Post on 01-Mar-2020
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là ,
với là hình chiếu của trên đường thẳng .
Kí hiệu: .
② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với
là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Kí hiệu: .
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.
④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với
nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến
mặt phẳng :
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đƣờng vuông góc chung của . gọi là đoạn vuông góc chung của .
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước
M a MH
H M a
,d M a MH
M MH
H M
,d M MH
, ,d a b d M b MH M a
a
M a
, ,d a d M MH M a
, , A, ,d d a d AH a A a
,a b
,a b IJ ,a b
M d
a
b
c
J
Ia
bJ
I
H
M
M
Ha
M
Ha
b
M
H
a
AB
H K
a
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng hạ với .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
Chú ý:
Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì:
.
Nếu , thì: .
b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Các bước thực hiện:
Bước 1. Tìm hình chiếu của lên .
- Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .
- Tìm .
- Trong mặt phẳng , kẻ tại H.
H là hình chiếu vuông góc của O lên .
Bước 2. Khi đó là khoảng cách từ O đến .
Chú ý:
Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với .
Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.
Nếu thì: .
Nếu cắt tại I thì:
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Trường hợp a b:
- Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.
- Trong dựng BA a tại A.
là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
- Dựng mp chứa a và song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM () tại M
,M d MH d H d
MH
a A d
, ,d M d d A d AK A d
MA d I,
,
d M d MI
AId A d
O
H O
OH
OH
d / /Ox d
//OA , ,d O d A
OAO,
,
d OI
AId A
,a b
AB
M
Ha
a M A
Kd
A
Kd
I H
M
O
H
H
O d
H
O A
K
H
O
A
KI
b
aB
A
(Hình a)
A
B M
M'
a
b
b'
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
- Từ M dựng b// b cắt a tại A.
- Từ A dựng cắt b tại B.
AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I
- Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên
- Trong mp , vẽ OH b tại H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của .
-
Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:
Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:
3. Phƣơng pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm :
+ Mặt phẳng đi qua điểm có vtpt có dạng:
+ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :
Công thức tính nhanh:
b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là:
c) Góc giữa hai đường thẳng theo công thức:
d) Góc giữa hai mặt phẳng và :
có vecto pháp tuyến ; có vtpt , khi đó:
//AB MM
a
OH
,a b
,a b
,d a b AB
, ,d a b d b
, ,d a b d
MNP ; y ; ,N ;y ; ,P ;y ;M M M N N N P P P
M x z x z x z
MNP ; y ;M M M
M x z A;B;Cn MN MP
0 z 0M M M
A x x B y y C z z Ax By C D
; y ;I I I
I x z MNP
2 2 2,( ) I I I
Ax By Cz DIH d I MNP
A B C
.,( )
MN MP MId I MNP
MN MP
,AB CD.
,AB CD AC
d AB CDAB CD
,AB CD.
cos ,.
ABCDAB CD
AB CD
ABC MNP
ABC1n AB AC MNP
2n MN MP
(Hình b)
b'
a bA
O
I H
B
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Tính và có vtpt , thì:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 1. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Khi đó :
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai đường thẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
1 2
1 2
.cos ,
.
n nABC MNP
n n
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
,.
AA B B C CABC MNP
A B C A B C
AB MNP
u AB MNP n MN MP.
sin , ,.
u nAB MNP AB MNP
u n
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 B ACC A a
39
13a
15
5a
2 21
7a
2 15
5a
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 AC BB a
15
5a
2 15
5a
2 21
7a
39
13a
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 BC AA a
2 15
5a
15
5a
2 21
7a
39
13a
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 AC BB cos
1cos
4
1cos
3
2cos
5
2cos
3
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 A C ABC
4
6
3
1arcsin
4
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Câu 6. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông tại ,
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến là:
A. . B. . B. . D. .
Câu 8. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông cân tại , .
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu
vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác , biết
. Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật tâm có . Gọi
lần lượt là trung điểm của . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
trùng với điểm . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng :
A. . B. . C. . D. .
CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP
Câu 11. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , đỉnh cách đều các điểm
Biết , góc giữa đường thẳng và bằng . Tính khoảng cách từ
trung điểm của đến theo .
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , .
Tính khoảng cách giữa và
.ABC A B C 2AB aA ABC H AB
060 BCC B ABC
1arctan
4arctan 2 arctan 4 arctan 2
.ABC A B C ABC A , 2AB a AC a
A ABC H BC
030 C ABB A
3 5
2a
5
5a
2 85
17a
2 13
3a
.ABC A B C ABC A 3AC a
A ABC H BC
030 AA
BC
6
4a
2
2a
2 7
7a
5 29
7a
.ABC A B C ABC 2AB a
A ABC G ABC
3AA a ABB A ABC
2arccos
3
1arccos
3
3arccos
5
6arccos
12
.ABCD A B C D ABCD O , 2AB a BC a
,H M ,OA AA A ABCD
H 060 M
CDD C
2 29
13a
2 85
17a
2 285
19a
2 21
7a
.S ABC ABC B S , ,A B C
2 ,AC a BC a SB mp ABC 060
M SC mp SAB a
39
13
a 3 13
13
a 39
26
a 13
26
a
.S ABCD O a 060 , 2ABC SA SB SC a
AB SC
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Cho tứ diện có đôi một vuông góc và , là trung điểm
của . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , cạnh bên bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm và . Tính góc giữa và mặt phẳng .
A. . B. . C . D. .
Câu 15. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng và
. Tính giá trị với là góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc . Gọi là trung điểm
các cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm . Góc giữa và mặt
phẳng bằng . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm
và . Tính khoảng cách giữa và
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân , , . Biết
. Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , cạnh bên
, . Tính góc giữa và .
A. . B. . C. . D. .
11
12
a 11
4
a 2 11
8
a 3 11
4
a
OABC , ,OA OB OC OA OB OC a I
BC AI OB
arctan 5 arctan51
arctan5
1arctan
5
.S ABCD ABCD O a a
,M N SB CD MN SAC
arctan 2 arctan 2 arctan 2 21
arctan2
. ' ' 'ABC A B C ABC a 2a
' ' 'A A A B A C tan 'A BC
ABC
2 11 2 5 2 11a 2 5a
.S ABCD ABCD , 2AB a AD a SA
SC 060 ,M N
SA .SB S DMN
31
2 5
a 31
60
a 60
31
a 2 5
31
a
.S ABCD ABCD a O SB
SAC 060 M SB AM CD
2
a 2
2
a
4
aa 2
. ' ' ' 'ABCD A B C D a ,M N AB
CD 'A C MN
2
4
a 2
2
a
2
a2a
.S ABCD ABCD //AD BC 2AD a BC CD a
, 3SA ABCD SA a cosin SC AD
3 1
2
3
2
3
4
.S ABC ABC A AB CA a
SA ABC SA a SA SBC
arctan 2 2 arctan 22
arctan2
arctan 2
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
HƢỚNG DẪN GIẢI
LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 1. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Ta có: là hình chiếu vuông góc của lên nên: .
Gọi là trung điểm của và là trung điểm của .
Kẻ . Khi đó:
Ta có:
Xét tam giác vuông tại có:
Mặt khác: .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
Ta có: .
.
có: .
Suy ra: . Vậy .
[Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, .
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 B ACC A a
39
13a
15
5a
2 21
7a
2 15
5a
AH AA ABC 0A , , 60A ABC AA AH
I AC M IA
HK A M3
3; 3;2
aA H a BI a HM
,HK ACC A d H ACC A HK
A HM H2 2
. 15
5
A H HMHK a
A H HM
, 1 2 15
, 22 5,
d H ACC A HAd B ACC A HK a
BAd B ACC A
.3, , BACA ABC A B C
ACA ACA
V Vd B ACC A d B ACA
S S
3
. . 3ABC A B C ABCV A H S a
ACA 2 22 ; 2 ;AC a AA AH A H a 2 2 6A C A H CH a
215
2ACAS a ,d B ACC A
2 15
5a
Oxyz
0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a
A
A
B
H
I
C
C
BK
M
x
y
z
A
A
B
H
I
C
C
BK
M
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Ta có: ; ; .
Vậy .
Câu 2. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Ta có: là hình chiếu vuông góc của lên nên: .
Khi đó:
Gọi là trung điểm của và là trung điểm của .
Kẻ .
Ta có:
Xét tam giác vuông tại có:
Mặt khác:
Chọn và có .
nên: .
[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
,
Vì . Ta có:
; 3;0AC a a ;0; 3AA a a ; ;0AB a a
,AC AA AB
d B ACC AAC AA
2 15
5a
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 AC BB a
15
5a
2 15
5a
2 21
7a
39
13a
AH AA ABC 0A , , 60A ABC AA AH
33; 3;
2
aA H a BI a HM
I AC M IA
HK A M
,HK ACC A d H ACC A HK
A HM H2 2
. 15
5
A H HMHK a
A H HM
, 1 2 15
, 22 5,
d H ACC A HAd B ACC A HK a
BAd B ACC A
AC ACC A //BB ACC A
2 15
, , ,5
d AC BB d BB ACC A d B ACC A a
Oxyz
0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a
2 ;0; 3BB AA B a a
x
y
z
A
A
B
H
I
C
C
BK
M
A
A
B
H
I
C
C
BK
M
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
; ;
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau và theo là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Ta có: nên:
Gọi là điểm đối xứng với qua điểm ta có: và .
Vì: . Nên: .
Kẻ ; . Chứng minh được: .
Xét tam giác vuông tại và ta có: .
Xét tam giác vuông tại ta có: .
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
Ta có:
.
có: ; .
Suy ra: . Vậy .
; 3;0AC a a ;0; 3BB a a ; ;0AB a a
. 2 15
,5
AC BB ABd AC BB a
AC BB
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 BC AA a
2 15
5a
15
5a
2 21
7a
39
13a
//AA BB , , ,d AA BC d AA BCC B d A BCC B
E H B //A H B E B E ABC
,2
E,
d A BCC B AB
EBd BCC B
,d AA BC 2 ,d E BCC B
EK BC EF B K ,EF BCC B d E BCC B EF
KEB K 060KBE 0 3
sin 602
EK BE a
B EK E2 2
. 15
5
EK B EEF a
EK B E
2 15
, 2 =5
d AA BC EF a
.3, , , , ABCB ABC A B C
BCB BCB
V Vd AA BC d AA BCC B d A BCC B d A BCB
S S
3
. . 3ABC A B C ABCV A H S a
BCB 2 22 ; 2BC a BB AA AH A H a 2 2 6B C B E CE a
215
2BCBS a
2 15, =
5d AA BC a
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
[Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, .
Ta có: ; ;
Vậy .
Câu 4. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Khi đó :
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp cổ điển
Ta có:
nên:
Tính được: ,
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ta được:
. Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, , .
Vì . Ta có: ; .
Ta có: . Vậy .
Oxyz
0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a
; 3;0BC a a ;0; 3AA a a ; ;0AB a a
. 2 15,
5
AA BC ABd AA BC a
AA BC
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 AC BB cos
1cos
4
1cos
3
2cos
5
2cos
3
// ABB A
cos , cos , A cosAC BB AC A A AC
2AA a 2 , 6AC a A C a
A AC
2 2 2 2 . .cosA C A A AC A A AC A AC
1cos
4A AC
1cos
4
Oxyz
0;0;0H ;0;0 , ;0;0B a A a 0; 3;0 , 0;0; 3C a A a
2 ;0; 3BB AA B a a ; 3;0AC a a ;0; 3BB a a
. 1
cos ,. 4
AC BBAC BB
AC BB
1cos
4
x
y
z
A
A
B
H
I
C
C
BK
M
A C
B
A
E
C
K
FH
B
B
C
A
H
B
C
x
y
zA
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Câu 5. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai đường thẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp cổ điển
Ta có: nên: là hình chiếu vuông góc của lên
Khi đó: .
Xét tam giác vuông tại ta có: .
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, .
Mặt phẳng có vtpt .
VTCP của đường thẳng là: .
Khi đó: . Vậy .
Câu 6. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
Cách 1: [Phƣơng pháp dựng hình]
Gọi là điểm đối xứng với qua điểm ta có:
.ABC A B C 2AB aA ABC H AB
060 A C ABC
4
6
3
1arcsin
4
A H ABC CH A C ABC
, ,A C ABC A C CH A CH
A CH H tan 1A H
A CHCH
,4
A C ABC
Oxyz
0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a
: 0ABC z 0;0;1k
A C 0; 3; 3u A C a
. 2
sin ,2.
u kA C ABC
u k ,
4A C ABC
.ABC A B C 2AB a
A ABC H AB
060 BCC B ABC
1arctan
4arctan 2 arctan 4 arctan 2
E H B
A
B
C
A
H
B
C
x
y
zA
B
C
A
H
B
C
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
và .
Kẻ ; . Ta có: .
Khi đó:
Xét tam giác vuông tại và ta có:
Xét tam giác vuông tại có: .
Vậy .
Cách 2: [Phƣơng pháp tọa độ]
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: ,
Mặt phẳng có vtpt .
Mặt phẳng có vtpt: .
.
Vậy .
Câu 7. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông tại ,
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến là:
A. . B. . B. . D. .
Hƣớng dẫn giải
Cách 1: [Phƣơng pháp dựng hình]
Tam giác vuông tại có: . ; .
Vì nên là hình chiếu vuông góc của lên , khi đó:
//A H B E B E ABC 3B E A H a
EK BC EF B K BC B EK BC B K
, ,BCC B ABC B K EK B KE
KEB K 060KBE 0 3
sin 602
EK BE a
B EK E3
tan E 23
2
B E aB K
EK a
, arctan 2BCC B ABC
Oxyz 0;0;0H ;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 3B a A a C a A a
: 0ABC z 0;0;1k
BCB 2 3 3;1; 1n BC BB a
. 5
cos ,5.
n kBCC B ABC
n k tan , 2BCC B ABC
, arctan 2BCC B ABC
.ABC A B C ABC A , 2AB a AC a
A ABC H BC
030 C ABB A
3 5
2a
5
5a
2 85
17a
2 13
3a
ABC A 2
ABCS a 5BC a5
2
aAH
A H ABC AH AA ABC
A
B
C
A
H
B
C
x
y
z
A C
B
A
E
C
K
FH
B
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
. Suy ra, .
Ta có: nên: .
Vì: nên: .
Kẻ ; . Chứng minh được: .
Ta có:
Xét tam giác vuông tại ta có:
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
Ta có: .
có: ; .
Suy ra: . Vậy .
[Cách 3]: Phƣơng pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: ,
. Vì .
Phương trình mặt phẳng là: .
Vậy .
Câu 8. Cho hình lăng trụ có mặt đáy đáy là tam giác vuông cân tại , .
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết
0, , 30AA ABC AA A H 0 15.tan 30
6A H AH a
||CC BB , ,d C ABB A d C ABB A
,2
,
d C ABB A CB
CHd H ABB A
,d C ABB A 2 ,d H ABB A
HE AB HI A E ,IH ABB A d H ABB A IH
2
ACEH a
A EH H2 2
. 85
17
EH A HIH a
EH A H
2 85
, 2 =17
d C ABB A IH a
.3, , , C ABA ABC A B C
ABA ABA
V Vd C ABB A d C ABB A d C ABA
S S
3
.
15.
6ABC A B C ABCV A H S a
A AB 2 2 15;
3AB a AA AH A H a 2 2 15
3A B A H BH a
251
12ABAS a
2 85,
17d C ABB A a
Oxyz 0;0;0A ;0;0 , 0;2 ;0 ,B a C a
15; ;0 , ; ;
2 2 6
a aH a A a a
15;3 ;
2 6
aCC AA C a a
ABB A 15. 6 0y z
2 85
, , ,17
d C ABB A d C ABB A d C ABA a
.ABC A B C ABC A 3AC a
A ABC H BC
A
B
C
CA
Bz
x
y
H
A
B
C
A
B
C
HE
I
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
Cách 1: [Phƣơng pháp dựng hình]
Tam giác vuông cân tại có: . ; .
Vì nên là hình chiếu vuông góc của lên , khi đó:
. Suy ra, .
Kẻ , ta có: nên: . Suy ra, .
Xét tam giác vuông tại có: .
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , ,
. Ta có: ;
; . Vậy .
Câu 9. Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu
vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác , biết
. Tính góc giữa hai mặt phẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
Cách 1: [Phƣơng pháp dựng hình]
030 AA
BC
6
4a
2
2a
2 7
7a
5 29
7a
ABC A 23
2ABCS a 6BC a
6
2
aAH
A H ABC AH AA ABC
0, , 30AA ABC AA A H 0 2.tan 30
2A H AH a
HK AA HK AA HK AA ,d AA BC HK
A AH H2 2
. 6
4
AH A HHK a
AH A H
6
,4
d AA BC a
Oxyz 0;0;0A 3;0;0 , 0; 3;0B a C a
3 3 3 3 2; ;0 , ; ;
2 2 2 2 2
a a a aH A a
3 3 2; ;
2 2 2
a aAA a
3; 3;0BC a a 3;0;0AB a
. 6,
4
AA BC ABd AA BC a
AA BC
.ABC A B C ABC 2AB a
A ABC G ABC
3AA a ABB A ABC
2arccos
3
1arccos
3
3arccos
5
6arccos
12
A
B
C
A
B
C
H
K
A
B
C
CA
Bz
x
y
H
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Tính được: ; . Kẻ . Ta có:
; . Vậy
Xét tam giác vuông tại ta được:
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, , .
Mặt phẳng có vtpt
Mặt phẳng có vtpt nên:
. Vậy .
Câu 10. Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật tâm có . Gọi
lần lượt là trung điểm của . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
trùng với điểm . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng :
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
Cách 1: [Phƣơng pháp dựng hình]
Do là hình chữ nhật tâm có nên:
; . Ta có:
Nên là hình chiếu vuông góc của lên , suy ra:
3AI a2 3
3AG AI a GE AB AB A E
3
3EG a 2 2 69
3A G A A AG a , ,ABB A ABC A E EG A EG
A EG G6
tan 23 cos12
A GA EG A EG
EG
6
, arccos12
ABB A ABC
Oxyz
0;0;0I 0; 3;0 , ;0;0 , ;0;0A a C a B a3 3 69
0; ;0 , 0; ;3 3 3
a aG A a
: 0ABC z 0;0;1k
ABB A 2 69 2 323; ;
3 3n AB AA a
. 6
cos ,12.
n kABB A ABC
n k
6, arccos
12ABB A ABC
.ABCD A B C D ABCD O , 2AB a BC a
,H M ,OA AA A ABCD
H 060 M
CDD C
2 29
13a
2 85
17a
2 285
19a
2 21
7a
ABCD O , 2AB a BC a
5AC a5 5
;2 4
a aOA OH A H ABCD
AH AA ABCD
0, , 60AA ABCD AA AH A AH
A
B
C
A
E
B
I
C
G
A
B
C
A
E
B
I
C
G
z
xy
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Vì nên:
Dựng hình bình hành ta có: , và .
Suy ra, .
Ta có: và nên tính được: .
Xét tam giác vuông tại có: .
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
Ta có: .
.
Xét tam giác ta có: , .
. Suy ra, .
Vậy .
[Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, .
. Vì ;
0 15.tan 60
4
aA H AH
//AA CDD C , ,d M CDD C d A CDD C
A HEC C E ABCD C E A H
,4
,
d A CDD C AC
ECd E CDD C
, 4. ,d A CDD C d E CDD C
//KE AD 4AC CE2
aKE
C KE E2 2
. 285
38
KE C EIE a
KE C E
2 285
,19
d M CDD C a
3
.
15.
2ABCD A B C D ABCDV S A H a
.3, , ,
2
ACDC ABCD A B C D
CDC CDC
V Vd M CDD C d A CDD C d A CDC
S S
CDC CD a 2 2 5
2CC AA A H AH a
2 2 2 2 2 11
2C D C E ED C E KD KE a 219
8CDCS a
2 285
,19
d M CDD C a
Oxyz
0;0;0B 0; ;0 , 2 ;0;0 ,A a C a 3
2 ; ;0 , ; ;02 4
a aD a a H
3 15 7 15; ; , ; ;
2 4 4 4 8 8
a a a aA a M a
5 15; ;
2 4 4
a aCC AA C a
A
B
B C
D
DA
C
H
M
x
zy
A D
CB
A
B
D
C
H
OI
EK
M
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Ta có: ; ; .
Vậy .
CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP
Câu 11. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , đỉnh cách đều các điểm
Biết , góc giữa đường thẳng và bằng . Tính khoảng cách từ
trung điểm của đến theo .
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Gọi hình chiếu của xuống mặt phẳng là . Suy ra .
Ta có : cách đều các điểm nên .
Vì (tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau)
nên hay là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Mà vuông tại nên là trung điểm .
là trung điểm của nên
Gọi là trung điểm .
Kẻ tại .
Ta có : .
Mà nên .
Lại có : .
Góc giữa đường thẳng và bằng góc nhọn .
Ta có .
0; ;0CD a15
; ;2 4 4
a aCC a
7 7 15; ;
4 8 8
a aMC a
2 285
,19
CD CC MCd M CDD C a
CD CC
.S ABC ABC B S , ,A B C
2 ,AC a BC a SB mp ABC 060
M SC mp SAB a
39
13
a 3 13
13
a 39
26
a 13
26
a
S ABC H SH ABC
S , ,A B C SA SB SC
SHA SHB SHC
HA HB HC H ABC
ABC B H AC
M SC 1
, , ,2
d M SAB d C SAB d H SAB
K AB HK AB
HI SK I
,
AB SH
AB HKAB SHK
HK SH K
HK SH SHK
HI SHK AB HI
,
,
HI SK
HI ABHI SAB d H SAB HI
SK AB K
SK AB SAB
SB mp ABC 060SBH
1 1;
2 2 2
aHB AC a HK BC
A
S
CI
M
H
B
K
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Xét .
Xét vuông tại suy ra .
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
Ta có : .
Tam giác vuông tại .
Mặt khác : .
Lại có : .
Tam giác vuông tại nên .
Do đó : .
Vậy : .
[Cách 3]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó , ,
, .
Suy ra: .
Vậy .
Câu 12. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , . Tính
khoảng cách giữa và
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
0: tan 60 . 3SHB SH HB a
SHK H2 2 2 2 2
1 1 1 1 4
3HI HS HK a a
39
13
aHI
39
,13
ad M SAB HI
3
, MSAB
SAB
Vd M SAB
S
ABC B 2 2 2 24 3AB AC BC a a a
1 1
2 2
SAMBSAMB SABC
SABC
VV V
V
31 1 1 1. . . 3. 3.
3 3 2 6 2SABC ABC
aV SH S SH AB BC a a a
31
2 4SAMB SABC
aV V
SHK H2
2 2 2 133
4 2
a aSK SH HK a
21 1 13 39. . . 3
2 2 2 4ABC
a aS SK AB a
3 39
,13
MSAB
SAB
V ad M SAB
S
0;0;0H O ;0;02
aK
0;0; 3S a
3; ;0
2 2
a aA
3 3; ;
4 4 2
a a aM
3 3 3 3;0; 3 , ; ;0 , ; ;
2 2 4 4 3
a a a a aKS a KA a KM
, . 3 39
,1313,
KS KA KM a ad M SAB
KS KA
.S ABCD O a 060 , 2ABC SA SB SC a
AB SC
11
12
a 11
4
a 2 11
8
a 3 11
4
a
S
A
B
CH
K
M
x
y
z
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
O
G
K
C
A D
I
B
S
có nên đều
Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của .
Ta có : nên .
Mặt khác: .
Vì là trọng tâm đều nên hay .
Kẻ
Ta có: .
mà nên .
Lại có
hay .
đều có cạnh bằng nên
.
Tam giác vuông tại suy ra .
.
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
.
Tam giác vuông tại suy ra .
Tam giác đều có cạnh bằng nên: .
Tam giác vuông tại : .
Do đó: .
ABC 0, 60AB BC ABC ABC
G ABC K AB
SA SB SC SG ABCD
3
// , , , ,2
AB SCD d AB SC d AB SCD d B SCD d G SCD
G ABC CG AB CG CD
GI SC
,
CD SG
CD CGCD SGC
SG CG G
SG CG SCG
GI SGC CD GI
,
GI SC
GI DCGI SCD
SC CD C
SC CD SCD
,d G SCD GI
ABC a
2 2 3 3
3 3 2 3
a aCG CK
SGC G2
2 2 2 114
3 3
a aSG SC GC a
2 2 2
1 1 1 11
6
aGI
GI SG GC
3 3 11 11
, ,2 2 6 4
a ad AB SC d G SCD
3
// , , , BSCD
SCD
VAB SCD d AB SC d AB SCD d B SCD
S
SGC G2
2 2 2 114
3 3
a aSG SC GC a
ABC a3
,2 2
a aOC OB
BCO O21 1 3
. . . 32 2 2 4
BCD
a aS OC BD a
2 31 1 11 3 11. . .
3 3 4 123SBCD BCD
a a aV SG S
z
S
A
BC
OG
x y
KD
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Ta có: .
Tam giác vuông tại : .
Vậy .
[Cách 3]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ trong đó:
, , , ,
Suy ra: , , .
Suy ra: .
Câu 13. Cho tứ diện có đôi một vuông góc và , là trung điểm
của . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Gọi là trung điểm của . Ta có
Nên góc giữa và là góc giữa và và bằng góc
Ta có : mà nên .
Lại có nên .
Xét tam giác vuông tại nên ta có:
. .
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng tích vô hƣớng
Ta có:
Ta xét:
,
CD SG
CD CGCD SGC CD SC
SG CG G
SG CG SCG
SCD C 21 1. .2 .
2 2SCDS SC CD a a a
3 11
,4
BSCD
SCD
V ad AB SC
S
0;0;0G3
;0;03
aB
330;0;
3
aS
3; ;0
6 2
a aC
2 3;0;0
3
aD
3 33; ;
6 2 3
a a aCS
3; ;0
2 2
a aCD
3; ;0
2 2
a aCB
, . 11
, ,4,
CD CS CB ad AB SC d B SCD
CD CS
OABC , ,OA OB OC OA OB OC a I
BC AI OB
arctan 5 arctan51
arctan5
1arctan
5
M OC //IM OB
AI OB AI IM AIM
OB OC
OB OACOB OA
//IM OB IM OAC
AM OAC IM AM
AIM M
1
2IM OB a
2 22 2 2 2 5 5
4 4 2
a a aAM AO OM a AM
tan 5 arctan 5AM
AIM AIMIM
AI OB arctan 5
cos , cos ,AI OB AI OB
.
cos ,.
AI OBAI OB
AI OB
O
A
M
I
B
C
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Có:
Do đó: .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
[Cách 3]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:
Ta có: , , ,
,
Suy ra:
Vậy góc giữa hai đường thẳng và
bằng .
Câu 14. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , cạnh bên bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm và . Tính góc giữa và mặt phẳng .
A. . B. . C . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Gọi lần lượt là trung điểm của
Vì hình chóp đều, là tâm của đáy nên .
Lại có là hình vuông nên .
Ta có .
Ta có : .
Lại có :
22 2
. . . . . .cos , . .2 2 2
a aAI OB AO OI OB AO OB OI OB OI OB OI OB OI OB a
2
. 1 12cos , cos , tan , 5
. 3 6 6.
2
aAI OB
AI OB AI OB AI OBAI OB a
a
AI OB1
arccos arctan 56
0;0;0O 0;0;A a ;0;0B a
0; ;0C a ; ;02 2
a aI
; ; ; ;0;02 2
a aAI a OB a
. 1cos , cos ,
. 6
tan , 5
AI OBAI OB AI OB
AI OB
AI OB
AI OB
arctan 5
.S ABCD ABCD O a a
,M N SB CD MN SAC
arctan 2 arctan 2 arctan 2 21
arctan2
,E F ,SO OC
SABCD O ABCD SO ABCD
ABCD BD AC
,
BD AC
BD SOBD SAC
SO AC O
SO AC SAC
/ /ME BDME SAC
BD SAC
NF SAC
O
A
z
B
C
I
x
yM
S
A
BC
D
O
M
N
E
I
F
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Do đó : Hình chiếu của lên mặt phẳng là .
Nên góc giữa và mặt phẳng là góc giữa và bằng góc .
Vì là hình vuông cạnh nên .
là đường trung bình của tam giác
Mặt khác .
Tứ giác là hình bình hành nên hai đường chéo , cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường .
Tam giác vuông tại nên .
Vậy góc giữa và mặt phẳng bằng .
[Cách 3]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:
Ta có , ,
, ,
, ,
.
Véctơ pháp tuyến của là:
.
Câu 15. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng và
. Tính giá trị với là góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng
.
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Gọi là tâm của đáy . Suy ra
Gọi là trung điểm . Ta có ( tam giác đều )
MN SAC EF
MN SAC MN EF NIF
ABCD a 2BD a
NF ODC 2
4
aNF
1
2 2
aEF SC
MNEF MN EF I
1
2 4
aFI EF
NFI F
2
2tan 2 2 arctan 2 2
4
aFN
NIF NIFaFI
MN SAC arctan 2 2
0;0;0O2
0;0;2
aS
20; ;0
2
aA
2;0;0
2
aB
20; ;0
2
aC
20; ;0
2
aD
2 2 2 2;0; , ; ;0
4 4 4 4
a a a aM N
2 2 2
; ;2 4 4
a a aMN
SAC 1;0;0n i
. 2 2
sin , cos ,3.
MN nMN SAC MN n
MN n tan ; 2 2MN SAC
. ' ' 'ABC A B C ABC a 2a
' ' 'A A A B A C tan 'A BC
ABC
2 11 2 5 2 11a 2 5a
O ABC 'A O ABC
I BC AI BC ABC
A
B
C
I
O
'A
'B
'C
O
S
A
z
Bx yC
D
M
N
I
E
F
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Ta có : .
Mặt khác :
Nên góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc .
Có .
[Cách 2]:Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:
.
.
Véctơ pháp tuyến của là: .
Véctơ pháp tuyến của là: .
Ta có: .
Câu 16. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , cạnh bên vuông
góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc . Gọi là trung điểm các
cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Ta có cắt tại
.
'
' ''
' , '
BC A O
BC AIBC A AI BC A I
A O AI O
A O AI A AI
'
:
' : '
A BC ABC BC
ABC AI BC
A BC A I BC
'A BC ABC 'A IA
2 2
22 2 21 1 3 3 11, ' ' 2
3 3 2 6 3 3
a a a aOI AI A O AA AO a '
tan 2 11A O
OI
3 3 3
0;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , ; ;03 2 6 2 6
a a a a aO A B C
2 2 33 33' ' ' 0;0;
3 3
a aA O A A AO A
3 33
' ; ; ; ;0;02 6 3
a a aA B BC a
'A BC
2 2
1
33 3' , 0; ;
3 6
a an A B BC
ABC 0;0;1n k
1
3cos cos ,
135n n tan 2 11
.S ABCD ABCD , 2AB a AD a SA
SC 060 ,M N
SA .SB S DMN
31
2 5
a 31
60
a 60
31
a 2 5
31
a
SA DMN M
,1
,
d S DMN SM
AMd A DMN
, ,d S DMN d A DMN
'A
'B
'C
A
B
CO
Ix
y
z
S
A
B C
D
M
N
H
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Kẻ
Ta có : .
Mà .
Ta có: hay .
Ta có là hình chiếu của lên mặt phẳng nên góc giữa và bằng góc
.
Tam giác vuông tại suy ra: .
Xét vuông tại nên:
Vậy .
[Cách 2]: Phƣơng pháp dùng thể tích
Ta có: . Ta có: .
Tam giác vuông tại : .
Mặt khác .
Vậy .
[Cách 3]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:
AH MD
//MN ABMN SAD
AB SAD
AH SAD MN AH
,
AH MD
AH MNAH DMN
MD MN M
MD MN DMN
,d A DMN AH
AC SC ABCD SC ABCD
060SCA
SAC A 0tan 60 . 15SA AC a
MAD A2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 31 60
15 4 60 31
aAH
AH AM AD a a a
60
,31
ad S DMN
3
, SMND
MND
Vd S DMN
S
//MN AB
MN SAD MN MDAB SAD
MND M21 1 31 31
. . .2 2 2 2 8
MND
a a aS MN MD
31 1 1 1 1 1 15. . . .
4 4 4 2 8 3 12
SMNDSMND SABD SABD
SABD
V SM SN aV V V SA AB AD
V SA SB
60
,31
ad S DMN
0;0;0 ; 0;0; 15 ; 0;2 ;0 ;
15 150;0; ; ;0; .
2 2 2
A S a D a
a a aM N
15 150; 2 ; ; ; 2 ; ;
2 2 2
0; 2 ; 15 .
a a aDM a DN a
DS a a
S
A
B C
D
M
N
x
y
z
H
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
.
Câu 17. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , tâm . Góc giữa và mặt
phẳng bằng . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa và .
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Hình chóp đều, là tâm của đáy nên
Vì là hình vuông nên . Ta có: .
Góc giữa và là góc giữa và bằng góc .
Ta có . Mà
nên .
Gọi là trung điểm của . Kẻ .
Ta có: mà .
Lại có .
Vì là đường trung bình của tam giác nên .
Tam giác vuông tại nên ta có:
.
Vậy .
, . 60
;31,
DM DN DS ad S DMN
DM DN
.S ABCD ABCD a O SB
SAC 060 M SB AM CD
2
a 2
2
a
4
aa 2
SABCD O SO ABCD
ABCD AC BD BD AO
BD SACBD SO
SB SAC SB SO 060SOB
////
CD ABCD SAB
AB SAB
AM SAB
, , 2 ,d AM CD d CD SAB d O SAB
I AB OH SI
AB OI
AB SOIAB SO
OH SIO OH AB
,OH SI
OH SAB d O SAB OHOH AB
OI ABD 1
2 2
aOI AD
SBO O0
2 6
tan 60 62 3
OB a aSO
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 10
106
2 6
aOH
OH OI SO aa a
2
, , 2 , 210
ad AM CD d CD SAB d O SAB OH
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
[Cách 2]:Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho:
Suy ra:
Câu 18. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm và
. Tính khoảng cách giữa và
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Ta có
Gọi và là trung điểm của .
Ta có .
Lại có :
Do đó .
[Cách 2]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho: .
6 2 2 2
0;0;0 ; 0;0; ; 0; ;0 ; C 0; ;0 ; ;0;06 2 2 2
a a a aO S A B
2 2 2 6; ;0 ; 0; ; ; 0; 2;0
2 2 2 6
a a a aAB AS AC a
, . 2
, ,10,
AB AS AC ad AM CD d C SAB
AB AS
. ' ' ' 'ABCD A B C D a ,M N AB
CD 'A C MN
2
4
a 2
2
a
2
a2a
// // 'BC MN MN A BC
, ' , ' , 'd MN A C d MN A BC d M A BC
' 'I A B AB H BI
//'
'
MH AIMH A B
AI A B
''
' '
MH A BMH A BC
MH BC BC ABB A
1 1 2
, ' , ' '2 4 4
ad MN A C d M A BC MH AI AB
0;0;0 ; ;0;0 ; ; ;0 ; ' 0;0; ; ;0;02
aA B a C a a A a M
S
A
BC
D
O
M
I
H
S
A
BC
D
O
M
x y
z
C
'A
A
B
D
'B 'C
'D
I
HM
N
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Suy ra:
.
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân , , . Biết
. Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Cách 1]: Phƣơng pháp dựng hình
Ta có nên góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và
BC. Vì là hình thang cân nên .
Gọi là trung điểm của .
Ta có: nên tứ giác là hình bình hành
nên .
Tam giác có
tam giác vuông tại .
Tam giác vuông tại nên ta có:
.
Tam giác vuông tại nên ta có:
.
Tam giác vuông tại nên ta có:
.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác :
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
[Cách 2]: Phƣơng pháp toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có:
Suy ra:
' ;0; ; 0; ;0 ; ;0;02
aBA a a BC a BM
', .
; ' ; ' ; '2 2',
BA BC BM ad MN A B d MN A BC d M A BC
BA BC
.S ABCD ABCD //AD BC 2AD a BC CD a
, 3SA ABCD SA a cosin SC AD
3 1
2
3
2
3
4
//AD BC SC AD SC
ABCD AB CD a
I AD
1
2
//
AI BC AD
AI BC
AICB
CI AB a
ACD 1
2CI AD
ACD C
ACD C
22 2 2 2 22 3 3AC AD CD a a a AC a
SAC A
222 2 2 23 3 12 2 3SC SA AC a a a SC a
SAB A
22 2 2 2 23 10 10SB SA AB a a a SB a
SBC
2 2 2 3cos
2S . 4
SC BC SBSCB
C BC
cosin SC AD3
4
0;0;0 ; 3;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;3C A a D a S a
3
0;0; 3a ; ; ;02 2
a aSC AB
. 3
cos , cos ,. 4
SC ABSC AD SC AD
SC AB
S
A
B C
DI
S
A
B C
ID
xy
z
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , cạnh bên
, . Tính góc giữa và .
A. . B. . C. . D. .
Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Gọi là trung điểm cạnh . Kẻ . Vì tam giác vuông cân tại nên
Ta có: . Mà .
Ta có: .
Suy ra : góc giữa và là góc giữa và
bằng góc .
Tam giác vuông tại : có .
.
Vậy góc giữa và bằng .
[Cách 2]: Gán hệ trục tọa độ
Chọn hệ trục toạ độ sao cho:
Ta có :
Suy ra:
Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến là: .
Đường thẳng có véctơ chỉ phương là: .
Suy ra:
. Vậy góc giữa và bằng .
cosin SC AD3
4
.S ABC ABC A AB CA a
SA ABC SA a SA SBC
arctan 2 2 arctan 22
arctan2
arctan 2
I BC AH SI ABC A AI BC
BC AI
BC SAIBC SA
AH SAI BC AH
AH SI
AH SBCAH BC
SA SBC SA SH
ASI
SAI A1 2
,2 2
aSA a AI BC
2tan
2
AIASI
AS
SA SBC2
arctan2
0;0;0 ; ; ;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;A B a C a S a
S ;0; , ; ;0B a a BC a a
2 2 2 2S, ; ; 1;1;1B BC a a a a
SBC 1;1;1n
SA 0;0;1k
1
sin ; cos ;3
SA SBC n k cot ; 2SA SBC
2
tan ,2
SA SBC SA SBC2
arctan2
S
A
B
C
I
H
B
S
z
AC
I
x
y
HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook /instagram: xuantruong.teacher
Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học cùng Vietjack