Post on 28-Sep-2015
description
Contents 4.1 Hyrje ................................................................................................................................................. 2
4.2 Numrat e okupacionit ........................................................................................................................ 5
4.3 Gazi fotonik ...................................................................................................................................... 6
4.4 Gazi fononik ...................................................................................................................................... 8
4.5 Gazet ideale t grimcave reale ........................................................................................................ 10
Bozonet ................................................................................................................................................... 10
Fermionet ................................................................................................................................................ 12
4.6 Elektronet n metale ....................................................................................................................... 13
4.7 Gazet ideale klasike. Limiti klasik. ................................................................................................. 17
4.8 Termodinamika e nj gazi ideal t grimcave klasike pa struktur .................................................. 20
4.9 Ushtrime t zgjidhura ...................................................................................................................... 23
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
2
Kapitulli 4: Sistemet ideale (jo-bashkvepruese)
4.1 Hyrje
N kt kapitull do t konsiderojm sistemet m t thjesht q trajtohen nga mekanika statistike. Kto
sisteme jan t prbra prej grimcave q nuk bashkveprojn me njra-tjetrn; kto modele quhen edhe
gaze ideale.
Parimet e mekaniks statistike prshkruajn llogaritjen e funksioneve t shprndarjes si prshembull
exp E
ose
exp E N .
Kto jan peshat statistike t Boltzmannit shumuar mbi t gjitha fluktuacionet e mundshme, q do t
thot, t gjitha gjndjet mikroskopike jan lejuar nga kushtet q kontrollojn sistemin. N shum e par,
t gjitha gjndjet me numr t njjt t grimcave jan konsideruar; ndrsa n t dytn, numri i grimcave
ndryshon, gjithashtu, dhe potenciali kimik do t llogaris pjesn energjetike si rrjedhoj e ndryshimit t
grimcave. N qoft se n shum e dyt, ne do t prqndrojm shumn vetm pr ato gjndje me N
konstante, dhe t barabart me N , ather shuma e dyt sht proporcionale me t parn.
Kto shuma ose funksione t shprndarjes jan qndrore pr teorin meq propabiliteti pr dika t ndodh
sht pesha e Boltzmannit shumuar mbi t gjitha fluktuacionet ose mikrogjndjet n prputhje me kt
ndodhje. Pr shembull, n nj sistem t hapur ku numri i grimcave, N , mund t ndryshoj nga nj gjndje
n gjndjen tjetr, propabiliteti q t kemi saktsisht N grimca sht
exp expN NN N
N
P E N e E
ku mbishkrimi ``N n shum tregon q shuma prfshin vetm ato gjndje pr t cilat N N , dhe
ato gjndje jan shnuar me indeks N .
N munges t kushtzimeve, fluktuacionet ndodhin spontanisht, dhe kto formula tregojn q mundsia
e fluktuacioneve spontane sht e drejtuar nga energjetikat e ktyre fluktuacioneve n krahasim me
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
3
energjin termike t Boltzmannit, 1Bk T . Kshtu, T m t mdha lejojn pr fluktuacione m t
mdha, dhe kur 0T , vetm ato gjndje pr t cilat energjia pr grimc sht e njjt me energjin pr
grimc n gjndjen baz jan t arritshme.
Vrojtimi sistematik i t gjitha fluktuacioneve t mundshme sht shpesh nj proes shum i komplikuar
prshkak t numrit t madh t gjndjeve mikroskopike q mund t konsiderohen, dhe hollsirave t
lodhshme q nevojiten pr t karakterizuar kto gjndje. Ky kompleksitet sht arsyeja pse mekanika
statistike sht shikuar shpesh si nj subjekt i vshtir. Si do t vazhdojm n kt libr, ne do t fusim
nj numr metodash praktike pr t marr fluktuacionet q kan vlera praktike. M t thjeshtat prej tyre
jan prafrimet faktorizuese q bhen plotsisht t sakta kur sistemi sht prbr prej grimcave q nuk
bashkveprojn.
Pr t kuptuar si metoda faktorizuese punon, po supozojm energjin E e cila ndohet n dy pjes:
1 2n mE E E , ku gjndja varet nga n dhe m , dhe kto indekse m dhe n jan t pavarura nga njra-
tjetra. Ather funksioni i shprndarjes kanonike,
1 2exp exp
E
n m
n,m
Q e
E E ,
mund t faktorizohet si
1 2
1 2
exp expn mn m
Q E E
Q Q ,
ku barazimi i dyt paraqet 1
Q dhe 2
Q si pesha shumore t Boltzmannit t shoqruara me energjit
1nE dhe
2mE , prkatsisht. Duhet t theksohet q kto energji jan t pa korreluara n kuptimin q
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
4
1 2 1 2 1 21
1 2
1 2
ln ln
n m n m
n,m
E E Q E E exp E E
Q Q
E E .
N rastin e prgjithshm kur kemi N grad lirie t pa korreluara, mund t shkruajm
1 2 N
Q Q Q Q .
N qoft se secila prej ktyre gradve t liris sht e t njjtit lloj, formula e msiprme mund t
thjeshtohet akoma n
1
N
Q Q .
Ky faktorizim n kt mnyr nnkupton q nevojitet vetm t vizitojm mikrogjndjet pr nj grad lirie
dhe ather thjesht marrim fuqin e N -t t ktij rezultati. Pr t treguar vshtirsin e ktij thjeshtimi,
supozojm nj sistem q ka 1000N grad lirie, dhe secila mund t ndodhet n 5 mikrogjndje. Numri i
prgjithshm i gjndjeve pr t vizituar pr t gjith sistemin sht 10005 , nj numr pamundsisht i
madh. Por faktorizimi, nnkupton q na nevojiten vetm 5 gjndje, t cilat jan t numrueshme.
N disa raste, prafrimi i faktorizimit sht i aplikueshm sepse sistemi i prbr prej grimcave jo
korreluese. Nj shembull sht ai i gazit klasik ideal. Ktu, energjia sht shum e energjive t nj
grimce, dhe, n qoft se grimcat do t ishin t dallueshme, funksioni i shprndarjes do t ishte thjesht
Nq , ku q sht shuma e Boltzmannit mbi t gjitha gjndjet e nj grimce t vetme. Pr m tepr, pr
temperatura t larta pr t cilat modelet klasike jan nj prafrim i mir, numri i gjndjeve t nj grimce t
vetme sht shum i madh n krahasim me numrin e grimcave. N kt rast, do gjndje e sistemit prej
N grimcave ndodh !N her, q korrespondon me numrin e mnyrave t zgjedhjes s N gjndjeve t
ndryshme t sistemit prej nj grimce tek N grimca t padallueshme. Kshtu q, korrekt funksion i
shprndarjes do t jet
1
!
NQ q .N
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
5
Pa faktorin 1!N , ne do t rrisnim numrin e gjndjeve t dallueshme.
N raste t tjera, prafrimi i faktorizimit sht i aplikueshm edhe kur grimcat e sistemit jan t
korreluara. N kt rast, sht e mundur t gjejm disa parametra kollektive q jan t pa korreluar, t
cilat varen nga koordinatat ose gjndjet e nj numri t madh grupi t grimcave. Nj shembull sht modt
e lkundjeve t vogla n trupat e ngurt. Kto mod jan quajtur fonone. Nj shembull tjetr sht numri i
okupacionit pr sistemet e mekaniks kuantike t prbr nga grimca jo-bashkvepruese.
4.2 Numrat e okupacionit
Hapi i par n analizn e do modeli prfshin prcaktimin e mikrogjndjeve. Gjndja e nj sistemi
kuantik mund t prcaktohet nga funksioni valor pr kt gjndje,
1 2 N, , , . r r r
Ku sht -t zgjidhja vetjake e ekuacionit t Schrdingerit pr nj sistem me N grimca. N qoft se
grimcat nuk bashkveprojn, ather funksioni i vals mund t shprehet si nj prodhim i funksioneve
simetrike t nj grimce t vetme. Shnojm funksionet valore t nj grimve t vetme me
1 2 jr , r , , r , . Pr nj gjndje t veant, t themi , 1 2 Nr ,r , ,r do t jet nj prodhim
simetrik i prbr prej 1n grimcash me funksion valor t nj grimce 1 , 2n grimcash me funksion valor t
nj grimce 2 , dhe kshtu me rradh. Kto numra, 1 2 jn ,n , ,n , jan quajtur numrat e okupacionit e t
parit, dytit, , j -t, gjndjeve t nj grimce t vetme. N qoft se N grimcat jan t padallueshme,
ashtu si dhe grimcat kuantike jan, ather nj gjndje, , sht plotsisht e prcaktuar prej bashksis
s numrave t okupacionit 1 2 jn ,n , ,n , meq do e dhn shtes do t dalloj midis grimcs s jn n
gjndjen e j -t t nj grimce t vetme.
Pr shembull, konsiderojm tre grimca (si tregohet n me rrath n figurn e mposhtme) t cilat mund t
ndodhen n nj prej dy gjndjeve t nj grimce t vetme, dhe .
State 1 State 2 State 3 State 4
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
6
T gjitha gjndjet e mundshme pr kt sistem prej tre grimcash jan treguar n figurn e msiprme. N
lidhje me numrat e okupacionit, gjndja 1 ka 0n , 3n ; gjndja 2 ka 1n , 2n ; dhe kshtu me
rradh. Duhet t dihet q nj numr okupacioni sht nj parametr kollektiv n kuptimin q vlera e tij
varet nga gjndja e njkohshme e t gjith grimcave.
Tani mund t shprehim numrin e prgjithshm t grimcave dhe energjin e prgjithshme si funksion t
numrave t okupacionit. Shnojm me
1 2 jn ,n , ,n ,
gjndjen e -t. Ather
jj
N n
numrin e prgjithshm t grimcave n gjndjen e -t. Shnojm me j energjin e gjndjes s j -t t
nj grimce t vetme. Ather,
j j
j
E n
sht energjia n gjndjen e -t.
Grimcat me spin gjysm t plot i nnshtrohen parimit t prjashtimit: 0jn ose 1jn vetm. Kto
grimca quhen fermione dhe statistika e shoqruar me 0jn ose 1 qhet statistika e Fermi-Dirac-ut.
Grimcat me spin t plot i nnshtrohen statistiks s Bose-Einstein-it: 0 1 2 3jn , , , , . Kto grimca quhen
bozone.
4.3 Gazi fotonik
Si nj shembull i prdorimit t numrave t okupacionit, konsiderojm gazin fotonik, q sht nj fush
elektromagnetike n ekuilibr termik me kontenierin. Ne duam q t prshkruajm vetit termodinamike
t ktij sistemi. Nga teoria kuantike e fushs elektromagnetike, sht gjetur q Hamiltoniani mund t
shkruhet si nj shum termash, ku secili ka formn e nj Hamiltoni t nj oshillatori harmonik me nj
frekuenc t caktuar.Energjia e oshillatorit harmonik sht n (niveli zero i energjis sht neglizhuar),
ku 0 1 2n , , , . Kshtu, ne kemi mbetur tek koncepti i fotoneve me energji . Nj gjndje e fushs s
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
7
lir elektromagnetike sht specifikuar nga numri n pr t secilin prej oshillatorve, dhe n mund t
mendohet si nj numr i fotoneve n nj gjndje me energji t nj grimce t vetme .
Fotonet i nnshtrohen statistiks s Boze-Einsteinit: 0 1 2n , , , . Kshtu q, funksioni i shprndarjes
kanonike sht
1
01 2
nj j
EA j
n ,n , ,n ,j
e Q e e
Ku kemi prdorur paraqitjen e E sipas numrit t okupacionit, dhe kemi shnuar j j . Meq faktort
eksponencial n pozicionet e pavarura, ne marrim
0
n j j
nj j
Q e .
Shprehja n kllapa sht nj seri geometrike, kshtu q
1
gazifotonik
1 jj
Q .
e
Prej ksaj formule, ne mund t marrim t gjitha vetit q duam meq AQ e . Nj madhsi q sht me
rndsi t veant sht vlera mesatare e numrit t okupacionit t gjndjes s j -t, jn . N ansamblin
kanonik
1 1
1 2
1 1
1 2
ln
n n j jEjj
n ,n ,j E
n n j j
j n ,n ,
j
n en e
nQe
e
Q
Q.
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
8
Duke zvndsuar formuln pr Q ne marrim
ln 1
1
1 1
jj
j j
j
j j
n e
e
e e
e cila njihet si shprndarja e Planckut.
4.4 Gazi fononik
Si nj shembull tjetr, konsiderojm gazin fononik, modd normale t nj trupi t ngurt n temperatura t
ulta. Pr nj rrjet mjaftueshmrisht t ftoht, atomet qndtrojn afr pozicionit t tyre t ekuilibrit. Si
rezultat, energjia potenciale e nj sistemi t till mund t zbrthehet sipas fuqive t zhvendosjes s
koordinatave prej pozicionit t tyre t ekuilibrit. Pr shum aplikime, sht nj prafrim i mir t ndalesh
vetn n termat kuadradik, q quhet edhe prafrimi harmonik
0 0
0
1
1
2
N
i j i ji j
i, j , x,y,z
U U s s s s k ,
ku is sht vlera e koordinats karteziane t -t pr grimcn e i -t, 0is sht vlera koresponduese e
ekuilibrit, i jk sht nj konstante force, dhe 0U sht vlera m e vogl e energjis potenciale (niveli
zero i energjis). Duhet t kiher parasysh nj munges e nj termi linear n kt formul; ky term nuk
sht atje sepse derivati i par i energjis sht zero n minimum.
Konsiderojm pasojat e faktit q n prafrimin harmonik, Hamiltoniani sht nj funksion kuadratik I t
gjitha koordinatave. sht e vrtet q koordinata t ndryshme jan bashkuar s bashku nprmjet
DN DN matric t konstanteve t forcs, ku D shnon dimensionin, dhe DN numrin e prgjithshm t
koordinatave. Por meq elementet e matrics s konstanteve t forcs, i jk , jan simetrike, nj teorem e
algjebrs lineare mund t zbatohet, e cila thot q mund t zbrthejm funksionin kuadratik duke gjetur
nj bashksi t koordinatave normale ose modve normale. do mod normale e nj sistemi
harmoniksht nj koordinat q oshillon me nj frekuenc t caktuar dhe e pavarur nga t gjitha modd e
tjera. Atje jan DN koordinata t tilla pr do Hamilton harmonik. Secila mod sht nj kombinim linear
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
9
i t bashksis origjinale t koordinatave, is ; dhe kur ne adoptojm modd normale si koordinatatt
tona, Hamiltoni i prgjithshm mund t shkruhet si nj shum e DN Hamiltonve nj dimensional t
pavarur kuadratik. Pr t prcaktuar modd normale t nj sistemi harmonik t veant, ne duhet t
diagonalizojm nj matrix DN DN .
Ktu ne do t supozojm q forma kuadratike mund t diagonalizohet. Kshtu, duke adoptuar prafrimin
harmonik, ne dim q Hamiltoniani mund t shprehet si
1
DN
,
ku me kemi shnuar Hamiltonianin e oshillatorit harmonik me frekuenc themelore . Edhe
njher, kujtojm q energjia vetjake e nj oshillatori harmonik me frekuenc sht
1
0 1 22
n , n , , , .
Kshtu q, ne po fusim tani kuptimin e nj fononi. Po shnojm me n numrin e fononeve n gjndjen me
energji . Ather energjia e nj gjndje e rrjets merr formn e mposhtme
01
DN
E n E ,
ku
0 01
1
2
DN
E U .
Pr thjeshtsi, po e marrim 0U si nivelin zero t energjis. Ather funksioni kanonik i shprndarjes pr
rrjetn bhet
01 2
1exp
2n ,n ,
Q ,N ,V n .
Meq eksponencialet mund t faktorizohen n nj prodhim t termave t pavarur, shprehja e msiprme
mund t shkruhet si
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
10
1
1exp
2
DN
n
Q ,N ,V n .
Shuma sipas n sht kryer duke prdorur formuln pr progresionin gjeometrik,
0
1
1
n
n
q .q
Duke konsiderurar q expq , marrim
2
1
2
1 1
1
exp 2 exp 21
DN/ n
n
DN DN/
Q ,N ,V e e
e.
/ /e
Prej ktej
1
ln ln exp 2 exp 2DN
Q / / .
Shuma sipas gjndjeve fononike mund t ndahet duke futur g d si numrin e gjndjeve fononike
me frekuenc midis dhe d . Ather
0
ln exp 2 exp 2A d g / / .
Kjo formul sht pika fillestare e analizs s termodinamiks s rrjetave harmonike.
4.5 Gazet ideale t grimcave reale
Bozonet
Po marrim nj sistem prej N grimcash q i nnshtrohen statistiks s Bose-Einstein-it dhe q nuk
bashkveprojn midis tyre. Nj mnyr pr t llogaritur madhsit termodinamike t nj sistemi t till,
sht t llogarisim funksionin e shprndarjes kanonike, expQ E . Ndryshe nga gazet fotonike
ose fononike q jan t prbra nga grimca pa mas, sistemet q ne po konsiderojm prej tani e n
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
11
vazhdim jan t prbra nga grimca q nuk mund t krijohen apo zhduken. Kshtu q, nse ne duam t
prdorim modelin e okupacionit t gjndjeve, kur kryejm shumimin pr t llogaritur funksionin e
shprndarjes kanonike, ne duhet t kufizojm shumn n ato gjndje n t cilat numri i prgjithshm i
grimcave sht i fiksuar n N :
1 2
exp j jn ,n , j
n Njj
Q n .
Ktu, j tregon energjin e grimcs s izoluar t gjndjes s j -t. Kufizimi n shumimin n ekuacion
krijon nj problem kombinatorial i cili mund t zgjidhet; por zgjidhja e sakt nuk sht dhe aq e thjesht.
Duke marr n konsiderat mekanikn statistike n ansamblin e madh kanonik, megjithat, kufizimi n
shum nuk shfaqet m.
N ansamblin e madh kanonik, funksioni i shprndarjes sht
E NpVe e ,
ku me shnohet nj gjndje me N grimca dhe energji E . N lidhje me numrat e okupacionit
1 2
exp j jn ,n , ,n , jj
n .
Duke faktorizuar termat eksponencial, marrim
0
1
1
nj jpV
jnj jj
e e
e
Ku formula e progresionit gjeometrik sht prdorur. Prej ktej,
ln ln 1j
j
pV e .
Numri mesatar i okupacionit sht
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
12
1 ln
E Nj
jj j
n e
n .
Duke prdorur kt formul me pr gazin ideal t Bozes, ne marrim
1
1
jj
n .
e
Duhet t vrehet singulariteti pr j , pr t ciln jn nuk konvergjon; d.m.th. nj numr
makroskopik i grimcave q prfundon n nj grimc t vetme. Ky fenomen njihet si kondensimi i Bozes,
dhe kondensimi sht menduar t jet nj mekanizm pr mbi rrjedhjen,
Prsrisim q fotonet dhe fononet jan bozone n kuptimin q do numr mund t ekzistoj n t njjtn
gjndje t nj grimce t vetme. Kshtu sipas formuls q ne sapo nxorrm, potenciali kimik i nj fononi
n nj gaz ideal fononik sht zero. N mnyr t ngjashme, potenciali kimik i nj fotoni n nj gaz ideal
fotonik sht zero.
Fermionet
Tani po konsiderojm nj gaz ideal t grimcave reale t Fermit. Edhe njher sht akoma edhe m e
thjesht t punojm me ansamblin e madh kanonik, dhe n kt ansambl, funksion i shprndarjes sht
1
01 2
exp j jn ,n , j
n .
Ktu ne kemi shnuar q pr fermionet, 0jn ose 1, vetm. Si sht gjithmon dhe rasti pr grimcat q
nuk bashkveprojn, eksponenciali mund t faktorizohet dhe ne marrim
1
0
1nj j j
nj jj
e e ,
ku formula e progresionit gjeometrik sht prdorur. Prej ktej,
ln ln 1j
j
pV e .
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
13
Edhe njher, numri mesatar i okupacionit sht dhn nga
jj
lnn
:
1
1 1
j
jj j
en .
e e
Informacioni mbi korrelacionet midis grimcave t ndryshme mund t prshkruhet me mesataren
i jn n . Pr t qn m specifik, po konsiderojm nj sistem t grimcave fermionike identike, ku jn
sht ose zero ose one, dhe in sht probabiliteti q nj grimc sht n gjndjen e i -t t nj grimce t
izoluar. N mnyr t ngjashme, i jn n sht probabiliteti i prbashkt q nj grimc sht n gjndjen i
dhe nj grimc n j , dhe ij i j i ijg n n n sht probabiliteti i prbashkt q nj grimc sht n
gjndjen i dhe nj tjetr grimc sht n gjndjen j .
4.6 Elektronet n metale
Si nj illustrim, tani po konsiderojm vetit termike t elektroneve prcjells n metale. Pr nj prafrim
t mir, ne mund t modelojm kt elektrone si nj gaz ideal i fermioneve sepse n densitete t larta,
energjia potenciale e bashkveprimit midis fermioneve identik sht shpesh e nj rndsie t vogl.
Arsyeja sht q meq nuk ekzistojn dy grimca identike dhe prandaj fermionet e padallueshme mund t
ndodhen n t njjtn gjndje, nj sistem me densitet t lart do t mbush mundsisht shum nivele
energjie t nj grimce t vetme. Energjia m e vogl e gjndjeve t pa okupuara do t ket nj energji
kinetike shum her se Bk T , dhe jan ngacmimet n kto gjndje q krijojn fluktuacionet e shoqruara
me vetit e termodinamike t vrojtuara n temperatura t fundme. Prandaj, kur densiteti i nj sistemi t
fermioneve prej shum grimcave sht mjaftueshmrisht i lart, energjit e bashkveprimeve midis
grimcave bhet i paprfillshm.
Si do ta shikojm pas pak, elektronet prcjells n shumicn e metaleve knaqin kriterin e densitetit t
lart. Nse ne supozojm se elektronet prcjells jan nj gaz ideal, numri mesatar i elektroneve q
ndodhen n gjndjen e j -t t nj grimce t vetme sht
j jn F ,
ku F sht funksioni i Fermit
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
14
1
1F ,
e
dhe j sht energjia e gjndjes s j -t t nj grimce t vetme:
2 2 2j k / m ,
ku me m kemi shnuar masn e lektronit, dhe me k vektorin valor, i cili kuantizohet si m posht
0 1 2x y z n n n / L, n , , , , k x y z
ku 3L V sht volumi i materialit q mban elektronet. Kto jan elektrone n nj kuti. Duhet t shnohet
gjithashtu q indeksi i gjndjes j duhet t specifikoj numrat kuantik, xn , yn , dhe zn . Pr m tepr, j
duhet t specifikoj gjithashtu spinin e gjndjes (lart ose posht) t elektronit. Meq jjN n , ne
kemi
0
2N d F ,
ku faktori 2 llogarit degjenerimin e dy gjndjeve t mundshme t spinit, dhe d sht numri I
gjndjeve t nj grimce t vetme pa struktur me energji midis dhe d . N mnyr t ngjashme,
0 0 0
3
0
30
3
2
2
2
2
2
2
x y z
x y z
x y z
N dn dn dn F k
dk dk dk / / L F k
Vdk dk dk F k
Vd F k ,
k
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
15
ku kemi shnuar q pr volume mjaftueshmrisht t mdha, spektri i vektorve valor sht i vazhdueshm
kshtu q nj integrim sht i mjaftueshm, dhe barazimi i fundit thjesht fut nj shnim m t
prmbledhur pr integrimin sipas t gjith hapsirs s k -ve.
Pr t vazhduar, po konsiderojm formn e funksionit t Fermit. Pr 0T ,
0
0
1
0
,F
,
ku 0 sht potenciali kimik i gazit elektronik ideal n 0T , q sht quajtur shpesh si energjia e
Fermit. Impusi i Fermit, Fp , sht prkufizuar si
2 2 2
02 2
F Fp k .m m
Kshtu, n 0T , ne mund t kryejm integralin sipas F pr t marr N :
3 34
2 23
FN V / k .
Nj metal tipik, Cu, ka nj densitet mase prej 39g/cm . Duke supozuar q secili atom jep nj elektron tek
gazi elektroni prcjells, ne marrim nga ky densitet
o0 80 000 KB/ k ,
i cili provon q edhe n temperaturn e dhoms, prafrimi i gazi ideal sht i sakt.
Figure 1: Funksioni i Fermit.
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
16
Figure 1 paraqet nj skic t funksionit t Fermit pr temperatura shum m t ulta se 0 / kB (pr
shembull, temperatura e dhoms). Derivati i tij sht nj funksion delta, si sht paraqitur n Figure 2.
Figure 2: Derivati i funksionit t Fermit.
Ne mund vrejm kt sjellje kur llogarisim vetit termodinamike. Pr shembull,
0
0
2
j j
j
E n
d F
d dF / d ,
Ku n barazimin e fundit, ne integruam me pjes dhe termi kufitar sht zero, dhe futm
0
2dx x x.
Meq dF / d sht shum i lokalizuar afr 0 dhe sht funksion i rregullt, ne mund t
prfitojm nse zbrthejm rreth 0 dhe marrim
0
0 00
2 41 2
1 m mm
m
B
d dFE d
m! dd
C k T C O T .
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
17
Ku 1C dhe 2C jan dy konstante. Kshtu, ne marrim q pr nj prcjells metalik n temperatura t ulta
kapaciteti I nxehtsis sht funksion linear i temperaturs; d.m.th.
vC T
Ky parashikim sht tashm provuar nga shum t dhna eksperimentale.
Ne e kemi komentuar q ne kemi neglizhuar bashkveprimet midis elektroneve. Ne kemi gjithashtu
neglizhuar bashkveprimet midis atomeve t rrjets dhe elektroneve. Q do t thot, ne kemi neglizhuar
bashkveprimet midis elektroneve dhe fononeve. sht arritur q kto bashkveprime jan prgjegjse
pr fenomenin e mbi prcjellshmris n metale.
4.7 Gazet ideale klasike. Limiti klasik.
Tani po konsiderojm far ndodh me sjelljen statistike t gazeve ideale t mekaniks kuantike kur i
afrohemi temperaturave t larta. Ky sht n fakt limit klasik. Numri i grimcave sht dhn nga
jjN n . Numri mesatar i grimcave jepet
1
1j
j
j j
N n e ,
Ku n barazimin e fundit, shenja (+) sht pr statistikn e Fermi-Dirakut, dhe shenja (-) pr at t Boze-
Einsteinit. Densiteti mesatar N / V sht densiteti termodinamik. Kur temperatura sht e lart dhe
densiteti sht i ult, akoma dhe m shum gjndje t nj grimce t vetme mund t arrihen n krahasim
me numrin e grimcave. Kshtu q relacioni jjN n nnkupton q pr rastin e konsideruar, do
jn duhet t jet e vogl; d.m.th., 1jn .Ky kusht kombinuar me shprdarjen e Fermi-Dirakut dhe
Boze-Einsteinit nnkupton
1j
e .
(a)
Mund t shihet leht se nse ky ekuacion sht i vrtet pr t gjitha j , ather 1 kur 0 dhe
0 . Ky rast limit korrespondon me limitin e gazit ideal klasik.
Duke u nisur nga dy mosbarazimet e msiprme, ne mund t shkruajm
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
18
j
jn e
(b)
n limitin klasik. Potenciali kimik, , sht prcaktuar prej kushtit
j j
j
j j j
N n e e e ,
ose
j
j
Ne .
e
(c)
Si rrjedhim, duke kombinuar ekuacionet e msiprme, (a), (b) dhe (c), ne marrim
j
ji
i
en N
e
i cili sht nj form tashm familjare e faktorit klasik t Boltzmannit. Kjo mund edhe t shihet leht duke
u nisur nga fakti q jn jep numrin mesatar t grimcave n gjndjen e j -t t nj grimce t vetme,
ather jn / N sht probabiliteti pr t gjetur grimcn n gjndjen e j -t t nj grimce t vetme, i cili
sht
j j
ne .
N
Tani, po llogarisim funksionin kanonik t shprndarjes n limitin klasik. Ky funksion sht i lidhur me
energjin e lir t Helmholtzit sipas
lnA Q,
Ndrsa funksioni i madh kanonik i shprndarjes sht lidhur me pV sipas
lnpV .
Dim gjithashtu q A E TS , dhe energjia e lir e Gibbsit sht G N E pV TS . Duke
prdorur kto relacione, ne marrim
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
19
ln lnQ N ,V ,T N .
Duke zvndsuar funksionet e shprndarjes s madhe kanonike pr fermionet ose bozonet ideale ky
ekuacion jep
ln ln 1 jj
Q N ,V ,T N e ,
Ku shenja (+) sht grimcat e Fermit dhe ajo (-) pr Bozonet. Duke prdorur mosbarazimin (a) dhe
zbrthimin e ln 1 x x , ekuacioni i msiprm mund t shkruhet
ln jj
Q N ,V ,T N e .
Duke zvndsuar (c) n kt formul, ne marrim
lnQ N ,V ,T N N .
Akoma, logaritmi i (c) jep
ln ln j
j
N e
Si rrjedhim
ln ln ln j
j
Q N N N N e
ku kemi zvndsuar N me N . Tani, prdorim prafrimin e Stirlingut ln ! lnN N N N (i cili sht i
sakt vetm n limitin termodinamik, N ) dhe marrim
1
!
N
j
j
Q eN
n limitin klasik. Faktori 1 !/ N reflekton faktin q grimcat jan t padallueshme. Kjo sht mbetja e
vetme e statistiks kuantike n limitin klasik.
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
20
Kjo formul pr funksion e shprndarjes s gazit ideal klasik mund t nxirret edhe n nj mnyr tjetr
alternative q nuk prdor analizn e msiprme t fermioneve dhe bozoneve. N veanti, po konsiderojm
nj ansambl prej N grimcash t padallueshme dhe t pakorreluara. Duhet t theksohet se n limitn
kuantik, edhe kur grimcat nuk bashkveprojn, padallueshmria nnkutpn korrelacion prshkak t
krkess q funksioni valor sht simetrik. Nse ne po e neglizhojm pr momentin padallueshmrin,
funksioni i shprndarjes sht nj funksion shprndarje i nj grimce t vetme, q , ngritur n fuqi t N -t,
Nq . Si edhe e theksuam n komentet e hyrjes n kt kapitull, ky rezultat mbi llogarit gjndjet. Arsyeja
sht q atja jan !N mnyra t ndryshme pr t prcaktuar t njjtn bashksi t gjndjeve t dallueshme
t nj grimce t vetme pr N grimca. Por do mnyr sht ekuivalente meq grimcat jan t
padallueshme. Si rrjedhim, rezultati duhet t jet !Nq / N , i cili korrigjon mbi llogaritjen.
4.8 Termodinamika e nj gazi ideal t grimcave klasike pa struktur
Tani po konsiderojm nj sistem t prbr prej grimcave pa struktur t brendshme me mas m n nj
volum V , dhe po prdorim rezultatin e limitit klasik. Energjia sht shkak vetm i lvizjes drejtvizore t
qendrs s mass. Energjia e nj grimce t vetme mund t shprehet si
2 2
2k x y z
k , n n n .
m L
k x y z
Ku 1 3/ x y zL V ,n ,n ,n , dhe kto t fundit marrin vlera nga 1 deri , k sht niveli i energjis s
grimcs n nj boks tre dimensional. Funksioni klasik i shprndarjes sht
2 21
1exp 2
!
N
n ,n ,nx y z
Q N ,V ,T k / m .N
N limitin klasik, sht shum i vogl, dhe n limitin termodinamik L sht shum i madh. Kshtu q,
deferenca midis termave t njpasnjshm n shum sht i vogl, dhe shuma mund t merret siaps nj
integrali:
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
21
x x x
y y y
z z z
L Ln k dk ,
L Ln k dk ,
L Ln k dk ,
dhe
3
30 0 0
x y z
n ,n ,nx y z
Ldk dk dk .
Kshtu q,
2 2 2 2 2 2
30 0 0
2 2 2 2
3
exp 2 exp 2
exp 22
x y z x y z
n ,n ,nx y z
x y z x y z
Vk / m dk dk dk k k k / m
Vdk dk dk k k k / m
Duke prcaktuar p k , marrim
2 2
3
1
2
N
p / mVQ d eN !
p
Ku x y zd dp dp dpp . Integrali mund t llogaritet n disa mnyra, dhe rezultati sht
3 2
3
2
!
N /NA
N
V me Q N ,V ,T .
N h
Energjia e brendshme, E , dhe shtypja, p , jan prcaktuar n mnyr t zakonshme:
ln 3 3
2 2
ln
B
V
B
Q NE Nk T ,
Q Np ose pV Nk T .
V V
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
22
Eksperimentalisht, ekuacioni i gjndjes pr nj gaz klasik ideal sht pV nRT ku R shtV konstantja e
gazeve dhe n numri i moleve. Rezultati tjetr thot q BpV Nk T . N kt mnyr, konstantja
160 1 35805 10Bk R / N .
erg/grad., ku 0N sht numri i Avogadros.
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
23
4.9 Ushtrime t zgjidhura
Ushtrimi 4.1: Pr gazin fotonik nxirr nj formul pr funksionin e korrelacionit i jn n ku
i i in n n .
Ushtrimi 4.2: Prdor formuln pr jn pr t treguar q densiteti i energjis s nj gazi fotonik sht
4T , ku sht nj konstante, 2 4 3 315Bk / c .
Ushtrimi 4.3: Duke supozuar se vetm nj nivel i fononit sht populluar n mnyr t konsiderueshme
0g ,
dhe prcakto sjelljen pr temperatura t ulta t nj harmoniku t ngurt. Kjo njihet edhe si modeli i
Einshteinit.
Ushtrimi 4.4: Duke supozuar se vetm modd e frekuencave t vogla t nj rrjete jan thjesht val
planare t tilla q
2 10 0
00
D DND / ,g
,
sht nj prafrim i mir. Prcakto sjelljen pr temperatura t ulta t nj harmoniku t ngurt. Kjo njihet
edhe si modeli i Debye-it, dhe frekuenca kufitare 0 quhet frekuenca e Debye-it.
Ushtrimi 4.5: Nxirr q probabiliteti i prbashkt q nj grimc sht n gjndjen i dhe nj tjetr grimc
sht n gjndjen j jepet
ij i j i ijg n n n .
Ushtrimi 4.6: Pr nj gaz ideal t fermioneve identike, prcakto ijg si nj funksion t in .
Ushtrimi 4.7: Prdor serin e Euler-Maclaurin-it pr t provuar q gabimet q bhen duke marr shumat
diskrete sipas n si integrale jan t paprfillshme pr vlera t mdha t V .
Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike
24
Ushtrimi 4.8: Nxirr q
0
0 00
2 41 2
1 m mm
m
B
d dFE d
m! dd
C k T C O T .
Duke u nisur nga fakti q dhe 0 jan pothuaj se t barabarta pr temperatura t vogla.