй областi ФЛ CdTe, легованого Al,iнтенсивнiсть випромiнювання є найбiльшою приобробцi зразкiв у воднi протягом 0.5 год. Призбiльшеннi часу обробки вона зменшується. У до-мiшковiй областi 1.350 – 1.500 еВ ФЛ iнтенсивнiстьвипромiнювання є найменшою при обробцi зразкiву воднi протягом 1 год. При подальшому збiльшен-нi часу дифузiї водню до 1.5 год. iнтенсивнiсть ви-промiнювання наближається до вихiдного значен-ня.

Аналiзуючи смугу крайової ФЛ в CdTe, зокре-ма зображаючи енергетичний розподiл iнтенсив-ностей серiєю лiнiй у виглядi суми Гауссiвськихфункцiй [4, 5], отримуємо максимум випромiнюва-ння складової (е− А0). Це дає можливiсть визна-чити глибину залягання акцептора. Глибина цьогорiвня в забороненiй зонi дорiвнює 46 меВ i узго-джується з енергiєю iонiзацiї акцепторного центру(V 2−Cd 2D

+)0 [7]. Таким чином цi складнi дефектиберуть участь у ФЛ CdTe. З лiтератури вiдомо [8],що змiна iнтенсивностi крайової i екситонної ФЛвизначається концентрацiєю VCd i при її збiльшен-нi iнтенсивнiсть ФЛ зростає.

Отже, залежнiсть спектру ФЛ вiд часу дифу-зiї водню у зразки фактично визначається взає-модiєю водню з власними точковими i складнимидефектами.

Припускаємо, що рiзна поведiнка лiнiй реком-бiнацiї екситонiв, зв’язаних на центрах (V 2−

Cd D+)−

i (V 2−Cd 2D

+)0, зумовлена змiною концентрацiї цихцентрiв, яка може вiдбуватися за рахунок розпадукомплексiв при взаємодiї з воднем.

До такого припущення приводить нас зменше-ння концентрацiї центрiв (V 2−

Cd D+)− i (V 2−

Cd 2D+)0,

котрi вираженi лiнiями W i G в CdTe, залежнiстьсмуг випромiнювання вiд часу обробки кристалiву воднi, а, фактично, вiд концентрацiї водню.

Розглянемо взаємодiю водню зi складними де-фектами в CdTe. Такими складними дефектами вCdTe є комплекси типу (V 2−

Cd D+)− i (V 2−

Cd 2D+)0,

якi мають властивостi акцепторiв. Енергiя акти-вацiї комплексу дорiвнює Е = Еv + 0.14 еВ [6].

Отже, зростання iнтенсивностi крайової ФЛможе вiдбуватися за рахунок збiльшення концен-трацiї iонiзованих акцепторiв. Основними акце-пторами у нелегованому CdTe виступають як ва-кансiї Cd, якi можуть iснувати як окремi центри,так i в комплекси:

D+ +V0Cd + e− ↔ (DVCd) ,

де D+ – iонiзованi атоми донорiв, е – заряд еле-ктрона.

При введенi в кристал водню комплекс розпа-дається, внаслiдок чого звiльняються вакансiї Cd:

(DVCd) +H0 → D+ +V0Cd +H− → (DH) + V0

Cd.

Тобто, вiдбувається пасивацiя дрiбних донорiв, щоприводить до вивiльнення вакансiй кадмiю. I на їхосновi будуть формуватися об’єднання домiшко-вих атомiв чи власних дефектiв з воднем, нейтра-лiзуючи їхню електричну активнiсть. При ФЛ еле-ктрони iз зони провiдностi переходять на рiвеньвакансiї кадмiю у валентнiй зонi.

Вважаємо, що CdTe має n-тип провiдностi,який досягнуто за рахунок легуванняCdTe алюмi-нiєм. Це означає, що зразок компенсований. Ком-пенсуючими центрами є D+ i комплекс (V 2−

Cd D+)−.

Якщо концентрацiя донорiв є не меншою вiд кон-центрацiї V 2−

Cd , то їх бiльшiсть є зв’язана з донора-ми в комплекси.

Задовiльне пояснення експериментальних да-них отримуємо, якщо припустити, що водень у за-бороненiй зонi напiвпровiдника n-типу у її верхнiйполовинi створює неглибокий рiвень. У такiй моде-лi вiдбудеться перезарядка D+ i H0. Рiвень Фермiзмiститься вверх, що призведе до деiонiзацiї доно-ра D й iонiзацiї водню Н+. А це стане причиноюрозпаду комплексу (V 2−

Cd D+)− i пасивацiї вакансiї

кадмiю. Тобто

(V 2−Cd D

+)−+2H0 → V 2−Cd +2H++D+ → D++VCdH2.

У CdTe:Al донором є Al, який в данiй моделi на-буває нейтрального стану.

Таким чином, iз експериментальних дослi-джень температурних залежностей електропро-вiдностi та низькотемпературної фотолюмiнесцен-цiї монокристалiв CdTe:Cl (NCl = 1019 см−3) таCdTe:Аl (NАl = 1018 см−3), оброблених у розрядiводню, показано:

а) травлення СdTe:Cl в бром-метаноловомутравнику супроводжує збагачення поверхнi зраз-кiв акцепторами, якими, найбiльш ймовiрно, є ва-кансiї Cd;

б) обробка протравлених зразкiв у газовомурозрядi водню приводить до пасивацiї частиниелектрично активних центрiв, що проявляєтьсяв спектрi крайової ФЛ, а також у температур-них залежностях електропровiдностi дослiджува-них кристалiв;

в) зростання електропровiднiстi в гiдрогенiзо-ваних зразках СdTe n-типу провiдностi може вiд-буватися за рахунок вивiльнення донорiв зi скла-дних комплексiв типу (V 2−

Cd D+)− i (V 2−

Cd 2D+)0 i па-

сивацiї воднем вакансiй кадмiю.

Бiблiоґрафiя[1] Корбутяк Д.В., Венгер Е.Ф., Крылюк С.Г., Крюченко Ю.В., Кузнєцов Э.И., Прохорович А.В. // Опто-

электр. и полупров. техника. – 2001. – 34. – С. 5–34.



[2] Томашик В.Н., Томашик З.Ф., Любченко А.В., Фомин А.Ф. //Оптоэлектр. и полупров. техника.–1994. –28. – С.3-14.

[3] В.Е. Лашкарев, А.В. Любченко, М.К Шейнкман. Неревновесные процессы в фотопроводниках. – К., Изд.“Наукова думка”. – 1981. – 265 с.

[4] Д.В. Корбутяк, С.В. Мельничук, Є.В. Корбут, М.М. Борисюк. Телурид кадмiю:домiшково-дефектнi станита детекторнi властивостi. – К., В-во “Iван Федоров”.– 2000. – 198 с.

[5] U. Reislohner, N. Achtziger, C. Hulsen, W. Witthuhen// J. Cryst. Growth. – 2000. – 214/215. – p.979-982.[6] Soltani M., Certier M., Evrard R., Kartheuser E. // J. Appl. Phys. – 1995. – 78, no.9. – P.5626–5632.[7] S.H. Song, J. Wang, Y. Ishikawa, S. Seto, M. Isshiki.// J. Cryst. Growth. – 2002. – 237/239. – p.1726-1730.[8] А.В. Квит, С.А. Медведев, Ю.В. Клевков, В.В. Зайцев и др.// ФТТ. – 1998. – т.40, №6. – с. 1010-1017.


Математика

УДК 519.61

Алгоритмiчна реалiзацiя модифiкованого методу LU-факторизацiї прирозгортаннi визначникiв стрiчкових матриць

Лазурчак I. I., Кобильник Т.П.

informatyka.drohobych.netДрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка, кафедра iнформатики та

обчислювальної матемамтики, вул. Стрийська 3, м. Дрогобич, 82100

У статтi розглядається метод розгортання визначникiв розрiджених матриць, що застосовується при реа-лiзацiї функцiонально-дискретного методу для розв’язування задач на власнi значення зi скалярними та ма-тричними коефiцiєнтами в диференцiальному операторi.

Задачам на власнi значення для одновимiрно-го рiвняння Шредiнгера з нелокальними крайови-ми умовами, а особливо з iнтегральними умова-ми, присвячено вiдносно мало робiт (у порiвнян-нi з двоточковими крайовими умовами). Зокре-ма, робота [1] стосується нелокальних iнтеграль-них умов. Розглядався ряд задач на власнi значе-ння, який формулюється у такiй, бiльш загальнiй,постановцi

u′′(x) + [λ− q(x)]u(x) = 0, x ∈ (0, 1), (1)

u(0) =

1∫0

u(x)dσ0(x), u(1) =

1∫0

u(x)dσ1(x), (2)

де σ0(x), σ1(x) – заданi функцiї обмеженої варi-ацiї, q(x) – задана кусково-неперервна функцiя,причому q(x) � 0, ∀x ∈ [0, 1].

Зокрема, були розглянутi для q(x) ≡ 0 такiтри варiанти крайових умов (2):1) σ0(x) ≡ 0, σ1(x) = ax;2) σ0(x) ≡ 0,

σ1(x) =

⎧⎨⎩0, 0 � x < 1

4 ,ax, 1

4 � x < 34 ,

0, 34 � x � 1,

3) σ1(x) = a1x, σ2(x) = a2x, де a, a1, a2 – заданiпараметри.

Тут ми обмежимося розв’язуванням задачi ви-гляду

u′′(x) + [λ− q(x)]u(x) = 0, x ∈ (0, 1), (3)

u(0) = 0, u(1) = a

3/4∫1/4

u(ξ)dξ, (4)

хоча запропонований нижче пiдхiд може бути за-стосований i для випадку умов (2).

Функцiонально-дискретний (FD-) метод, роз-роблений у роботi [2] i застосований до розв’язан-ня задачi (3), (4), вiдiграє двояку роль. З одногобоку вiн уможливлює дослiджувати якiснi власти-востi розв’язку задачi (3), (4) (дiйснiсть власнихзначень, наявнiсть комплексних власних значень,кратнiсть спектру i т.д.) З iншого боку запропо-нований метод дає алгоритм для чисельного зна-ходження наближеного розв’язку задачi (3), (4)з будь-яким наперед заданим порядком точностi.Вiдмiнною рисою FD-методу є те, що для широко-го класу задач на власнi значення, його точнiстьтим вища, чим старший порядковий номер вiдпо-вiдного власного значення; вiн не вимагає розв’я-зування повної алгебраїчної задачi на власнi зна-чення; вiн допускає вибiрковий рахунок, а отже iрозпаралелювання обчислень.

Нехай q (x) = x, a = 20. Тодi точний розв’язокЗДР (1) має вигляд

un (x, λn) = Cn√λn − x

(J 1

3

(2

3(λn − x)3/2

)×

×J− 13

(2

3λ3/2n

)− J− 1

3

(2

3(λn − x)

3/2

)J 1

3

(2

3λ3/2n

)),

(5)

де J±1/3(z) – цилiндричнi функцiї або функцiї Бес-

селя 1 роду. Зазначимо, що тут враховано першукрайову умову з (4), а Cn – довiльна стала.

Точнi власнi значення λn визначаються з дру-гої крайової умови в (4), тобто з рiвняння

Δ (λn) ≡ un(1, λn)− 20

3/4∫1/4

un (x, λn)dx = 0. (6)

Модифiкований метод LU-факторизацiї при розгортаннi визначникiв стрiчкових матриць 29

Для досягнення збiжностi FD-методу була ви-брана на рiвномiрнiй сiтцi

ΩN = {xi = i

N, i = 0, ..., N}

апроксимуюча функцiя q(x) у виглядi кусково-постiйної функцiї з кiлькiстю "сходинок рiвною N

q(x) =

{qi =

1

2

[q(xi−1) + q(xi)

], i = 1, ..., N

}. (7)

Якщо розв’язок базової задачi (3),(4) задати увиглядi

u(0)n (x, q(·)) =

=

⎧⎪⎨⎪⎩c1 sin√λ− q1x, 0 � x � x1, i = 1,

c2i−2 sin√λ− qix+

+c2i−1 cos√λ− qix,xi−1 � x � xi, 2 � i � N,

то наближення нульового рангу λ(0)n (q(·)) та невi-домi ci (i = 1, ..., 2N − 1) знаходяться з умовиiснування нетривiального розв’язку однорiдної си-стеми лiнiйних алгебраїчних рiвнянь

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ccu(0)n (xi, qi) = u

(0)n (xi, qi+1), i = 1, N − 1,

[u(0)n (x, qi)

]′x=xi

=

=[u(0)n (x, qi+1)

]′x=xi

, i = 1, N − 1,

u(0)n (1, qN) = a

3/4∫1/4

u(0)n (ξ, q(·))dξ,

(8)У випадку N = 8 при виборi кусково-сталої

функцiї_q (x) необхiдно знайти нетривiальний

розв’язок системи (8), який iснує у випадку, ко-ли її визначник рiвний нулю. Проте програмнi за-соби пакету LinearAlgebra с.к.м. Maple 10.0 [3] неможуть забезпечити обчислення нулiв розгорну-того в полiном детермiнанта матрицi розмiрностi15× 15 внаслiдок недостатнього об’єму оператив-ної пам’ятi або файла пiдкачки. Враховуючи те,що вказана матриця має 5-и дiагональну структу-ру, проблему вдається вирiшити, використовую-чи модифiкацiю методу LU -факторизациї, розро-бленого для систем з розрiдженими матрицями [4].Крiм цього, обчислення нев’язки |Δ(λn) | iз (6) уразi комплексно спряжених власних значень вдає-ться здiйснити лише при виборi достатньо велико-го значення для системної змiнної (Digits := 800),яка встановлює кiлькiсть значущих цифр манти-си при проведеннi чисельних розрахункiв в ари-фметицi з "плаваючою" крапкою. Слiд зазначи-ти, що для обчислення iнтегралiв вiд власних фун-кцiй, якi у свою чергу представляють iнтеграли зi

змiнною верхньою межею, необхiдно для спрощен-ня пiдiнтегральних виразiв використовувати серiюпроцедур simplify, expand, fnormal, evalc.

Для багатьох задач матриця A є розрiдженою,бiльшiсть елементiв якої дорiвнюють нулю. Такiматрицi часто утворюються при рiзницевiй апро-ксимацiї диференцiальних рiвнянь. Елементи та-кої матрицi, як правило, обчислюються за задани-ми формулами. Це досить важливо, оскiльки по-рядок таких матриць може досягати кiлькох деся-ткiв i навiть сотень тисяч.

Вивчення багатьох задач приводить до необхi-дностi виконання дiї з матрицею, у якiй кiлькiстьпiд- та наддiагоналей є однаковою. Як правило, та-кi матрицi мають так звану стрiчкову структуру.Матрицю A називають (2p+ 1)-дiагональною (абоматрицею, яка має стрiчкову структуру), якщоaij = 0 при |i− j| > p, де p – кiлькiсть пiдi-агоналей (наддiагоналей). Число 2p + 1 назива-ють шириною стрiчки. Такi матрицi утворюються,наприклад, при знаходженнi власних значень ди-ференцiального рiвняння iз заданими крайовимиумовами. У процесi розв’язування такої задачi не-обхiдно обчислити визначник тридiагональної ма-трицi. Для обчислення визначника тридiагональ-ної матрицi розробленi спецiальнi формули (див.,наприклад, [5]).

У процесi розв’язування задач виникаютьвипадки, коли необхiдно обчислити визначник(2p+ 1)-дiагональної матрицi великої розмiрностi(наприклад, n = 10000). У такому випадку зру-чно використовувати метод LU-факторизацiї з де-що змiненими формулами:

lij = aij −j−1∑k=1

likukj , i ∈ 1, n, j ∈ i1, i2, i � j,

uij =

(aij −

j−1∑k=1

likukj

)/lii,

i ∈ 1, n, j ∈ i1, i2, i < j, (9)

i1 = max{1, i−p}, i2 = min{n, i+p}, detA =

n∏i=1

lii.

Крiм того, для програмної реалiзацiї формул(9), необхiдно оголошувати три масиви розмiрно-стi n×n. Тому пропонується такий пiдхiд до обчи-слення визначника симетричної стрiчкової матри-цi шириною (2p+ 1).

Тому зi стрiчкових квадратних матрицьAn×n, Ln×n та Un×n сформуємо прямокутнi ма-трицiQn×(p+d+1)таRn×(p+d+1) за таким правилом:

Актуальнi проблеми фiзики, математики та iнформатики. Математика, №1, 2009

30 Лазурчак I. I., Кобильник Т.П.

qi, p+j−i+1 = aij ,

ri, p+j−i+1 =

{lij , i � j,uij , i < j,

, (10)

i ∈ 1, n, j ∈ i1, i2.

Iншi елементи qij та rij дорiвнюють нулю. Урезультатi утворена матрицi Q буде мати вигляд:

i мiстити тiльки (p+ 1) p нулiв. Такий самий ви-гляд буде мати i матриця R.

Тодi елементи матрицi R згiдно з (10) будутьобчислюватися за формулами:

rij = qij −j−1∑k=1

rikri−p+k−1,j+p−k+1,

i ∈ 1, n, j ∈ 1, p+ 1,

rij = (qij −p∑

k = j − pk > 0

rikri−p+k−1,j+p−k+1)/ri,p+1,

(11)де

i− p+ k− 1 � 1, j + p− k+1 � 2p+1, i ∈ 1, n,

j ∈ p+ 2, 2p+ 1.

Крiм того, iснують випадки, коли у процесiрозв’язування задачi необхiдно обчислювати ви-значники несиметричних стрiчкових матриць. На-ведемо формули для обчислення визначника не-симетричної стрiчкової матрицi, використовуючимодифiкацiю методу LU -факторизацiї.

Нехай задана стрiчкова матриця шириною p+d+ 1, де p – кiлькiсть пiддiагоналей, d – кiлькiстьпiддiагоналей. Тодi формули (9) набудуть вигля-ду:

lij = aij −j−1∑k=1

likukj , i ∈ 1, n, j ∈ i1, i2, i � j,

uij =

(aij −

j−1∑k=1

likukj

)/lii,

i ∈ 1, n, j ∈ i1, i2, i < j, (12)

i1 = max{1, i−p}, i2 = min{n, i+d}, detA =

n∏i=1

lii,

де p – кiлькiсть ненульових пiддiагоналей, d – кiль-кiсть ненульових наддiагоналей матрицi A. Дляпрограмної реалiзацiї формул (11) знову необхiднооголошувати три масиви розмiрностi n× n.

Тому зi стрiчкових матриць A, L та U сформу-ємо прямокутнi матрицi Qn×(p+d+1) та Rn×(p+d+1)

наступним чином:

qi, p+j−i+1 = aij , ri, p+j−i+1 =

{lij , i � j,uij , i < j,

,

i ∈ 1, n, j ∈ i1, i2.

Iншi елементи qij та rij дорiвнюють нулю.Тодi формули (11) можна переписати у вигля-

дi:

rij = qij −j−1∑k=1

rikri−p+k−1,j+p−k+1,

i ∈ 1, n, j ∈ 1, p+ 1,

rij = (qij −p∑

k=j−dk>0

rikri−p+k−1,j+p−k+1)/ri,p+1,

i− p+ k − 1 � 1, j + p− k + 1 � d+ p+ 1,

i ∈ 1, n, j ∈ p+ 2, p+ d+ 1.

Тодi

detA =

n∏i=1

ri,p+1.

Якщо системи комп’ютерної математики такi,як Mathematica, Maple мають можливiсть заданняматриць у виглядi стрiчок, то класичнi мови про-грамування (Pascal) вимагають задання всiх еле-ментiв матриць, що своєю чергою вимагає видiле-ння додаткового об’єму оперативної пам’ятi ЕОМ.

Програмна реалiзацiя запропонованого алго-ритму проведена у кiлькох системах комп’ютерноїматематики таких, як Mathematica 6.0, Maple 10.0,Maxima 5.16.0. Зокрема, система Maxima – одна зпрограм для виконання математичних обчислень,символьних перетворень, а також для побудови рi-зноманiтних графiкiв. Складнi обчислення оформ-ляються у виглядi окремих процедур, що можутьпотiм використовуватися при розв’язуваннi iншихзадач. Система поширюється пiд лiцензiєю GPL i


Модифiкований метод LU-факторизацiї при розгортаннi визначникiв стрiчкових матриць 31

доступна користувачам як ОС Linux, так i кори-стувачам ОС Windows.

Створенi у системi Maxima 5.16.0 програмиlusm та lunsm, за якими обчислюються визначни-ки симетричної та несиметричної стрiчкової ма-трицi A. Програма lusm мiстить два аргументи:перший власне матриця, визначник якої потрiбнообчислити; другий – кiлькiсть пiд(над)дiагоналей.Програма lunsm мiстить три аргументи: першийвласне матриця, визначник якої потрiбно обчисли-ти; другий – кiлькiсть пiд(над)дiагоналей, третiй– кiлькiсть пiддiагоналей.

Для використання створених програм доних потрiбно звернутися за допомогою вказiвкиload(name), де name – назва створеної програми(lusm або lunsm). Надалi програми використову-ються аналогiчно до команд системи Maxima.

Для створення власної команди потрiбностворити файл з розширенням mac i помi-стити його в папку C:\Program Files\Maxima-5.13.0\share\maxima\5.16.0\share.

Запропонований пiдхiд дає змогу значно змен-шити кiлькiсть обчислювальних затрат, включаю-чи об’єм RAM та час CPU.

Системи комп’ютерної математики мiстять ко-манди для обчислення визначникiв матриць. Однi-єю з умов ефективного використання певної СКМдля розв’язування задачi є зменшення затрат ча-

су на розв’язування поставленої задачi. Зрозумi-ло, що СКМ мiстять функцiї для обчислення ви-значникiв. Проте при великих розмiрностях ма-триць (навiть числових) кiлькiсть часу на обчисле-ння визначникiв значно зростає. Ще гiрша ситуа-цiя, коли елементами матрицi є функцiї (символь-нi величини). Наприклад, за командою Det[A] усистемi Mathematica обчислюється визначник ква-дратної матрицi А, у системi Maple визначник мо-жна обчислити за командами det(a) (пакет linalg)або Determinant(A) (пакет LinearAlgebra), у систе-мi Maxima – за командою determinant(A) (послугаВизначник пункту меню Алгебра).

Цiкавим є дослiдження, яке проводитьС. Стейнхаус (Stephan Steinhaus) [6] стосовно хара-ктеристик СКМ. Згiдно з його дослiдженням, дляобчислення детермiнанта матрицi (елементи якої єпсевдовипадковi числа) розмiрностi 1500×1500 по-трiбно приблизно вiд 20 (система O-Matrix 6.3) до505 секунд (система GAUSS 8.0). Серед найбiльшпоширених СКМ (Maple, Mathematica, Matlab)найкращий результат у системи Mathematica 6.0(24,3 сек.). Дослiдження проводилися на комп’ю-терi з процесором Intel Quad Core Q6000 з та-ктовою частотою 2,4 GHz i розмiром оперативноїпам’ятi 2 GB пiд управлiнням операцiйної системиWindows Vista Home.

Бiблiоґрафiя[1] Sapagovas M.P. The eigenvalues of some problems with a nonlocal condition // Differ. Equations. – 2002. – 38,

№ 7. – P. 1020–1026.[2] Makarov V.L. On a functional difference method of arbitrary order of precision for solving the Sturm-Liouville

problem with piecewise smooth coefficients // Soviet. Math. Dorel. – 1992. – 44, № 2. – P. 391–396.[3] Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследованиии. Maple, Matlab, LaTex. – С-Пб.:

Питер, 2001. – 620 с.[4] Кобильник Т.П., Лазурчак I.I., Остапчук Л.А. Модифiкацiя методу LU−факторизацii для обчислення ви-

значникiв розрiджених матриць // Мiжнародна математична конференцiя iм. В.Я. Скоробагатька (27.09–1.10 2004, м. Дрогобич) [Тези доповiдей]. – Львiв: 2004. – С. 247.

[5] Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 c.[6] Steinhaus S. Comparison of mathematical programs for data analysis (Edition 5.03) [Електронний ресурс]. —

Munchen/Germany. — 64 p. — Режим доступу: http://www.scientificweb.de/ ncrunch/.


32 Iваник Є. Г., Сiкора О.В., Остапчук Л.А.

УДК 536.12:621.891

Моделювання та аналiз нестацiонарних теплових процесiв унаслiдок дiїрухомих зон локального нагрiву

Iваник Є. Г., Сiкора О.В., Остапчук Л.А.

[email protected]Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка, кафедра iнформатики та

обчислювальної математики, вул. Стрийська 3, м. Дрогобич, 82100

Розглядається застосування апроксимацiйного методу при моделюваннi та аналiзi нестацiонарних тепловихпроцесiв унаслiдок дiї рухомих зон локального нагрiву на основi трьохмiрних рiвнянь математичної фiзики.Послiдовне застосування скiнченого косинус-перетворення Фур’є, iнтегрального перетворення Ганкеля по ра-дiальнiй координатi i Лапласа по часу задача зводиться до розв’язку диференцiального рiвняння другого по-рядку. Проведено числовий аналiз кiнетики теплових процесiв на локальних дiлянках при дiї “гарячої плями”нагрiву по поверхнi пiвпростору.

Визначення i дослiдження розвитку нестацiо-нарних просторових полiв температури, зумовле-них рухомими локально-концентрованими зонаминагрiву є важливою задачею технологiчної термо-механiки, що вивчає процеси зварювання, шлiфу-вання, наплавки, термiчної рiзки, пайки, iмпуль-сного змiцнення, тощо.

На даний час досить тяжко розраховуватина можливiсть точної математичної постановки iрозв’язку проблеми усестороннього вивчення те-плових явищ при рiзного роду технологiчних про-цесах, оскiльки це спряжено з труднощами, пов’я-заними з рухомiстю зон нагрiву, а також видом те-плових потокiв, зумовлених особливостями новихсучасних технологiй. Розглянемо алгоритм розра-хунку перехiдних процесiв мiсцевого (локального)пiдвищення температури поверхнi пiвбезмежноготiла при рiвномiрному русi по ньому кругової “га-рячої плями” (ГП). Нехай джерело тепла в формiкруга r2 = x2 + y2 � a2 рухається зi сталою швид-кiстю V вздовж осi Ox поверхнею z = 0 пiвбезме-жного тiла. Припускається, що початок прямоку-тної декартової системи координат Oxyz розмiще-но в центрi цього круга. Iнтенсивнiсть тепловогопотоку змiнюється вiдповiдно до q(r) = q0q

∗(r),решта частина граничної поверхнi теплоiзольова-на. Слiд знайти просторово-часовий розподiл тем-пературного поля у системi при тривалостi дiї ГПна протязi часу вiд 0 до ts.

Для визначення нестацiонарного температур-ного поля в пiвпросторi z � 0 маємо рiвняння те-плопровiдностi [1]

∂2 T

∂ x2+∂2 T

∂ y2+∂2 T

∂ z2+V

k

∂ T

∂ x=

1

k

∂ T

∂ t, (1)

яке пiдстановкою

T = Θ e−V x2k (2)

зводиться до такого вигляду

∂2 Θ

∂ x2+∂2Θ

∂ y2+∂2 Θ

∂ z2−(V

2k

)2Θ =

1

k

∂Θ

∂ t. (3)

Перейшовши до цилiндричної системи коор-динат (r, ϕ, z) та поклавши ρ = r/a, ς = z/a,Pe = V a/2k, замiсть рiвнянь (1) та (3) приходи-мо до

[∂2

∂ ς2+

1

ρ

∂

∂ ρ

(ρ∂

∂ ρ

)+

1

ρ2∂2

∂ ϕ2

]Θ−Pe2Θ =

a2

k

∂Θ

∂ t.

(4)Тодi математичну модель процесу локального

пiдвищення температури в зонi ГП сформулюємояк крайову задачу для диференцiального рiвнян-ня теплопровiдностi (4) при крайових умовах типу

∂Θ

∂ ς=

{ −Λ q∗(ρ) ePeρ cosϕH(ts − t), ρ � 1, ς = 0,0, ρ > 1, ς = 0 ;

(5)

Λ =γfV Pmπ aK

;

Θ(ρ, ϕ, ς, t) = Θ(ρ, ϕ+ 2π, ς, t); (6)

∂Θ

∂ ς

∣∣∣∣ϕ=0

=∂Θ

∂ ς

∣∣∣∣ϕ=π

; (7)

|Θ(r, ϕ, z, t)| <∞, Θ(r, ϕ, z, 0) = 0. (8)

Послiдовне застосування до рiвняння (4) приврахуваннi крайових умов (6)-(8), скiнченогокосинус-перетворення Фур’є по змiннiй ϕ, iнте-грального перетворення Ганкеля по радiальнiй ко-ординатi i Лапласа по часу приводить до такогорiвняння в просторi зображень:

d2 Θ

d ς2− κ

2 Θ = 0, (9)

де

Θ(ξ, n, z, s) =

∞∫0

e− st Θ(ξ, n, z, t) dt, (10)


Моделювання та аналiз нестацiонарних теплових процесiв 33

Θ(ξ, n, z, t) =

∞∫0

ρ Θ(r, n, z, t)Jn(ξρ) dρ, (11)

Θ(r, n, z, t) =

2π∫0

Θ(r, ϕ, z, t) cosnϕdϕ, (12)

κ2 = ξ2 + Pe2 +

a2s

k. (13)

Використавши представлення [1]

ePeρ cosϕ = 2

∞∑m=0

′Im(Peρ) cosmϕ, (14)

причому iндекс “штрих” тут i надалi означає, щоперший доданок ряду (14) слiд помножити на мно-жник 1/2 i, застосовуючи до умови (5) скiнченекосинус-перетворення Фур’є (12), отримуємо

∂ Θ

∂ ς=

{ −2πq0 q∗(ρ)In(Peρ)H(ts − t) , ρ � 1, ς = 0,

0, ρ > 1, ς = 0 .(15)

Оскiльки побудова точного розв’язку краєвоїзадачi (4)–(8) при довiльному законi q∗(r) змiниiнтенсивностi потужностi рухомого теплового по-току складає значнi математичнi труднощi, вико-ристаємо апроксимацiю функцiї q∗(r) при допомо-зi фiнiтних кусково-сталих функцiй виду

q∗(ρ) =M∑j=1

q∗j ϕj(ρ), q∗j =q∗

(ρj−1 + ρj

2

),

ϕj(ρ) =

{1, ρ ∈ [ρj−1, ρj ],0, ρ /∈ [ρj−1, ρj],

(16)

де ρj (j = 1, 2, ...,M) – точки рiвномiрної сiткирозбиття вiдрiзка [0, ρ]; M – кiлькiсть точок роз-биття.

Тодi гранична умова (15) з врахуванням (16)матиме вигляд:

∂ Θ

∂ ς=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−2πΛ In(Peρ)××H(ts − t)

M∑j=1

q∗j ϕj(ρ), ρ � 1, ς = 0,

0, ρ > 1, ς = 0 .(17)

Застосування до виразу (17) iнтегрального пе-ретворення Ганкеля (11) та врахування значенняiнтеграла [2]

ρj∫0

ρIn(Peρ)Jn(ξρ) dρ =ψn(ξρj , P eρj)

ξ2 + Pe2,

ψn(ξ, Pe) = ξJn+1(ξ)In(Pe) + PeJn(ξ)In+1(Pe),(18)

дає

∂ Θ

∂ ς= − 2πΛH(ts − t)

ξ2 + Pe2× (19)

×M∑j=1

q∗j [ψn(ξρj , P eρj)− ψn(ξρj−1, P eρj−1)] , ς = 0.

Остаточно, трансформанта по Лапласу рiвно-стi (19) згiдно з (10) має вигляд:

∂ Θ

∂ ς= −2πΛ (1− e−sts)

s(ξ2 + Pe2)+ (20)

+

M∑j=1

q∗j [ψn(ξρj , P eρj)− ψn(ξρj−1, P eρj−1)] , ς = 0.

Розв’язуючи рiвняння (9) при умовi (20) таумовi заникання зображення температури, яка ви-пливає з (8), знаходимо

Θ(ξ, n, z, s) =2πΛ (1− e−sts) e−κς

sκ(ξ2 + Pe2)×

×M∑j=1

q∗j [ψn(ξρj , P eρj)− ψn(ξρj−1, P eρj−1)] . (21)

Використавши iнтеграл Дюгамеля [3] та врахо-вуючи, що функцiя e−κς/(sκ), де κ дається фор-мулою (13), має табличний оригiнал по Лапласу[4]

L−1

(e−κς

sκ

)=

Φ(ξ, ς, Fo, P e)

2(ξ2 + Pe2)1/2,

Φ(ξ, ς,Fo, P e) = e−ς√ξ2+Pe2×

×erfc

(ς

2√Fo

−√Fo(ξ2 + Pe2)

)−

−eς√ξ2+Pe2erfc

(ς

2√Fo

+√Fo(ξ2 + Pe2)

), (22)

з виразу (21) отримуємо

Θ(ξ, n, z, t) =

= πΛM∑j=1

q∗j [ϕn(ξρj , P eρj)− ϕn(ξρj−1, P eρj−1)]×

×[Φ(ξ, ς,Fo, P e)H(Fo) −Φ(ξ, ς,Fo−Fos, P e)H(Fo−Fos)] ,

ϕn(ξ, Pe) =ψn(ξ, Pe)

2(ξ2 + Pe2)3/2, Fos =

ktsa2.

(23)



Пiсля застосування до (23) формул оберне-них перетворень Ганкеля i косинус-перетворенняФур’є

Θ(r, n, z, t) =

∞∫0

ξ Θ(ξ, n, z, t)Jn(ξρ) dξ,

Θ(r, ϕ, z, t) =1

π

∞∑n=0

′Θ(r, n, z, t) cosnϕ

знаходимо

Θ(r, ϕ, z, t) = Λ

∞∑n=0

′cosnϕ×

×∞∫0

ξM∑j=1

q∗j [ϕn(ξρj , P eρj)− ϕn(ξρj−1, P eρj−1)]×

× [Φ(ξ, ς,Fo, P e)H(Fo)− Φ(ξ, ς,Fo− Fos, P e)×(24)

×H(Fo− Fos)] Jn(ξρ) dξ.

З урахуванням замiни (2), температуру в пiв-просторi в околi ГП при перехiдних процесах ви-значаємо за формулою

T (r, ϕ, z, t) = e−Peρ cosϕΘ(r, ϕ, z, t), (25)

де Θ(r, ϕ, z, t) дається виразом (24).Вважаючи, що потужнiсть поверхневого дже-

рела стала i рiвна q = γfV p0 з (24) отримуємотакий вираз для функцiї Θ(r, ϕ, z, t)

Θ(r, ϕ, z, t) = q0

∞∑n=0

′cosnϕ× (26)

×∞∫0

ξϕn(ξ, Pe)Φ(ξ, ς,Fo, P e)Jn(ξρ) dξ.

Якщо джерело тепла нерухоме (Pe = 0), томає мiсце осьова симетрiя задачi i, отже, в фор-мулi (26) слiд обмежитись першим членом ряду(n = 0). При цьому функцiї ψ0 (18) i ϕ0 (23) вiд-повiдно рiвнi ξJ1(ξ) i ξ−3ψ0(ξ). Тому

T (r, z, t) =Λ

2

∞∫0

ξ−1Φ(ξ, ς,Fo, 0)J1(ξ)J0(ξρ) dξ,

що повнiстю збiгається з результатом роботи [5].Вiдзначимо, що в усталеному станi нагрiву, ко-

ли t→ ∞ (Fo → ∞) i ς = 0 функцiя Φ (22) рiвна 2i температура поверхнi при ς = 0 буде визначатисявиразом:

T (r, ϕ) = 2Λ

∞∑n=0

′cosnϕ

∞∫0

ξϕn(ξ, Pe)Jn(ξρ) dξ.

(27)З формули (27) при Pe = 0 випливає, що

T (r) = Λ

∞∫0

ξ−1 J1(ξ)J0(ξρ) dξ. (28)

Iнтеграл типу Вебера-Шафхейтлiна у правiйчастинi виразу (28) вiдобразимо з допомогою гi-пергеометричної функцiї 2F1 та елiптичного iнте-гралу другого роду E [6]

T (r) =

{Λ 2πE ( ρ) , 0 � ρ � 1,

Λ2ρ 2F1

(12 ,

12 ; 2;

1ρ2

), ρ > 1.

(29)

Значення стацiонарної температури (29) приρ � 1 збiгається з результатом М.В. Коровчин-ського [7]. Максимальне значення цiєї температу-ри досягається в центрi нерухомої ГП i дорiвнює

Tmax = q0. (30)

Одержанi залежностi (25)–(29) використанiпри проведеннi числового аналiзу кiнетики тепло-вих процесiв на локальних дiлянках при дiї ГП на-грiву по поверхнi пiвпростору.

На рис.1 показано перерiз iзотермiчних повер-хонь поздовжньою площиною Oxz, яка проходитьчерез вiсь руху джерела, а на рис.2 – поперечноюплощиною Oyz, що перетинає джерело нагрiву.

Рис.1.



Рис.2.

Рис.3.

Тут же вiдображенi кривi розподiлу темпера-тури по осях координат Ox i Oy вiдповiдно причотирьох рiзних значеннях z/a вiддалi вiд поверх-нi нагрiву. Графiки побудовано шляхом обчисленьза отриманими залежностями (27) (усталений станнагрiву) при Pe = 1. Безрозмiрну температуру ви-значимо як θ = T /Λ, де величина Λ дається у вiд-повiдностi до (5). Видно, що iзотермiчнi поверх-нi – це замкнутi поверхнi обертання вiдносно осiOx, рiзко стиснутi в областi перед джерелом на-грiву. Найближче розмiщенi до джерела iзотермина рис.1 та рис.2 мають форму пiвовалiв, витя-гнутих вздовж джерела i сплюснутих в напрям-ку осi Oz. У мiру вiддалення вiд джерела формаiзотерм наближається до кругової. Найбiльшi зна-чення температур та їхнiх градiєнтiв спостерiгаю-ться на поверхнi тертя в областi, в якiй розмiщеноджерело.

Розподiл стацiонарної поверхневої температу-ри по осях Ox i Oy у залежностi вiд швидкостiперемiщення ГП показано на рис.3 та рис.4.

Рис.4.

Рис.5.

На цих графiках кривi побудовано для чоти-рьох рiзних значень критерiю Пекле.

Характерною особливiстю наведених тут кри-вих є те, що швидкiсть перемiщення ГП майже невпливає на розподiл усталеної температури по осiOx в областi за джерелом. У зонi нагрiвання i спе-реду її збiльшення швидкостi руху ГП приводитьдо пониження температури i збiльшення її градi-єнта.

На рис.5 показано кривi залежностi глибини,на якiй досягається максимальна стацiонарна тем-пература, вiд швидкостi перемiщення ГП. Кривiпобудовано при тих же значеннях критерiя Пекле,що i на рис. 3.

Чим вища швидкiсть, тим нижче розмiщую-ться кривi максимальних температур i тим самимна меншiй глибинi температурний вплив рухомогоджерела є практично не вiдчутним. Глибина гра-ничного розповсюдження максимального значен-ня температури є найбiльшою при нерухомiй ГП iзменшується при збiльшеннi швидкостi руху дже-рела нагрiву. Максимальне значення θ прямує до1 при Pe = 0 на граничнiй поверхнi, як i має бутивiдповiдно до формули (30).



Рис.6.

Процес теплонасичення при нагрiвi рухомимджерелом тепла, згiдно з фундаментальними пра-цями М.М. Рикалiна [8], полягає в тому, що тем-пература пiдвищується вiд початкового до темпе-ратури граничного (усталеного) стану. Коефiцiєнттеплонасичення β визначимо як вiдношення тем-ператури, що дається виразом (25) фiксованогоелемента поверхнi z = 0 в розглядуваний моментчасу до стацiонарної температури (27) (у випад-ку шару скiнченої товщини це значення даєтьсяформулою (36)). Перехiднi процеси, якi характе-ризуються змiною коефiцiєнта теплонасичення β вточках поверхнi нагрiву з декiлькома рiзними зна-ченнями радiальної координати ρ = r/a показанона рис.6. Проведенi дослiдження показали, що вобластi нагрiву ρ � 1 температура майже миттє-во досягає значення рiвного 87 % вiд температурив стацiонарному станi. Дальше пiдвищення темпе-ратури в цiй областi вiдбувається дуже повiльно.В зонах, близьких до джерела (1 � ρ � 3), одноча-сно з нагрiвом починається зростання температу-ри, далi швидкiсть її пiдвищення загальмовуєтьсяi температура видiленої зони асимптотично набли-жається до усталеної (β → 1). У вiддалених зонах(ρ > 3) помiтне зростання температури починає-ться тим пiзнiше, чим далi вона розмiщується вiдджерела нагрiву. Слiд вiдзначити, що найбiльш пi-знiше усталений стан нагрiву наступає при нерухо-мому джерелi. При збiльшеннi швидкостi перемi-щення ГП вiдбувається бiльш швидке досягненнястацiонарного стану.

Проводилося також дослiдження перехiднихпроцесiв охолодження тiла пiсля “вiдключення”поверхневого джерела тепла в деякий момент ча-су ts. Температурне поле Ts в процесi охолоджен-ня пiсля закiнчення нагрiву визначалося методомджерел [9] шляхом накладення поля додатньогоджерела, що дiє на промiжку часу вiд 0 до t наполе вiд’ємного джерела, яке дiє вiд 0 до t − tsтаким чином:

Рис.7.

Ts(r, ϕ, z, t) = T (r, ϕ, z, t)H(t)−T (r, ϕ, z, t−ts)H(t−ts),де просторовий розподiл температурного поля Tвизначається формулою (26), причому у випадкупiвпростору функцiяΘ дається формулою (25), а увипадку шару – (3.32). Змiна безрозмiрної поверх-невої температури θs = Ts/q0 елементiв поверхнiна осi нагрiву в процесi вирiвнювання температу-ри пiсля закiнчення нагрiву тривалiстю Fos = 2показано на рис.7.

У точках поверхнi, найбiльш близьких до дже-рела, де температура в момент закiнчення нагрiвублизька до граничної, починається iнтенсивне їїзменшення вiдразу в момент завершення дiї дже-рела нагрiву (кривi зi значеннями x/a = 0, 1 таx/a = 1). У бiльш вiддалених зонах, стан яких да-лекий вiд граничного, температура упродовж де-якого часу по закiнченню нагрiвання продовжуєзростати за рахунок перерозподiлу тепла по тiлу,проходить через свiй максимум i далi починає спа-дати. При цьому температура в дiлянках тiла, роз-мiщених на рiзних вiддалях вiд джерела, має тен-денцiю до вирiвнювання.

Отже, проведенi числовi дослiдження показа-ли:

найбiльший вплив на температуру та її градi-єнти спостерiгається на поверхнi тертя в околi кру-гової областi нагрiву 0 � ρ � 1, 5;

в областi нагрiву i спереду її збiльшення швид-костi перемiщення ГП приводить до пониженнятемператури та збiльшення її градiєнтiв, а в обла-стi позаду джерела швидкiсть не впливає на роз-подiл температури;

зi збiльшенням швидкостi тривалiсть перехi-дного процесу локального нагрiвання скорочує-ться;

пiсля припинення нагрiву найбiльш рiзко охо-лоджується область 0 � ρ � 1, яку займає ГП, алеперехiдний процес вiд усталеного стану до повногоохолодження тут найменш тривалий.



Бiблiоґрафiя[1] Галицын А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах те-

плопроводности. – Киев: Наук. думка, 1976. – 282 с.[2] Прудников А.П., БрычковЮ.А., Марычев О.М. Интегралы и ряды. Специальные функции. – М.: Наука,

1983. – 752 с.[3] Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 598 с.[4] Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Наука, 1965. – 468 с.[5] Yevtushenko A.A., Ivanyk E.G., Sykora O.V. The transitive temperature processes in local friction contact //

Int. J. Heat Mass Transfer. – 1995. – 38, № 13. – P. 2395–2401.[6] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1986. –

1108 с.[7] Коровчинский М.В. Локальный термический контакт при квазистационарном тепловыделении в про-

цессе трения // Теория трения и износа. – М.: Наука, 1965. – C. 73–140.[8] Рыкалин Н.Н. Пространственное распределение температуры при дуговой сварке. – М.-Л.: Изд-во АН

СССР, 1941. – 56 с.[9] Рыкалин Н.Н. Тепловые основы сварки. Ч. 1. Процессы распространения тепла при дуговой сварке. –

М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. – 272 с.


38 Баранецький В. I., Гадзаман I. В.

УДК 519.237.5/.7: 519.242.5/.7: 519.688

Використання середовища Mathematica для оптимiзацiї аналiтичного записурiвнянь регресiї n-го порядкуБаранецький В. I., Гадзаман I. В.



У статтi розглянуто аналiтичний метод побудови рiвнянь регресiї n-го порядку для q-мiрного сим-плексу за допомогою системи Mathematica у афiннiй та декартовiй системах координат.

Враховуючи складний характер явищ i проце-сiв, що вивчаються у сучасних умовах, високу вар-тiсть експлуатацiї наукового устаткування, необ-хiднiсть скорочення термiнiв переходу вiд лабора-торних дослiджень до практичного впровадженняпотрiбно не тiльки скоротити цей шлях, а й рiз-ко зменшити кiлькiсть необхiдних експериментiв,швидко виявити оптимум чи провести опис областiоптимуму. Використання обчислювальної технiкидля реалiзацiї методiв математичної статистикизмiнює традицiйнi пiдходи до проведення експе-рименту. Це дає можливiсть перейти вiд ручногоуправлiння, контролю, збору i обробки iнформацiїдо дiалогової системи: експериментатор – ЕОМ,у основi якої є iнтегрованi унiверсальнi матема-тичнi середовища Mathematica, Maple, MATLAB,STATISTICA i т.п.

Експериментально-статистичнi методи даютьзмогу отримувати математичнi моделi таких про-цесiв, строгий детермiнований, опис яких взагалiвiдсутнiй. Методи оптимального планування екс-перименту передбачають одночасну змiну всiх па-раметрiв, якi впливають на процес або явище.На практицi для побудови таких моделей набу-ли широкого застосування плани Шеффє, Кiфера,Бокса, Дрейпера-Лоуренса, Налiмова, ПФЕ [1–4].Основою побудови математичних моделей для цихпланiв є апарат регресiйного аналiзу. Оскiльки вбiльшостi задач з вивчення поверхнi вiдклику, за-лежнiсть мiж вiдкликом i незалежними змiнними(факторами) невiдома, то, на першому етапi необ-хiдно знайти апроксимуючу функцiю, загальнийвигляд якої можна подати у виглядi звичайногополiному степенi n вiд q змiнних, що мiстить Cnq+nкоефiцiєнтiв:

Y = b0 +∑

1�i�qbixi +

∑1�i�j�q

bijxixj+

+∑

1�i�j�k�qbijkxixjxk+

+∑

1�i�j�k�l�qbijklxixjxkxl + ...,

(1)

де Y – функцiя вiдклику (вихiдний параметр); xi –вхiднi змiннi, фактори (регульованi керуючi пара-метри); b0, bi, bij i т.д. – коефiцiєнти полiному (рiв-няння регресiї); n – число вхiдних змiнних.

Пiд час планування експерименту при вивчен-нi дiаграм склад-властивiсть факторний простiр –це правильний (q-1)-мiрний симплекс, для якого вафiннiй системi координат виконується спiввiдно-шення

q∑i=1

xi = 1. (2)

q = 3 правильний симплекс – це рiвностороннiйтрикутник, де кожна з точок трикутника вiдпо-вiдає одному складу потрiйної системи, i, навпаки,кожний склад визначається однiєю точкою. Дляq = 4 правильний симплекс є тетраедром, кожнавершина якого вiдповiдає 100% вмiсту вихiднихкомпонент. Таким чином, зберiгається можливiстьграфiчної iнтерпретацiї результатiв (див. рис.1).

Рис.1. Концентрацiйний трикутник Розебума

Поряд з афiнною системою координат, в пла-нах Дрейпера-Лоуренса для трикомпонентних си-стем використовується декартова система коорди-нат, де початок вiдлiку збiгається з центром ва-ги трикутника, а одна iз вершин трикутника ле-жить на однiй iз осей координат (див. рис.2), щоуможливлює зменшити кiлькiсть (членiв) додан-кiв полiному (1) [5].


Аналiтичний запис рiвнянь регресiї 39

Рис.2. Система координат для планiв Дрейпера-ЛоуренсаРозебума

Оскiльки традицiйно у фiзико-хiмiчних дослi-дженнях використовується афiнна система, яка єбiльш зручною для графiчної iнтерпретацiї матри-цi планування та аналiзу поверхнi вiдклику, то урядi випадкiв доцiльно здiйснити перехiд мiж ци-ми двома системами координат. У випадку три-мiрного симплексу мiж афiнною (х1, х2, х3) i де-картовою (z1, z2) системою координат iснує такийзв’язок:

x1 = 13 (−3z1 − z2

√3 +m),

x2 = 13 (3z1 − z2

√3 +m),

x3 = 13 (2z2

√3 +m),

(3)

z1 = 12 (−x1 + x2),

z2 =√36 (−x1 − x2 + 2x3),

(4)

де m – довжина сторони концентрацiйного трику-тника.

Поверхня вiдклику в багатокомпонентних си-стемах має, як правило, дуже складний характер.У таких випадках для побудови адекватної мате-матичної моделi застосовують плани вiд другогодо восьмого порядкiв [1, 2]. Однак коли степiньполiному (1) перевищує 2, знаходження аналiти-чного запису рiвняння регресiї (в т. ч. при пере-ходi з однiєї системи координат в iншу) складаєпевнi труднощi та передбачає виконання значно-го обсягу рутинної роботи, де легко допустити по-милки. Тому для знаходження аналiтичного запи-су рiвняння регресiї доцiльним є скористатися си-стемами комп’ютерної математики. На прикладiоднiєї iз них, а саме Mathematica, реалiзуємо ана-лiтичний запис рiвняння регресiї n-го порядку дляq-компонентної системи [6].

Очевидно, що доданки рiвняння регресiї (1) неє чим iншим, як комбiнацiєю xi, i = 1, 2, ..., q, якiпомноженi на вiдповiднi коефiцiєнти bi, bij , bijk....

Для побудови таких комбiнацiй скористаємоськомандою Tuples. Загальний вигляд цiєї командитакий:

Tuples[list, n],де list – масив елементiв (у нашому випадкуq∏i=1

xi), n – порядок рiвняння регресiї. Пiсля ви-

конання цiєї команди отримаємо вкладенi спискивсiх можливих n-кортежiв елементiв списку list.Для подальшого використання цi списки потрiбнозвести до одновимiрного масиву та усунути одна-ковi елементи за допомогою команд Flatten та Uni-on. Перша з них зводить вкладенi списки до одно-вимiрного, а друга – вiдсiває однаковi елементи.

Рис.3. Програмна реалiзацiя побудови аналiтичноговигляду рiвняння регресiї для n = 4, q = 3 у афiннiй

системi координат

Рис.4. Програмна реалiзацiя побудови аналiтичноговигляду рiвняння регресiї для n = 4, q = 3 у декартовiй

системi координат

Для того, щоб сформувати масив коефiцiєнтiвз вiдповiдними iндексами, необхiдно скористатисякомандою Exponent, що визначає найбiльший сте-пiнь полiнома. Використавши її у циклi, побудуємомасив коефiцiєнтiв bi, bij , bijk ... .

На рис.3 i рис.4 наведена програмна реалiза-цiя рiвняння (1) в афiннiй та декартовiй системiкоординат.

Запропонований метод побудови рiвняння ре-гресiї n-го порядку для q-мiрного симплексузначно спрощує подальшу оцiнку коефiцiєнтiвbi, bij , bijk..., яку можна здiйснити в Mathematicaза допомогою функцiї Fit.


40 Баранецький В. I., Гадзаман I. В.

Бiблiоґрафiя[1] Чалый В.Д. Планы эксперимента высоких порядков для идентификации объектов. – М.: МИФИ, 1987.[2] Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химической технологии. – М.: Высш. школа,

1985. – 327 с.[3] Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных: Пер. с англ. – Л.: Судостроение, 1980. –

384 с.[4] Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества. М.: Государственное изда-

тельство физико-математической литературы, 1960. – 430 с.[5] Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. К.: Диалектика, 2007. – 912 с.[6] Дьяконов В.П. Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических расчетах. М.: СОЛОН-

Пресс, 2004. – 316 с.


Чисельне розв’язування оберненої задачi 41

УДК 519.62, 519.63

Чисельне розв’язування оберненої задачi для рiвняння Лапласа восесиметричному випадку

Дорошенко М.В., Лазурчак Л.В., Берегуляк Л. В.



Розглядається обернена задача теорiї потенцiалу знаходження оптимальної геометрiї граничних поверхоньта оптимального розподiлу граничних потенцiалiв в осесиметричному випадку. Методика розв’язання оберненоїзадачi зводиться до мiнiмiзацiї деякого функцiоналу та розв’язуваннi системи iнтегральних рiвнянь Фредгольмапершого роду з логарифмiчною особливiстю.

Постановка проблеми

Крайовi задачi математичної фiзики подiляю-ться на прямi та оберненi.

У прямих задачах потрiбно знайти характери-стики поля при вiдомих геометрiї граничних по-верхонь та крайових умовах. В обернених – кра-йовi умови та геометрiю граничних поверхонь, якiреалiзують заданi характеристики поля.

Розв’язання прямої задачi теорiї потенцiалупри розрахунку електростатичних полiв, якi ство-рюють електронно-оптичнi системи, зводиться дорозв’язання внутрiшньої та зовнiшньої задачi Дi-рiхле для рiвняння Лапласа.

Задача знаходження оптимального розподiлуграничних потенцiалiв та оптимальної геометрiїграничних поверхонь є актуальною при проекту-ваннi електронно-оптичних систем, якi реалiзу-ють заданi параметри електронно-оптичних си-стем. Така задача зводиться до розв’язання де-яких обернених задач математичної фiзики.

Оберненi задачi математичної фiзики часто вкласичному змiстi поставленi некоректно, тобто,малим змiнам у функцiоналах можуть вiдповiдативеликi змiни у розв’язку задачi [5]. Тому розробкаефективних алгоритмiв рiшення обернених задачматематичної фiзики є достатньо актуальною про-блемою.

Аналiз попереднiх публiкацiй

Ефективним методом розв’язання прямої за-дачi є метод iнтегральних рiвнянь, що застосову-вався для розв’язання задачi Дiрiхле для рiвнян-ня Лапласа в роботах [1, 4]. За допомогою данно-го методу розв’язання зовнiшньої та внутрiшньоїзадач Дiрiхле для рiвняння Лапласа зводитьсядо розв’язання iнтегральних рiвнянь Фредгольмапершого роду зi слабкою особливiстю в ядрi. Ефе-ктивнiсть методу iнтегральних рiвнянь полягає втому, що розмiрнiсть задачi зменшується на оди-ницю.

Задача знаходження оптимальних конструкцiйелектронно-оптичних систем, яка зводиться дорозв’язання обернених задач теорiї потенцiалу,розглядалась в роботах [3, 6, 7].

У роботах [3, 6] при знаходженнi оптимальнихконструкцiй електронно-оптичних систем розв’я-зувалися iнтегральнi рiвняння у варiацiях i здiй-снювалась мiнiмiзацiя деякого фунцiоналу.

У роботi [7] розглянута обернена задача рекон-струкцiї границi обмеженого включення у частко-во необмежену канонiчну область задачi Дiрiхледля рiвняння Лапласа. Для розв’язку такої зада-чi застосовувався гiбридний метод, який полягаєв наступному: методом Ньютона здiйснюється лi-неаризацiя вiдповiдного нелiнiйного операторногорiвняння, до якого зводиться розв’язок оберненоїзадачi, використовується технiка функцiй Грiнадля того, щоб розв’язок задачi звести до розв’язкудеякого iнтегрального рiвняння першого роду.

Мета роботи: розробка чисельних алгоритмiвдля знаходження оптимального розподiлу грани-чних потенцiалiв та знаходження оптимальної гео-метрiї граничних поверхонь в осесиметричномувипадку при заданому розподiлу потенцiалу на осiсиметрiї, якi полягають у знаходженнi мiнiмумiвдеяких функцiоналiв та розв’язуваннi iнтеграль-них рiвнянь Фредгольма першого роду.

Виклад основних результатiвНа вiдрiзку [a, b] осi OZ цилiндричної системи

координат (r, z, ϕ) задана деяка достатньо глад-ка функцiя U0 (z) . Необхiдно знайти розподiлпотенцiалiв

{V

(i)0

}mi=1

на осi симетрiї розiмкнутих

поверхонь{S =

m⋃i=1

Si

}, якi створюють осесиме-

тричне електростатичне поле U (r, z)при умовi, щоU (0, z) = U0 (z) , z ∈ [a, b]. ФункцiяU (r, z) єрозв’язком такої задачi Дiрiхле для рiвняння Ла-пласа:

∂2U

∂r2+

1

r

∂u

∂r+∂2u

∂z2= 0 (1)

U (r, z) = V(i)0 , (r, z) ∈ Si (2)

lim(r,z)→∞

U (r, z) = 0 (3)

Невiдомi потенцiали V (i)0 потрiбно визначати з

умови U (0, z) = U0 (z).


42 Дорошенко М.В., Лазурчак Л.В., Берегуляк Л.В.

Розв’язок задачi (1)–(3) представимо в такомувиглядi:

U (r, z) =

m∑i=1

V0

(i)

ϕi (z) (4)

де ϕi (r, z) є розв’язки таких характеристичнихкрайових задач:

Δϕi (r, z) = 0, (5)

де ϕi (r, z) =

{0, якщо (r, z) /∈ Si1, якщо (r, z) ∈ Si

i

lim(r,z)→∞

ϕi (r, z) = 0

Розв’язки задачi (5) не залежать вiд заданихна поверхнях потенцiалiв.

Невiдомi потенцiали V (i)0 є розв’язком такої за-

дачi:

F(V

(1)0 , V

(2)0 ..., V

(m)0

)= (6)

= min ||U0 (z)−m∑i=1

V(i)0 ϕi (z) ||2,

де ||g (z) ||2 = 1b−a

b∫a

|g (z) |2dz.Суттєвим при знаходженнi мiнiмуму функцiо-

нала (6) є дослiдження лiнiйної незалежностi фун-кцiй {ϕi (z)}mi=1.

Проблема лiнiйної незалежностi пов’язана з до-слiдженням єдиностi розв’язку даної задачi.

Теорема. Якщо U0 (z) = 0, на, [a, b], то за-дача має тривiальний розв’язок, тобтоV

(i)0 = 0, i = 1,m.Доведення. Нехай iснує деяка функцiя W (r, z)

яка є розв’язком задачi (1) – (3)Константи V (i)

0 не дорiвнюють нулю i виконує-ться умова W (0, z) = U0 (z) = 0, z ∈ [a, b].

Покажемо, що W (r, z) ≡ 0 в R3.Нехай z0 – середина вiдрiзка [a, b]. Опишемо

сферу∑

ε (z0) з центром у точцi z0 радiуса ε.Числоε вибираємо так, щоб сфера

∑ε (z0) не до-

тикалась до граничних поверхонь Si i точки z = ai z = b знаходилися поза сферою. Функцiя W (r, z)є гармонiчною в

∑ε (z0). Позначимо С коло, утво-

рене перетином площини ϕ = 0i∑

ε (z0). ОскiлькиW (0, z0 + ε) =W (0, z0 − ε) = 0, то з принципу ма-ксимуму, випливає, що iснує точка W (r, z), така,що W (r, z) = 0.

У протилежному випадку W (r, z) � 0,W (r, z) � 0. Припустимо, що, якщо(r, z) ∈ ∑ ε (z0). На основi теореми про середнєдля гармонiчних функцiй маємо

W (0, z) = 12π

∫ ∫∑ε(z0)

W (r, z)ds = 0.

З цiєї формули отримаємо, що W (r, z) = 0на∑

ε (z0). З теореми єдиностi випливає, щоW (r, z) ≡ 0 в кулi Kε (r, z). Аналогiчно отриму-ємо такий самий результат у випадку, колиW (r, z) � 0, (r, z) ∈∑ ε(z0).

Нехай на частинi кола Cε, обмеженої точками(0, z0 − ε) i (r, z) ∈ ∑ ε (z0) функцiя W (r, z) � 0.Розглянемо сферу

∑ε1 (z0), де ε1 < ε. Оскiль-

ки функцiя W (r, z) неперервна, то на основi на-ведених вище мiркувань, дiстаємо, що iснуєточка (r, z) ∈ C, де W (r, z) = 0. Вибере-мо ε2 > ε1, ..., εn > εn−1, так, що lim

n→∞εn = 0.Ми одержали, що на площинi ϕ = 0 iснує деякакрива Γ з кiнцями (r, z) ∈ C i (0, z0), на якiйW (r, z) ≡ 0. Також в областi G, яка утворена обер-танням навколо осi Z кривої Γ i кола Сε,функцiяW (r, z) ≡ 0. Оскiльки W (r, z) � 0 на

∑Γ (z1), то

W (r, z) ≡ 0на∑

Γ (z1). З теореми єдиностi дiстає-мо,що W (r, z) ≡ 0, якщо (r, z) ∈ KΓ (z1).

Отже, ми показали, що iснує деяка куля K, вякiй функцiя W (r, z) ≡ 0.

Розглянемо тепер довiльну область B ∈ R3,яка мiстить дану кулю K i гранична поверхняS знаходиться поза B. Оскiльки за умовою фун-кцiя W (r, z) є гармонiчною у B, то дiстанемо, щоW (r, z) ≡ 0, якщо(r, z) ∈ B.

Оскiльки область B вибрана довiльно, то отри-муємо W (r, z) ≡ 0 для довiльної точки (r, z) по-за S, то W (r, z) ≡ 0,(r, z) ∈ B, тобто V (i)

0 = 0,i = 1,m.

Теорема доведена.Чисельне розв’язування даної задачi зводиться

до розв’язування двох таких задач:Системи одномiрних iнтегральних рiвнянь

Фредгольма першого роду

m∑i=1

∫Li

μ(i) (r, z)Ej(i) (r, z, r, z)dli = δij , (7)

де μ(i) (r, z) – шуканi функцiї,

Ej(i) (r, z, r, z) =Kj(i) (k) r(i)((

r(i) + r(j))2

+(z(i) − z(j)

)2) 12

,

Kj(i) (k) – повнi елiптичнi iнтеграли першогороду; i = 1,m ,j = 1,m.

δij =

{0, якщо i �= j1, якщо i = j.

Мiнiмiзацiї функцiоналу:

F(V

(1)0 , V

(2)0 , ..., V

(m)0

)=

∥∥∥∥∥U0 (z)−m∑i=1

V(i)0 ϕi (z)

∥∥∥∥∥2

,

(8)де



Ui (0, z) =

∫Li

μ(i) (r.z)E(i) (r, z, 0, z) dl,

ϕi (z) = Ui (0, z) .

Невiдомi функцiї μ(i) (r, z) мають сингулярнуособливiсть на краях розiмкнутих поверхонь, аядро – логарифмiчну особливiсть при сумiщен-нi точки спостереження з точкою iнтегрування.Якщо поверхнi замкнутi, то отримнi iнтегральнiрiвняння Фредгольма мають тiльки логарифмiчнуособливiсть.

Для розв’язування системи iнтегральних рiв-нянь застосовувався метод колокацiї, а невiдомiфункцiї μ(i) (r, z) представлялися за допомогоюкубiчних сплайнiв [2].

Нехай кривi Li заданi параметрично

ri = ri (t) , zi = zi (t) , ai � t � bi.

На вiдрiзках [ai, bi] виберемо вузловi токиai = t0 < t1 < ... < tn = bi. Невiдомi функцiїμ(i)k (t) = μ

(i)k (ri (t) , zi (t)) на кожному iнтервалi

[tk, tk+1] представимо в такому вилядi:

μ(i)k (τ) = (1− τ)

2(1 + 2τ)μ

(i)k + (3− 2τ) τ2μ

(i)k+1+

+(1− τ )2hkμ

′(i)k + τ2 (τ − 1)hk+1μ

′(i)k+1

hk = tk+1 − tk, τ =t− tkhk

.

Невiдомi функцiї на Li представимо так:

μ(i) (τ) =n−1∑k=0

μ(i)k (τ) θk (τ),

де θk(τ) – функцiї, якi враховують особливiсть накраю поверхонь Si [4] i мають такий вигляд:

θ1 (τ) = (τ − a)−n1 , θn (τ) = (b− τ )

−n2 , θk (τ) = 1,

k = 2, n− 1, 0 � n1 � 1, 0 � n2 � 1.

У результатi застосування для розв’язку систе-ми iнтегральних рiвнянь Фредгольма першого ро-ду (7) методу колокацiї отримуємо систему лiнiй-них алгебраїчних рiвнянь, коефiцiєнти якої маютьособливостi завдяки особливостям на краю розi-мкнутих поверхонь та в ядрах iнтегральних рiв-нянь. Особливостi на краю розiмкнутих поверхоньвидiляються замiною змiнних [4]. Логарифмiчнаособливiсть в ядрi видiляється за методикою осла-блення особливостейКанторовича, тобто вiд пiдiн-тегральної функцiї вiднiмається та додається фун-кцiя, яка поводить себе в особливiй точцi як пi-дiнтегральна функцiя, а iнтеграл вiд неї знаходи-ться аналiтично. Для наближеного обчислення ко-ефiцiєнтiв матрицi системи лiнiйних алгебраїчних

рiвнянь використовувалася квадратурна формулаГауса. При чисельнiй реалiзацiї методу колокацiїдля наближеного обчислення iнтегралiв з логари-фмiчною особливiстю використовувалася квадра-турна формула з ваговою функцiєю ln 1/x.

Невiдомi V (i)0 знаходилися з необхiдної умови

мiнiмуму функцiонала (8), тобто такої системи лi-нiйних алгебраїчних рiвнянь:

∂F(V

(1)0 ,V

(2)0 ,...,V

(m)0

)

∂V(i)0

= 0, i = 1,m.

Чисельна реалiзацiя запропонованої методикиздiйснювалась у прикладнiй системi MatLab. Вiд-носна похибка розрахунку тестових прикладiв неперевищувала 0,05% .

Тепер розглянемо обернену задачу теорiї по-тенцiалу, яка полягає в знаходженнi невiдомої гео-метрiї областi, якщо вiдомий осьовий розподiл по-тенцiалу поля Φ(z) на промiжку [a,b]. Наближенийрозв’язок такої задачi базується на методi iнте-гральних рiвнянь та теорiї малих збурень, а саме:малi збурення δrрегулярної областi L породжуютьзбурення потенцiалу δu = −(∇U, δr), де ∇U – ве-личина градiєнта поля на незбуренiй границi.

Застосовуючи теорiю малих збурень [5], невiдо-ме параметричне представлення геометрiї областiбудемо шукати в такому виглядi:

rk(α) = rk−1(α) + δr(α),

zk(α) = zk−1(α) + δz(α),(9)

де r0(α), z0(α) – вибираються на основi апрiорноїiнформацiї про невiдому достатньо гладку замкну-ту область, а варiацiї δr(α), δz(α) подамо так:

δr(α) =

n∑i=1

aiϕi(α), δz(α) =

m∑i=1

biψi(α), (10)

ϕi(α), ψi(α) – базиснi функцiї.Невiдому густину будемо представляти анало-

гiчно, а саме:

μk (α) = μk−1 (α) + δμ (α) , (11)

де

δμ (α) =

l∑i=1

ciτi (α).

Алгоритм знаходження невiдомої геометрiїобластi зводиться до такої iтерацiйної чисельноїсхеми:

1. При заданому rk−1(α) i zk−1(α) розв’язуємоiнтегральне рiвняння Фредгольма першого роду, асаме рiвняння виду:∫

L

μk−1(r, z)E(r, z, r, z)dl = U0, (12)


44 Дорошенко М.В., Лазурчак Л.В., Берегуляк Л.В.

де μk−1 (r, z) – шукана густина на k − 1 кроцi iте-рацiї;

E (r, z, r, z) =K (k) r(

(r + r)2+ (z − z)

2) 1

2

.

Для чисельного розв’язування iнтегральногорiвняння (12) застосовуємо метод колокацiї, а невi-дому густину подаємо у виглядi кубiчних сплайн-функцiй. Логарифмiчна особливiсть в ядрi видi-ляться методом ослаблення особливостей Канто-ровича.

2. Визначення невiдомих коефiцiєнтiв ai, bi, ciзводиться до мiнiмiзацiї такого функцiоналу:

F (a1‘, a2, . . . , bn‘, c1, ..., cl) = (13)

= ‖Ф (z)− u (0, z)− δu (z)‖2L2[a,b],

де

δU (z) =

=

∫L(α)

(δμ (α)Gk−1 (α, z) + μk−1 (α)Vk−1 (α, z)) dα,

Gk−1 (α, z) = 2πrk−1(α)

Rk−1(α, z),

Vk−1(α, z) = 2π

(η(α)rk−1(α)

Rk−1(α, z)+

+ξ(α)rk−1(α)

R3k−1(α, z)

Fk−1(α)

),

ξ (α) = δr (α) (z − zk−1 (α))2+

+δz (α) rk−1 (α) (z − zk−1 (α)) ,

Rk−1 (α) =

√(zk−1 (α)− z)

2+ rk−1 (α).

Вигляд функцiї η(α) залежить вiд вибору кла-су малих збурень. Якщо розмiри поверхнi не змi-нюються, то η(α) = 0.

Використовуючи необхiдну умову iснуванняекстремума функцiонала (13), отримуємо некоре-ктну систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, якарозв’язується методом Тихонова з вибором пара-метра регуляризацiї за принципом нев’язки.

3. Iтерацiйний процес закiнчується у разi вико-нання такої умови:

‖rk (α) − rk−1 (α)‖ < ε,

‖zk (α) − zk−1 (α)‖ < ε.

Чисельна реалiзацiя запропонованої методикиздiйснювалася у прикладнiй системi MatLab. Вiд-носна похибка розрахунку тестових прикладiв неперевищувала 0,1%.

ВисновкиНа основi проведених дослiджень можна зро-

бити такi висновки:Чисельнi розрахунки показали, що досягнута

точнiсть достатня для розв’язування практичнихзадач.

Iтерацiйний алгоритм знаходження оптималь-ної геометрiї граничних поверхонь для модельнихприкладiв збiгається достатньо швидко.

Запропонований алгоритм розв’язування iнте-гральних рiвнянь першого роду дає змогу дося-гнути високу точнiсть при розв’язаннi модельнихзадач.

Для розв’язування iнтегральних рiвнянь за-пропонована єдина методика, а саме:• невiдома густина апроксимується за допомо-гою кубiчних сплайн-функцiй;

• логарифмiчна особливiсть в ядрi видiляєтьсяметодом ослаблення особливостей Канторови-ча;

• для чисельного обчислення iнтегралiв викори-стовується квадратурна формула Гауса.Перспективою дослiджень є знаходження

оптимального розподiлу граничних потенцiалiв таоптимальної геометрiї граничних поверхонь длясуттєво просторових задач.

Бiблiоґрафiя[1] Бакалец В.А., Людкевич И.В. Численное решение пространственных задач электронной оптики методом

интегральных уравнений. Учебное пособие. – Львов: Изд-во ЛГУ, 1986.[2] Дорошенко М.В., Дудник О.М., Пушак Я.С. Два пiдходи чисельного розв’язування iнтегральних рiвнянь

першого роду // Вiсн. ДУ “Львiвська полiтехнiка”. – 1998, – № 341, – С. 103–105.[3] Иванов В.Я. Методы математического моделирования задач электронной оптики. – Новосибирск: Изд-во

ВЦ СО АН СССР, 1986.[4] Ильин В.П. Чисельные методы решения задач электрофизики – М.: Наука, 1986.[5] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980.[6] Монастырский М.А. Интегральные уравнения в экстремальных задачах электронной оптики. – Новоси-

бирск: – Преринт ВЦ СО АН СССР, 1979. – 28 с.



[7] Chapko R., Kress R. A hybrid method for inverse boundary value problems in potential theory // Journal ofIII – Posed and Inverse Problems. – 2005. – 13. – P. 27–40.


46 Винницький Б. В., Шаповаловський О.В.

УДК 517.5

Про необхiднi умови повноти систем експонент з вагоюВинницький Б.В., Шаповаловський О.В.

[email protected]Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка,

кафедра матаналiзу, вул. Стрийська 3, м. Дрогобич, 82100

Отримано новi необхiднi умови повноти систем експонент{exp

(−α |t|p(|t|) − itλn

): n ∈ N

}в просторi

L2(−∞; +∞).

Питання про повноту {exp (−α |t|p − itλn)}∞n=1

системи в просторi L2(−∞; +∞) розглядалиБ. Факсен [1], Р. Залiк [2, 3], А.М. Сєдлєцкий [4].

Нехай (λn) – послiдовнiсть рiзних додатних чи-сел, таких що lim

n→∞ λn = +∞, p(t) – уточнений по-рядок, тобто така диференцiйовна на [0; +∞) фун-кцiя, для якої lim

t→+∞ p(t) = p, limt→+∞ tp′(t) ln t = 0.

Далi вважаємо, що p > 1. Тодi функцiя η(t) =tp(t)−1 є зростаючою при t � t0. Нехай q(t) =1 + (ln η−1(t))/ ln t, де η−1(t) – функцiя, оберненадо η(t). Тодi q(t) – уточнений порядок, lim

t→+∞ q(t) =

q, limt→+∞ tq′(t) ln t = 0 i 1/p+1/q = 1. Крiм цього,

η−1(t) = tq(t)−1. Через K1,K2(ε) i т.д. позначаємододатнi сталi.

Нашою метою є доведення такого твердження.Теорема 1. Якщо α > 0, p > 1, 1/p+1/q = 1 i

Δ0 := limn→∞

n

λq(λn)n

<(pα)1−q

πq

(sin

π

2q

)q, (1)

то система{exp(−α |t|p(|t|) − itλn

): n ∈ N

}(2)

не є повною в просторi L2(−∞; +∞).У випадку p(t) ≡ p дана теорема доведена

А.М. Сєдлєцким [4]. Наше доведення подiбне додоведення наведеного в [4], але ми не можемо вико-ристати, як в [4] результат К.I. Бабенка [5], оскiль-ки вiн встановлений для p(t) ≡ p. Крiм того, намтакож знадобляться наступнi двi леми, отриманi в[4].

Лема 1. Нехай q > 1 – цiле число, 1/p+1/q =1, h(θ) = − cos qθ, коли q – парне число, якщо жq – непарне число, то нехай h(θ) – π- перiодичнафункцiя, визначена умовами

h(θ) =

{ − cos qθ, 0 � θ < 3π/2q,|cos qθ| , 3π/2q � θ � π/2,

h(π/2 + θ) = h(π/2 − θ), 0 � θ � π/2. Тодiфункцiя h(θ) є тригонометрично q - опуклою i|sin qθ| + h(θ)tg(π/2p) � (sin(π/2q))−q |sin θ|q, 0 �θ < 2π, а також для будь-якого γ0 > 0 iснує ε > 0таке, що коли 0 � θ < 2π, то

|sin qθ|+ h(θ)tg(π/2p) + ε �

� (1 + γ0)(sin(π/2q))−q |sin θ|q , θ ∈ (0; 2π).

Лема 2. Нехай q > 1 – не цiле число, m0 –натуральне число, пiдiбране так, щоб

2 < 1/q + q/m0 < 4, (3)

H∗(θ) – π/m0- перiодична функцiя, визначена напромiжку [0;π/m0] рiвнiстю H∗(θ) = cos(qθ −πq/2m0)/ sin(πq/2m0), h(θ) – π/m0-перiодичнафункцiя, визначена на промiжку [0;π/2m0] умо-вами

h(θ) = −(sin

(π

2

(1

q+

q

m0

))/

(sin

π

2qsin

πq

2m0

))×

× cos qθ, 0 � θ � π

2m0,

h

(π

2m0+ θ

)= h

(π

2m0− θ

), 0 � θ � π

2m0.

Тодi h(θ) є тригонометрично q-опуклою функцi-єю,

H∗(θ) + h(θ) � (sin (π/2q))−q |sin θ|q , 0 � θ < 2π,

i для будь-якого γ0 > 0 iснує ε > 0 таке, що

H∗(θ) + h(θ) + ε � (1 + γ0) (sin (π/2q))−q |sin θ|q ,

0 � θ < 2π.

У [4] показано, що число m0, яке задовольняєумову (3), iснує.Доведення теореми 1. Потрiбно показати, що

iснує функцiя υ �= 0, υ ∈ L2(−∞; +∞), для якоївиконується

+∞∫−∞

υ(t) exp(−α |t|p(|t|) − itλn)dt = 0, n ∈ N.

Нехайlim

t→+∞n(t)

tq(t)= Δq.

Спочатку розглянемо випадок, коли q – цiле.Нехай F (z) = G(z)f(z), де функцiя G(z) має нулiв точках λn i iндикатор hG(θ) = πΔq |sin(qθ)|. Такафункцiя iснує [6] i має вигляд

G(z) =∞∏n=1

(1− z2q

λ2qn

),


Про необхiднi умови повноти систем експонент з вагою 47

i для неї справедлива оцiнка

|G(z)| � K1(ε)

1 + |z|2 exp{(πΔq |sin(qθ)|+ ε/2) |z|q(|z|)

}.

(4)Нехай h(θ) – функцiя з леми 1. Вона є 2π-

перiодичною i тригонометрично q-опуклою. Теж саме можна сказати про функцiю h0(θ) =πΔqtg (π/(2p))h(θ), оскiльки множник при h(θ) єдодатним. Отже, [7, 8], iснує цiла функцiя f(z) зiндикатором h0(θ) при уточненому порядку q(t).Для будь-якого ε > 0 одержуємо

|f(z)| � K2(ε)× (5)

× exp

{(πΔqtg

(π

2p

)h(θ) + ε/2

)|z|q(|z|)

}.

З (4) i (5) при 0 � |θ| � π для функцiї F (z) =G(z)f(z) отримуємо оцiнку

|F (z)| � K3 (ε)

1 + |z|2 exp {(πΔq |sin (qθ)| +

πΔqtg (π/ (2p))h (θ) + ε) |z|q(|z|)}.

Враховуючи лему 1, для будь-якого ε > 0 i всiхz ∈ C маємо

|F (z)| � K3(ε)

1 + |z|2 × (6)

× exp{(πΔq (sin (π/2q))

−q |sin θ|q + ε)|z|q(|z|)

}.

Покажемо, що для будь-якого ε > 0 i всiх z ∈ C

виконується

|F (z)| � K3(ε)

1 + |z|2 × (7)

× exp{(Δq + ε)π (sin (π/2q))−q |y|q(|y|)

}.

Згiдно з лемою 1 функцiя h(θ) є неперервною iвiд’ємною при 0 � |θ| � 3π/(2q). Тому за деякогоγ∗0 > 0 для всiх θ, 0 � |θ| � 3π/(4q), виконується

|f(z)| � exp{−γ∗0 |z|q(|z|)

}. (8)

Вiзьмемо ε1 > 0 настiльки малим, щоб γ1 = γ∗0 −ε1 > 0. Тодi, для такого ε1 > 0 можна пiдiбра-ти δ, 0 < δ < 3π/(4q) настiльки малим, що приz = r exp(iθ) i |θ| � δ

|G(z)| � K(ε1)

1 + |z|2 exp{ε1 |z|q(|z|)

},

ε1 > 0, z = r exp(iθ), |θ| � δ.

Тодi

|F (z)| � K(ε1)

1 + |z|2 exp{(ε1 − γ∗0 ) |z|q(|z|)

}�

� K(ε1)

1 + |z|2 exp{−γ1 |y|q(|y|)

}.

А це означає, що оцiнка (6) є справедливою, якщо|θ| � δ. Аналогiчно показується справедливiсть цi-єї оцiнки в кутах π − δ < |θ| � π. При δ < |θ| �π − δ справедливiсть (6) випливає з (5), оскiлькиtq(t) = tql(t), де l(t) - повiльно зростаюча функцiя,i, отже,

|z|q(|z|) =∣∣∣ y

sin θ

∣∣∣q l (∣∣∣ ysin θ

∣∣∣) �� (1 + o(1))

|y|q(|y|)|sin θ|q , |z| → ∞.

Тому (6) справедлива для всiх z ∈ C. Нехай

υ0(t) =1√2π

iy+∞∫iy−∞

F (z) exp(itz)dz.

Iз (6) випливає, що цей iнтеграл вiд y ∈ R не зале-жить. Тому

υ0(t)ety =

1√2π

+∞∫−∞

F (x+ iy) exp(itx)dx, (9)

тобто функцiю υ0(t)ety при фiксованому y ∈ R мо-

жна розглядати як перетворення Фур’є функцiїF (x+ iy). Отже,

F (z) =1√2π

+∞∫−∞

υ0(t) exp(ty − itx)dt = (10)

=

+∞∫−∞

υ0(t) exp(−itz)dt.

Очевидно, що υ0 ∈ L2(−∞; +∞). Перекона-ємось, що i υ ∈ L2(−∞; +∞), де υ(t) =

υ0(t) exp(α |t|p(|t|)

). З (7) i (9) для всiх t ∈ R i

y ∈ R маємо|υ0(t)| � K4(ε)×

× exp{(Δq + ε) π (sin (π/2q))

−q |y|q(|y|) − ty}.

Тодi для всiх t ∈ R i всiх y ∈ R

|υ(t)| � K4(ε)× (11)

× exp{(Δq + ε)π (sin (π/2q))

−q |y|q(|y|) − ty+

+α |t|p(|t|)}.

Покажемо, що υ ∈ L2(0;+∞). Завдяки (1) можнавибрати δ∗ > 0 так, щоб

Δq <(pα)1−q

πq

(sin

π

2q

)q(1− δ∗) . (12)


48 Винницький Б. В., Шаповаловський О.В.

Вiзьмемо в (11) y = αpη(t). Тодi, враховуючи,що η(t) = tp(t)−1 i η−1(t) = tq(t)−1, для будь-якого ε > 0 при t � t0(ε) виконується η−1(ct) �cq−1(1 + ε)η−1(t), маємо

yq(y) = (αpη(t))(αpη(t)) = αpη(t)η−1(αpη(t)) �

� (αp)q (1 + ε)tη(t) = (αp)q (1 + ε)tp(t), t � t0(ε).

Зафiксуємо ε > 0 так, щоб (1 + ε)(1− δ∗) + εχ < 1,

де χ = π(sin π

2q

)−q(pα)q−1 p(1 + ε)(p− 1)−1. Тодi

|υ(t)| � K4(ε) exp{(Δq + ε)π (sin (π/2q))

−q(αp)

q ×

×(1 + ε)tp(t) − αptp(t) + αtp(t)}�

� K4(ε) exp{αtp(t)

(Δqπ (sin (π/2q))

−q (αp)q−1 ××p(1 + ε)− p+ 1 + ε(p− 1)χ)} .

Враховуючи (12) i рiвнiсть 1/p+1/q = 1, знаходи-мо

|υ(t)| � K4 (ε) exp(αtp(t)×

×((1− δ∗) (1 + ε) pq − p+ 1 + ε (p− 1)χ

))�

� K4 (ε) exp(αtp(t) ((1− δ∗) (1 + ε) + εχ− 1)×

× (p− 1)) .

Але (1− δ∗) (1 + ε) + εχ− 1 < 0, тому

|υ(t)| � K4 (ε) exp(ξ∗tp(t)

), t � 0, ξ∗ < 0.

Таким чином, υ ∈ L2(0;+∞). Аналогiчно, взявшив (11) y = −αpη(|t|), одержуємо, що

|υ(t)| � K4 (ε) exp(ξ∗ |t|p(|t|)

), t � 0, ξ∗ < 0.

Унаслiдок цього, приходимо до висновку, що υ ∈L2(−∞; +∞), i з (10) одержуємо, що для всiх n ∈ N

+∞∫−∞

υ(t) exp(−α |t|p(|t|) − itλn)dt =

=

+∞∫−∞

υ0(t) exp(−itλn)dt =√2πF (λn) = 0,

i тому система (2) не є повною в L2(−∞; +∞).Нехай тепер q – нецiле. Пiдберемо таке нату-

ральне m0, щоб виконувалась умова (3). Подiбно,

як i в [4], покладемо M = {μn} =2m0−1⋃k=0

Λei kπm0 , де

Λ = {λ0, λ1, ..., λn, ...}, λn > 0. Як i в [4], множина{μn} має кутову щiльнiсть при уточненому поряд-ку q(t), а iндикатор цiлої функцiї

G (z) =∞∏n=1

(1− z

μn

)exp

(ρ0∑k=1

1

k

(z

μn

)k),

ρ0 = [q] ,

має вигляд

hG (θ) =πΔq

sin(πq2m0

) cos(q(θ − π

2m0

)),

0 � θ � π

m0,

а на решту значень θ продовжується(πm0

)- перi-

одично (завдяки симетрiї коренiв). В позначенняхлеми 2 hG (θ) = πΔqH

∗ (θ) i для будь-якого ε > 0

|G (z)| � K5 (ε)

1 + |z|2 exp{(πΔqH

∗ (θ) +ε

2

)|z|q(|z|)

},

z = reiθ ∈ C.

Нехай h (θ) – функцiя з леми 2. Вона є 2π-перiодичною i тригонометрично q-опуклою. Те жсаме можна сказати про функцiю πΔqh (θ), оскiль-ки множник при h (θ) є додатним. Отже [9], iснуєцiла функцiя f (z) з iндикатором πΔqh (θ) при уто-чненому порядку q (r). Для будь-якого ε > 0 одер-жуємо

|f (z)| � K6 (ε)×× exp

((πΔqh (θ) +

ε

2

)|z|q(|z|)

).

Отже, для функцiї F (z) = f(z)G(z), яка перетво-рюється в 0 в точках λn, отримуємо оцiнку

|F (z)| � K7 (ε)

1 + |z|2× (13)

× exp{(πΔqH

∗ (θ) + πΔqh (θ) + ε) rq(r)}, ε > 0.

Згiдно з лемою 2, функцiя H∗ (θ)+h (θ) – є не-перервною i вiд’ємною [4], якщо |θ| < δ4 i π − δ4 <|θ| � π. Тому, як i ранiше, при деякому γ2 > 0 длявсiх θ, |θ| < δ4 , виконується

|F (z)| � K7 (ε)

1 + |z|2 exp(−γ2 |z|q(|z|)

)�

� K7 (ε)

1 + |z|2 exp(−γ2 |y|q(|y|)

), ε > 0.

А це означає, що оцiнка (7) справедлива при|θ| < δ4. Аналогiчно показується справедливiстьцiєї оцiнки в кутах π − δ4 < |θ| � π. Тому, з (13),як i ранiше, отримуємо (7). Отже, як i у випадкуцiлого q, приходимо до висновку, що система (1)не є повною. Теорема 1 доведена.

Теорема 2. Нехай α > 0, p > 1, 1/p+1/q = 1.Тодi, якщо

limn→∞

n

λq(λn)n

>(pα)1−q

πq

(sin

π

2q

)q, (14)

то система (2) є повною в L2(−∞; +∞).


Про необхiднi умови повноти систем експонент з вагою 49

Доведення теореми 2. Припустимо супро-тивне, тобто що система (2) не є повною вL2(−∞; +∞). Тодi знайдеться функцiя υ ∈L2(−∞; +∞), υ �= 0, така, що

+∞∫−∞

υ(t) exp(−α |t|p(|t|) − itλn)dt = 0, n ∈ N.

Нехай

f(z) =

+∞∫−∞

υ(t) exp(−α |t|p(|t|) − itz)dt, z = x+ iy.

Функцiя f є цiлою, f �= 0 i f(λn) = 0 для всiхn ∈ N. Нехай Imz = y � 0. Тодi

0∫−∞

exp(−2α |t|p(|t|) + 2ty

)dt �

�0∫

−∞exp(−2α |t|p(|t|)

)dt �K8 < +∞

i

|f(z)| � ‖υ‖×

×⎛⎝ +∞∫

0

exp(−2α |t|p(|t|) + 2t (y − ix)

)dt+K8

⎞⎠12

�

� ‖υ‖(supt�0

(exp(−2α |t|p(|t|) + 2t (y + 1)

))×(15)

×+∞∫0

exp (−2t) dt+K8

⎞⎠1/2

.

Останнiй супремум досягається при t =η−1 (y/ (α (p+ o(1)))), y → +∞. Тому з (15) отри-муємо

|f(z)| � ‖υ‖×

×(1

2exp

(yη−1 (y)

1 + o(1)

q (αp)1/(p−1)

)+K8

)1/2

�

� K9 exp

((p− 1)yη−1 (y)

α1/(p−1)pp/(p−1)(1 + o(1))

),

y → +∞.

Оцiнку f(z) при y < 0 отримуємо аналогiчно.Тому, рiвномiрно за x ∈ R

|f(z)| � K10 exp

((p− 1) |y| η−1 (|y|)α1/(p−1)pp/(p−1)

(1 + o(1))

),

|y| → +∞,

звiдки, враховуючи рiвнiсть η−1(t) = tq(t)−1, отри-муємо

|f(z)| � K10 exp

((p− 1) |y|q(|y|)α1/(p−1)pp/(p−1)

(1 + o(1))

), (16)

|y| → +∞.

У [10] доведено, що коли цiла функцiя f має ну-лi в точках λn, виконуються умови (14) i (16), тоf(z) ≡ 0. Отже, υ �= 0. Тому маємо суперечнiсть,чим i завершується доведення теореми 2.

Бiблiоґрафiя[1] Faxen B. On approximation by translates and related problems in function theory // Ark. Math. – 1981. – 19,

№2. – Р. 271–289.[2] Zalik R. On approximation by shifts and a theorem of Wiener // Trans. Amer. Maty. Soc. – 1978. – 243. –

P. 299–308.[3] Zalik R. On some gap theorems and the closure of translates // Notic. Amer. Math. Soc. – 1978. – 25, №2. –

Р. A–314.[4] Седлецкий А.М. Аппроксимация сдвигами и полнота взвешенных систем экспонент в L2(R) // Мат. сб. –

1984. – 123, №1. – С. 92–107.[5] Бабенко К.И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функций //

Труды Моск. матем. об-ва. – 1956. – №5. – С. 523–542.[6] Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1983. – 176 с.[7] Бойчук В.С. Простое построение целой функции с заданным индикатором относительно заданного целого

уточненного порядка // Функ. анализ и его прилож. – 1988. – Вып. 5. – С. 136–138.[8] Логвиненко В.Н. Построение целой функции с заданным индикатором при заданном целом уточненном

порядке // Функ. анализ и его прилож. – 1972. – 6, №4. – С. 87–88.[9] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 632 с.[10] Винницький Б.В., Шаповаловський О.В. Про одну теорему єдностi для цiлих функцiй, пов’язану з повно-

тою систем експонент з вагою на осi // Математичнi Студiї. – 2005. – 23, №2. – С. 161–168.


50 Дiльний В.М.

УДК 517.5

Гiпотеза Рiмана i повнота системи зсувiвДiльний В.М.



Нехай H2σ (C+) – простiр аналiтичних у пiвплощинi C+ := {z : Rez > 0} функцiй, для яких ‖f‖ :=

sup|ϕ|<π/2

{+∞∫0

∣∣f (reiϕ

)∣∣2 e−2σr|sinϕ|dr}1/2

< +∞. Встановлено еквiвалентнiсть Гiпотези Рiмана циклiчностi фун-кцiї (z − 1/2)/ (z + 1/2)2 · ζ (z + 1/2) у просторi H2

σ (C+).

У 1876 Б. Рiман поставив 5 задач про властиво-стi ζ-функцiї. Чотири з них невдовзi були розв’яза-нi, але задача про розмiщення нетривiальних нулiвζ-функцiї, вiдома як Гiпотеза Рiмана, є вiдкритоюдосi i вважається, пiсля доведення теореми Ферма,однiєю з найцiкавiших вiдкритих проблем сучасноїматематики.

Нагадаємо, що ζ-функцiя (Рiмана) визначає-ться рiвнiстю

ζ(s) =∑n∈N

1

ns

або

ζ(s) =∏p

(1− 1

ps

)−1

, Res > 0,

де добуток береться за всiма простими числами p.На останньому спiввiдношеннi базуються зв’язкифункцiї Рiмана з теорiєю простих чисел. Б. Рi-ман показав також, що функцiя ζ має меромор-фне продовження в C з єдиним простим полюсомв s = 1. Власне, Гiпотеза Рiмана полягає у тому,що всi нетривiальнi (недiйснi) нулi функцiї розмi-щенi на прямiй Res = 1/2.

Вiдомо багато тверджень, що є еквiвалентнимидо цiєї Гiпотези. Зокрема, шведський математикБ. Нiман у 1950 р. [1] cформулював один з еквi-валентiв як теорему про повноту у деяких класахфункцiй.

Нехай ρα (u) ={αu

} − α{

1u

}, 0 < α < 1, i

u ∈ (0; 1) {·} – дробова частина дiйсного числа,N –замикання лiнiйної оболонки у просторi L2(0, 1)системи функцiй {ρα : α ∈ (0; 1)}.

Теорема Нiмана. Стала на (0; 1) функцiяf = 1 належить до N тодi i тiльки тодi, колисправедливою є Гiпотеза Рiмана.

Нагадаємо, що простором Гардi Hp(C+) на-зивають клас аналiтичних у пiвплощинi C+ :={z : Rez > 0} функцiй f , для яких

‖f‖ := supx>0

⎧⎨⎩+∞∫

−∞|f (x+ iy)|pdy

⎫⎬⎭1/p

< +∞.

Функцiї з просторiв Hp (C+) мають [2] майжескрiзь (м. с.) на ∂C+ кутовi граничнi значення f i

f(iy) ∈ Lp(R). Функцiю G називають зовнiшньоюдля Hp(C+), коли вона подається у виглядi

G (z) = eiα exp

⎧⎨⎩ 1

π

+∞∫−∞

tz + i

(t+ iz) (1 + t2)ln |G (it)| dt

⎫⎬⎭ ,α ∈ R, G ∈ Lp (∂C+) .

У 2000 р. Ж.-Ф. Бурноль показав [3], що ГiпотезаРiмана справедлива тодi i тiльки тодi, коли фун-кцiя (z− 1/2)/ (z + 1/2)

2 · ζ (z + 1/2) є зовнiшньоюв H2(C+). Наступне твердження дає повний описзовнiшнiх у H2(C+) функцiй (див.[4]). Назвемофункцiю G ∈ H2(C+) циклiчною в H2 (C+) , якщосистема

{G(z)eτz : τ � 0} (1)

є повною у просторi H2(C+).Теорема Берлiнга-Лакса. Нехай G ∈

H2(C+). Тодi наступнi умови є еквiвалентними:1) функцiя G є циклiчною в H2(C+) ;2) рiвняння

0∫−∞

f(u+ τ)g(u)dw = 0, τ � 0, g ∈ L2(−∞; 0),

де

G(z) =1

i√2π

0∫−∞

g(u)euzdu,

має лише нульовий розв’язок у просторiL2(−∞; 0);3) система

{g(u− τ) : τ � 0} ,де

g(u) = 0, u > 0,

є повною в просторi L2(−∞; 0);4) функцiя G не має нулiв в C+,

limx→+∞

ln |G(x)|x

= 0

i сингулярна гранична функцiя функцiї G є ста-лою;5) функцiя G є зовнiшньою для H2(C+);


Гiпотеза Рiмана i повнота системи зсувiв 51

Означення сингулярної граничної функцiї дляпростору наведемо пiзнiше у дещо загальнiшомувиглядi.

На основi останньої теореми можна одержатитвердження, формулювання якого в лiтературi унаведеному виглядi нам знайти не вдалося.

Теорема 1. Наступнi умови еквiвалентнi:1) справедлива Гiпотеза Рiмана;2) функцiя z−1/2

(z+1/2)2 ζ(z + 1/2) – є зовнiшньоюдля H2(C+);

3) рiвняння

0∫−∞

f (u+ τ )(g+ζ (u)− g−ζ (u)

)du = 0, τ � 0

(2)де g+ζ – кутовi граничнi значення на дiйснiйосi функцiї gζ з пiвплощини {w : Imw > 0},g−ζ - кутовi граничнi значення на дiйснiй осiфункцiї gζ з пiвплощини {w : Imw < 0},

gζ(w) =1

2π

+∞∫0

x− 1/2

(x+ 1/2)2 ζ(x+ 1/2)e−xwdx

має лише нульовий розв’язок в просторiL2(−∞; 0);

4) рiвняння (2) не має розв’язкiв виду f(w) =ezw, 0 < Rez < 1/2;

5) функцiя x−1/2

(x+1/2)2ζ(x + 1/2) є циклiчною в

H2(C+);6) система функцiй {gζ(w− τ : τ � 0)} є повноюу просторi E2

∗ [D0];

В останнiй умовi через E2∗ [Dσ] , σ � 0, позна-чено простiр аналiтичних у зовнiшностi пiвсмугиD∗σ = {z : |Imz| > σ ∨ Rez > 0} функцiй, для яких

||f || = sup

⎧⎨⎩∫γ

|f(z)|p|dz|⎫⎬⎭

1/p

< +∞,

де супремум береться за всiма вiдрiзками γ, щомiстяться в D∗

σ i є паралельними однiй iз сторiн∂D∗

σ.Еквiвалентнiсть умов 1) та 2) встановив

Ж.-Ф. Бурноль, еквiвалентнiсть умов 3), 5), 6) таумови 2) випливає з теореми Берлiнга-Лакса, аеквiвалентнiсть 3) i 4) – з такої леми.

Лема 1. Функцiя f (u) = eλu, λ ∈ C+ тодi iтiльки тодi є розв’язком рiвняння (2), коли λ є ну-лем функцiї

G (z) =1√2πi

∫∂D0

g (w) ezwdw =

=1√2πi

0∫−∞

(g+ (u)− g− (u))ezudu. (3)

Функцiя f(u) = um−1eλu, m ∈ N, λ ∈ C+, єрозв’язком рiвняння (2) тодi i тiльки тодi, колив т.λ функцiя (3) має нуль порядку k � m.Доведення. Нехай λ ∈ C+ i функцiя f(u) = eλu

є розв’язком рiвняння (2), тодi

0∫−∞

eλ(u+τ)(g+ (u)− g− (u)

)du = 0,

тобто

eλτ0∫

−∞eλu(g+ (u)− g− (u)

)du = 0,

з чого маємо G(λ) = 0. Отже, λ є нулем функцiї(3).

Навпаки, нехай G (λ) = 0, λ ∈ C+, тодi

0∫−∞

eλu(g+ (u)− g− (u)

)du = 0.

Помноживши останню рiвнiсть на eλτ , маємо

0∫−∞

eλ(u+τ)(g+ (u)− g− (u)

)du = 0.

Отже, функцiя f(u) = eλu є розв’язком рiвняння(2).

Нехай функцiя (3) в т. λ має нуль порядкуk � m, тодi

α

0∫−∞

us(g+ (u)− g− (u)

)ezudu = 0,

α ∈ C+, 0 � s � m− 1, s ∈ N ∪ {0} .

β

0∫−∞

τν(g+ (u)− g− (u)

)eλνdu = 0,

β ∈ C+, 0 � ν � +∞, ν � 0,

тому, враховуючи формулу бiнома Ньютона,отримаємо:

0∫−∞

(u+τ)m−1eλ(u+τ)(g+ (u)− g− (u)

)du = 0, τ � 0.

Навпаки, якщо функцiя u2eλu (обмежимось ви-падком m = 3, бо iншi розглядаються подiбно) єрозв’язком рiвняння (2), то

0∫−∞

(u+ τ)2eλ(u+τ)(g+ (u)− g− (u)

)du = 0.

Тому G′′(λ) + 2τG′(λ) + τ2G(λ) = 0. Оскiлькиτ � 0 довiльне, то звiдси послiдовно отримуємоG′′(λ) = 0, G′(λ) = 0 i G(λ) = 0.


52 Дiльний В.М.

Лему доведено.Б. Винницький розглянув [5] простiр Hp

σ (C+)аналiтичних у пiвплощинi C+ функцiй f , для яких

||G|| := sup−π

2<ϕ<π2

⎧⎨⎩+∞∫0

|f(reiϕ)|2e−2rσ| sinϕ|dr

⎫⎬⎭1/2

,

||G|| < +∞.

Функцiї з просторiв Hpσ (C+) мають м. с. на

∂C+ кутовi граничнi значення f i f(iy)e−σ|y| ∈Lp(R). А. Сєдлєцкий показав [6], що для випад-ку σ = 0 простiр Hp

σ (C+) збiгається з просторомГардi Hp (C+). Сингулярна гранична функцiя hфункцiї G ∈ Hp

σ (C+) iснує [11], [12] i визначаєтьсяз точнiстю до адитивної сталої i значень у точкахнеперервностi рiвнiстю

h(t2)−h(t1) = limx→0+

t2∫t1

ln |G(x+iy)|dy−t2∫t1

ln |G(iy)|dy.

Назвемо функцiю G ∈ Hpσ (C+) циклiчною у про-

сторi Hpσ (C+), якщо система (1) є повною в цьому

просторi. В [7], [8] встановлено таке твердження.Теорема А. Нехай G ∈ H2

σ (C+) , σ > 0, G �= 0.Тодi наступнi умови еквiвалентнi:1) функцiя G є циклiчною для H2

σ;2) функцiя G не має нулiв в C+ , її сингу-

лярна гранична функцiя є сталою i виконуєтьсяумова

limr→+∞

⎛⎜⎝ 1

2π

∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)ln |G (it)| dt− σ

πln r

⎞⎟⎠= −∞.

Лема 2. ЯкщоG ∈ H2 (C+) є циклiчною вH2(C+) , то вона є циклiчною в H2

σ (C+) для ко-жного σ > 0.Доведення. Якщо G – циклiчна в H2(C+) , то

за теоремою Берлiнга-Лакса вона є зовнiшньою вH2(C+) , тобто не має нулiв в C+, її сингулярнагранична функцiя є сталою та

limx→+∞

ln |G(x)|x

= 0.

Очевидно, G ∈ H2σ (C+) для кожного σ > 0. Тому

для доведення леми за теоремою А досить показа-ти, що

limr→+∞

⎛⎜⎝ 1

2π

∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)ln |G (it)| dt− σ

πln r

⎞⎟⎠= −∞.

для кожного σ > 0. Це випливає з нерiвностi

limr→∞

∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)ln |G (it)| dt < +∞.

Справдi, ∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)ln |G (it)| dt �

�∫

1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)ln+ |G (it)|dt �

�∫

1<|t|�r

1

t2ln+ |G (it)|dt < +∞,

де ln+ t =

{ln t, t > 1

0, t � 1.. Оскiльки 1

t2 � 2t2+1 , t � 1,

то досить показати, що∫1<|t|�r

ln+ |G(it)|1 + t2

dt < +∞,

А оскiльки G ∈ H2(C+), то [2] маємо

+∞∫−∞

ln+ |G(it)|1 + t2

dt < +∞,

Лему доведено.Лема 3. Якщо G ∈ H2(C+) є циклiчною в

H2σ (C+) для деякого σ > 0 i lim

x→+∞ln |G(x)|

x = 0,

то G є циклiчною в G ∈ H2(C+).Справдi, оскiльки G є циклiчною в H2

σ (C+), тоза теоремою А вона не має нулiв в C+ i її сингуляр-на гранична функцiя є сталою. Тому, враховуючиумови цiєї леми i теорему Берлiнга-Лакса, маємопотрiбне.

Наслiдок. Якщо G ∈ H2(C+) ilim

x→+∞ln |G(x)|

x = 0, то G є циклiчною одночасно

в H2(C+) та H2σ (C+) для кожного σ > 0.

Ми можемо довести наступне твердження.Теорема 2. Наступнi умови еквiвалентнi:1) справедлива Гiпотеза Рiмана;6) функцiя z− 1

2

(z+ 12 )

2 ζ(z + 1

2

)є циклiчною в

H2σ (C+) хоча б для одного σ > 0;7) рiвняння∫

∂Dσ

f (w + τ )gζ (w) dw = 0, τ � 0,

де функцiя gζ визначається в умовi 3), має лишенульовий розв’язок f ∈ E2[Dσ] хоча б для одногоσ > 0;8) рiвняння (1) не має розв’язкiв виду f(w) =

ezw, 0 < Re < 1/2;9) система {gζ(w − τ : τ � 0)} є повною у

просторi E2∗ [Dσ].Доведення. За теоремою 1 умова 1) еквiвален-

тна умовi 5) теореми 1. А за теоремою Берлiнга-Лакса маємо, що функцiя z− 1

2

(z+ 12 )

2 ζ(z + 1

2

)не має


Гiпотеза Рiмана i повнота системи зсувiв 53

нулiв в C+, її сингулярна гранична функцiя є ста-лою i

limx→+∞

ln∣∣∣ x−1/2

(x+1/2)2ζ (x+ 1/2)

∣∣∣x

= 0.

Тодi з наслiдку випливає еквiвалентнiсть умов 1)i 6) теореми 2. Еквiвалентнiсть умови 6) теореми2 умовам 7), 8) i 9) встановлена в [9].

Приклад. Iснують функцiї f ∈ E2[Dσ] таg ∈ E2

∗ [Dσ] , що виконується рiвнiсть∫∂Dσ

f (w + τ)g (w) dw = 0, τ � 0,

але f (w + τ ) /∈ E2[Dσ], f (w + τ ) /∈ E2∗ [Dσ].

Справдi, розглянемо функцiю

G(z) =1− cosσz

z∈ H2

σ (C+) ,

тодi

g(w) =1√2π

+∞∫0

1− cosσx

xe−wxdx =

=1

2√2π

ln

(1 +

σ2

w2

),Re σ > 0,

(див. [10]). Очевидно, що z1 = (2π)/σ – нуль фун-кцiї G. Особливими точками функцiї g є w1,2± iσ iw3 = 0. Функцiя f(w) = e

2πσ ∈ E2[Dσ] є розв’язком

рiвняння згортки (див. [9]). Але якщо w = u, u > 0,то

f (u) g (u) = e2πσ u

1

2√2π

ln

(1 +

σ2

u2

)∼

∼ e2πσ u

1

2√2π

σ2

u2= c

ec1u

u2→ ∞,

при u → ∞. Тому f (u) g (u) /∈ L1 (0;+∞), а отже,f(w)g(w) /∈ E1

∗ [Dσ] для жодного σ > 0. Функцiяg також не є цiлою, тому не може виконуватисяумова f (w) g (w) ∈ E1 [Dσ].

Цей приклад показує труднощi, якi виникаютьпри спробi довести Гiпотезу Рiмана за допомогоюумови 7) теореми 2.

Бiблiоґрафiя[1] Nyman B., “On some groups and semigroups of translations”, Thesis, Uppsala, 1950.[2] Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. –М.: Наука, 1984. – 368 с.[3] Burnol J.-F. An adelic causality problem related to abelian L–functions // J. Number Theory. – 2001. – 87.

P. 432–428.[4] Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. – М.: Наука, 1980. – 383 с.[5] Винницкий Б.В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр.

мат. журн. – 1994. – 46, № 5. – C. 484–500.[6] Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств в полуплоскости и некоторые приложения //

Мат. сборн. – 1975. – 96, № 1. – C. 75–82.[7] Винницкий Б.В., Дильный В.М. Об обобщении теоремы Берлинга-Лакса // Мат. заметки – 2006. – 79,

№ 3. – C. 362–268.[8] Дiльний В.М. Про iснування розв’язкiв одного рiвняння типу згортки // Доп. НАН України. Матем. –

2008. – № 11. – С. 7–10.[9] Винницький Б.В. Про розв’язки однорiдного рiвняння згортки в одному класi функцiй, аналiтичних у

пiвплощинi // Матем. студ.– 1997. – 7, №1. – C. 41–52.[10] Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 172 с.[11] Fedorov M.A., Grishin A.F. Some Questions of the Nevanlinna Theory for the Complex Half-Plane // Math.

Physics, Anal. and Geom. –1998. – 1. – P. 223–271.[12] Винницький Б.В., Дiльний В.М. Про необхiднi умови iснування розв’язкiв одного рiвняння типу згортки //

Matematychni Studii – 2001. – 16, № 1. – C. 61–70.


54 Хаць Р. В.

УДК 517.5

Асимптотика логарифмiчної похiдної та логарифму канонiчного добуткунульового родуХаць Р.В.



Одержано новi асимптотичнi формули для логарифмiчної похiдної та логарифму канонiчного добутку ну-льового роду з додатними нулями за умови регулярного зростання лiчильної функцiї нулiв.

Нехай (λn)n∈N — послiдовнiсть додатних чи-сел таких, що 0 < λn ↗ +∞ (n → +∞), n(t) =∑λn�t 1 i

L(z) =

∞∏n=1

(1− z

λn

)(1)

— канонiчний добуток нульового роду. Надалi вва-жаємо функцiю

logL(z) =

z∫0

L′(ζ)L(ζ)

dζ, L(0) = 1,

визначеною в C\ [λ1,+∞). Вiдомо [1], що якщо по-слiдовнiсть додатних чисел (λn) задовольняє умо-ву

n(t) = Δtρ + o(tρ), t→ +∞, (2)

де Δ ∈ [0,+∞), ρ ∈ (0, 1), то для канонiчного до-бутку (1) рiвномiрно за ϕ ∈ (0, 2π)

logL(reiϕ) =πΔ

sinπρeiρ(ϕ−π)rρ+

o(rρ)

sin(ϕ/2), r → +∞.

Крiм цього, (див. [1–3]) для кожного δ > 0 рiв-номiрно за ϕ ∈ [δ, 2π − δ] спiввiдношення

log |L(reiϕ)| = πΔrρ

sinπρcos ρ(ϕ−π)+o(rρ), r → +∞,

виконується тодi i тiльки тодi, коли виконується(2). Зауважимо, що за умови (2), для канонiчногодобутку (1) справджується (див. [4])

L′(reiϕ)L(reiϕ)

=πΔρ

sinπρe−iρπei(ρ−1)ϕrρ−1 + o(rρ−1),

r → +∞,

рiвномiрно за ϕ ∈ [δ, 2π − δ], δ > 0.У рядi праць (див., наприклад, [5–8]) вивча-

лись тоншi асимптотики цiлої функцiї (1). Так зрезультатiв статтi [5] випливає, зокрема, що асим-птотична формула

logL(reiϕ) =πΔ

sinπρeiρ(ϕ−π)rρ + o(rρ1 ),

r → +∞, 0 � ϕ < 2π, (3)

де ρ1 ∈ (0, ρ), є справедливою зовнi деякої виня-ткової C0-множини (означення див. [1–2]). У [6]

знайдено необхiднi i достатнi умови на нулi цiлоїфункцiї (1), за яких для деякого ρ2 ∈ (0, ρ)


sinπρcos ρ(ϕ− π) + o(rρ2 ),

U �� reiϕ → ∞, (4)

де U — виняткова множина в C, яка мiститьсяв об’єднаннi кругiв зi скiнченною сумою радiусiв.Крiм цього, в [7] отримано критерiй на нулi ка-нонiчного добутку (1), за якого на деяких колах{z : |z| = rk} рiвномiрно за ϕ ∈ [0, 2π] виконується

log |L(rkeiϕ)| = πΔrρksinπρ

cos ρ(ϕ−π)+O(1), rk → +∞.

Проте задача про знаходження достатних умов наповедiнку нулiв канонiчного добутку (1), за якихасимптотичнi спiввiдношення (3) i (4) виконую-ться рiвномiрно за ϕ ∈ (0, 2π), залишається вiд-критою. Ця проблема є актуальною i для отрима-ння рiвномiрних асимптотичних оцiнок логариф-мiчної похiдної канонiчного добутку нульового ро-ду.

Метою статтi є доведення таких тверджень, якiдоповнюють результати, отриманi в [5–8].

Теорема 1. Нехай Δ ∈ [0,+∞), ρ ∈ (0, 1),ρ1 ∈ (0, ρ) i послiдовнiсть додатних чисел (λn)задовольняє умову

q(t)def= n(t)−Δtρ = o(tρ1 ), t→ +∞. (5)

Тодi для канонiчного добутку (1) рiвномiрно заϕ ∈ (0, 2π)

logL(reiϕ) =πΔ

sinπρeiρ(ϕ−π)rρ+

o(rρ1 )

sin(ϕ/2), r → +∞.

(6)

Теорема 2. Нехай Δ ∈ [0,+∞), ρ ∈ (0, 1),ρ1 ∈ (0, ρ) i послiдовнiсть додатних чисел (λn)задовольняє умову (5). Тодi для канонiчного добу-тку (1) рiвномiрно за ϕ ∈ (0, 2π)

L′(reiϕ)L(reiϕ)

=πΔρ

sinπρe−iρπei(ρ−1)ϕrρ−1 +

o(rρ1−1)

sin2(ϕ/2),

r → +∞. (7)


Асимптотика логарифмiчної похiдної та логарифму канонiчного добутку нульового роду 55

Через c1, c2, c3, . . . будемо позначати деякi до-датнi сталi.Доведення теореми 1. Нехай z = reiϕ, ϕ ∈

(0, 2π). Маємо [1–3]

logL(reiϕ) = −z∫ +∞

0

n(t)

t(t− z)dt.

Оцiнимо модуль виразу

S = logL(reiϕ) + reiϕ∫ +∞

0

Δtρdt

t(t− reiϕ)=

= −z∫ +∞

0

n(t)−Δtρ

t(t− z)dt. (8)

Враховуючи (5), отримуємо (|q(t)| � c1tρ1 , t ∈

[0,+∞))

|S| � r

∫ +∞

0

|n(t)−Δtρ|t|t− reiϕ| dt �

� c1r

∫ +∞

0

tρ1−1

|t− reiϕ| dt = J(r, ϕ). (9)

Покладемо t = ur. Тодi, використовуючи нерiв-нiсть u2 − 2u cosϕ + 1 � (u2 + 1)min{1 − cosϕ, 1},одержимо

J(r, ϕ) = c1rρ1

∫ +∞

0

uρ1−1

|u− eiϕ| du =

= c1rρ1

∫ +∞

0

uρ1−1√u2 − 2u cosϕ+ 1

du �

� c1rρ1

∫ +∞

0

uρ1−1√(u2 + 1)min{1− cosϕ, 1} du �

� c2rρ1

sin(ϕ/2). (10)

До того ж, [1, 3])

Δreiϕ∫ +∞

0

tρdt

t(t− reiϕ)= Δrρeiϕ

∫ +∞

0

uρ−1du

u − eiϕ=

= − πΔrρ

sinπρeiρ(ϕ−π).

Звiдси i з (8)–(10) випливає (6). Теорему 1 доведе-но.

Наслiдок 1. За умов теореми 1, маємо


sinπρcos ρ(ϕ− π)+

+o(rρ1 )

sin(ϕ/2), r → +∞,

argL(reiϕ) =πΔrρ

sinπρsin ρ(ϕ− π)+

+o(rρ1 )

sin(ϕ/2), r → +∞,

рiвномiрно за ϕ ∈ (0, 2π).Доведення теореми 2. Нехай z = reiϕ, ϕ ∈

(0, 2π). Маємо ([4, с. 64])

L′(reiϕ)L(reiϕ)

= −∫ +∞

0

n(t)dt

(z − t)2.

Оцiнимо модуль виразу

P =L′(reiϕ)L(reiϕ)

+

∫ +∞

0

Δtρdt

(reiϕ − t)2=

= −∫ +∞

0

n(t)−Δtρ

(z − t)2dt. (11)

За умови (5), подiбно як при доведеннi теореми 1,одержимо (|q(t)| � c1t

ρ1 , t ∈ [0,+∞))

|P | �∫ +∞

0

|n(t)−Δtρ||reiϕ − t|2 dt � c1

∫ +∞

0

tρ1dt

|reiϕ − t|2 =

= c1rρ1−1

∫ +∞

0

uρ1du

|eiϕ − u|2 =

= c1rρ1−1

∫ +∞

0

uρ1

u2 − 2u cosϕ+ 1du � c3r

ρ1−1

sin2(ϕ/2).

(12)До того ж, ([4, с. 64])∫ +∞

0

Δtρdt

(reiϕ − t)2= Δrρ−1

∫ +∞

0

uρdu

(eiϕ − u)2=

= − πΔρ

sinπρe−iρπei(ρ−1)ϕrρ−1.

Звiдси i з (11), (12) отримуємо (7). Теорему 2 до-ведено.

Наслiдок 2. За умов теореми 2, маємо

ReL′(reiϕ)L(reiϕ)

=πΔρ

sinπρrρ−1 cos((ρ− 1)ϕ− ρπ)+

+o(rρ1−1)

sin2(ϕ/2), r → +∞,

ImL′(reiϕ)L(reiϕ)

=πΔρ

sinπρrρ−1 sin((ρ− 1)ϕ− ρπ)+

+o(rρ1−1)

sin2(ϕ/2), r → +∞,

рiвномiрно за ϕ ∈ (0, 2π).

Бiблiоґрафiя[1] Levin B.Ya. Lectures on entire functions. Transl. Math. Monographs, Vol. 150. Amer. Math. Soc., Providence RI,

1996. – 248 p.[2] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.


56 Хаць Р. В.

[3] Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. –591 с.

[4] Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции вполне регу-лярного роста // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, № 3. – С. 63–79.

[5] Агранович П.З., Логвиненко В.Н. Аналог теоремы Валирона-Титчмарша для двучленных асимптотик су-бгармонической функции с массами на конечной системе лучей // Сиб. мат. журн. – 1985. – 26, № 5. –С. 3–19.

[6] Винницький Б.В., Хаць Р.В. Про асимптотичну поведiнку цiлих функцiй нецiлого порядку // Матем. сту-дiї. – 2004. – 21, № 2. – С. 140–150.

[7] Vynnyts’kyi B.V., Khats’ R.V. On asymptotic behaviour of entire functions of order less than one // Матем.студiї. – 2003. – 9, № 1. – С. 97–105.

[8] Хаць Р.В. Про асимптотичне поводження канонiчного добутку цiлого порядку // Матем. студiї. – 2004. –22, № 1. – С. 105–110.


Про залежнiсть мiж ростом цiлої функцiї експоненцiального типу ... 57

УДК 517.5

Про залежнiсть мiж ростом цiлої функцiї експоненцiального типу i характеромособливих точок її перетворення Бореля-Лапласа

Крутиголова Є.К.Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка,


Встановлено характер особливих точок функцiї, яка є перетворенням Бореля-Лапласа цiлої функцiї, взалежностi вiд вигляду цiєї цiлої функцiї.

Нехай f(z) =∞∑n=0

cnn! z

n – цiла функцiя порядку

ρ = 1, типу σ. Рiст цiєї цiлої функцiї по рiзних на-прямах тiсно пов’язаний з розмiщенням особливих

точок функцiї γ(t) =∞∑n=0

cntn . Цю функцiю назива-

ють асоцiйованою за Борелем з цiлою функцiєюf(z), а вiдповiдний ряд збiгається при |t| > σ.

Нехай D – найменша замкнена опукла область,яка мiстить всi особливi точки функцiї γ(t).

Цiла функцiя f(z) виражається через асоцiйо-вану функцiю γ(t) за формулою [1]

f(z) =1

πi

∫C

γ(t)eztdt, (1)

де С – замкнений контур, який мiстить всi осо-бливi точки функцiї γ(t). Вiдповiдно асоцiйованафункцiя γ(t) виражається через цiлу функцiю f(z)за формулою

γ(t) =

∞∫0

f(z)e−ztdz. (2)

Причому iнтегрування проходить по променю,який виходить з початку координат пiд кутом ϕ дододатної частини дiйсної осi. Цей iнтеграл збiгає-ться у пiвплощинi x cosϕ + y sinϕ = Re(ze−iϕ) >K(ϕ) , де K(ϕ) – опорна функцiя множини D.

Цiлi функцiї експоненцiального типу та їхнiасоцiйованi функцiї ефективно використовуютьсяв теорiї зображень аналiтичних функцiй рядамиекспонент.

Незважаючи на це, питання про характер осо-бливих точок асоцiйованої функцiї i їх зв’язок з ро-стом цiлої функцiї f(z) вивчено недостатньо. Роз-глянемо спочатку випадок, коли асоцiйована фун-кцiя має скiнченне число особливих точок. Отже,нехай функцiя γ(t) має 3 � p < ∞ особливих то-чок ak (k = 1, ...p), причому точки ak є вершинамиопуклого многокутника D, або лежать всерединiцього многокутника.

Теорема 1. Для того, щоб асоцiйована фун-кцiя γ(t) мала своїми особливостями скiнчен-не число полюсiв порядку m � 1 в точкахak (k = 1, ..., p), i не мала жодних iнших осо-бливостей, необхiдно i достатньо, щоб вiдповiд-

на їй цiла функцiя f(z) мала вигляд f(z) =

P (z)p∑k=1

ckeakz, де P (z) – многочлен степеняm−1.

Доведення. При m = 1 справедливiсть твер-дження теореми є очевидною. Справдi, якщо

f(z) =p∑k=1

ckeakz , 3 � p < ∞, ak – вер-

шини опуклого многокутника, або лежать все-

рединi нього, то γ(t) =∞eiϕ∫0

p∑k=1

ckeakze−ztdz =

p∑k=1

ck∞eiϕ

∫0e(ak−t)zdz =

p∑k=1

ck/(t − ak), тобто фун-

кцiя γ(t) має своїми особливостями лише скiнчен-не число простих полюсiв. Нехай, навпаки, фун-кцiя γ(t) має лише скiнченне число простих по-люсiв у точках ak. Розвиваючи функцiю γ(t) вряд Лорана в околi кожного полюса ak, мати-мемо γ(t) =

ck−1

t−ak + Ψ(t)k , k = 1...p, причому

функцiї Ψ(t)k – аналiтичнi в околах точок ak. От-

же, функцiю γ(t) можна подати у виглядi γ(t) =p∑

k=1

c(k)−1

t−ak + Ψ(t), де функцiя Ψ(z) – аналiтична в

областi D1 ⊃ D, Ψ(z) =p∑k=1

ΨK(t) .

Тому f(z) = 12πi

∫C

(p∑k=1

c(k)−1

t−ak + Ψ(t))eztdt =

p∑k=1

c(k)−1e

akz+ 12πi

∫C

Ψ(t)eztdt, де C – замкнений кон-

тур, який мiстить многокутник D з вершинамив точках ak, i контур C лежить в D1, а отже,∫C

Ψ(t)eztdt = 0 .

Нехай тепер f(z) = (αz + β)p∑

k=1

ckeakz, (α, β) –

сталi числа, тодi γ(t) =∞eiϕ∫0

p∑k=1

cke(ak−t)zdz +

β∞eiϕ∫0

p∑k=1

cke(ak−t)zdz.

Диференцiюючи функцiю γ1(t) =∞eiϕ∫0

p∑k=1

cke(ak−t)zdz, одержимо

γ′1(t) = −

∞eiϕ∫0

z

p∑k=1

cke(ak−t)zdz.


58 Крутиголова Є.К.

Тобто∞eiϕ∫0

zp∑k=1

cke(ak−t)zdz = −γ′1(t) =

p∑k=1

ck(t−ak)2 . Отже, для цiлої функцiї f(z) = (αz +

β)p∑

k=1

ckeakz (α, β – сталi числа) асоцiйована фун-

кцiя γ(t) має вигляд γ(t) =p∑k=1

ck(α

(t−ak)2 + βt−ak ),

тобто її особливi точки – полюси другого порядкув точках ak.

Нехай, навпаки, функцiя γ(t) має своїми осо-бливостями лише полюси другого порядку в скiн-ченному числi точок ak (k = 1, ...p), якi розмiщенiу вершинах опуклого многокутника D, або лежатьвсерединi нього. Розвиваючи функцiю γ(t) в рядЛорана в околах точок ak, дiстанемо

γ(t) =

p∑k=1

(αkc

(k)−2

(t− ak)2+βkc

(k)−1

t− ak) +

p∑k=1

ψk(t),

де αk, βk –сталi числа, c(k)−i (i = 1, 2) - коефiцiенти

лоранiвських розкладiв функцiї γ(t),p∑k=1

ψk(t) =

ψ(t), ψk(t) – аналiтичнi у вказаних околах точокak.

Тодi f(z) = 12πi

∫C

(p∑

k=1

αkc(k)−2

(t−ak)2 +βkc

(k)−1

(t−ak) +

ψk(t))eztdz =

p∑k=1

(αkc(k)−2z + βkc

(k)−1)e

akz, бо∫C

ψ(t)eztdz = 0.

Аналогiчними мiркуваннями доводиться спра-ведливiсть твердження теореми для випадку m >2.

Нехай f(z) = Pm(z)p∑

k=1

ckeakz, тодi

γ(t) =

∞eiγ∫0

(a0zm+a1z

m−1+...+am)

p∑k=1

cke(ak−t)zdz.

Маємо

am

∞eiϕ∫0

p∑k=1

cke(ak−t)zdz = am

p∑k=1

ckt− ak

,

am−1

∞eiϕ∫0

z

p∑k=1

cke(ak−t)zdz =

= am−1

p∑k=1

(c(1)k

(t− ak)2+

c(2)k

t− ak)

...............................................

a0

∞eiϕ∫0

zmp∑k=1

cke(ak−t)zdz =

= a0

p∑k=1

(c(1)k

(t− ak)m+1+ ...+

c(m)k

t− ak),

тодi

γ(t) = a0

p∑k=1

α(1)k

(t− a)m+1+

+a1

p∑k=1

α(2)k

(t− ak)m+ ...+ am

p∑k=1

α(m)k

t− ak,

тобто функцiя γ(t) має полюси порядку m + 1 вточках ak i не має iнших особливих точок.

Нехай, навпаки, функцiя γ(t) має скiнченне чи-сло особливих точок – полюсiв порядку m + 1 вточках ak i не має iнших особливих точок. Тодiлоранiвськi розклади функцiї γ(t) в околах точокak мають вигляд

γ(t) =c(k)−(m+1)

(t− ak)m+1+

c(k)−m

(t− ak)m+ ...+

c(k)−1

t− ak+Ψ

(t)k ,

k = 1, ...p,

γ(t) =

p∑k=1

(c(k)−(m+1)

(t− ak)m+1+ ...+

c(k)−1

t− ak) + Ψ(t),

де Ψ(t) =p∑k=1

ϕk(t) - функцiя аналiтична в областi

D1 ⊃ D.Отже,

f(z) =1

2πi

∫c

(

p∑k=1

a(k)−(m+1)

(t− ak)m+1+ ...+

a(k)−1

t− ak+Ψ(t))×

×eztdz = Pm(z)

p∑k=1

ckeakz.

Теорема доведена.Особлива точка z = α називається алгебраїчно-

логарифмiчною точкою функцiї γ(t), якщо в око-лi точки z = α функцiю γ(t) можна подати увиглядi суми скiнченного числа функцiй вигляду(z − α)p ln(t − α)kϕ(t), p – комплексне число, k –цiле невiд’ємне число, ϕ(α) �= 0.

Нехай спочатку цiла функцiя f(z) має вигляд

f(z) =

p∑k=1

ckeakz

z (вважаємо, щоp∑

k=1

ck = 0, на-

приклад, такою є функцiя f(z) = sin z·cos zz ), тодi

γ(t) =∞∫0

p∑k=1

cke(ak−t)zdz

z .

Оскiльки γ1(t) = −∞∫0

p∑k=1

cke(ak−t)zdz =

−p∑k=1

ckt−ak , то γ(t) =

p∑k=1

ck ln(t− ak), тобто асо-

цiйована функцiя у цьому випадку має скiнченне


Про залежнiсть мiж ростом цiлої функцiї експоненцiального типу ... 59

число логарифмiчних полюсiв у точках ak. Нав-паки, якщо функцiя γ(t) має скiнченне число ло-гарифмiчних полюсiв в точках ak i не має iншихособливих точок, то iнтегруючи частинами одер-жимо, що

f(z) =1

2πi

∫c

eztp∑k=1

ck ln(t− ak)dt = −p∑k=1

ckeakz

z.

Аналогiчними мiркуваннями переконує-

мось, що якщо f(z) =

p∑k=1

ckeakz

zm , то γ(t) =p∑k=1

ck(t− ak)m−1 ln(t− ak) i навпаки, тому має мi-

сце наступна теорема.Теорема 2 . Для того, щоб асоцiйована

функцiя γ(t) мала скiнченне число алгебраїчно-логарифмiчних особливостей вигляду (t −ak)

m−1 ln(t − ak) в точках ak (ak – вершини опу-клого многокутника D, або лежать всерединiнього) необхiдно i достатньо, щоб вiдповiдна їй

цiла функцiя f(z) мала вигляд f(z) =p∑k=1

ckeakz

zm .

У монографiї [1] побудовано спецiальнi нескiн-ченнi добутки Q(z), для яких встановлено оцiнки

A|P (z)| < |Q(z)| < B|P (z)|, (3)

де A,B – сталi числа, P (z) – експоненцiальний по-лiном. Функцiя Q(z) є цiлою функцiєю експонен-цiального типу i має таку ж iндикаторну дiаграму,що й експоненцiальний полiном P (z). З теорем 1 i2 випливає, що асоцiйована функцiя до цiлої фун-кцiї Q(z) має своїми особливостями теж скiнченнечисло простих полюсiв.

Справдi, якщо б асоцiйована функцiя γQ(t) ма-ла своїми особливостями полюси порядку m > 1,то функцiя Q(z) мала б такий же рiст, як фун-

кцiя Pm−1(z)p∑k=1

ckeakz, а якщо б функцiя γQ(z)

мала своїми особливостями лише скiнченне чи-сло алгебраїчно-логарифмiчних особливостей, тофункцiя Q(z) мала б такий же рiст, як функцiя

f(z) =p∑

k=1

ckeakz

zm . В обох випадках оцiнка (3) не

може мати мiсця.Нехай

Q(z) =

∞∏n=1

p∏k=1

(1− z(2n−1)πi(ak+1−ak)

), (4)

де 3 � p <∞, ak – вершини опуклого многокутни-ка.

Аналогiчно, як у [1] переконаємось, що iнди-каторною дiаграмою функцiї Q(z) є опуклий p-кутник з вершинами в точках ak. Маємо

Q(z) =

p∏k=1

∞∏n=1

(1− z(2n−1)πi(ak+1−ak)

) =

p∏k=1

Qk(z),

де

Qk(z) =∞∏n=1

(1 − z(2n−1)πiak+1−ak

).

Тодi

Q(z) ·Q(−z) =p∏k=1

∞∏n=1

(1− z2

( (2n−1)πi(ak+1−ak) )

2) =

=

p∏k=1

cos zak+1 − ak

2i=

p∏k=1

Qk(z)Qk(−z).

Оскiльки

Qk(z)Qk(−z) = cos zak+1 − ak

2i=

= cos2 zak+1 − ak

4i− sin2 z

ak+1 − ak2i

=

= (cos z(ak+1 − ak

4i) + sin z(

ak+1 − ak4i

))×

×(cos z(ak+1 − ak

4i) + sin(−z)(ak+1 − ak

4i)),

то

Qk(z) = cos z(ak+1 − ak

4i) + sin z(

ak+1 − ak4i

).

А отже

Q(z) =

p∏k=1

(cos z(ak+1 − ak

4i) + (5)

+sin z(ak+1 − ak

4i))

4p2∑k=1

ckeαkz,

де ck – сталi числа.Тодi

γQ(z) =

∞∫0

4p2∑k=1

cke(αk−t)zdz =

4p2∑k=1

ckt− αk

,

тобто справедлива.Теорема 3. Нескiнченний добуток (4) можна

подати у виглядi експоненцiального полiнома (5),а вiдповiдна йому асоцiйована функцiя γa(z) маєсвоїми особливостями лише скiнченне число про-стих полюсiв.

Розглянемо тепер випадок, коли асоцiйованафункцiя має нескiнченне число особливих точок.

Побудуємо функцiю F (z) =∞∑n=1

12n

n∑k=1

eze(2k−1)πi

n .

Частинна сума ряду Fm(z) =m∑n=1

12n

n∑k=1

eze(2k−1)πi

n –

це експоненцiальний полiном, а iндикаторною дiа-грамою функцiї Fm(z)є правильний многокутник,вписаний в коло |z| = 1 з вершинами в то-чках an,k = e

(2k−1)πin , k = 1, ..., n, n = 1, ...,m.


60 Крутиголова Є.К.

Асоцiйована функцiя для функцiї для функцiїFm(z) має простi полюси в точках an,k . Оскiль-ки lim

m→∞Fm(z) = F (z), то iндикаторною дiагра-мою функцiї F (z) є круг |z| � 1, а асоцiйова-

на функцiя до функцiї F (z) має вигляд γF (t) =∞∑n=1

12n

n∑k=1

1

t−e(2k−1)πi

n

, тобто функцiя γF (t) має не-

скiнченну множину простих полюсiв в точкахe

(2k−1)πin , k = 1, ..., n, n = 1, 2....

Бiблiоґрафiя[1] Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1976. – 534 с.


Про факторизацiю одного класу голоморфних у пiвплощинi функцiй ... 61

УДК 517.5

Про факторизацiю одного класу голоморфних у пiвплощинi функцiй, якийвизначається мажорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї

Шаран В.Л.



Отримано факторизацiю класу функцiй f �≡ 0, голоморфних у правiй пiвплощинi C+ = {z : Rez > 0}, дляяких

(∃c1 > 0) (∀z ∈ C+) : |f(z)| � c1 exp (σ|z|η(|z|)) ,де 0 � σ < +∞ – задане число, η : [0; +∞) → [0; +∞) – функцiя обмеженої варiацiї на [0; +∞) така, що функцiяtη(t) є неспадною при t � t0.

У теорiї голоморфних i обмежених у пiвплощи-нi функцiй важливу роль вiдiграє таке тверджен-ня [1–2].

Теорема А. Нехай послiдовнiсть компле-ксних чисел (λn) iз C+ = {z : Rez > 0}, не-зростаюча на (−∞; +∞) функцiя h, похiдна якоїмайже скрiзь (м.с.) дорiвнює нулевi, i функцiяf0 : ∂C+ → C задовольняють умови∑

|λn|�1

Reλn+∑

|λn|>1

Reλn|λn|2 < +∞, (1)

f0 ∈ L∞(∂C+),

+∞∫−∞

|ln |f0(it)||1 + t2

dt < +∞, (2)

+∞∫−∞

|dh(t)|1 + t2

dt < +∞. (3)

Тодi функцiя

f(z) = eia0+a1z∏

|λn|�1

z − λn

z + λn·∏

|λn|>1

1− z/λn

1 + z/λn×

× exp

⎧⎨⎩ 1

πi

+∞∫−∞

(tz + i)

(1 + t2)(t+ iz)(ln |f0(it)|dt+ dh(t))

⎫⎬⎭ ,(4)

де a0, a1 – дiйснi сталi, є голоморфною i обме-женою в C+, причому модулi кутових грани-чних значень функцiї f м.c. на ∂C+ збiгаються з|f0(it)|, послiдовнiсть нулiв функцiї f збiгаєтьсяз (λn) i сингулярна гранична функцiя функцiї fзбiгається з h. Навпаки, якщо функцiя f �≡ 0 є го-ломорфною i обмеженою в C+, то вона подаєтьсяу виглядi (4), де λn – нулi функцiї f , f0(it) – куто-вi граничнi значення функцiї f на ∂C+, h – сингу-лярна гранична функцiя функцiї f , i виконуютьсяумови (1)–(3), причому a1 = limx→+∞

ln|f(x)|x � 0,

a0 ∈ R.Сингулярна гранична функцiя голоморфної i

обмеженої в кожному пiвкрузi QR = {z : |z| <R,Rez > 0}, 0 < R < +∞, функцiї f �≡ 0 – це

незростаюча на (−∞; +∞) функцiя h, яка визна-чається з точнiстю до адитивної сталої i значень уточках неперервностi рiвнiстю

h(t2)−h(t1) = limx→+0

t2∫t1

ln |f(x+ iy)| dy−t2∫t1

ln |f(iy)| dy,

t1 < t2.

Iз теореми А випливає таке твердження.Теорема В. Для того, щоб iснувала голомор-

фна i обмежена в C+ функцiя f �≡ 0, послiдов-нiсть нулiв, сингулярна гранична функцiя i мо-дулi кутових граничних значень якої збiгаютьсявiдповiдно з (λn), h i |f0(it)|, необхiдно i доста-тньо, щоб функцiя h була незростаючою, причо-му h′(t) = 0 м.c., i виконувалися умови (1)–(3).

Б.В. Винницький i В.Л. Шаран узагальнили цiтвердження [3], розглянувши клас голоморфних вC+ функцiй f �≡ 0, якi задовольняють умову

(∃c1 > 0) (∀z ∈ C+) : |f(z)| � c1 exp (σ|z|) , (5)

де 0 � σ < +∞ – задане число.Теорема A′. Нехай послiдовнiсть ком-

плексних чисел (λn) iз C+, незростаюча на(−∞; +∞) функцiя h, похiдна якої дорiвнює нуле-вi м. c., i функцiя f0 : ∂C+ → C задовольняютьумови ∑

|λn|�1

Reλn < +∞, (6)

ln |f0(it)| ∈ L1(−1; 1), f0(it)e−σ|t| ∈ L∞(R), (7)

limr→+∞K0(r) < +∞, (8)

де

K0(r) =∑

1<|λn|�r

(1

|λn| −|λn|r2

)Reλn|λn| +

+1

2π

∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)(|dh(t)| − ln |f0(it)| dt) .

Тодi функцiя

f(z) = eia0+a1z∏

|λn|�1

z − λn

z + λn·∏

|λn|>1

Wn(z)×


62 Шаран В.Л.

× exp

⎧⎨⎩ 1

πi

+∞∫−∞

Q(t; z) (ln |f0(it)| dt+ dh(t))

⎫⎬⎭ , (9)

де a0, a1 – дiйснi сталi,

Wn(z) =1− z/λn

1 + z/λnexp

(z

λn+

z

λn

),

Q(t; z) =(tz + i)2

(t2 + 1)2(t+ iz),

є голоморфною в C+ i задовольняє умову

(∃c1 > 0) (∀z ∈ C+) : |f(z)| � c1 exp (σ|z|+ c1x) ,

x = Rez, (10)

причому модулi кутових граничних значень фун-кцiї f м.c. на ∂C+ збiгаються з |f0(it)|, послiдов-нiсть нулiв функцiї f спiвпадає з (λn) i сингу-лярна гранична функцiя функцiї f збiгається з h.Навпаки, якщо голоморфна в C+ функцiя f �≡ 0задовольняє умову (10), то вона подається у ви-глядi (9), де (λn) – послiдовнiсть нулiв функцiїf , f0(it) – кутовi граничнi значення функцiї f на∂C+ , h – сингулярна гранична функцiя функцiї f ,i виконуються умови (6)–(8).

Теорема B′. Для того, щоб iснувала голомор-фна в C+ функцiя f �≡ 0, яка задовольняє умо-ву (5), послiдовнiсть нулiв, сингулярна граничнафункцiя i модулi кутових граничних значень якоїзбiгаються вiдповiдно з (λn), h, |f0(it)|, необхiдноi достатньо, щоб функцiя h була незростаючою,причому h′(t) = 0 м.c., i виконувалися умови (6)–(8).

Якщо σ = 0, то клас голоморфних в C+ фун-кцiй f �≡ 0, якi задовольняють умову (5), збiга-ється з класом голоморфних i обмежених в C+

функцiй, а умови (6)–(8) рiвносильнi умовам (1)–(3). У цьому випадку iз теорем A′ i B′ отримуємотеореми A i В.

Нехай 0 � σ < +∞ – задане число, η :[0; +∞) → [0; +∞) – функцiя обмеженої варiацiїна [0; +∞) така, що функцiя tη(t) є неспадною приt � t0. Позначимо через Bη(σ) клас голоморфнихв C+ функцiй f �≡ 0, якi задовольняють умову

(∃c2 > 0) (∀z ∈ C+) : |f(z)| � c2 exp(σ|z|η(|z|)).(11)

Клас Bη(σ) (без додаткової умови на функцiю η)розглядався у роботахЖ.-П. Кахана, Б.В. Винни-цького та В.Л. Шарана [4–7]. Зокрема, в [6] отри-мано повний опис послiдовностей нулiв, а в [7] –сингулярних граничних функцiй класу Bη(σ).

Ми доведемо тут наступне твердження, яке даєопис повних мiр (за термiнологiєю А.П. Гришина[8]) функцiй класу Bη(σ).

Теорема 1. Для того, щоб iснувала функцiяf ∈ Bη(σ), послiдовнiсть нулiв, сингулярна гра-нична функцiя i модулi кутових граничних зна-чень якої збiгаються вiдповiдно з (λn), h, |f0(it)|,

необхiдно i достатньо, щоб функцiя h була незро-стаючою, причому h′(t) = 0 м.c., i∑

|λn|�1

Reλn < +∞, (12)

ln |f0(it)| ∈ L1(−1; 1), f0(it)e−σ|t|η(|t|) ∈ L∞(R),

(13)lim

r→+∞K0(r) < +∞. (14)

Справедливiсть теореми 1 випливає iз такоготвердження.

Теорема 2. Нехай послiдовнiсть комплекснихчисел (λn), λn ∈ C+, незростаюча на (−∞; +∞)функцiя h, похiдна якої дорiвнює нулевi м.c., iфункцiя f0 : ∂C+ → C задовольняють умови (12)–(14). Тодi визначена рiвнiстю (9) функцiя f є го-ломорфною в C+ i задовольняє умову

(∃c2 > 0) (∀z ∈ C+) : |f(z)| � c2 exp(σ|z|η(|z|)+c2x),x = Rez, (15)

причому модулi кутових граничних значень фун-кцiї f м.c. на ∂C+ збiгаються з |f0(it)|, послiдов-нiсть нулiв функцiї f збiгається з (λn) i сингу-лярна гранична функцiя функцiї f збiгається з h.Навпаки, якщо голоморфна в C+ функцiя f �≡ 0задовольняє умову (15), то вона подається у ви-глядi (9), де (λn) – послiдовнiсть нулiв функцiїf , f0(it) – кутовi граничнi значення функцiї f на∂C+, h – сингулярна гранична функцiя функцiї f ,i виконуються умови (12)–(14).

Якщо η ≡ 1, то Bη(σ) збiгається з класом голо-морфних в C+ функцiй f �≡ 0, якi задовольняютьумову (5), а iз теорем 1 i 2 отримуємо теореми B′

i А′.Якщо σ = 0, то Bη(σ) збiгається з класом го-

ломорфних i обмежених у C+ функцiй f �≡ 0, а iзтеорем 1 i 2 отримуємо теореми B i А.

Для доведення теореми 2 нам буде потрiбна та-ка лема.

Лема 1 [1, c. 26]. Якщо функцiя f �≡ 0 є голо-морфною в C+ i обмеженою в кожному пiвкрузiQR, то для всiх r ∈ [1; +∞) виконується∑

|λn|�rReλn < +∞, (16)

K0(r) =1

πr

π/2∫−π/2

ln∣∣f(reiϕ)∣∣ cosϕdϕ+c3+ c4

r2, (17)

де c3, c4 – дiйснi сталi, якi не залежать вiд r.Доведення теореми 2. Нехай виконуються умо-

ви (12)–(14). Iз (13) випливає, що

(∃c5 > 0) : |f0(it)| � c5 exp(σ|t|η(|t|)),для м. в. t ∈ R. (18)

Не зменшуючи загальностi, будемо вважати,що c5 = 1 i ±1 є точками неперервностi функцiїh. Оскiльки функцiя η є обмеженою на [0; +∞), то



використавши рiвнiсть ln |f | = ln+ |f | − ln+ |1/f | i(18), iз (14) отримуємо для деякого σ1, 0 < σ1 <+∞, ∑

1<|λn|�r

(1

|λn| −|λn|r2

)Reλn|λn| +

1

2π×

×∫

1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)(ln+

1

|f0(it)|dt+ |dh(t)|)dt �

� 1

2π

∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)ln+ |f0(it)| dt+ c6 �

� σ

π

r∫1

η(t)

tdt+ c7 � σ1

πln r + c7.

Звiдси∑1<|λn|�r

(1

|λn| −|λn|r2

)Reλn|λn| � σ1

πln r + c8, (19)

∫1<|t|�r

ln+ 1|f0(it)| dt

t2�

� 4

3

∫1<|t|�2r

(1

t2− 1

(2r)2

)ln+ 1

|f0(it)| dt �

� 8σ13

ln r + c9, (20)∫1<|t|�r

|dh(t)|t2

�

� 4

3

∫1<|t|�2r

(1

t2− 1

(2r)2

)|dh(t)| � 8σ1

3ln r + c10.

(21)Iз (12) i (19) випливає [9], що добутки, якi вхо-

дять в (9) збiгаються абсолютно i рiвномiрно накожному компактi iз C+. Далi iз (20) i (21) випли-ває [3, c. 44], що iнтеграли, якi входять в (9), збi-гаються абсолютно i рiвномiрно на кожному ком-пактi iз C+. Отже, функцiя f , визначена рiвнiстю(9), є голоморфною в C+ i тому нам залишилосядовести справедливiсть оцiнки (15). Нехай

K(r) =∑

1<|λn|�r

(1

|λn| −|λn|r2

)Reλn|λn| +

1

2π×

∫1<|t|�r

(1

t2− 1

r2

)((σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|) dt+|dh(t)|).

Iз (14) i (18) випливає, що для деякої сталої c0,0 < c0 < +∞,

K(r) � σ

πψ(r) + c0, r � 1, (22)

де

ψ(r) =

r∫1

η(t)

tdt.

Крiм цього,

K(r) =1

2π

r∫1

(1

t2− 1

r2

)dh1(t), (23)

деh1(t) := 2π

∑1<|λn|�t

Reλn+

+

∫1<|u|�t

((σ|u|η(|u|)− ln |f0(iu)|)du + |dh(u)|) .

Iз (23) випливає, що

h1(t)

t2� 8π

3K(2t) � c11ψ(t) + c11, t � 1. (24)

Крiм цього,

K(r) =1

2π

(1− 1

r2

)h1(1) +

1

π

r∫1

h1(t)

t3dt.

Тому функцiя K є неперервною на (1;+∞) ilimr→1+

K(r) = 0. На промiжку [r0; +∞) функцiя K

зростає, де r0 = max {r : K(r) = 0}. Нехай

f1(z) =f(z)

f2(z) · exp(ia0 + a1z), (25)

де

f2(z) = exp

⎧⎨⎩− 1

π

+∞∫−∞

Q(t; z)σ|t|η(|t|)dt⎫⎬⎭ .

Тодi

f1(z) =∏

|λn|�1

z − λn

z + λn·∏

|λn|>1

1− z/λn

1 + z/λn×

× exp

(z

λn+

z

λn

)×

exp

⎧⎨⎩− 1

π

+∞∫−∞

Q(t; z) ((ln |f0(it)| − σ|t|η(|t|)) dt+ dh(t))

⎫⎬⎭ .Оскiльки

Q(t; z) = − izt2

− 1

t+ iz+t(t2 + 2)

(t2 + 1)2+iz(2t2 + 1

)t2 (t2 + 1)2

,

(26)i при z ∈ C+, t �= 0,

1

t2− 1

|t+ iz|2 � 1

t2− 1

(|t|+ |z|)2 =



=2|z|(|t|+ |z|

2

)t2 (|t|+ |z|)2 � 2|z|

|t|3 , (27)

то, враховуючи, що функцiя η є обмеженою на[0; +∞), а функцiя tη(t) є неспадною на [t0; +∞),отримуємо при z = x+ iy = reiϕ ∈ C+, r � r0,

ln |f2(z)| = σ

πx

+∞∫−∞

(1

|t+ iz|2 − 1

t2

)|t|η(|t|) dt+

+σ

πx

+∞∫−∞

(2t2 + 1)η(|t|)|t|(t2 + 1)

dt =

=σ

πx

∫|t|�r

|t|η(|t|)|t+ iz|2dt−

σ

πx

∫1�|t|�r

η(|t|)|t| dt+

+σ

πx

∫|t|�r

(1

|t+ iz|2 − 1

t2

)|t|η(|t|)dt+

−σπx

∫|t|�1

|t|3η(|t|)(t2 + 1)2

dt+

+σ

πx

∫|t|�1

(2t2 + 1)η(|t|)|t|(t2 + 1)2

dt � −2σ

πxψ(r)+

+σ

πx

∫|t|�r

|t|η(|t|)(t− y)2 + x2

dt+ c12x �

� σrη(r) − 2σ

πxψ(r) + c12x. (28)

Якщо K(r) = O(1) при r ∈ [1; +∞), то∑|λn|�1

Reλn +∑

|λn|>1

Reλn|λn|2 < +∞,

+∞∫−∞

(σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|1 + t2

< +∞.

Звiдси випливає, що

|f1(z)| � c13 exp (c13x) ,

бо [9, c. 487] добуток∏

|λn|>1Wn(z) тiльки мно-жником exp (cz) вiдрiзняється вiд добутку Бляшкедля C+, а

(tz + i)2

(t2 + 1)2 (t+ iz)= ib0 + b1z +

tz + i

(t2 + 1) (t+ iz),

b0, b1 ∈ R,

i в цьому випадку оцiнка (15) очевидна, тому щоiз (22) випливає, що

(∃c14 > 0) (∀r ∈ [0; +∞)) :σ

πψ(r) � −c14.

Тому вважаємо, що K(r) → +∞ при r → +∞.Тодi завдяки монотонностi функцiї K, ψ(r) → +∞при r → +∞ i 0 < σ < +∞. Нехай ψ1(t) =minx�t

ψ(x), K−1 – функцiя, обернена до звуження

K на [r0; +∞), i K1(r) = K−1((σ/π)ψ1(2r) + c0).Оскiльки функцiя ψ є неперервною на [0; +∞), тофункцiя ψ1 є неспадною i неперервною на [0; +∞),ψ1(r) � ψ(r) i ψ1(r) → +∞ при r → +∞. Крiм цьо-го, iснує найменший невiд’ємний роз’язок ψ−1

1 (t)рiвняння ψ1(x) = t. При цьому, ψ1(ψ

−11 (t)) = t,

ψ−11 (ψ1(t)) � t, ψ−1

1 – зростаюча функцiя на[t0; +∞) i ψ−1

1 (t) → +∞ при t→ +∞. Iз (22) отри-муємо [6, c. 1171], що

K(r) � σ

πψ1(r) + c0, r � 1. (29)

Iз (29) отримуємо

K1(r) � 2r, r � r0. (30)

Далi, врахувавши що∑

|λn|�1

ln∣∣∣ z−λn

z+λn

∣∣∣ � 0 при z ∈C+, i використавши рiвнiсть (26), одержуємо

ln |f1(z)| =∑

|λn|�1

ln

∣∣∣∣z − λn

z + λn

∣∣∣∣+ ∑|λn|>1

ln |Wn(z)|+ x

π×

∫|t|>1

(1

t2− 1

|t+ iz|2)((σ|t|η(|t|)−ln |f0(it)|)dt+|dh(t)|)+

−xπ

∫|t|>1

(2t2 + 1

)t2 (t2 + 1)

2 ((σ|t|η(|t|)−ln |f0(it)|)dt+|dh(t)|)+

−xπ

∫|t|�1

(σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt + |dh(t)||t+ iz|2 +

−xπ

∫|t|�1

t2((σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|)(t2 + 1)

2 �

�∑

1<|λn|�K1(r)/2

ln |Wn(z)|+∑

|λn|>K1(r)/2

ln |Wn(z)|+

+x

π

∫1<|t|�K1(r)/2

(1

t2− 1

|t+ iz|2)×

×((σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|)+

+x

π

∫|t|>K1(r)/2

(1

t2− 1

|t+ iz|2)×

×((σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|) + c15x =

= I1 + I2 + c15x. (31)

Оскiльки 4xReλn

|λn+z|2 < 1 при z �= λn i z ∈ C+, товикориставши нерiвнiсть ln(1− t) � −t, t ∈ [0; 1), iумову (30), при 1 < |λn| � K1(r)/2 i z �= λn маємо

ln |Wn(z)| = 2xReλn|λn|2

+1

2ln

(1− 4xReλn∣∣λn + z

∣∣2)

�



� 2xReλn|λn|2

− 2xReλnK2

1 (r), r � r0.

Аналогiчно при 1 < |t| � K1(r) /2 i z ∈ C+

отримуємо

1

t2− 1

|t+ iz|2 � 1

t2− 1

(|t|+ r)2 � 1

t2− 1

K21(r)

, r � r0.

Тому

I1 :=∑

1<|λn|�K1(r)2

ln |Wn(z)|+ x

π×

×∫

1�|t|�K1(r)/2

(1

t2− 1

|t+ iz|2)×

×(σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|) �

� 2x∑

1<|λn|�K1(r)2

(1

|λn| −|λn|K2

1 (r)

)Reλn|λn| +

+x

π

∫1�|t|�K1(r)/2

(1

t2− 1

K21(r)

)×

×(σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|) �

� 2xK(K1(r)) =2σ

πxψ1(2r) + c16x. r � r0. (32)

Далi, враховуючи що при z ∈ C+, t �= 0, λn �= 0,

ln |Wn(z)| = 2xReλn|λn|2

+1

2ln

(1− 4xReλn∣∣λn + z

∣∣2)

�

� 2x

(Reλn|λn|2

− Reλn(|λn|+ r)

2

)=

= 2x2r(|λn|+ r

2

)Reλn

|λn|2 (|λn|+ r)2 � 4xrReλn

|λn|3 ,

1

t2− 1

|t+ iz|2 � 1

t2− 1

(|t|+ r)2=

2r(|t|+ r

2

)t2 (|t|+ r)2

� 2r

|t|3 ,

отримуємо

I2 :=∑

|λn|>K1(r)2

ln |Wn(z)|+

+x

π

∫|t|>K1(r)/2

(1

t2− 1

|t+ iz|2)×

×(σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)|) �

� 2x

πsupr�r0

⎧⎪⎨⎪⎩r∑

|λn|>K1(r)2

Reλn|λn|3 +

+r

∫|t|>K1(r)

2

σ|t|η(|t|) − ln |f0(it)|)dt+ |dh(t)||t|3

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ =

=2x

πsupr�r0

⎧⎪⎨⎪⎩r+∞∫

K1(r)/2

dh1(t)

t3

⎫⎪⎬⎪⎭ . (33)

Нехай Rn = 2n i j = j(r) таке натуральне чи-сло, що

ψ−11

(πσ(K(Rj)− c0)

)� 2r <

< ψ−11

(πσ(K(Rj+1)− c0)

).

Звiдси K1(r) � Rj . Враховуючи це, iз (33) одер-жуємо, що

I2 � c17 · d0 · x, (34)

де

d0 = supj∈N

{ψ−11

(πσ(K(Rj+1)− c0)

)· τ (Rj)

},

τ (t) =

+∞∫t2

dh1(u)

u3.

Iз (12)–(14) випливає, що в кожному пiвкрузiQ2r0 функцiя f1 є обмеженою. Тому iз (25), (28),(31), (32) i (34) отримуємо, що

|f(z)| � c18 exp (σrη(r) + c19 (1 + d0)x) .

Залишилося показати, що d0 < +∞. Iз (24) випли-ває, що τ(t) < +∞ при t > 0. Нехай

xj = τ(Rj), yj = 1/ψ−11

(πσ(C(Rj+1)− c0)

).

Очевидно limj→+∞

xj = limj→+∞

yj = 0. Крiм цього,

xj − xj+1 =

Rj+1/2∫Rj/2

dh1(t)

t3� c20R3j+2

Rj∫1

dh1(t), (35)

K(Rj+2)−K(Rj+1) =1

2π

Rj+2∫Rj+1

(1

t2− 1

R2j+2

)dh1(t)+

+1

2π

Rj+1∫1

(1

R2j+1

− 1

R2j+2

)(dh1(t) �

c21R2j+2

Rj∫1

dh1(t).

(36)Оскiльки [6]

ψ1(b)− ψ1(a) � c(ln b− ln a), 0 < a < b < +∞,

то поклавши a = ψ−11 (πσ (K(Rj+1) − c0)) i b =

ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0)), звiдси одержуємо

ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0))

ψ−11 (πσ (K(Rj+1)− c0))

�

� exp( πcσ

(K(Rj+2)−K(Rj+1))). (37)



Використовуючи нерiвнiсть ex − 1 � x, x ∈[0; +∞), та (36) i (37), маємо

yj − yj+1 =1

ψ−11 (πσ (K(Rj+1)− c0))

+

− 1

ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0))

=

=ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0))/ψ

−11 (πσ (K(Rj+1)− c0))− 1

ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0))

�exp( πcσ (K(Rj+2)−K(Rj+1)))− 1

ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0))

�

� c22

R2j+2ψ

−11

(πσ (K(Rj+2)− c0)

) Rj∫1

dh1(t).

Використавши (22), звiдси отримуємо

limj→+∞

xj − xj+1

yj − yj+1�

� c23 limj→+∞

ψ−11 (πσ (K(Rj+2)− c0))

Rj+2< +∞.

Скористаємося теоремою Штольца [10] у такiй ре-дакцiї: якщо yj > yj+1 > 0 при j � j0 i lim

j→+∞xj =

limj→+∞

yj = 0, то

limj→+∞

xjyj

� limk→+∞

xj − xj+1

yj − yj+1.

Тому d0 < +∞. Отже, визначена рiвнiстю (9) фун-кцiя f належить класу Bη(σ) i [1] її послiдовнiстьнулiв, сингулярна гранична функцiя i модулi ку-тових граничних значень на ∂C+ збiгається з (λn),h i |f0(it)|.

Нехай тепер голоморфна у пiвплощинi C+ фун-кцiя f �≡ 0 задовольняє умову (15). Тодi вона єобмеженою в кожному пiвкрузi QR i має [11] м. c.на уявнiй осi кутовi граничнi значення f(iy), при-чому виконується (13). Тому [1] вона подається увиглядi (9), де λn – нулi функцiї f , f0(it) – куто-вi граничнi значення функцiї f на уявнiй осi, h –сингулярна гранична функцiя функцiї f . Тодi iзлеми 1 отримуємо, що

∑|λn|�1

Reλn < +∞,

K0(r) �ln c1 + σrη(r)

πr

π/2∫−π/2

cosϕdϕ+ c24 � c25,

r � 1,

тобто виконуються умови (12) i (14). Теорема 2 до-ведена.

Бiблiоґрафiя[1] Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – М.: Наука, 1986. – 240 с.[2] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: ИЛ, 1963. – 306 с.[3] Vynnytskyi B.V., Sharan V.L. On factorization of one class functions analytic in the half-plane // Мат. студiї. –

2000. – 14, № 1. – C. 41–48.[4] Kahane J.-P. Extension du theoreme de Carlson et applications // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1952. – 234, № 21. –

P. 2038–2040.[5] Kahane J.-P. Sur quelques problemes d’unisite et prolongement relatifs aux fonctions approchables par des

sommes d’exponentionelles // Ann. Inst. Fourier. –1953–1954 (1955). – 5. – P. 39–130.[6] Винницький Б.В., Шаран В.Л. Про описання послiдовностей нулiв одного класу функцiй, голоморфних у

пiвплощинi // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 9. – C. 1169–1176.[7] Шаран В.Л. Про сингулярнi граничнi функцiї деяких класiв функцiй, аналiтичних в пiвплощинi // Сучаснi

проблеми математики. Матерiали Мiжнародної наукової конференцiї. Частина 3. – Київ: Iн-т математикиНАН України. – 1998. – C. 208–210.

[8] Гришин А.Ф. Субгармонические функции первого порядка: Автореферат дисс. ... докт. физ.-мат. наук. –Харьков, 1992. – 30 с.

[9] Винницкий Б.В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр.мат. журн. – 1994. – 46, № 5. – C. 484–500.

[10] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. – М.: Наука, 1966. Т. 1. –608 с.

[11] Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. – М;Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. – 336 с.


Про iнтерполяцiйнi послiдовностi голоморфних в одиничному крузi функцiй 67

УДК 517.5

Про iнтерполяцiйнi послiдовностi голоморфних в одиничному крузi функцiйскiнченного η-типуШепарович I. Б.



Знайдено умови, за яких послiдовнiсть комплексних чисел (λn) : 0 < |λn| ↗ 1, є iнтерполяцiйною в класiголоморфних в одиничному крузi функцiй скiнченного η – типу.

Нехай η – додатна опукла вiдносно ln t на про-мiжку [1; +∞) функцiя така, що ln t = o(η(t)) дляt → +∞; (λn) – послiдовнiсть вiдмiнних вiд нулярiзних комплексних чисел таких, що 0 < |λn| ↗ 1;

N(r) =

∫ r

0

n(t)

tdt; Nζ(r) =

∫ r

0

nζ(t)− 1

tdt,

де n(t) =∑

|λn|�t1 – лiчильна функцiя послiдовностi

(λn), а nζ(t) =∑

|z−ζ|�t1 – кiлькiсть членiв (λn), якi

потрапили в круг {z : |z−ζ| � t}. У статтi [1] отри-мано деякi необхiднi та достатнi умови iснуваннярозв’язку iнтерполяцiйної задачi

f(λn) = bn (1)

у класi голоморфних в одиничному крузi D = {z :|z| < 1} функцiй скiнченного η-типу, тобто фун-кцiй, якi задовольняють умову

(∃A > 0)(∀z ∈ D) : |f(z)| � exp

(Aη

(A

1− |z|))

.,

(2)Зокрема, в [1] доведене таке твердження.

Теорема А. Для того, щоб для кожної послi-довностi комплексних чисел (bn) з властивiстю

(∃A1 > 0)(∀n ∈ N) : |bn| � exp

(A1η

(A1

1− |λn|))

,

(3)iнтерполяцiйна задача (1) мала розв’язок в класi(2), необхiдно, щоб виконувалася умови:

(∃A2 > 0)(∀r ∈ (0; 1)) : N(r) � A2η

(A2

1− r

), (4)

(∃A3 > 0)(∀δ ∈ (0; 1))(∀n) :

Nλn(δ(1 − |λn|)) � A3η

(A3

1− |λn|), (5)

а досить, щоб iснувала голоморфна в D функцiяL з класу (2), яка має простi нулi в точках λn,для якої виконується

(∃A4 > 0)(∀n ∈ N) :

ln |(1− |λn|)L′(λn))| � −A4η

(A4

1− |λn|).

У 1970 р. В. Бек [2] адаптував конструкцiюДж. Майлза [3] до одиничного кругу. З його ре-зультатiв випливає таке твердження

Теорема Б. Для кожної послiдовностi (λn),що задовольняє умову

(∃A2 > 0)(∀r ∈ (0; 1)) : N(r) � A2(1−r)3η(

A2

1− r

),

(6)

iснує голоморфна в одиничному крузi функцiя Lскiнченного η-типу з послiдовнiстю нулiв (λn),для якої (λn) є пiдпослiдовнiстю.

Використовуючи це твердження, теорему А мо-жна посилити.

Теорема 1. Якщо послiдовнiсть (λn) задо-вольняє умову (6), то для того, щоб iнтерполя-цiйна задача (1) мала розв’язок в класi (2) для ко-жної послiдовностi комплексних чисел (bn) з вла-стивiстю (3), необхiдно i досить, щоб виконува-лася умова (5).

Доведення. Необхiднiсть умови (5) доведенов [1]. Доведемо достатнiсть. Нехай (λn) – послiдов-нiсть, побудована Беком (див. [2]) з послiдовностi(λn) , що задовольняє умову (6), i нехай

Nλn(τ) =

∫ τ

0

nλn(t)− 1

tdt,

де nλn(t) – кiлькiсть членiв послiдовностi (λn) вкрузi |z − λn| � t. За теоремою Б, iснує голомор-фна в одиничному крузi функцiя L з класу (2) зпослiдовнiстю нулiв (λn), для якої(λn) є пiдпослi-довнiстю. Через (λ∗n) позначимо послiдовнiсть та-ку, що {λ∗n} = {λn}\{λn}, n∗

λn(t) – кiлькiсть чле-

нiв послiдовностi (λ∗n) в крузi {z : |z − λn| � t}. Запобудовою всi члени послiдовностi (λ∗n) лежать наколах ∂U(0;RN−1) (N � 2, RN = 1− 1

2N ) i вiдстаньмiж тими λ∗n, що лежать на колi ∂U(0;RN−1),бiльша за (1−RN )π

2p , де p = n(RN+1) − n(RN ). То-му кiлькiсть точок λ∗n, якi лежать на дузi кола∂U(0;RN−1) в крузi {z : |z − λn| � t}, не пере-вищує 2πtp

|λn|π(1−RN ) . Таким чином, якщо |λn| − t �RN−1 < |λn|+ t < RN , то

n∗λn

(t) � 2tn(3/4 +RN−1/4)

|λn|(1−RN−1)/2�

⎛⎝ 4tn(

3+|λn|+t4

)|λn|(1 − |λn| − t)

⎞⎠ .Актуальнi проблеми фiзики, математики та iнформатики. Математика, №1, 2009

68 Шепарович I. Б.

Тому

Nλn(δ(1 − |λn|)) =∫ δ(1−|λn|)

0

nλn(t)− 1

tdt =

=

∫ δ(1−|λn|)

0

nλn(t)− 1

tdt+

∫ δ(1−|λn|)

0

n∗λn

(t)

tdt �

� Nλn(δ(1 − |λn|))+

+4

∫ δ(1−|λn|)

0

tn(

3+|λn|+t4

)3+|λn|+t

4

t|λn|(1 − |λn| − t)3+|λn|+t4

dt �

� Nλn(δ(1 − |λn|)) + 43 + |λn|+ δ(1− |λn|)|λn|(1− δ)(1 − |λn|) ×

×∫ δ(1−|λn|)

0

n(

3+|λn|+t4

)3+|λn|+t

4

d

(3 + |λn|+ t

4

)�

� Nλn(δ(1− |λn|)) + 40/(1− δ)

1− |λn| ×

×N(3 + |λn|+ δ(1− |λn|)

4

)�

� A3η

(A3

1− |λn|)+

40/(1− δ)

1− |λn| ×

×(1− 3 + |λn|+ δ(1− |λn|)

4

)3η

(A

1− 3+|λn|+δ(1−|λn|)4

)=

= A3η

(A3

1− |λn|)+

5

8(1− |λn|)2(1 − δ)2×

×η(4A/(1− δ)

1− |λn|)

� A5η

(A5

1− |λn|).

Звiдси та з рiвностi

ln∣∣∣(1 − |λn|)L(λn))

∣∣∣ == − Nλn(δ(1−|λn|))+O

(η

(A

1− |λn|))

, n→ ∞

(доведення див. в [1]) випливає, що якщо викону-ються умови (5) i (6), то iснує голоморфна в оди-ничному крузi функцiя L скiнченного η-типу, дляякої

(∃A4 > 0)(∀n ∈ N) :

ln∣∣∣(1− |λn|)L(λn)

∣∣∣ � −A4η

(A4

1− |λn|).

Очевидно, що функцiя

f(z) =∞∑n=1

bnL(z)

(z − λn)L′(λn)

(1− |λn|21− λnz

)snде (sn) – послiдовнiсть натуральних чисел, вибра-на певним чином, є розв’язком iнтерполяцiйної за-дачi (1). Доведемо, що вона є функцiєю скiнченно-го η-типу.

З умов, накладених на η, випливає, що iснує [4]цiла функцiя ψ така, що

lnMψ(t) = (1 + o(1))c0η(c0t), t→ +∞,

c0 � 4(A2 +A4 +A1).

Оскiльки

μψ(t) �Mψ(t) � (1 + 1/ε)μψ((1 + ε)t), ε > 0,

де μψ(t) = max{|ψn|tn} i ψn = ψ(n)(0)/n!, то

μψ(t) � exp(2c0η(c0t)),

μψ(t) � exp(c0/4η(c0t/2)), t � t0. (8)

Виберемо послiдовнiсть (sn) так, щоб

χsn(ψ) �1

1− |λn| < χsn+1(ψ),

де ψ(z) =∑+∞

n=0 ψnzn – мажоранта Ньютона фун-

кцiї ψ, χn(ψ) = |ψn−1/ψn|. Тодi [5] ,

μψ((1− |λn|)−1

)= ψsn(1−|λn|)−sn , μψ(t) � ψsn t

sn .(9)

Отже, з умов (3), (6) – (9) та спiввiдношення

max|z|=r

∣∣∣∣∣ L(z)z − λn

∣∣∣∣∣ � c

1− rML

(r + 1

2

)випливає, що

|f(z)| � c

1− rML

(r + 1

2

)×

×∞∑n=1

|bn||(1− |λn|)L′(λn)|

ψsn · (2/(1− r))sn

ψsn · (1 − |λn|)−sn�

� c

1− rexp

(Aη

(2A

1− r

)+ 2c0η

(2c01− r

))×

×∞∑n=1

exp

(A1η

(A1

1− |λn|)+A4η

(A4

1− |λn|)+

−c04η

(c0/2

1− |λn|))

�

� exp

(A6η

(A6

1− r

)) ∞∑n=1

exp

(−A2η

(2A2

1− |λn|))

� exp

(A6η

(A6

1− r

)) ∞∑n=1

exp(−n),

бо n � n(|λn|) � 2(1−|λn|)−1N((1+|λn|)/2) . Отже,f задовольняє умову (2). Теорему 1 доведено.

Теорема 2. Для того, щоб iнтерполяцiйна за-дача (1) мала розв’язок в класi (2) для будь-якоїпослiдовностi комплексних чисел (bn) з властивi-стю (3), необхiдно, щоб виконувалася умови (4),(5), а досить, щоб виконувалася умови (6) i (5).

Доведення. Ця теорема випливає безпосере-дньо з теореми А та теореми 1.


Про iнтерполяцiйнi послiдовностi голоморфних в одиничному крузi функцiй 69

Бiблiоґрафiя[1] Винницький Б.В., Шепарович I.Б. Iнтерполяцiйнi послiдовностi аналiтичних в одиничному крузi функцiй

скiнченного η-типу // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 3. – C. 425–430.[2] Beck W. Efficient quotient representations of meromorphic functions in the disc. Thesis. University of Illinois

(Urbana-Champaign), 1970.[3] Miles J. Quotient representations of meromorphic functions. J. d’Analese Math., XXV (1972). – P. 371–388.[4] Clunie J. On integral functions having prescribed asymptotic grows. I // Can. J. Math. – 1965. – 17, № 3. –

P. 396–404.[5] Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2 т. – М.: Наука, 1978. – Т. 2. – 432 с.[6] Кондратюк А.А. Ряды Фурье и мероморфные функции. – Львов: Выща школа, 1988. – 196 с.


70 Юркiв М.

УДК 517.5

Про асимптотику голоморфної у пiвплощинi функцiї цiлого порядку без нулiвЮркiв М.



Якщо f – голоморфна у пiвплощинi C+ = {z : �z > 0} функцiя цiлого формального порядку ρ ∈ (0;+∞)

не має нулiв, |f0(t)| = 1 м.с. на дiйснiй осi i для деяких l1 ∈ R, l2 ∈ R i ρ2 ∈ (0; ρ) виконуєтьсяln |f(reiϕ)| = rρ ln rh1(ϕ) + rρh2(ϕ) +O

(rρ2

sinϕ

)рiвномiрно за ϕ ∈ (0; π), якщо r → +∞, то iснує ρ1 ∈ (0; ρ) таке,

що 1/(2π)r∫1

ds(x)x

= l1rρ +O(rρ1) (r → +∞) i 1/(2π)

r∫1

ds(−x)x

= l2rρ +O(rρ1) (r → +∞), де f0(t), t ∈ R – кутовi

граничнi значення функцiї f на дiйснiй осi, s(t) – сингулярна гранична функцiя, h1(ϕ) = 2ρ sin ρϕ(−l1+(−1)ρl2),h2(ϕ) = (−bρ − 2l1 + (−1)ρ2l2) sin ρϕ+ 2ρ(l1(π − ϕ) + (−1)ρl2ϕ) cos ρϕ.

Нехай голоморфна у пiвплощинi C+ = {z :�z > 0}, функцiя f �= 0 цiлого формального по-рядку ρ ∈ (0;+∞) не має нулiв. Тодi, як вiдомо [1],її можна подати у виглядi:

f(z) = exp

{i

ρ∑k=0

bkzk+

+1

πi

⎛⎝ 1∫−1

ln |f0(t)|t− z

dt+

1∫−1

ds(t)

t− z

⎞⎠⎫⎬⎭×

exp

⎧⎪⎨⎪⎩zρ+1

πi

⎛⎜⎝ ∫|t|�1

ln |f0(t)|tρ+1(t− z)

dt+

∫|t|�1

ds(t)

tρ+1(t− z)

⎞⎟⎠⎫⎪⎬⎪⎭ ,

(1)де b0, ..., bρ – дiйснi сталi, f0(t) – кутовi граничнiзначення на дiйснiй осi функцiї f , s(t) – сингуляр-на гранична функцiя.

Використавши методи доведення М.В. Говоро-ва [1], легко отримати таке твердження.

Теорема 1. Нехай ρ ∈ (0;+∞) – цiле число,s : R → R – неспадна на R функцiя, похiдна якоїдорiвнює нулевi майже скрiзь (м.с.), |f0(t)| = 1м.с. на R,

τ1(t) =1

2π

t∫1

ds(x)

x, τ2(t) =

1

2π

t∫1

ds(−x)x

.

Тодi, якщо для деяких l1 ∈ R, l2 ∈ R та для деяко-го ρ1 ∈ (0; ρ)

τ1(r) = l1rρ +O(rρ1 ), τ2(r) = l2r

ρ +O(rρ1 ),

r → +∞ (2)

то функцiя f , визначена формулою (1), є голомор-фною в C+ i рiвномiрно за ϕ ∈ (0;π) виконується

ln |f(reiϕ)| = rρ ln rh1(ϕ) + rρh2(ϕ) +O

(rρ

sinϕ

),

r → +∞,

r∫1

ln |f(teiϕ)|dtt

=

=rρ ln r

ρh1(ϕ) +

rρ

ρ

(h2(ϕ)− h1(ϕ)

ρ

)+O

(rρ

sinϕ

),

r → +∞,

деh1(ϕ) = 2ρ sin ρϕ(−l1 + (−1)ρl2), (3)

h2(ϕ) = sin ρϕ(−bρ − 2l1 + (−1)ρ2l2)+

+2ρ cosρϕ(l1(π − ϕ) + (−1)ρl2ϕ). (4)

Метою нашої статтi є доведення наступноготвердження.

Теорема 2. Нехай голоморфна в C+ функцiяf �= 0 цiлого формального порядку ρ ∈ (0;+∞) немає нулiв i модулi її кутових граничних значеньна дiйснiй осi дорiвнюють одиницi майже скрiзь.Тодi, якщо для деяких l1 ∈ R, l2 ∈ R i ρ2 ∈ (0; ρ)виконується

ln |f(reiϕ)| = rρ ln rh1(ϕ) + rρh2(ϕ) +O

(rρ2

sinϕ

),

r → +∞, (5)

r∫1

ln |f(teiϕ)|dtt

=

=rρ ln r

ρh1(ϕ) +

rρ

ρ

(h2(ϕ)− h1(ϕ)

ρ

)+O

(rρ2

sinϕ

),

r → +∞, (6)

з функцiями h1 i h2, визначеними формулами(3)-(4), то для деякого ρ1 ∈ (0; ρ) виконується (2).Доведення. Нехай 0 < δ < π/max(ρ, 1). За вiд-

повiдного вибору голоморфної гiлки степеня фун-кцiя g(ζ) = f(ζδ/π) є голоморфною в C+ i допускаєголоморфне продовження у нижню пiвплощинучерез вiд’ємний дiйсний промiнь. Тому її сингу-лярна гранична функцiя sg(x) є сталою на цьому


Про асимптотику голоморфної у пiвплощинi функцiї цiлого порядку без нулiв 71

променi. Крiм цього, число ρδπ ∈ (0; 1) є формаль-

ним порядком функцiї g. Згiдно з узагальненоюформулою Карлемана [1],

− 1

2π

R∫1

(1

x2− 1

R2

)ln |g(x)g(−x)| dx+

− 1

2π

R∫1

(1

x2− 1

R2

)dsg(x) =

=1

πR

π∫0

ln |g(Reiϕ)| sinϕdϕ+ c1 +c2R2

,

де c1, c2 – деякi додатнi сталi. Оскiльки dsg(x) =π/δ ·x1−δ/πdsf (xδ/π), то, перейшовши до функцiї fi зробивши замiну xδ/π = t, Rδ/π = r, будемо мати

− 1

2π

r∫1

(1

t2π/δ− 1

r2π/δ

)ln |f(t)f(teiδ)|π

δtπ/δ

dt

t−

− 1

2π

r∫1

(1

t2π/δ− 1

r2π/δ

)π

δtπ/δ−1dsf (t) =

=1

πrπ/δ

π∫0

ln |f(reiθ δπ )| sin θ dθ + c1 +

c2r2π/δ

. (7)

Нехай

ω(r) = − 1

2δ

r∫1

tπ/δdsf (t)

t,

Ω(r) :=2π

δ

r∫1

ω(t)

t2π/δ+1dt. (8)

Тодi з (7) i (8) отримуємо

r∫1

(1

t2π/δ− 1

r2π/δ

)dω(t) =

=1

πrπ/δ

π∫0

ln |f(reiθ δπ )| sin θ dθ+

+1

2δ

r∫1

(1

t2π/δ− 1

r2π/δ

)tπ/δ ln |f(teiδ)|dt

t+

+c1 +c2

r2π/δ,

звiдки

Ω(r) =1

πrπ/δ

π∫0

ln |f(reiθ δπ )| sin θ dθ+

+1

2δ

r∫1

(1

t2π/δ− 1

r2π/δ


t+

+c1 +c2

r2π/δ. (9)

Завдяки (6) та iнтегруванню по частинах, будемомати

1

2δ

r∫1

(1

t2π/δ− 1

r2π/δ


t=

=π

δ2

r∫1

1

t2π/δ+1

⎛⎝ t∫1

τπ/δ ln |f(τeiδ)|dττ

⎞⎠ dt ==

π

ρ2δ2 − π2h1(δ)r

ρ−π/δ ln r+

+π

ρ2δ2 − π2rρ−π/δ

(h2(δ)− 2δ2ρ

ρ2δ2 − π2h1(δ)

)+

+O(rρ2−π/δ), r → +∞. (10)

Тодi в (9), використовуючи (5) i (10), отримаємо

Ω(r) =rρ−π/δ ln r

π

⎛⎝ π∫0

h1

(θδ

π

)sin θ dθ +

+(π

ρ2δ2 − π2h1(δ)

)+rρ−π/δ

π×

×⎛⎝ π∫

0

h2

(θδ

π

)sin θ dθ +

π

ρ2δ2 − π2×

×(h2(δ)− 2δ2ρ

ρ2δ2 − π2h1(δ)

))+

+O(rρ2−π/δ) + c1, r → +∞.

Нехай

A =1

π

⎛⎝ π∫0

h1

(θδ

π

)sin θ dθ +

π

ρ2δ2 − π2h1(δ)

⎞⎠ ,

B =1

π

⎛⎝ π∫0

h2

(θδ

π

)sin θ dθ+

+π

ρ2δ2 − π2

(h2(δ)− 2δ2ρ

ρ2δ2 − π2h1(δ)

)).

Оскiльки функцiя ω є неспадною на [1; +∞), тодля 0 < r < R < +∞

ω(r)R2π/δ − r2π/δ

R2π/δr2π/δ� Ω(R)− Ω(r) =

=2π

δ

R∫r

ω(t)dt

t2π/δ+1� ω(R)

R2π/δ − r2π/δ

R2π/δr2π/δ. (11)

Далi, подiбно до [3, 5], взявши у лiвiй нерiвностiR = r + rα, де 1 + ρ2 − ρ < α < 1, max{ρ + α −1, ρ2 − α+ 1} < ρ1 < ρ, при r → +∞ отримуємо

Ω(R)− Ω(r) = A(Rρ−π/δ lnR− rρ−π/δ ln r)+


72 Юркiв М.

+B(Rρ−π/δ − rρ−π/δ) +O(rρ2−π/δ) =

= A((r + rα)ρ−π/δ ln(r + rα)− rρ−π/δ ln r)+

+B((r + rα)ρ−π/δ − rρ−π/δ) +O(rρ2−π/δ) =

= Arρ−π/δ ln r((1 + rα−1)ρ−π/δ − 1)+

+Arρ−π/δ(1 + rα−1)ρ−π/δ ln(1 + rα−1)+

+Brρ−π/δ((1 + rα−1)ρ−π/δ − 1) +O(rρ2−π/δ) =

= Arρ−π/δ ln r((ρ− π

δ

)rα−1 +O(r2α−2)

)+

+Arρ−π/δ(rα−1 +O(r2α−2)

)+

+Brρ−π/δ((ρ− π

δ

)rα−1 +O(r2α−2)

)+

+O(rρ2−π/δ) =

= Aρδ − π

δrρ+α−1−π/δ ln r+

+rρ+α−1−π/δ(A+

ρδ − π

δB

)+

+O(rρ+2α−2−π/δ ln r) +O(rρ2−π/δ).

Крiм цього,

R2π/δr2π/δ

R2π/δ − r2π/δ=

(r + rα)2π/δr2π/δ

(r + rα)2π/δ − r2π/δ=

=r2π/δ(1 + 2π

δ rα−1 +O(r2α−2)

)2πδ r

α−1(1 +O(rα−1))=

=δ

2πr2π/δ+1−α +O(r2π/δ), r → +∞.

Тому з лiвої частини (11) отримуємо

ω(r) � R2π/δr2π/δ

R2π/δ − r2π/δ(Ω(R)− Ω(r)) =

=

(δ

2πr2π/δ+1−α +O(r2π/δ)

)×

×(Aρδ − π

δrρ+α−1−π/δ ln r+

+rρ+α−1−π/δ(A+

ρδ − π

δB

))+

+O(rρ+α−1+π/δ ln r) +O(rρ2+1−α+π/δ) =

= Aρδ − π

2πrρ+π/δ ln r+

+rρ+π/δ(δ

2πA+

ρδ − π

2πB

)+O(rρ1+π/δ) (12)

якщо r → +∞. Нехай r = R − Rα. Тодi приR→ +∞

Ω(R)− Ω(r) =

= A(Rρ−π/δ lnR − (R−Rα)ρ−π/δ ln(R−Rα))+

+B(Rρ−π/δ − (R−Rα)ρ−π/δ) +O(Rρ2−π/δ) =

= ARρ−π/δ lnR(1− (1−Rα−1)ρ−π/δ)+

−ARρ−π/δ(1− Rα−1)ρ−π/δ ln(1 −Rα−1)+

+BRρ−π/δ(1− (1−Rα−1)ρ−π/δ) +O(Rρ2−π/δ) =

= ARρ−π/δ lnR((ρ− π

δ

)Rα−1 +O(R2α−2)

)+

+ARρ−π/δ(Rα−1 +O(R2α−2)

)+

+BRρ−π/δ((ρ− π

δ

)Rα−1 +O(R2α−2)

)+

+O(Rρ2−π/δ) =

= Aρδ − π

δRρ+α−1−π/δ lnR+

+Rρ+α−1−π/δ(A+

ρδ − π

δB

)+

+O(Rρ+2α−2−π/δ lnR) +O(Rρ2−π/δ)

iR2π/δr2π/δ

R2π/δ − r2π/δ=

(R −Rα)2π/δR2π/δ

R2π/δ − (R −Rα)2π/δ=

=R2π/δ

(1− 2π

δ Rα−1 +O(R2α−2)

)2πδ R

α−1(1 +O(Rα−1))=

=δ

2πR2π/δ+1−α +O(R2π/δ).

Тому з правої частини (11)отримуємо

ω(R) � R2π/δr2π/δ

R2π/δ − r2π/δ(Ω(R)− Ω(r)) =

=

(δ

2πR2π/δ+1−α +O(R2π/δ)

)×

×(ρδ − π

δARρ+α−1−π/δ lnR+

+Rρ+α−1−π/δ(A+

ρδ − π

δB

))+

+O(Rρ+α−1+π/δ lnR) +O(Rρ2+1−α+π/δ) =

= Aρδ − π

2πRρ+π/δ lnR+

+Rρ+π/δ(δ

2πA+

ρδ − π

2πB

)+O(Rρ1+π/δ),

коли R → +∞. Звiдси i з (12) при r → +∞ випли-ває, що

ω(r) = Aρδ − π

2πrρ+π/δ ln r+

+rρ+π/δ(δ

2πA+

ρδ − π

2πB

)+O(rρ1+π/δ). (13)

До того ж,

− 1

2δ

r∫1

dsf (t)

t=

r∫1

dω(t)

t2π/δ=

ω(r)

r2π/δ+

r∫1

ω(t)

t2π/δ+1dt.

Тому з останньої рiвностi i з (13) маємо

− 1

2δ

r∫1

dsf (t)

t= A

ρ2δ2 − π2

2πρδrρ ln r+


Про асимптотику голоморфної у пiвплощинi функцiї цiлого порядку без нулiв 73

+rρ(ρ2δ2 + π2

2πρ2δA+

ρ2δ2 − π2

2πρδB

)+O(rρ1 )

або

1

2π

r∫1

dsf (t)

t= −Ar

ρ ln r

2πρ

ρ2δ2 − π2

π−

− rρ

2πρ

(ρ2δ2 + π2

πρA+

ρ2δ2 − π2

πB

)+O(rρ1 ),

r → +∞.

Далi,

1

2π

r∫1

dsf (t)

t= −r

ρ ln r

2πρ×

×⎛⎝ρ2δ2 − π2

π2

π∫0

h1

(θδ

π

)sin θ dθ + h1(δ)

⎞⎠−

− rρ

2πρ

⎛⎝ρ2δ2 + π2

π2ρ

π∫0

h1

(θδ

π

)sin θ dθ − h1(δ)

ρ+

+ρ2δ2 − π2

π2

π∫0

h2

(θδ

π

)sin θ dθ + h2(δ)

⎞⎠+

+O(rρ1 ), r → +∞.

Крiм цього, згiдно з (3) i (4),

π∫0

h1

(θδ

π

)sin θ dθ =

= − 2ρπ2

ρ2δ2 − π2(−l1 + (−1)ρl2) sin ρδ,

h1(δ) = 2ρ(−l1 + (−1)ρl2) sin ρδ,

π∫0

h2

(θδ

π

)sin θ dθ =

=π2

ρ2δ2 − π2(bρ + 2l1 − 2(−1)ρl2) sin ρδ+

+π2

ρ2δ2 − π2(2ρδ(l1 − (−1)ρl2)(

cos ρδ − 2ρδ

ρ2δ2 − π2sin ρδ

))+

− π2

ρ2δ2 − π2(2l1πρ(cos ρδ + 1)) ,

h2(δ) = sin ρδ(−bρ − 2l1 + (−1)ρ2l2)+

+2ρ cosρδ(l1π − l1δ + (−1)ρl2δ).

Тодi при r → +∞

1

2π

r∫1

dsf (t)

t= l1r

ρ − rρ sin ρδ

πρ(l1 − (−1)ρl2)×

×(π2 − ρ2δ2

ρ2δ2 − π2+ 1

)+O(rρ1 ) =

= l1rρ +O(rρ1 ), r → +∞.

Тобто виконується перша з рiвностей (2), а викона-ння другої обґрунтовується аналогiчно. Теорему 2доведено.

Бiблiоґрафiя[1] Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – М.: Наука, 1986. – 240 с.[2] Хаць Р.В. Про асимптотичне поводження канонiчного добутку цiлого порядку // Матем. студiї. – 2004. –

22, № 1. – С. 105–110.[3] Винницький Б.В., Хаць Р.В. Про асимптотичну поведiнку цiлих функцiй нецiлого порядку // Матем.

студiї. – 2004. – 21, № 2. – С. 140–150.[4] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.[5] Vynnyts’kyi B.V., Yurkiv M.I. Asymptotic properties of holomorphic functions in the half-plane of improved

regular growth of order less than one // Matematychni Studii. – 2008. – 30, № 2. – P. 173–176.


Iнформатика

УДК 519.63

Розробка комп’ютерної системи тестування на базi XMLДубровiн О.Ф.

[email protected]Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iменi Iвана Франка, кафедра iнформацiйних систем i

технологiй, вул. Стрийська 3, м. Дрогобич, 82100

У статтi розглядається методика розробки бази даних тестувальної ситеми на основi технологiї XML.

Вступ

В останнi роки тестування як один iз спосо-бiв контролю за знаннями учнiв та студентiв на-було широкого поширення, зокрема, завдяки впро-вадженню модульно-рейтингової системи навчан-ня i проведенню незалежного тестування при всту-пi до вищих навчальних закладiв. На наш погляд,уся система тестування повинна бути комп’ютери-зованою, що допоможе як прискорити сам процестестування, так i повнiстю виключити суб’єктив-ний фактор при його проведеннi. Сьогоднi iснуєвелика кiлькiсть систем тестування, яким, на нашпогляд, притаманна одна методологiчна помилка.Розглянемо її на прикладi. На кожнiй кафедрi ви-щого навчального закладу розробляються десяткиi навiть сотнi рiзних тестових завдань для оцiнкирiвня пiдготовки студентiв рiзних спецiальностейз рiзних предметiв кафедри. При цьому чималотестових завдань певною мiрою дублюються. Якприклад розглянемо тести, якi використовуютьсяв конкретних модулях. При здачi залiку, екзамену,екзамену за другим талоном та на комiсiї части-на цих тестiв знову включається до опитування. I,нарештi, при пiдсумковому (бакалаврському) ек-заменi, який проводиться з профiльних предметiвспецiальностi, тести з окремих модулiв (назвемо їхбазовими) входять до складу результуючого тесту.

В описаному вище випадку найбiльш доцiль-ним, на наш погляд, є тестування з використаннямкомп’ютерної технiки. Весь необхiдний базовий на-бiр тестiв при цьому слiд зберiгати у спецiальнимчином органiзованiй базi даних, а всi похiднi те-сти формувати викладачам за допомогою спецi-ально розробленого iнтерфейсу. Саме тому розроб-ка методичних та програмних засобiв, якi полег-шують створення комп’ютерних систем тестуван-ня, є актуальним завданням.

Мета статтi. Показати ефективнiсть зберiга-ння бази даних тестових завдань у видi XML-файлiв та запропонувати способи розробки iнтер-фейсу для роботи з такою базою даних.

Концептуальна модель бази даних

У системi тестування всi iнформацiйнi блокиданих повиннi зберiгатися у базi даних. Для її про-ектування спочатку необхiдно побудувати конце-птуальну модель. У результатi попереднього до-слiдження системи тестування було виявлено такiконцептуальнi твердження:

1. На кафедрi проводиться тестування студен-тiв.

2. Тестування проводиться з предметiв, якi ви-кладаються викладачами кафедри для рiзних спе-цiальностей (наприклад, “макроекономiка для спе-цiальностi банкiвський рекет”).

3. Iснують декiлька форм контролю за знання-ми студентiв:a) поточний модульний контроль;b) залiк;c) екзамен;d) пiдсумковий державний екзамен зi спецiально-стi.

4. Тести подiляються на двi категорiї:a) базовi тести, якi формуються викладачами дляконкретних модулiв;b) комбiнованi тести, якi формуються на основiнизки базових тестiв (наприклад, для таких формконтролю, як залiк та екзамен).

5. Тести мiстять таку iнформацiю:a) запитання студентовi;b) перший варiант вiдповiдi;c) другий варiант вiдповiдi;d) третiй варiант вiдповiдi;e) четвертий варiант вiдповiдi;f) номер правильного варiанту вiдповiдi.

6. Усi студенти, якi братимуть участь у тесту-ваннi, реєструються.

7. Реєстрацiя мiстить такi данi про студента:a) логiн студента (наприклад, номер студентсько-го квитка), за яким вiн реєструється;b) пароль студента, за яким вiн проводить тесту-вання;c) прiзвище студента;d) iм’я студента;

Розробка комп’ютерної системи тестування на базi XML 75

e) назва групи.Попереднiй аналiз показує данi, якi потрiбнi

для пiдсумкового екзамену, мають чiтко вираженудеревовидну iєрархiчну структуру. На верхньомурiвнi цiєї структури (корiнь дерева) знаходитьсявузол “Пiдсумковий екзамен”. Всю структуру мо-жна описати так:

1. Нульовий рiвень – “Пiдсумковий екзамен” –кореневий вузол.

2. Перший рiвень – набiр вузлiв “Предмети”, якiвходять до пiдсумкового екзамену.

3. Другий рiвень – набiр вузлiв “Модулi”, якiстосуються до даного предмету.

4. Третiй рiвень – набiр “Запитання”, “Вiдпо-вiдi”, “Номери правильних вiдповiдей ”, якi стосу-ються до конкретного модуля.

При реалiзацiї цiєї структури за допомогою ре-ляцiйної моделi, на етапi логiчного проектуванняодержимо п’ять взаємопов’язаних таблиць [1–2], зподальшою фiзичною реалiзацiєю бази даних набазi клiєнт-серверної СУБД “Fire Bird 1.5”, яка до-сить добре описана, без лiцензiйна i поширюєтьсячерез Internet.

Подiбна стратегiя розробки бази даних тесту-вання має ряд недолiкiв:

1. Використання клiєнт-серверної бази даних,розмiщеної разом з СУБД на комп’ютерi викла-дача, не завжди забезпечує надiйнiсть тестуваннячерез можливi збої у комп’ютернiй мережi.

2. Використання клiєнт-серверної бази даних,розмiщеної разом з СУБД на комп’ютерi студента,поглиблює проблему адмiнiстрування такої систе-ми даних.

3. Розробка iнтерфейсу користувача, призначе-ного для формування тестових завдань для всiхможливих варiантiв залiкiв та екзаменiв є скла-дним завданням.

4. Розроблена база даних тестових завдань не-має наглядностi, яка б допомагала викладачу ви-ключати помилки при формуваннi тестiв.

Позбутися цих недолiкiв значною мiрою можнапри проектування бази даних за допомогою техно-логiї XML [3].

База даних на основi двомiрних файлiв XML

Найпростiший спосiб зберiгання даних XMLполягає у використаннi одного файлу, в якомузберiгається весь документ XML. До таких да-них можна звертатися за допомогою рiзноманi-тних текстових редакторiв та спецiальних iнстру-ментальних засобiв XML. До файлу легко зверну-тися за допомогою довiльної мови програмування,i вiн доступний для усiх синтаксичних аналiзато-рiв XML.

Реляцiйнi та об’єктнi бази даних мають пе-реваги перед двомiрними файлами XML у тому,що, використовуючи механiзм iндексацiї, забезпе-чують значно вищу швидкiсть пошуку iнформа-цiї i бiльш ефективно використовують пам’ять при

дуже великих масивах iнформацiї. Для нашого ви-падку цi переваги несуттєвi, оскiльки в нашiй базiданих у процесi тестування пошук не здiйснюють,а проводиться лише послiдовне зчитування даних.Об’єм даних, необхiдних для тестування, також неможна назвати великим вiдносно апаратної базисучасного комп’ютера.

У силу того, що нам потрiбно передбачити фор-мування масиву тестової iнформацiї для рiзних ви-дiв iспиту, нашу базу даних ми подамо у виглядiдвох XML-документiв: файлу Test.xml

<?xml version="1.0"encoding="windows-1251"?>

<Тести><Предмет Назва=“Операцiйна система

MSDOS” ><Модуль Назва=“Файлова система” Запи-

тань=“25” ><Запитання/> Яке з вказаних тверджень є хи-

бним?<Вiдповiдi_1=“Розширення файла є необов’язковим”_2=“Розширення може мати 1-го до 3-х симво-

лiв”_3=“Розширення може мати тiльки 3 символи”_4=“Текстовi файли в основному мають роз-

ширення *.txt або *.doc”/><Правильна_вiдповiдь N=“3”/></Модуль><Модуль Назва=“Основнi команди MSDOS”

Запитань=“25” ><Запитання/> Яка команда знищує пiдката-

логи?</Модуль><Модуль Назва=“Пакетнi файли” Запи-

тань=“25” ><Запитання/> Яке розширення мають пакетнi

файли MSDOS?</Модуль></Предмет><Предмет Назва=“Операцiйна система Wi-

ndows” ><Модуль/></Предмет></Тести>

та файлу Examen.xml

<?xml version=“1.0” encoding=“windows-1251”?>

<Екзамен Форма=“Пiдсумковий_екзамен” ><Предмет Назва=“Операцiйна система

MSDOS” ><Модуль Назва=“Пакетнi файли”

Запитань=“10”/><Модуль Назва=“Основнi команди MSDOS”

Запитань=“10”/><Модуль Назва=“Файлова система”

Запитань=“10”/>

Актуальнi проблеми фiзики, математики та iнформатики. Iнформатика, №1, 2009

76 Дубровiн О.Ф.

</Предмет><Предмет Назва=“Операцiйна система Wi-

ndows”><Модуль/></Предмет></Екзамен>

Документ Test.xml мiстить повний набiр тестiвдля всiх предметiв та їх модулiв. У кожного мо-дуля, крiм атрибуту Назва, є атрибут Запитання,у якому мiститься цифра тестових запитань, якiстосуються цього модуля.

У документi Examen.xml мiститься керуюча iн-формацiя про те, з яких предметiв, яких модулiв iв якiй кiлькостi з документа Test.хml формуєтьсянабiр тестiв для даного типу iспиту (залiк, екзаменчи пiдсумковий екзамен). Таким чином, документTest.хml створюється в єдиному екземплярi, а до-кументи Examen.xml формуються викладачем длякожного конкретного екзамену.

Монiтор викладача

Монiтор викладача – це програмний засiб, при-значений для того, щоб полегшити роботу викла-дача в процесi розробки тестових завдань. Вiн ви-конує двi основнi задачi – надає викладачевi зру-чний редактор для створення xml-файлiв, та фор-мує на основi двох xml-документiв – Test.xml таExamen.xml результуючий xml-файлiв, який i бу-де використовуватися iншим програмним засобом– Тестуючим монiтором для проведення тесту-вання. Обидвi програми пропонується реалiзуватизасобами Delphi.

Для роботи з xml-документами Delphi вико-ристовує XML DOM – об’єктну модель, яка на-дає у розпорядження розробника об’єкти длязавантаження i обробки XML-файлiв. Об’є-ктна модель складається з таких основних об’-єктiв: XMLDOMDocument, XMLDOMNodeLi-st, XMLDOMNode, XMLDOMNamedNodeMap iXMLDOMParseError. Кожен з цих об’єктiв (крiмXMLDOMParseError) мiстить властивостi i мето-ди, якi дають змогу одержувати iнформацiю прооб’єкт, манiпулювати його значеннями i структу-рою, а також перемiщатися по структурi XML-документа.

Document Object Model подає XML-документв видi деревовидної структури, яка складаєтьсяз гiлок. Програмнi iнтерфейси XML DOM до-зволяють прикладним програмам перемiщувати-ся по дереву документа i манiпулювати його гiл-ками. Кожна гiлка може мати специфiчний тип(DOMNodeType), згiдно якого визначаються ба-тькiвська та дочiрнi гiлки.. В бiльшостi XML-документiв можна зустрiти гiлки типу element,attribute i text. Атрибути (attribute) являють со-бою особливий вид гiлки i не є дочiрнiми гiлка-ми. Для керування атрибутами використовуються

спецiальнi методи, якi надаються об’єктами XMLDOM.

Алгоритм формування комбiнованого тесту iзсистеми базових тестi має вид:

1. Згiдно з xml-документом Examen.xml з доку-мента Test.xml вибирається елемент з рiвня Пре-дмет, який вiдповiдає першому предмету у вузлахExamen.xml.

2. У цьому елементi вибирається елемент з рiв-ня Модуль, який вiдповiдає по iменi першому мо-дулю першого предмету у вузлах Examen.xml.

3. Усi дочiрнi елементи цього вузла заносятьсядо масиву, компонентами якого є запис, поля якогопо iменi спiвпадають з цими вузлами (Запитання,Вiдповiдi та iн).

4. Пiсля цього всi елементи масиву сортуютьсявипадковим чином, з них вибирається кiлькiстьелементiв, яка задана атрибутом Запитань з пото-чного вузла Examen.xml i з цiєї кiлькостi додаю-ться гiлки до нового xml-документа CombTest.хml.

5. Далi вибирається наступний елемент з рiв-ня Предмет, який вiдповiдає першому предмету увузлах Examen.xml, i вся процедура повнiстю по-вторюється.

У результатi одержуємо xml-документCombTest.хml, який має структуру.

<?xml version=“1.0” encoding=“windows-1251”?>

<Комбiнованi_Тести><Питання><Запитання/>Яке з вказаних тверджень є хи-

бним?<Вiдповiдi_1=“Розширення файлу є необов’язковим”_2=”Розширення може мати вiд 1-го до 3-х

символiв”_3=”Розширення може мати тiльки 3 символи”_4=“Текстовi файли в основному мають роз-

ширення *.txt або *.doc”/><Правильна_вiдповiдь N=“3”/></Питання><Питання><Запитання/> . . . .<Вiдповiдi_1=“. . . .”_2=“. . . ”_3=“. . . ”_4=“. . . ”/><Правильна_вiдповiдь N=“..”/></Питання>. . . . . . .</ Комбiнованi_Тести >

Тестовий монiтор

Тестовий монiтор – це програмний засiб, при-значений для того, щоб надати необхiдний iнтер-фейс студенту для проходження тестування. У


Розробка комп’ютерної системи тестування на базi XML 77

процесi тестування студентовi послiдовно видаю-ться запитання та набiр вiдповiдей, з яких необ-хiдно вибрати правильну. Тестування проходить упевних часових рамках, якi вiдмiряються тайме-ром. Результати тестування заносяться до спецi-ального xml-файлу, який утворює базу даних ре-зультатiв.

Iнформацiя, необхiдна для тестування, подає-ться у монiторi файлом CombTest.хml. Робота xml-файлами у тестовому монiторi органiзується за до-помогою компонентiв Delphi dbExpress, якi нада-ють можливiсть працювати з файловою базою да-них MyBase, поданiй у форматi xml [4].

Бiблiографiя1. Дубровiн О, Дубровiн М. Розробка структури унiверсальної тестуючої системи //Молодь i ри-

нок. – 2008. – № 1. – C. 45–49.2. Конноли Т., Бегг К. Базы данных. Проектирование, реализация и сопровождение. Второе изда-

ние. – М., С.Пб, К.: Вильямс, 2001 – 1111 с.3. Грейвс М. Проектирование баз данiх на основе XML. – К.: Вильямс, 2002 – 639 с.4. Кенто М. Delphi 2005. – С.Пб.: Питер, 2001 – 905 с.


ДДПУ ім. І. Франкаdspu.edu.ua/wp-content/uploads/2014/04/N1-2009.pdf · Фiзика...

Documents

Transcript of ДДПУ ім. І. Франкаdspu.edu.ua/wp-content/uploads/2014/04/N1-2009.pdf · Фiзика...